Teorema de Grushko

En el campo matemático de la teoría de grupos , el teorema de Grushko o teorema de Grushko-Neumann es un teorema que establece que el rango (es decir, la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador ) de un producto libre de dos grupos es igual a la suma de los rangos de los dos factores libres. El teorema fue obtenido por primera vez en un artículo de 1940 de Grushko ^[1] y luego, de forma independiente, en un artículo de 1943 de Neumann ^[2] .

Enunciado del teorema

Sean A y B grupos finitamente generados y sea A ∗ B el producto libre de A y B . Entonces

rango( A ∗ B ) = rango( A ) + rango( B ).

Es obvio que rango( A ∗ B ) ≤ rango( A ) + rango( B ) ya que si X es un conjunto generador finito de A e Y es un conjunto generador finito de B entonces X ∪ Y es un conjunto generador para A ∗ B y que | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |. La desigualdad opuesta, rango( A ∗ B ) ≥ rango( A ) + rango( B ), requiere demostración.

Grushko, pero no Neumann, demostró una versión más precisa del teorema de Grushko en términos de equivalencia de Nielsen . Establece que si M = ( g ₁ , g ₂ , ..., g _n ) es una n -tupla de elementos de G = A ∗ B tal que M genera G , < g ₁ , g ₂ , ..., g _n > = G , entonces M es equivalente de Nielsen en G a una n -tupla de la forma

M' = ( a ₁ , ..., a _k , b ₁ , ..., b _{n − k} ) donde { a ₁ , ..., a _k }⊆ A es un grupo electrógeno para A y donde { b ₁ , ..., b _{n − k} }⊆ B es un grupo electrógeno para B . En particular, rank( A ) ≤ k , rank( B ) ≤ n  −  k y rank( A ) + rank( B ) ≤ k  + ( n  −  k ) = n . Si uno toma M como la tupla generadora mínima para G , es decir, con n = rank( G ), esto implica que rank( A ) + rank( B ) ≤ rank( G ). Dado que la desigualdad opuesta, rango( G ) ≤ rango( A ) + rango( B ), es obvia, se deduce que rango( G )=rango( A ) + rango( B ), como se requiere.

Historia y generalizaciones

Después de las demostraciones originales de Grushko (1940) y Neumann (1943), hubo muchas demostraciones alternativas, simplificaciones y generalizaciones posteriores del teorema de Grushko. Una versión cercana de la demostración original de Grushko se da en el libro de Kurosh de 1955. ^[3]

Al igual que las pruebas originales, la prueba de Lyndon (1965) ^[4] se basó en consideraciones de funciones de longitud, pero con simplificaciones sustanciales. Un artículo de 1965 de Stallings ^[5] proporcionó una prueba topológica muy simplificada del teorema de Grushko.

Un artículo de 1970 de Zieschang ^[6] proporcionó una versión de equivalencia de Nielsen del teorema de Grushko (mencionado anteriormente) y proporcionó algunas generalizaciones del teorema de Grushko para productos libres amalgamados . Scott (1974) proporcionó otra prueba topológica del teorema de Grushko, inspirada en los métodos de la topología de 3 variedades ^[7] Imrich (1984) ^[8] dio una versión del teorema de Grushko para productos libres con infinitos factores.

Un artículo de 1976 de Chiswell ^[9] proporcionó una prueba relativamente sencilla del teorema de Grushko, basada en la prueba de Stallings de 1965, que utilizó las técnicas de la teoría de Bass-Serre . El argumento inspiró directamente la maquinaria de plegamientos para acciones de grupos en árboles y para grafos de grupos y la prueba aún más sencilla de Dicks del teorema de Grushko (véase, por ejemplo, ^{[10] [11] [12]} ).

