En matemáticas , la estabilidad estructural es una propiedad fundamental de un sistema dinámico , lo que significa que el comportamiento cualitativo de las trayectorias no se ve afectado por pequeñas perturbaciones (para ser exactos, C 1 -pequeñas perturbaciones).
Ejemplos de tales propiedades cualitativas son los números de puntos fijos y órbitas periódicas (pero no sus períodos). A diferencia de la estabilidad de Lyapunov , que considera perturbaciones de las condiciones iniciales para un sistema fijo, la estabilidad estructural se ocupa de las perturbaciones del propio sistema. Las variantes de esta noción se aplican a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias , campos vectoriales en variedades suaves y flujos generados por ellos, y difeomorfismos .
Los sistemas estructuralmente estables fueron introducidos por Aleksandr Andronov y Lev Pontryagin en 1937 bajo el nombre de "systèmes grossiers", o sistemas rugosos . Anunciaron una caracterización de los sistemas rugosos en el plano, el criterio de Andronov-Pontryagin . En este caso, los sistemas estructuralmente estables son típicos , forman un conjunto denso abierto en el espacio de todos los sistemas dotados de una topología apropiada. En dimensiones superiores, esto ya no es cierto, lo que indica que la dinámica típica puede ser muy compleja (cf. atractor extraño ). Una clase importante de sistemas estructuralmente estables en dimensiones arbitrarias está dada por los difeomorfismos y flujos de Anosov. A finales de la década de 1950 y principios de la de 1960, Maurício Peixoto y Marília Chaves Peixoto , motivados por el trabajo de Andronov y Pontryagin, desarrollaron y demostraron el teorema de Peixoto , la primera caracterización global de la estabilidad estructural. [1]
Sea G un dominio abierto en R n con clausura compacta y frontera lisa de dimensión ( n −1) . Considérese el espacio X 1 ( G ) que consiste en restricciones a G de campos vectoriales C 1 en R n que son transversales a la frontera de G y están orientados hacia adentro. Este espacio está dotado con la métrica C 1 de la manera usual. Un campo vectorial F ∈ X 1 ( G ) es débilmente estructuralmente estable si para cualquier perturbación suficientemente pequeña F 1 , los flujos correspondientes son topológicamente equivalentes en G : existe un homeomorfismo h : G → G que transforma las trayectorias orientadas de F en las trayectorias orientadas de F 1 . Si, además, para cualquier ε > 0 el homeomorfismo h puede elegirse para que sea C 0 ε -cercano a la función identidad cuando F 1 pertenece a un vecindario adecuado de F dependiendo de ε , entonces F se llama (fuertemente) estructuralmente estable . Estas definiciones se aplican de manera directa al caso de variedades compactas suaves de dimensión n con borde. Andronov y Pontryagin consideraron originalmente la propiedad fuerte. Se pueden dar definiciones análogas para difeomorfismos en lugar de campos vectoriales y flujos: en este contexto, el homeomorfismo h debe ser una conjugación topológica .
Es importante notar que la equivalencia topológica se realiza con una pérdida de suavidad: la función h no puede, en general, ser un difeomorfismo. Además, aunque la equivalencia topológica respeta las trayectorias orientadas, a diferencia de la conjugación topológica, no es compatible con el tiempo. Por lo tanto, la noción relevante de equivalencia topológica es un debilitamiento considerable de la conjugación C 1 ingenua de los campos vectoriales. Sin estas restricciones, ningún sistema de tiempo continuo con puntos fijos u órbitas periódicas podría haber sido estructuralmente estable. Los sistemas estructuralmente débilmente estables forman un conjunto abierto en X 1 ( G ), pero se desconoce si la misma propiedad se cumple en el caso fuerte.
Las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad estructural de los campos vectoriales C 1 en el disco unidad D que son transversales al límite y en la biesfera S 2 han sido determinadas en el artículo fundacional de Andronov y Pontryagin. Según el criterio de Andronov-Pontryagin , tales campos son estructuralmente estables si y solo si tienen solo un número finito de puntos singulares ( estados de equilibrio ) y trayectorias periódicas ( ciclos límite ), que son todos no degenerados (hiperbólicos), y no tienen conexiones de silla con silla. Además, el conjunto no errante del sistema es precisamente la unión de puntos singulares y órbitas periódicas. En particular, los campos vectoriales estructuralmente estables en dos dimensiones no pueden tener trayectorias homoclínicas , que complican enormemente la dinámica, como descubrió Henri Poincaré .
