Muchas ramas de las matemáticas estudian objetos de un tipo determinado y demuestran un teorema de clasificación . Un tema común es que la clasificación da como resultado una serie de objetos y un número finito de excepciones (a menudo con propiedades deseables) que no encajan en ninguna serie. Estos se conocen como objetos excepcionales . En muchos casos, estos objetos excepcionales desempeñan un papel adicional e importante en el tema. Además, los objetos excepcionales en una rama de las matemáticas a menudo se relacionan con los objetos excepcionales en otras. [1] [2] [3]
Un fenómeno relacionado es el isomorfismo excepcional , cuando dos series son en general diferentes, pero coinciden en algunos valores pequeños. Por ejemplo, los grupos de espín en dimensiones bajas son isomorfos a otros grupos de Lie clásicos . [4]
Los ejemplos prototípicos de objetos excepcionales surgen en la clasificación de politopos regulares : en dos dimensiones, hay una serie de n -gonos regulares para n ≥ 3. En cada dimensión por encima de 2, se pueden encontrar análogos del cubo, tetraedro y octaedro. En tres dimensiones, se encuentran dos poliedros regulares más: el dodecaedro (12-edro) y el icosaedro (20-edro), lo que forma cinco sólidos platónicos . En cuatro dimensiones, existen un total de seis politopos regulares , incluidos el de 120 celdas , el de 600 celdas y el de 24 celdas . No hay otros politopos regulares, ya que los únicos politopos regulares en dimensiones superiores son de las series hipercubo , símplex y ortoplex . En todas las dimensiones combinadas, hay, por lo tanto, tres series y cinco politopos excepcionales. [5]
Además, el patrón es similar si se incluyen politopos no convexos: en dos dimensiones, hay un polígono estrellado regular para cada número racional . [6] En tres dimensiones, hay cuatro poliedros de Kepler-Poinsot , y en cuatro dimensiones, diez policoros de Schläfli-Hess ; en dimensiones superiores, no hay figuras regulares no convexas.
Estos pueden generalizarse a teselaciones de otros espacios, especialmente teselaciones uniformes , en particular teselaciones del espacio euclidiano ( panales de abeja ), que tienen objetos excepcionales, y teselaciones del espacio hiperbólico. Hay varios objetos excepcionales en dimensión inferior a 6, pero en dimensión 6 y superior, los únicos poliedros/teselaciones/teselaciones hiperbólicas regulares son el símplex, el hipercubo, el politopo cruzado y la red hipercúbica.
En relación con los teselados y los poliedros regulares, existen triángulos de Schwarz excepcionales (triángulos que teselan la esfera, o más generalmente el plano euclidiano o el plano hiperbólico a través de su grupo triangular de reflexiones en sus aristas), en particular los triángulos de Möbius . En la esfera, hay 3 triángulos de Möbius (y 1 familia de 1 parámetro), correspondientes a los 3 grupos sólidos platónicos excepcionales, mientras que en el plano euclidiano, hay 3 triángulos de Möbius, correspondientes a los 3 triángulos especiales: 60-60-60 ( equilátero ), 45-45-90 (rectángulo isósceles) y 30-60-90 . Hay triángulos de Schwarz excepcionales adicionales en la esfera y el plano euclidiano. Por el contrario, en el plano hiperbólico, hay una familia de triángulos de Möbius de 3 parámetros, y ninguno excepcional.
Los grupos simples finitos se han clasificado en varias series así como en 26 grupos esporádicos . [7] De estos, 20 son subgrupos o subcocientes del grupo monstruo , denominados "Familia Feliz", mientras que 6 no lo son, y se denominan " parias ".
Varios de los grupos esporádicos están relacionados con la red Leech , más notablemente el grupo Conway Co 1 , que es el grupo de automorfismo de la red Leech, cocienteado por su centro.
Sólo hay tres álgebras de división asociativas de dimensión finita sobre los números reales: los números reales , los números complejos y los cuaterniones . La única álgebra de división no asociativa es el álgebra de octoniones . Los octoniones están conectados a una amplia variedad de objetos excepcionales. Por ejemplo, la excepcional álgebra de Jordan formalmente real es el álgebra de Albert de matrices autoadjuntas de 3 por 3 sobre los octoniones.
Los grupos de Lie simples forman una serie de series ( grupos de Lie clásicos ) denominadas A, B, C y D. Además, existen los grupos excepcionales G 2 (el grupo de automorfismos de los octoniones), F 4 , E 6 , E 7 , E 8 . Estos últimos cuatro grupos pueden considerarse como los grupos de simetría de los planos proyectivos sobre O , C ⊗ O , H ⊗ O y O ⊗ O , respectivamente, donde O son los octoniones y los productos tensoriales son sobre los reales.
La clasificación de los grupos de Lie corresponde a la clasificación de los sistemas de raíces , y por tanto los grupos de Lie excepcionales corresponden a sistemas de raíces excepcionales y diagramas de Dynkin excepcionales .