El teorema de Grushko es, en cierto sentido, un punto de partida en la teoría de accesibilidad de Dunwoody para grupos finitamente generados y finitamente presentados . Dado que los rangos de los factores libres son menores que el rango de un producto libre, el teorema de Grushko implica que el proceso de división iterada de un grupo finitamente generado G como un producto libre debe terminar en un número finito de pasos (más precisamente, en pasos de rango ( G ) como máximo). Existe una cuestión similar natural para iterar divisiones de grupos finitamente generados sobre subgrupos finitos. Dunwoody demostró que dicho proceso siempre debe terminar si un grupo G es finitamente presentado ^[13] pero puede continuar para siempre si G es finitamente generado pero no finitamente presentado. ^[14]

Higgins (1966) dio una prueba algebraica de una generalización sustancial del teorema de Grushko usando la maquinaria de los grupoides . ^[15] El teorema de Higgins comienza con los grupos G y B con descomposiciones libres G = ∗ _i G _i , B = ∗ _i B _i y f  : G → B un morfismo tal que f ( G _i ) = B _i para todo i . Sea H un subgrupo de G tal que f ( H ​​) = B . Entonces H tiene una descomposición H = ∗ _i H _i tal que f ( H _​​i ) = B _i para todo i . Los detalles completos de la prueba y las aplicaciones también se pueden encontrar en . ^{[10] [16]}

Teorema de descomposición de Grushko

Una consecuencia útil del teorema original de Grushko es el llamado teorema de descomposición de Grushko, que afirma que cualquier grupo finitamente generado G no trivial puede descomponerse como un producto libre.

G = A ₁ ∗ A ₂ ∗...∗ A _r ∗ F _s , donde s ≥ 0, r ≥ 0,

donde cada uno de los grupos A _i es no trivial, libremente indescomponible (es decir, no se puede descomponer como un producto libre) y no infinitamente cíclico, y donde F _s es un grupo libre de rango s ; además, para un G dado , los grupos A ₁ , ..., A _r son únicos hasta una permutación de sus clases de conjugación en G (y, en particular, la secuencia de tipos de isomorfismo de estos grupos es única hasta una permutación) y los números s y r son únicos también.

Más precisamente, si G = B ₁ ∗...∗ B _k ∗ F _t es otra descomposición de este tipo, entonces k = r , s = t , y existe una permutación σ∈ S _r tal que para cada i =1,..., r los subgrupos A _i y B _{σ( i )} son conjugados en G .

La existencia de la descomposición anterior, llamada descomposición de Grushko de G , es un corolario inmediato del teorema de Grushko original, mientras que la declaración de unicidad requiere argumentos adicionales (véase, por ejemplo, ^[17] ).

Calcular algorítmicamente la descomposición de Grushko para clases específicas de grupos es un problema difícil que requiere principalmente poder determinar si un grupo dado es libremente descomponible. Se encuentran disponibles resultados positivos para algunas clases de grupos, como grupos hiperbólicos de palabras libres de torsión , ciertas clases de grupos relativamente hiperbólicos , ^[18] grupos fundamentales de grafos finitos de grupos libres finitamente generados ^[19] y otros.

El teorema de descomposición de Grushko es un análogo en teoría de grupos del teorema de descomposición prima de Kneser para 3-variedades que dice que una 3-variedad cerrada puede descomponerse de manera única como una suma conexa de 3-variedades irreducibles. ^[20]

Esquema de la prueba utilizando la teoría de Bass-Serre

Lo que sigue es un bosquejo de la prueba del teorema de Grushko basado en el uso de técnicas de plegamiento para grupos que actúan sobre árboles (ver ^{[10] [11] [12]} para pruebas completas que utilizan este argumento).

Sea S ={ g ₁ ,...., g _n } un conjunto generador finito para G = A ∗ B de tamaño | S |= n = rango( G ). Realice G como el grupo fundamental de un grafo de grupos Y que es una única arista no-bucle con grupos de vértices A y B y con el grupo de aristas triviales. Sea el árbol de recubrimiento de Bass-Serre para Y . Sea F = F ( x ₁ ,...., x _n ) el grupo libre con base libre x ₁ ,...., x _n y sea φ ₀ : F → G el homomorfismo tal que φ ₀ ( x _i )= g _i para i =1,..., n . Realice F como el grupo fundamental de un grafo Z ₀ que es la cuña de n círculos que corresponden a los elementos x ₁ ,...., x _n . También pensamos en Z ₀ como un grafo de grupos con el grafo subyacente Z ₀ y los grupos triviales de vértices y aristas. Entonces, la cobertura universal de Z ₀ y el árbol de cobertura de Bass–Serre para Z ₀ coinciden. Consideremos una función φ ₀ -equivariante de modo que envíe vértices a vértices y aristas a caminos de aristas. Esta función no es inyectiva y, dado que tanto la fuente como el destino de la función son árboles, esta función "pliega" algunos pares de aristas en la fuente. El grafo de grupos Z ₀ sirve como una aproximación inicial para Y . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {Y} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}:{\tilde {Z}}_{0}\to {\tilde {\mathbf {Y} }}}$

