En matemáticas , un cuerpo finito o cuerpo de Galois (llamado así en honor a Évariste Galois ) es un cuerpo que contiene un número finito de elementos . Como ocurre con cualquier cuerpo, un cuerpo finito es un conjunto sobre el que las operaciones de multiplicación, adición, sustracción y división están definidas y satisfacen ciertas reglas básicas. Los ejemplos más comunes de cuerpos finitos son los números enteros módulo p cuando p es un número primo .
El orden de un cuerpo finito es su número de elementos, que puede ser un número primo o una potencia prima . Para cada número primo p y cada entero positivo k existen cuerpos de orden p k , todos ellos isomorfos .
Los campos finitos son fundamentales en varias áreas de las matemáticas y la informática , incluidas la teoría de números , la geometría algebraica , la teoría de Galois , la geometría finita , la criptografía y la teoría de la codificación .
Un cuerpo finito es un conjunto finito que es un cuerpo ; esto significa que la multiplicación, la suma, la resta y la división (excluyendo la división por cero) están definidas y satisfacen las reglas de la aritmética conocidas como axiomas de cuerpo .
El número de elementos de un cuerpo finito se denomina orden o, a veces, tamaño . Un cuerpo finito de orden q existe si y solo si q es una potencia prima p k (donde p es un número primo y k es un entero positivo). En un cuerpo de orden p k , la suma de p copias de cualquier elemento siempre da como resultado cero; es decir, la característica del cuerpo es p .
Para q = p k , todos los cuerpos de orden q son isomorfos (véase § Existencia y unicidad más adelante). [1] Además, un cuerpo no puede contener dos subcuerpos finitos diferentes con el mismo orden. Por lo tanto, se pueden identificar todos los cuerpos finitos con el mismo orden, y se denotan inequívocamente como F q o GF( q ) , donde las letras GF significan "cuerpo de Galois". [2]
En un cuerpo finito de orden q , el polinomio X q − X tiene todos los q elementos del cuerpo finito como raíces . Los elementos distintos de cero de un cuerpo finito forman un grupo multiplicativo . Este grupo es cíclico , por lo que todos los elementos distintos de cero se pueden expresar como potencias de un único elemento llamado elemento primitivo del cuerpo. (En general, habrá varios elementos primitivos para un cuerpo dado).
Los ejemplos más simples de campos finitos son los campos de orden primo: para cada número primo p , el campo primo de orden p puede construirse como los enteros módulo p , .
Los elementos del cuerpo primo de orden p pueden representarse por números enteros en el rango 0, ..., p − 1 . La suma, la diferencia y el producto son el resto de la división por p del resultado de la operación entera correspondiente. El inverso multiplicativo de un elemento puede calcularse utilizando el algoritmo euclidiano extendido (véase Algoritmo euclidiano extendido § Enteros modulares ).
Sea F un cuerpo finito. Para cualquier elemento x de F y cualquier entero n , denotemos por n ⋅ x la suma de n copias de x . El n menos positivo tal que n ⋅ 1 = 0 es la característica p del cuerpo. Esto permite definir una multiplicación ( k , x ) ↦ k ⋅ x de un elemento k de GF( p ) por un elemento x de F eligiendo un entero representativo de k . Esta multiplicación convierte a F en un GF( p ) - espacio vectorial . De ello se deduce que el número de elementos de F es p n para algún entero n .
La identidad (a veces llamada el sueño del novato ) es verdadera en un cuerpo de característica p . Esto se desprende del teorema binomial , ya que cada coeficiente binomial de la expansión de ( x + y ) p , excepto el primero y el último, es un múltiplo de p .
Por el pequeño teorema de Fermat , si p es un número primo y x está en el cuerpo GF( p ) entonces x p = x . Esto implica la igualdad para polinomios sobre GF( p ) . De manera más general, cada elemento en GF( p n ) satisface la ecuación polinómica x p n − x = 0 .
Cualquier extensión de un cuerpo finito de un cuerpo finito es separable y simple. Es decir, si E es un cuerpo finito y F es un subcuerpo de E , entonces E se obtiene a partir de F mediante la unión de un único elemento cuyo polinomio mínimo es separable . Para utilizar un término técnico, los cuerpos finitos son perfectos .
Una estructura algebraica más general que satisface todos los demás axiomas de un cuerpo, pero cuya multiplicación no tiene por qué ser conmutativa, se denomina anillo de división (o, a veces, cuerpo oblicuo ). Según el pequeño teorema de Wedderburn , cualquier anillo de división finito es conmutativo y, por lo tanto, es un cuerpo finito.