La estabilidad estructural de los campos vectoriales suaves no singulares en el toro se puede investigar utilizando la teoría desarrollada por Poincaré y Arnaud Denjoy . Utilizando el mapa de recurrencia de Poincaré , la cuestión se reduce a determinar la estabilidad estructural de los difeomorfismos del círculo . Como consecuencia del teorema de Denjoy , un difeomorfismo C 2 que preserva la orientación ƒ del círculo es estructuralmente estable si y solo si su número de rotación es racional, ρ ( ƒ ) = p / q , y las trayectorias periódicas, que tienen todas un período q , no son degeneradas: el jacobiano de ƒ q en los puntos periódicos es diferente de 1, véase el mapa del círculo .
Dmitri Anosov descubrió que los automorfismos hiperbólicos del toro, como el mapa del gato de Arnold , son estructuralmente estables. Luego generalizó esta afirmación a una clase más amplia de sistemas, que desde entonces se han llamado difeomorfismos de Anosov y flujos de Anosov. Un ejemplo célebre de flujo de Anosov lo da el flujo geodésico en una superficie de curvatura negativa constante, cf. Billares de Hadamard .
La estabilidad estructural del sistema proporciona una justificación para aplicar la teoría cualitativa de sistemas dinámicos al análisis de sistemas físicos concretos. La idea de tal análisis cualitativo se remonta al trabajo de Henri Poincaré sobre el problema de los tres cuerpos en mecánica celeste . Casi al mismo tiempo, Aleksandr Lyapunov investigó rigurosamente la estabilidad de pequeñas perturbaciones de un sistema individual. En la práctica, la ley de evolución del sistema (es decir, las ecuaciones diferenciales) nunca se conoce con exactitud, debido a la presencia de varias pequeñas interacciones. Por lo tanto, es crucial saber que las características básicas de la dinámica son las mismas para cualquier pequeña perturbación del sistema "modelo", cuya evolución está gobernada por una cierta ley física conocida. El análisis cualitativo fue desarrollado por George Birkhoff en la década de 1920, pero se formalizó por primera vez con la introducción del concepto de sistema aproximado por Andronov y Pontryagin en 1937. Esto fue aplicado inmediatamente al análisis de sistemas físicos con oscilaciones por Andronov, Witt y Khaikin. El término "estabilidad estructural" se debe a Solomon Lefschetz , quien supervisó la traducción de su monografía al inglés. Las ideas de estabilidad estructural fueron retomadas por Stephen Smale y su escuela en la década de 1960 en el contexto de la dinámica hiperbólica. Anteriormente, Marston Morse y Hassler Whitney iniciaron y René Thom desarrolló una teoría paralela de estabilidad para mapas diferenciables, que forma una parte clave de la teoría de la singularidad . Thom previó aplicaciones de esta teoría a los sistemas biológicos. Tanto Smale como Thom trabajaron en contacto directo con Maurício Peixoto, quien desarrolló el teorema de Peixoto a fines de la década de 1950.
Cuando Smale comenzó a desarrollar la teoría de los sistemas dinámicos hiperbólicos, esperaba que los sistemas estructuralmente estables fueran "típicos". Esto habría sido coherente con la situación en dimensiones bajas: dimensión dos para flujos y dimensión uno para difeomorfismos. Sin embargo, pronto encontró ejemplos de campos vectoriales en variedades de dimensiones superiores que no pueden hacerse estructuralmente estables mediante una perturbación arbitrariamente pequeña (tales ejemplos se han construido más tarde en variedades de dimensión tres). Esto significa que en dimensiones superiores, los sistemas estructuralmente estables no son densos . Además, un sistema estructuralmente estable puede tener trayectorias homoclínicas transversales de órbitas cerradas en silla hiperbólica e infinitas órbitas periódicas, aunque el espacio de fases sea compacto. El análogo de dimensiones superiores más cercano de los sistemas estructuralmente estables considerados por Andronov y Pontryagin está dado por los sistemas Morse-Smale .