Ahora comenzamos a realizar una secuencia de "movimientos de plegado" sobre Z ₀ (y sobre su árbol de cobertura de Bass-Serre) para construir una secuencia de grafos de grupos Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...., que formen cada vez mejores aproximaciones para Y . Cada uno de los grafos de grupos Z _j tiene grupos de aristas triviales y viene con la siguiente estructura adicional: para cada grupo de vértices no trivial de él se asigna un conjunto generador finito de ese grupo de vértices. La complejidad c ( Z _j ) de Z _j es la suma de los tamaños de los conjuntos generadores de sus grupos de vértices y el rango del grupo libre π ₁ ( Z _j ). Para el grafo de aproximación inicial tenemos c ( Z ₀ )= n .

Los movimientos de plegado que llevan Z _j a Z _{j +1} pueden ser de uno de dos tipos:

• pliegues que identifican dos aristas del gráfico subyacente con un vértice inicial común pero vértices finales distintos en una única arista; cuando se realiza dicho pliegue, los conjuntos generadores de los grupos de vértices y las aristas terminales se "unen" entre sí para formar un conjunto generador del nuevo grupo de vértices; el rango del grupo fundamental del gráfico subyacente no cambia con dicho movimiento.
• pliegues que identifican dos aristas, que ya tenían vértices iniciales y vértices terminales comunes, en una única arista; tal movimiento disminuye el rango del grupo fundamental del gráfico subyacente en 1 y un elemento que corresponde al bucle en el gráfico que se está colapsando se "agrega" al conjunto generador de uno de los grupos de vértices.

Se ve que los movimientos de plegado no aumentan la complejidad pero sí disminuyen el número de aristas en Z _j . Por lo tanto, el proceso de plegado debe terminar en un número finito de pasos con un grafo de grupos Z _k que no se puede plegar más. De las consideraciones básicas de la teoría de Bass-Serre se deduce que Z _k debe ser de hecho igual a la arista de los grupos Y y que Z _k viene equipado con conjuntos generadores finitos para los grupos de vértices A y B . La suma de los tamaños de estos conjuntos generadores es la complejidad de Z _k que es por lo tanto menor o igual a c ( Z ₀ )= n . Esto implica que la suma de los rangos de los grupos de vértices A y B es como máximo n , es decir rango( A )+rango( B )≤rango( G ), como se requiere.

Bosquejo de la prueba de Stalling

La prueba de Stallings del teorema de Grushko se desprende del siguiente lema.

Lema

Sea F un grupo libre finitamente generado, con n generadores. Sean G ₁ y G ₂ dos grupos finitamente presentados. Supóngase que existe un homomorfismo sobreyectivo . Entonces existen dos subgrupos F ₁ y F ₂ de F con y , tales que ${\displaystyle \phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}}$ ${\displaystyle \phi (F_{1})=G_{1}}$ ${\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}}$ ${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}.}$

Prueba: Damos la prueba asumiendo que F no tiene un generador que se asigne a la identidad de , ya que si existen tales generadores, pueden agregarse a cualquiera de o . ${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Los siguientes resultados generales se utilizan en la prueba.

1. Existe un complejo CW unidimensional o bidimensional , Z, con grupo fundamental F. Según el teorema de Van Kampen , la cuña de n círculos es uno de esos espacios.