Sea q = p n una potencia prima y F el cuerpo de desdoblamiento del polinomio sobre el cuerpo de primos GF( p ) . Esto significa que F es un cuerpo finito de orden más bajo, en el que P tiene q raíces distintas (la derivada formal de P es P ′ = −1 , lo que implica que mcd( P , P ′ ) = 1 , lo que en general implica que el cuerpo de desdoblamiento es una extensión separable del original). La identidad anterior muestra que la suma y el producto de dos raíces de P son raíces de P , así como el inverso multiplicativo de una raíz de P . En otras palabras, las raíces de P forman un cuerpo de orden q , que es igual a F por la minimalidad del cuerpo de desdoblamiento.
La unicidad hasta el isomorfismo de los cuerpos desdoblables implica, por tanto, que todos los cuerpos de orden q son isomorfos. Además, si un cuerpo F tiene como subcuerpo un cuerpo de orden q = p k , sus elementos son las raíces q de X q − X , y F no puede contener otro subcuerpo de orden q .
En resumen, tenemos el siguiente teorema de clasificación demostrado por primera vez en 1893 por EH Moore : [1]
El orden de un cuerpo finito es una potencia prima. Para cada potencia prima q hay cuerpos de orden q , y todos son isomorfos. En estos cuerpos, cada elemento satisface
y el polinomio X q − X se factoriza como
De ello se deduce que GF( p n ) contiene un subcuerpo isomorfo a GF( p m ) si y solo si m es divisor de n ; en ese caso, este subcuerpo es único. De hecho, el polinomio X p m − X divide a X p n − X si y solo si m es divisor de n .
Dada una potencia prima q = p n con p primo y n > 1 , el cuerpo GF( q ) puede construirse explícitamente de la siguiente manera. Primero se elige un polinomio irreducible P en GF( p )[ X ] de grado n (tal polinomio irreducible siempre existe). Entonces el anillo cociente del anillo de polinomios GF( p )[ X ] por el ideal generado por P es un cuerpo de orden q .
Más explícitamente, los elementos de GF( q ) son los polinomios sobre GF( p ) cuyo grado es estrictamente menor que n . La adición y la resta son las de los polinomios sobre GF( p ) . El producto de dos elementos es el resto de la división euclidiana por P del producto en GF( p )[ X ] . El inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero se puede calcular con el algoritmo euclidiano extendido; véase Algoritmo euclidiano extendido § Extensiones de campos algebraicos simples .
Sin embargo, con esta representación, los elementos de GF( q ) pueden ser difíciles de distinguir de los polinomios correspondientes. Por lo tanto, es común dar un nombre, comúnmente α al elemento de GF( q ) que corresponde al polinomio X . Así, los elementos de GF( q ) se convierten en polinomios en α , donde P ( α ) = 0 , y, cuando uno se encuentra con un polinomio en α de grado mayor o igual a n (por ejemplo después de una multiplicación), sabe que tiene que usar la relación P ( α ) = 0 para reducir su grado (es lo que hace la división euclidiana).
Excepto en la construcción de GF(4) , hay varias opciones posibles para P , que producen resultados isomorfos. Para simplificar la división euclidiana, uno comúnmente elige para P un polinomio de la forma que hace que las divisiones euclidianas necesarias sean muy eficientes. Sin embargo, para algunos cuerpos, típicamente en la característica 2 , los polinomios irreducibles de la forma X n + aX + b pueden no existir. En la característica 2 , si el polinomio X n + X + 1 es reducible, se recomienda elegir X n + X k + 1 con el k más bajo posible que haga que el polinomio sea irreducible. Si todos estos trinomios son reducibles, uno elige "pentanomios" X n + X a + X b + X c + 1 , ya que los polinomios de grado mayor que 1 , con un número par de términos, nunca son irreducibles en la característica 2 , teniendo 1 como raíz. [3]
Una posible elección de este polinomio la dan los polinomios de Conway , que garantizan una cierta compatibilidad entre la representación de un cuerpo y las representaciones de sus subcuerpos.
En las siguientes secciones, mostraremos cómo funciona el método de construcción general descrito anteriormente para campos finitos pequeños.
