Teorema de Nielsen-Schreier

Teorema de que cada subgrupo de un grupo libre es en sí mismo libre

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas, el teorema de Nielsen-Schreier establece que cada subgrupo de un grupo libre es en sí mismo libre. ^{[1] [2] [3]} Su nombre se debe a Jakob Nielsen y Otto Schreier .

Enunciado del teorema

Un grupo libre puede definirse a partir de una presentación de grupo que consiste en un conjunto de generadores sin relaciones. Es decir, cada elemento es un producto de alguna secuencia de generadores y sus inversos, pero estos elementos no obedecen a ninguna ecuación excepto las que se siguen trivialmente de gg ⁻¹ = 1. Los elementos de un grupo libre pueden describirse como todas las posibles palabras reducidas , aquellas cadenas de generadores y sus inversos en las que ningún generador es adyacente a su propio inverso. Dos palabras reducidas pueden multiplicarse concatenándolas y luego eliminando cualquier par generador-inverso que resulte de la concatenación.

El teorema de Nielsen-Schreier establece que si H es un subgrupo de un grupo libre G , entonces H es en sí mismo isomorfo a un grupo libre. Es decir, existe un conjunto S de elementos que generan H , sin que existan relaciones no triviales entre los elementos de S .

La fórmula de Nielsen-Schreier , o fórmula del índice de Schreier , cuantifica el resultado en el caso en que el subgrupo tiene índice finito: si G es un grupo libre de rango n (libre en n generadores), y H es un subgrupo de índice finito [ G  : H ] = e , entonces H es libre de rango . ^[4] ${\displaystyle 1+e(n{-}1)}$

Ejemplo

Sea G el grupo libre con dos generadores , y sea H el subgrupo que consiste en todas las palabras reducidas de longitud par (productos de un número par de letras ). Entonces H es generado por sus seis elementos Una factorización de cualquier palabra reducida en H en estos generadores y sus inversos puede construirse simplemente tomando pares consecutivos de letras en la palabra reducida. Sin embargo, esta no es una presentación libre de H porque los últimos tres generadores pueden escribirse en términos de los primeros tres como . Más bien, H es generado como un grupo libre por los tres elementos que no tienen relaciones entre ellos; o en cambio por varios otros triples de los seis generadores. ^[5] Además, G es libre en n = 2 generadores, H tiene índice e = [ G  : H ] = 2 en G , y H es libre en 1 + e ( n –1) = 3 generadores. El teorema de Nielsen-Schreier establece que, al igual que H , cada subgrupo de un grupo libre puede generarse como un grupo libre, y si el índice de H es finito, su rango está dado por la fórmula del índice. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b,a^{-1},b^{-1}}$ ${\displaystyle p=aa,\ q=ab,\ r=ba,\ s=bb,\ t=ab^{-1},\ u=a^{-1}b.}$ ${\displaystyle s=rp^{-1}q,\ t=pr^{-1},\ u=p^{-1}q}$ ${\displaystyle p=aa,\ q=ab,\ r=ba,}$

Prueba

El grupo libre G = π ₁ ( X ) tiene n = 2 generadores correspondientes a los bucles a , b desde el punto base P en X . El subgrupo H de palabras de longitud par, con índice e = [ G  : H ] = 2, corresponde al grafo de recubrimiento Y con dos vértices correspondientes a las clases laterales H y H' = aH = bH = a ⁻¹ H = b ^{− 1} H , y dos aristas levantadas para cada una de las aristas de bucle originales a , b . Al contraer una de las aristas de Y se obtiene una equivalencia de homotopía con un ramo de tres círculos, de modo que H = π ₁ ( Y ) es un grupo libre sobre tres generadores, por ejemplo aa , ab , ba .

Una prueba corta del teorema de Nielsen-Schreier utiliza la topología algebraica de grupos fundamentales y espacios de recubrimiento . ^[1] Un grupo libre G en un conjunto de generadores es el grupo fundamental de un ramo de círculos , un grafo topológico X con un solo vértice y con una arista de bucle para cada generador. ^[6] Cualquier subgrupo H del grupo fundamental es en sí mismo el grupo fundamental de un espacio de recubrimiento conexo Y → X. El espacio Y es un grafo topológico (posiblemente infinito), el grafo de clases laterales de Schreier tiene un vértice para cada clase lateral en G/H . ^[7] En cualquier grafo topológico conexo, es posible encoger las aristas de un árbol de expansión del grafo, produciendo un ramo de círculos que tiene el mismo grupo fundamental H. Dado que H es el grupo fundamental de un ramo de círculos, es en sí mismo libre. ^[6]

El rango de H se puede calcular utilizando dos propiedades de la característica de Euler que se desprenden inmediatamente de su definición. La primera propiedad es que la característica de Euler de un racimo de s círculos es 1 - s . La segunda propiedad es la multiplicidad en espacios de recubrimiento : si Y es un recubrimiento de grado d de X , entonces

${\displaystyle \chi (Y)=d\cdot \chi (X)}$.