2. Existe un complejo de dos donde es un punto en una celda de X tal que X ₁ y X ₂ son dos complejos con grupos fundamentales G ₁ y G ₂ respectivamente. Nótese que por el teorema de Van Kampen, esto implica que el grupo fundamental de X es . ${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$ ${\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$

3. Existe un mapa tal que el mapa inducido en los grupos fundamentales es el mismo que ${\displaystyle f:Z\rightarrow X}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \phi }$

Por conveniencia, denotemos y . Como ningún generador de F se aplica a la identidad, el conjunto no tiene bucles, porque si los tiene, estos corresponderán a círculos de Z que se aplican a , que a su vez corresponden a generadores de F que van a la identidad. Por lo tanto, los componentes de son contráctiles. En el caso donde tiene solo un componente, por el teorema de Van Kampen, hemos terminado, ya que en ese caso, : . ${\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}}$ ${\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})}$

La prueba general se obtiene reduciendo Z a un espacio homotópicamente equivalente a él, pero con menos componentes en , y por tanto por inducción sobre los componentes de . ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

Esta reducción de Z se realiza fijando los discos a lo largo de los lazos de unión.

Llamamos a un mapa un vínculo vinculante si satisface las siguientes propiedades ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$

1. Es monocromático, es decir, ${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{1}}$ ${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}}$

2. Es un empate , es decir, y se encuentran en diferentes componentes de . ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma (1)}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

3. Es nulo, es decir, es nulo homotópico en X. ${\displaystyle f\circ \gamma ([0,1])}$

Supongamos que existe tal vínculo vinculante. Sea el vínculo vinculante. ${\displaystyle \gamma }$

Consideremos la función dada por . Esta función es un homeomorfismo sobre su imagen. Definamos el espacio como ${\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}}$ ${\displaystyle g(t)=e^{it}}$ ${\displaystyle Z'}$

${\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim }$dónde : ${\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ iff}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ or }}\\x=\gamma (t){\text{ and }}y=g(t){\text{ for some }}t\in [0,1]{\mbox{ or }}\\x=g(t){\text{ and }}y=\gamma (t){\text{ for some }}t\in [0,1]\end{cases}}}$

Nótese que la deformación del espacio Z' se retrae a Z Primero extendemos f a una función como ${\displaystyle ''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }$

${\displaystyle f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Dado que el es homotópico nulo, se extiende más allá hacia el interior del disco y, por lo tanto, a . Sea i = 1,2 . Como y se encuentran en componentes diferentes de , tiene un componente menos que . ${\displaystyle f(\gamma )}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle Z'}$ ${\displaystyle Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma (1)}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}'\cap Z_{2}'}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

Construcción de lazo de unión

El lazo de unión se construye en dos pasos.

Paso 1: Construcción de un empate nulo :

Considérese una función con y en diferentes componentes de . Como es sobreyectiva, existe un bucle basado en γ'(1) tal que y son homotópicamente equivalentes en X . Si definimos una curva como para todo , entonces es un empate nulo. ${\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma '(1)}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \!\lambda }$ ${\displaystyle \!f(\gamma ')}$ ${\displaystyle \!f(\lambda )}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \!\gamma }$

Paso 2: Hacer que el lazo nulo sea monocromático :

El lazo puede escribirse como donde cada uno es una curva en o tal que si está en , entonces está en y viceversa. Esto también implica que es un bucle con base en p en X . Por lo tanto, ${\displaystyle \!\gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{i+1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

${\displaystyle [e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}$

Por lo tanto, para algún j . Si esto es un empate, entonces tenemos un empate nulo monocromático. Si no es un empate, entonces los puntos finales de están en el mismo componente de . En este caso, reemplazamos por una ruta en , digamos . Esta ruta se puede anexar a y obtenemos un nuevo empate nulo ${\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}'}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j-1}}$

${\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}}$, dónde . ${\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}$

Así, por inducción sobre m , demostramos la existencia de un vínculo vinculante.