El cuerpo no primo más pequeño es el cuerpo con cuatro elementos, que comúnmente se denota GF(4) o Consiste en los cuatro elementos 0, 1, α , 1 + α tales que α 2 = 1 + α , 1 ⋅ α = α ⋅ 1 = α , x + x = 0 , y x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 , para cada x ∈ GF(4) , los otros resultados de la operación se deducen fácilmente de la ley distributiva . Vea a continuación las tablas de operaciones completas.
Esto se puede deducir de los resultados del apartado anterior.
Sobre GF(2) , sólo hay un polinomio irreducible de grado 2 : Por lo tanto, para GF(4) la construcción de la sección anterior debe involucrar este polinomio, y
Sea α una raíz de este polinomio en GF(4) . Esto implica que
y que α y 1 + α son los elementos de GF(4) que no están en GF(2) . De esto resultan las tablas de las operaciones en GF(4) , que son las siguientes:
No se da una tabla para la resta, porque la resta es idéntica a la suma, como es el caso para cada cuerpo de característica 2. En la tercera tabla, para la división de x por y , los valores de x deben leerse en la columna de la izquierda y los valores de y en la fila superior. (Debido a que 0 ⋅ z = 0 para cada z en cada anillo, la división por 0 debe permanecer indefinida). De las tablas, se puede ver que la estructura aditiva de GF(4) es isomorfa al grupo de cuatro de Klein , mientras que la estructura multiplicativa no nula es isomorfa al grupo Z 3 .
El mapa es el automorfismo de campo no trivial, llamado automorfismo de Frobenius, que envía α a la segunda raíz 1 + α del polinomio irreducible mencionado anteriormente X 2 + X + 1 .
Para aplicar la construcción general anterior de cuerpos finitos en el caso de GF( p 2 ) , hay que encontrar un polinomio irreducible de grado 2. Para p = 2 , esto se ha hecho en la sección anterior. Si p es un primo impar, siempre hay polinomios irreducibles de la forma X 2 − r , con r en GF( p ) .
Más precisamente, el polinomio X 2 − r es irreducible sobre GF( p ) si y solo si r es un no residuo cuadrático módulo p (esta es casi la definición de un no residuo cuadrático). Hay pág - 1/2 residuos cuadráticos no módulo p . Por ejemplo, 2 es un no residuo cuadrático para p = 3, 5, 11, 13, ... , y 3 es un no residuo cuadrático para p = 5, 7, 17, ... . Si p ≡ 3 mod 4 , es decir p = 3, 7, 11, 19, ... , se puede elegir −1 ≡ p − 1 como un no residuo cuadrático, lo que nos permite tener un polinomio irreducible muy simple X 2 + 1 .
Habiendo elegido un residuo cuadrático no r , sea α una raíz cuadrada simbólica de r , es decir, un símbolo que tiene la propiedad α 2 = r , de la misma manera que el número complejo i es una raíz cuadrada simbólica de −1 . Entonces, los elementos de GF( p 2 ) son todas las expresiones lineales con a y b en GF( p ) . Las operaciones sobre GF( p 2 ) se definen de la siguiente manera (las operaciones entre elementos de GF( p ) representados por letras latinas son las operaciones en GF( p ) ):
El polinomio es irreducible sobre GF(2) y GF(3) , es decir, es irreducible módulo 2 y 3 (para demostrarlo basta con demostrar que no tiene raíz en GF(2) ni en GF(3) ). De ello se deduce que los elementos de GF(8) y GF(27) pueden representarse mediante expresiones donde a , b , c son elementos de GF(2) o GF(3) (respectivamente), y α es un símbolo tal que
La adición, la inversa aditiva y la multiplicación en GF(8) y GF(27) pueden entonces definirse de la siguiente manera; en las siguientes fórmulas, las operaciones entre elementos de GF(2) o GF(3) , representadas por letras latinas, son las operaciones en GF(2) o GF(3) , respectivamente:
El polinomio es irreducible sobre GF(2) , es decir, es irreducible módulo 2 . De ello se deduce que los elementos de GF(16) pueden representarse mediante expresiones donde a , b , c , d son 0 o 1 (elementos de GF(2) ), y α es un símbolo tal que (es decir, α se define como una raíz del polinomio irreducible dado). Como la característica de GF(2) es 2 , cada elemento es su inverso aditivo en GF(16) . La adición y la multiplicación en GF(16) pueden definirse de la siguiente manera; en las siguientes fórmulas, las operaciones entre elementos de GF(2) , representadas por letras latinas son las operaciones en GF(2) .