Supongamos ahora que H es un subgrupo del grupo libre G , con índice [G:H] = e . La parte anterior de la prueba muestra que H es un grupo libre; sea r el rango de H . Aplicando las dos propiedades de la característica de Euler para el grafo de recubrimiento Y correspondiente a H se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle \chi (Y)=1-r}$

y

${\displaystyle \chi (Y)=e\cdot \chi (X)=e(1-n).}$

Combinando estas ecuaciones, obtenemos ${\displaystyle r=1-e(1-n)=1+e(n-1).}$

Esta prueba aparece en el Curso Conciso de May . ^[8] Una prueba equivalente que utiliza homología y el primer número de Betti de Y se debe a Reinhold Baer y Friedrich Levi  (1936). La prueba original de Schreier forma el grafo de Schreier de una manera diferente como un cociente del grafo de Cayley de G módulo la acción de H. [ ^9]

Según el lema del subgrupo de Schreier , se puede construir un conjunto de generadores para una presentación libre de H a partir de ciclos en el gráfico de cobertura formado concatenando una ruta de árbol de expansión desde un punto base (la clase lateral de la identidad) a una de las clases laterales, un único borde que no es de árbol y una ruta de árbol de expansión inversa desde el otro punto final del borde hasta el punto base. ^{[10] [9]}

Fundamentos axiomáticos

Aunque se conocen varias demostraciones diferentes del teorema de Nielsen-Schreier, todas ellas dependen del axioma de elección . En la demostración basada en grupos fundamentales de ramos, por ejemplo, el axioma de elección aparece bajo la apariencia de la afirmación de que todo grafo conexo tiene un árbol generador. El uso de este axioma es necesario, ya que existen modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que tanto el axioma de elección como el teorema de Nielsen-Schreier son falsos. El teorema de Nielsen-Schreier, a su vez, implica una versión más débil del axioma de elección, para conjuntos finitos. ^{[11] [12]}

Historia

El teorema de Nielsen-Schreier es un análogo no abeliano de un resultado más antiguo de Richard Dedekind , según el cual cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre . ^[3]

Jakob Nielsen (1921) demostró originalmente una forma restringida del teorema, afirmando que cualquier subgrupo finitamente generado de un grupo libre es libre. Su demostración implica realizar una secuencia de transformaciones de Nielsen en el conjunto generador del subgrupo que reducen su longitud (como palabras reducidas en el grupo libre del que se extraen). ^{[1] [13]} Otto Schreier demostró el teorema de Nielsen-Schreier en su generalidad completa en su tesis de habilitación de 1926 , Die Untergruppen der freien Gruppe , también publicada en 1927 en Abh. math. Sem. Hamburg. Univ. ^{[14] [15]}

La prueba topológica basada en grupos fundamentales de ramos de círculos se debe a Reinhold Baer y Friedrich Levi  (1936). Otra prueba topológica, basada en la teoría de Bass-Serre de acciones de grupo sobre árboles , fue publicada por Jean-Pierre Serre  (1970). ^[16]

Véase también

• Teorema fundamental de los grupos cíclicos , un resultado similar para los grupos cíclicos que en el caso infinito puede verse como un caso especial del teorema de Nielsen-Schreier
• Teorema del subgrupo de Kurosh

Notas

1. Stillwell (1993), Sección 2.2.4, El teorema de Nielsen-Schreier, págs. 103-104.
2. Magnus, Karrass y Solitar 1976, Corolario 2.9, pág. 95.
3. Johnson (1980), Sección 2, El teorema de Nielsen-Schreier, págs.
4. Fried y Jarden (2008), pág. 355
5. Johnson (1997), ejemplo 15, pág. 12.
6. Stillwell (1993), Sección 2.1.8, Libertad de los generadores, pág. 97.
7. Stillwell (1993), Sección 2.2.2, La propiedad del subgrupo, págs. 100-101.
8. May, J. Peter (1999). "Sección 4.5". Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press. ISBN 9780226511832.
9. Bollobas, Bela (1998). "Capítulo VIII.1". Teoría de grafos moderna . Springer Verlag. pág. 262. ISBN 978-0-387-98488-9.
10. Stillwell (1993), Sección 2.2.6, Transversales de Schreier, págs.
11. Läuchli (1962)
12. Howard (1985).
13. Magnus, Karrass y Solitar 1976, Sección 3.2, Un proceso de reducción, págs. 121-140.
14. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Otto Schreier", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
15. Hansen, Vagn Lundsgaard (1986), Jakob Nielsen, Artículos matemáticos recopilados: 1913-1932 , Birkhäuser, p. 117, ISBN 978-0-8176-3140-6.
16. Rotman (1995), El teorema de Nielsen-Schreier, págs.

Referencias

• Baer, ​​Reinhold ; Levi, Friedrich (1936), "Freie Produkte und ihre Untergruppen", Compositio Mathematica , 3 : 391–398.
• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Aritmética de campo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3.ª ed.), Springer-Verlag , pág. 70, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl1145.12001 ​.
• Howard, Paul E. (1985), "Subgrupos de un grupo libre y el axioma de elección", The Journal of Symbolic Logic , 50 (2): 458–467, doi :10.2307/2274234, JSTOR  2274234, MR  0793126, S2CID  33535673.
• Johnson, DL (1980), Temas de la teoría de presentaciones grupales , serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 42, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4.
• Johnson, DL (1997), Presentaciones de grupos , Textos de estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 15 (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58542-2.
• Läuchli, Hans (1962), "Auswahlaxiom in der Algebra", Commentarii Mathematici Helvetici , 37 : 1–18, doi :10.1007/bf02566957, hdl : 20.500.11850/131689 , MR  0143705, S2CID  186223589.
• Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (1976), Teoría de grupos combinatorios (2.ª edición revisada), Dover Publications.
• Nielsen, Jakob (1921), "Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien", Math. Tidsskrift B (en danés), 1921 : 78–94, JFM  48.0123.03.
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 148 (4.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8.
• Serre, J.-P. (1970), Groupes Discretes , Extrait de I'Annuaire du College de France, París{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ).
• Serre, J.-P. (1980), Árboles , Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9.
• Stillwell, John (1993), Topología clásica y teoría de grupos combinatorios , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 72 (2.ª ed.), Springer-Verlag.