En matemáticas , el grupo libre F S sobre un conjunto dado S consiste en todas las palabras que pueden construirse a partir de miembros de S , considerando dos palabras como diferentes a menos que su igualdad se deduzca de los axiomas del grupo (p. ej. st = suu −1 t pero s ≠ t −1 para s , t , u ∈ S ). Los miembros de S se denominan generadores de F S , y el número de generadores es el rango del grupo libre. Un grupo arbitrario G se denomina libre si es isomorfo a F S para algún subconjunto S de G , es decir, si hay un subconjunto S de G tal que cada elemento de G puede escribirse exactamente de una manera como un producto de un número finito de elementos de S y sus inversos (sin tener en cuenta variaciones triviales como st = suu −1 t ).
Un concepto relacionado pero diferente es el de grupo abeliano libre ; ambos conceptos son instancias particulares de un objeto libre del álgebra universal . Como tales, los grupos libres se definen por su propiedad universal.
Los grupos libres surgieron por primera vez en el estudio de la geometría hiperbólica , como ejemplos de grupos fuchsianos (grupos discretos que actúan por isometrías en el plano hiperbólico ). En un artículo de 1882, Walther von Dyck señaló que estos grupos tienen las presentaciones más simples posibles . [1] El estudio algebraico de los grupos libres fue iniciado por Jakob Nielsen en 1924, quien les dio su nombre y estableció muchas de sus propiedades básicas. [2] [3] [4] Max Dehn se dio cuenta de la conexión con la topología y obtuvo la primera prueba del teorema completo de Nielsen-Schreier . [5] Otto Schreier publicó una prueba algebraica de este resultado en 1927, [6] y Kurt Reidemeister incluyó un tratamiento integral de los grupos libres en su libro de 1932 sobre topología combinatoria . [7] Más tarde, en la década de 1930, Wilhelm Magnus descubrió la conexión entre las series centrales inferiores de grupos libres y las álgebras de Lie libres .
El grupo ( Z ,+) de los números enteros es libre de rango 1; un conjunto generador es S = {1}. Los números enteros también son un grupo abeliano libre , aunque todos los grupos libres de rango son no abelianos. Un grupo libre en un conjunto de dos elementos S aparece en la prueba de la paradoja de Banach-Tarski y se describe allí.
Por otra parte, cualquier grupo finito no trivial no puede ser libre, ya que los elementos de un conjunto generador libre de un grupo libre tienen orden infinito.
En topología algebraica , el grupo fundamental de un ramo de k círculos (un conjunto de k bucles que tienen sólo un punto en común) es el grupo libre en un conjunto de k elementos.
El grupo libre F S con conjunto generador libre S se puede construir de la siguiente manera. S es un conjunto de símbolos, y suponemos que para cada s en S hay un símbolo "inverso" correspondiente, s −1 , en un conjunto S −1 . Sea T = S ∪ S −1 , y definamos una palabra en S como cualquier producto escrito de elementos de T . Es decir, una palabra en S es un elemento del monoide generado por T . La palabra vacía es la palabra sin ningún símbolo. Por ejemplo, si S = { a , b , c }, entonces T = { a , a −1 , b , b −1 , c , c −1 }, y
es una palabra en S.
Si un elemento de S se encuentra inmediatamente al lado de su inverso, la palabra se puede simplificar omitiendo el par c, c −1 :
Una palabra que no se puede simplificar más se llama reducida .
El grupo libre F S se define como el grupo de todas las palabras reducidas en S , con concatenación de palabras (seguida de reducción si es necesario) como operación de grupo. La identidad es la palabra vacía.
Una palabra reducida se denomina cíclicamente reducida si su primera y última letra no son inversas entre sí. Toda palabra es conjugada de una palabra cíclicamente reducida, y un conjugado cíclicamente reducido de una palabra cíclicamente reducida es una permutación cíclica de las letras de la palabra. Por ejemplo, b −1 abcb no se reduce cíclicamente, pero se conjuga con abc , que se reduce cíclicamente. Los únicos conjugados cíclicamente reducidos de abc son abc , bca y cab .
El grupo libre F S es el grupo universal generado por el conjunto S . Esto se puede formalizar mediante la siguiente propiedad universal : dada cualquier función f de S a un grupo G , existe un único homomorfismo φ : F S → G haciendo que el siguiente diagrama sea conmutativo (donde la aplicación sin nombre denota la inclusión de S en F S ):
Es decir, los homomorfismos F S → G están en correspondencia biunívoca con las funciones S → G . Para un grupo no libre, la presencia de relaciones restringiría las posibles imágenes de los generadores bajo un homomorfismo.
Para ver cómo esto se relaciona con la definición constructiva, piense en la aplicación de S a F S como enviar cada símbolo a una palabra que consiste en ese símbolo. Para construir φ para la f dada , primero note que φ envía la palabra vacía a la identidad de G y tiene que coincidir con f en los elementos de S. Para las palabras restantes (que consisten en más de un símbolo), φ se puede extender de forma única, ya que es un homomorfismo, es decir, φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).
La propiedad anterior caracteriza a los grupos libres hasta el isomorfismo y, a veces, se utiliza como una definición alternativa. Se la conoce como propiedad universal de los grupos libres y el conjunto generador S se denomina base de F S. La base de un grupo libre no está determinada de forma única.
La característica estándar de los objetos libres en el álgebra universal es que están caracterizados por una propiedad universal . En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción del grupo libre (similar a la mayoría de las construcciones de objetos libres) es un funtor de la categoría de conjuntos a la categoría de grupos . Este funtor es adjunto izquierdo al funtor olvidadizo de grupos a conjuntos.
Algunas propiedades de los grupos libres se desprenden fácilmente de la definición:
Algunos otros resultados relacionados son:
El grupo abeliano libre sobre un conjunto S se define a través de su propiedad universal de forma análoga, con modificaciones obvias: Considérese un par ( F , φ ), donde F es un grupo abeliano y φ : S → F es una función. Se dice que F es el grupo abeliano libre sobre S con respecto a φ si para cualquier grupo abeliano G y cualquier función ψ : S → G , existe un homomorfismo único f : F → G tal que
El grupo abeliano libre en S puede identificarse explícitamente como el grupo libre F( S ) módulo el subgrupo generado por sus conmutadores, [F( S ), F( S )], es decir, su abelianización . En otras palabras, el grupo abeliano libre en S es el conjunto de palabras que se distinguen solo hasta el orden de las letras. Por lo tanto, el rango de un grupo libre también puede definirse como el rango de su abelianización como grupo abeliano libre.
Alrededor de 1945, Alfred Tarski preguntó si los grupos libres en dos o más generadores tienen la misma teoría de primer orden , y si esta teoría es decidible . Sela (2006) respondió la primera pregunta mostrando que dos grupos libres no abelianos cualesquiera tienen la misma teoría de primer orden, y Kharlampovich y Myasnikov (2006) respondieron ambas preguntas, mostrando que esta teoría es decidible.
Una pregunta similar sin resolver (hasta 2011) en la teoría de la probabilidad libre pregunta si las álgebras de grupos de von Neumann de dos grupos libres finitamente generados no abelianos son isomorfas.