Demostración del teorema de Grushko

Supóngase que se genera por . Sea el grupo libre con -generadores, es decir . Considérese el homomorfismo dado por , donde . ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}$ ${\displaystyle h:F\rightarrow G}$ ${\displaystyle h(f_{i})=g_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

Por el lema, existen grupos libres y con tales que y . Por lo tanto, y . Por lo tanto, ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}$ ${\displaystyle h(F_{1})=A}$ ${\displaystyle h(F_{2})=B}$ ${\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})}$ ${\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})}$ ${\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}$

Véase también

• Teoría de Bass-Serre
• Conjunto generador de un grupo

Notas

1. IA Grushko, Sobre las bases de un producto libre de grupos , Matematicheskii Sbornik, vol 8 (1940), pp. 169–182.
2. BH Neumann. Sobre el número de generadores de un producto libre. Journal of the London Mathematical Society, vol. 18, (1943), págs. 12-20.
3. AG Kurosh, La teoría de grupos. Vol. I. Traducido y editado por KA Hirsch. Chelsea Publishing Co., Nueva York, NY, 1955
4. Roger C. Lyndon , "Teorema de Grushko". Actas de la American Mathematical Society , vol. 16 (1965), págs. 822–826.
5. John R. Stallings. "Una prueba topológica del teorema de Grushko sobre productos libres". Mathematische Zeitschrift , vol. 90 (1965), págs. 1–8.
6. Heiner Zieschang. "Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam." Invenciones Mathematicae , vol. 10 (1970), págs. 4-37
7. Scott, Peter . Introducción a las 3-variedades. Departamento de Matemáticas, Universidad de Maryland, Nota de clase, n.º 11. Departamento de Matemáticas, Universidad de Maryland, College Park, Maryland, 1974
8. Wilfried Imrich "El teorema de Grushko". Archiv der Mathematik (Basilea), vol. 43 (1984), núm. 5, págs. 385-387
9. IM Chiswell, El teorema de Grushko-Neumann. Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (3) 33 (1976), núm. 3, 385–400.
10. Warren Dicks. Grupos, árboles y módulos proyectivos. Lecture Notes in Mathematics 790, Springer, 1980
11. John R. Stallings. "Plegamientos de árboles G". Teoría de grupos arbóreos (Berkeley, California, 1988), págs. 355-368, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 19. Springer, Nueva York, 1991; ISBN  0-387-97518-7
12. Ilya Kapovich, Richard Weidmann y Alexei Miasnikov. Plegados, gráficos de grupos y el problema de pertenencia. Revista internacional de álgebra y computación, vol. 15 (2005), n.º 1, págs. 95-128
13. Martin J. Dunwoody. "La accesibilidad de grupos finitamente presentados". Inventiones Mathematicae , vol. 81 (1985), núm. 3, págs. 449–457
14. Martin J. Dunwoody. "Un grupo inaccesible". Teoría geométrica de grupos , vol. 1 (Sussex, 1991), págs. 75-78, London Mathematical Society Lecture Notes Series, 181, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. ISBN 0-521-43529-3 
15. PJ Higgins. "Teorema de Grushko". Journal of Algebra , vol. 4 (1966), págs. 365-372
16. Higgins, Philip J., Notas sobre categorías y grupoides. Van Nostrand Rienhold Mathematical Studies, n.º 32. Van Nostrand Reinhold Co., Londres-Nueva York-Melbourne, 1971. Reimpreso como Teoría y aplicaciones de categorías, reimpresión n.º 7, 2005.
17. John Stallings. Coherencia de grupos fundamentales de 3 variedades. Archivado el 5 de junio de 2011 en Wayback Machine. Séminaire Bourbaki, 18 (1975-1976), Exposé No. 481.
18. François Dahmani y Daniel Groves. "Detección de desdoblamientos libres en grupos relativamente hiperbólicos". Transactions of the American Mathematical Society . Publicado en línea el 21 de julio de 2008.
19. Guo-An Diao y Mark Feighn. "La descomposición de Grushko de un grafo finito de grupos libres de rango finito: un algoritmo". Geometry & Topology . vol. 9 (2005), págs. 1835–1880
20. H. Kneser, Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Jahresber. Alemán. Matemáticas. Verein., vol. 38 (1929), págs. 248-260