Existen algunos objetos excepcionales con supersimetría . La clasificación de las superálgebras de Kac y Tierry-Mieg indica que las superálgebras de Lie G(3) en 31 dimensiones y F(4) en 40 dimensiones, y las superálgebras de Jordan K 3 y K 10 , son ejemplos de objetos excepcionales. [8] [9]
Hasta la isometría, solo hay una red unimodular par en 15 dimensiones o menos: la red E 8 . Hasta la dimensión 24 , solo hay una red unimodular par sin raíces , la red Leech . Tres de los grupos simples esporádicos fueron descubiertos por Conway mientras investigaba el grupo de automorfismos de la red Leech. Por ejemplo, Co 1 es el grupo de automorfismos en sí mismo módulo ±1. Los grupos Co 2 y Co 3 , así como varios otros grupos esporádicos, surgen como estabilizadores de varios subconjuntos de la red Leech.
Algunos códigos también se destacan como objetos excepcionales, en particular el código binario perfecto de Golay, que está estrechamente relacionado con la red Leech. El grupo de Mathieu , uno de los grupos simples esporádicos, es el grupo de automorfismos del código binario extendido de Golay , y cuatro grupos simples esporádicos más surgen como varios tipos de subgrupos estabilizadores de .
Un diseño de bloques excepcional es el sistema Steiner S(5,8,24) cuyo grupo de automorfismo es el grupo de Mathieu simple esporádico .
Las palabras clave del código binario extendido Golay tienen una longitud de 24 bits y pesos 0, 8, 12, 16 o 24. Este código puede corregir hasta tres errores. Por lo tanto, cada palabra de 24 bits con peso 5 se puede corregir a una palabra clave con peso 8. Los bits de una palabra de 24 bits se pueden considerar como la especificación de los posibles subconjuntos de un conjunto de 24 elementos. Por lo tanto, el código binario extendido Golay proporciona un subconjunto único de 8 elementos para cada subconjunto de 5 elementos. De hecho, define S(5,8,24).
Ciertas familias de grupos a menudo tienen un determinado grupo de automorfismos externos , pero en casos particulares, tienen otros automorfismos externos excepcionales.
Entre las familias de grupos finitos simples, el único ejemplo está en los automorfismos de los grupos simétricos y alternantes : para el grupo alternante tiene un automorfismo externo (que corresponde a la conjugación por un elemento impar de ) y el grupo simétrico no tiene automorfismos externos. Sin embargo, para hay un automorfismo externo excepcional de (de orden 2), y correspondientemente, el grupo de automorfismos externos de no es (el grupo de orden 2), sino más bien , el cuatrigrupo de Klein . [10] [11] [12]
Si en cambio se considera como el grupo lineal especial proyectivo (isomorfo) , entonces el automorfismo externo no es excepcional; por lo tanto, la excepcionalidad puede verse como debida al isomorfismo excepcional. Este automorfismo externo excepcional se realiza dentro del grupo de Mathieu y, de manera similar, actúa sobre un conjunto de 12 elementos de 2 maneras diferentes.
Entre los grupos de Lie , el grupo de espín tiene un grupo de automorfismo externo excepcionalmente grande (a saber, ), que corresponde a las simetrías excepcionales del diagrama de Dynkin . Este fenómeno se conoce como trialidad .
La excepcional simetría del diagrama también da lugar a los grupos de Steinberg .
El invariante de Kervaire es un invariante de una variedad de (4 k + 2) dimensiones que mide si la variedad podría convertirse quirúrgicamente en una esfera. Este invariante evalúa a 0 si la variedad puede convertirse en una esfera, y 1 en caso contrario. Más específicamente, el invariante de Kervaire se aplica a una variedad enmarcada , es decir, a una variedad equipada con una incrustación en el espacio euclidiano y una trivialización del fibrado normal . El problema del invariante de Kervaire es el problema de determinar en qué dimensiones el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero. Para variedades diferenciables, esto puede suceder en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y posiblemente 126, y en ninguna otra dimensión. El caso final de dimensión 126 permanece abierto. [13] [14] Estas cinco o seis clases de cobordismo enmarcadas de variedades que tienen invariante de Kervaire 1 son objetos excepcionales relacionados con esferas exóticas . Los primeros tres casos están relacionados con los números complejos, cuaterniones y octoniones respectivamente: una variedad de invariante de Kervaire 1 puede construirse como el producto de dos esferas, con su enmarcado exótico determinado por el álgebra de división normada. [15]
Debido a las similitudes de dimensiones, se conjetura que los casos restantes (dimensiones 30, 62 y 126) están relacionados con los planos proyectivos de Rosenfeld , que se definen sobre álgebras construidas a partir de los octoniones. En concreto, se ha conjeturado que existe una construcción que toma estos planos proyectivos y produce una variedad con invariante de Kervaire distinto de cero en dos dimensiones inferiores, pero esto sigue sin confirmarse. [16]
En la teoría de la información cuántica existen estructuras conocidas como SIC-POVM o SIC, que corresponden a conjuntos máximos de líneas equiangulares complejas . Algunas de las SIC conocidas (aquellas en espacios vectoriales de 2 y 3 dimensiones, así como ciertas soluciones en 8 dimensiones) se consideran objetos excepcionales y se denominan "SIC esporádicos". Se diferencian de las otras SIC conocidas en aspectos que involucran a sus grupos de simetría, la teoría de Galois de los valores numéricos de sus componentes vectoriales, etc. [17] Las SIC esporádicas en dimensión 8 están relacionadas con los octoniones integrales. [18]
Se han observado numerosas conexiones entre algunos de estos objetos excepcionales, aunque no todos. Los más comunes son los objetos relacionados con 8 y 24 dimensiones, teniendo en cuenta que 24 = 8 · 3. Por el contrario, los grupos parias se distinguen, como sugiere su nombre.