El campo GF(16) tiene ocho elementos primitivos (los elementos que tienen todos los elementos distintos de cero de GF(16) como potencias enteras). Estos elementos son las cuatro raíces de X 4 + X + 1 y sus inversos multiplicativos . En particular, α es un elemento primitivo, y los elementos primitivos son α m con m menor que y coprimo con 15 (es decir, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14).
El conjunto de elementos no nulos de GF( q ) es un grupo abeliano bajo la multiplicación, de orden q – 1 . Por el teorema de Lagrange , existe un divisor k de q – 1 tal que x k = 1 para cada x no nulo de GF( q ) . Como la ecuación x k = 1 tiene como máximo k soluciones en cualquier cuerpo, q – 1 es el menor valor posible para k . El teorema de estructura de los grupos abelianos finitos implica que este grupo multiplicativo es cíclico , es decir, todos los elementos no nulos son potencias de un único elemento. En resumen:
Un elemento de este tipo se denomina elemento primitivo de GF( q ) . A menos que q = 2, 3 , el elemento primitivo no es único. El número de elementos primitivos es φ ( q − 1) donde φ es la función totiente de Euler .
El resultado anterior implica que x q = x para cada x en GF( q ) . El caso particular donde q es primo es el pequeño teorema de Fermat .
Si a es un elemento primitivo en GF( q ) , entonces para cualquier elemento x distinto de cero en F , existe un entero único n con 0 ≤ n ≤ q − 2 tal que
Este entero n se llama logaritmo discreto de x en base a .
Si bien se puede calcular un n muy rápidamente, por ejemplo, utilizando la exponenciación por cuadrado , no se conoce ningún algoritmo eficiente para calcular la operación inversa, el logaritmo discreto. Esto se ha utilizado en varios protocolos criptográficos ; consulte Logaritmo discreto para obtener más detalles.
Cuando los elementos distintos de cero de GF( q ) se representan por sus logaritmos discretos, la multiplicación y la división son fáciles, ya que se reducen a suma y resta módulo q – 1 . Sin embargo, la suma equivale a calcular el logaritmo discreto de a m + a n . La identidad
permite resolver este problema construyendo la tabla de los logaritmos discretos de un n + 1 , llamados logaritmos de Zech , para n = 0, ..., q − 2 (es conveniente definir el logaritmo discreto de cero como −∞ ).
Los logaritmos de Zech son útiles para cálculos grandes, como el álgebra lineal sobre campos de tamaño medio, es decir, campos que son suficientemente grandes como para hacer que los algoritmos naturales sean ineficientes, pero no demasiado grandes, ya que uno tiene que precalcular una tabla del mismo tamaño que el orden del campo.
Cada elemento distinto de cero de un campo finito es una raíz de la unidad , ya que x q −1 = 1 para cada elemento distinto de cero de GF( q ) .
Si n es un entero positivo, una n -ésima raíz primitiva de la unidad es una solución de la ecuación x n = 1 que no es una solución de la ecuación x m = 1 para cualquier entero positivo m < n . Si a es una n- ésima raíz primitiva de la unidad en un cuerpo F , entonces F contiene todas las n raíces de la unidad, que son 1, a , a 2 , ..., a n −1 .
El campo GF( q ) contiene una n ésima raíz primitiva de la unidad si y solo si n es un divisor de q − 1 ; si n es un divisor de q − 1 , entonces el número de n ésimas raíces primitivas de la unidad en GF( q ) es φ ( n ) ( función totient de Euler ). El número de n ésimas raíces de la unidad en GF( q ) es mcd( n , q − 1) .
En un cuerpo de característica p , toda ( np ) ésima raíz de la unidad es también una n ésima raíz de la unidad. De ello se deduce que las ( np ) ésimas raíces de la unidad primitivas nunca existen en un cuerpo de característica p .
Por otra parte, si n es coprimo con p , las raíces del n º polinomio ciclotómico son distintas en cada cuerpo de característica p , ya que este polinomio es divisor de X n − 1 , cuyo discriminante n n es distinto de cero módulo p . De ello se deduce que el n º polinomio ciclotómico se factoriza sobre GF( p ) en polinomios irreducibles distintos que tienen todos el mismo grado, digamos d , y que GF( p d ) es el cuerpo más pequeño de característica p que contiene las n º raíces primitivas de la unidad.