Los objetos excepcionales relacionados con el número 8 incluyen los siguientes.
Asimismo, entre los objetos excepcionales relacionados con el número 24 se incluyen los siguientes.
Estos objetos están conectados a varios otros fenómenos en matemáticas que pueden considerarse sorprendentes pero no "excepcionales" en sí mismos. Por ejemplo, en topología algebraica , la periodicidad real de Bott de 8 veces puede verse como proveniente de los octoniones. En la teoría de formas modulares , la naturaleza de 24 dimensiones de la red Leech subyace a la presencia de 24 en las fórmulas para la función eta de Dedekind y el discriminante modular , cuya conexión se profundiza mediante Monstrous moonshine , un desarrollo que relacionó las funciones modulares con el grupo Monster. [20]
En la teoría de cuerdas y la teoría de supercuerdas, a menudo encontramos que se destacan dimensiones particulares como resultado de fenómenos algebraicos excepcionales. Por ejemplo, la teoría de cuerdas bosónicas requiere un espacio-tiempo de dimensión 26 que está directamente relacionado con la presencia de 24 en la función eta de Dedekind . De manera similar, las posibles dimensiones de la supergravedad están relacionadas con las dimensiones de las álgebras de división . [21]
Se ha descubierto que muchos de los objetos excepcionales en matemáticas y física están conectados entre sí. Desarrollos como las conjeturas de la luz de la luna monstruosa muestran cómo, por ejemplo, el grupo de los Monstruos está conectado a la teoría de cuerdas . La teoría de las formas modulares muestra cómo el álgebra E 8 está conectada al grupo de los Monstruos. (De hecho, mucho antes de la prueba de la conjetura de la luz de la luna monstruosa, se descubrió que la función j elíptica codificaba las representaciones de E 8 . [2] [22] [23] ) Otras conexiones interesantes incluyen cómo la red Leech está conectada a través del código de Golay a la matriz de adyacencia del dodecaedro (otro objeto excepcional). A continuación se muestra un mapa mental que muestra cómo se relacionan algunos de los objetos excepcionales en matemáticas y física matemática.
Las conexiones se pueden explicar en parte si consideramos las álgebras como una torre de álgebras de operadores de vértices en red . Resulta que las álgebras de vértices de la parte inferior son tan simples que son isomorfas a las álgebras no vértices conocidas. Por lo tanto, las conexiones se pueden ver simplemente como la consecuencia de que algunas redes sean subredes de otras.
Las superálgebras de Jordan son un conjunto paralelo de objetos excepcionales con supersimetría . Se trata de las superálgebras de Lie que están relacionadas con las redes de Lorentz. Este tema está menos explorado y las conexiones entre los objetos están menos bien establecidas. Existen nuevas conjeturas paralelas a las conjeturas de la luz de luna monstruosa para estos superobjetos, que involucran diferentes grupos esporádicos. [ cita requerida ]
El objeto "excepcional" se reserva para objetos que son inusuales, es decir, raros, la excepción, no para objetos inesperados o no estándar . Estos fenómenos inesperados pero típicos (o comunes) generalmente se denominan patológicos , como las funciones que no se pueden diferenciar en ninguna parte , o "exóticos", como las esferas exóticas : existen esferas exóticas en dimensiones arbitrariamente altas (no solo un conjunto finito de excepciones) y, en muchas dimensiones, la mayoría de las esferas (las estructuras diferenciales en ellas) son exóticas.
Los objetos excepcionales deben distinguirse de los objetos extremos : aquellos que caen en una familia y son el ejemplo más extremo en cierta medida son de interés, pero no inusuales en la forma en que lo son los objetos excepcionales. Por ejemplo, la proporción áurea φ tiene la aproximación de fracción continua más simple y, en consecuencia, es la más difícil de aproximar mediante números racionales ; sin embargo, es solo uno de los infinitos números cuadráticos de ese tipo (fracciones continuas).
De manera similar, el triángulo de Schwarz (2,3,7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño, y el grupo de triángulos (2,3,7) asociado es de particular interés, al ser el grupo universal de Hurwitz y, por lo tanto, estar asociado con las curvas de Hurwitz , las curvas algebraicas máximamente simétricas. Sin embargo, pertenece a una familia de tales triángulos ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7), etc.), y aunque es el más pequeño, no es excepcional ni diferente de los demás.