El campo GF(64) tiene varias propiedades interesantes que los campos más pequeños no comparten: tiene dos subcampos tales que ninguno está contenido en el otro; no todos los generadores (elementos con polinomio mínimo de grado 6 sobre GF(2) ) son elementos primitivos; y los elementos primitivos no son todos conjugados bajo el grupo de Galois .
El orden de este campo es 2 6 , y los divisores de 6 son 1, 2, 3, 6 , los subcampos de GF(64) son GF(2) , GF(2 2 ) = GF(4) , GF(2 3 ) = GF(8) , y el propio GF(64) . Como 2 y 3 son coprimos , la intersección de GF(4) y GF(8) en GF(64) es el campo primo GF(2) .
La unión de GF(4) y GF(8) tiene, por tanto, 10 elementos. Los 54 elementos restantes de GF(64) generan GF(64) en el sentido de que ningún otro subcuerpo contiene a ninguno de ellos. De ello se deduce que son raíces de polinomios irreducibles de grado 6 sobre GF(2) . Esto implica que, sobre GF(2) , hay exactamente 9 = 54/6 polinomios mónicos irreduciblesde grado 6. Esto se puede verificar factorizando X 64 − X sobre GF(2) .
Los elementos de GF(64) son raíces primitivas n- ésimas de la unidad para algún n que divide a 63. Como las raíces 3 y 7 de la unidad pertenecen a GF(4) y GF(8) , respectivamente, los 54 generadores son raíces primitivas n -ésimas de la unidad para algún n en {9, 21, 63} . La función totient de Euler muestra que hay 6 raíces primitivas 9 -ésimas de la unidad, 12 raíces primitivas 21 -ésimas de la unidad y 36 raíces primitivas 63 -ésimas de la unidad. Sumando estos números, se encuentran nuevamente 54 elementos.
Al factorizar los polinomios ciclotómicos sobre GF(2) , se obtiene que:
Esto demuestra que la mejor opción para construir GF(64) es definirlo como GF(2)[ X ] / ( X 6 + X + 1) . De hecho, este generador es un elemento primitivo, y este polinomio es el polinomio irreducible que produce la división euclidiana más sencilla.
En esta sección, p es un número primo y q = p n es una potencia de p .
En GF( q ) , la identidad ( x + y ) p = x p + y p implica que la función es un endomorfismo lineal GF ( p ) y un automorfismo de cuerpo de GF( q ) , que fija cada elemento del subcuerpo GF( p ) . Se denomina automorfismo de Frobenius , en honor a Ferdinand Georg Frobenius .
Denotando por φ k la composición de φ consigo mismo k veces, tenemos Se ha demostrado en la sección precedente que φ n es la identidad. Para 0 < k < n , el automorfismo φ k no es la identidad, ya que, de lo contrario, el polinomio tendría más de p k raíces.
No existen otros GF( p ) -automorfismos de GF( q ) . En otras palabras, GF( p n ) tiene exactamente n GF( p ) -automorfismos, que son
En términos de la teoría de Galois , esto significa que GF( p n ) es una extensión de Galois de GF( p ) , que tiene un grupo de Galois cíclico .
El hecho de que el mapa de Frobenius sea sobreyectivo implica que todo cuerpo finito es perfecto .
Si F es un cuerpo finito, un polinomio mónico no constante con coeficientes en F es irreducible sobre F , si no es el producto de dos polinomios mónicos no constantes, con coeficientes en F .
Como cada anillo polinomial sobre un cuerpo es un dominio de factorización único , cada polinomio mónico sobre un cuerpo finito puede factorizarse de manera única (hasta el orden de los factores) en un producto de polinomios mónicos irreducibles.
Existen algoritmos eficientes para probar la irreducibilidad de polinomios y factorizar polinomios sobre cuerpos finitos. Son un paso clave para factorizar polinomios sobre números enteros o racionales . Al menos por esta razón, cada sistema de álgebra computacional tiene funciones para factorizar polinomios sobre cuerpos finitos o, al menos, sobre cuerpos primos finitos.
El polinomio se factoriza en factores lineales sobre un cuerpo de orden q . Más precisamente, este polinomio es el producto de todos los polinomios mónicos de grado uno sobre un cuerpo de orden q .
Esto implica que, si q = p n entonces X q − X es el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles sobre GF( p ) , cuyo grado divide a n . De hecho, si P es un factor irreducible sobre GF( p ) de X q − X , su grado divide a n , ya que su cuerpo de desdoblamiento está contenido en GF( p n ) . Por el contrario, si P es un polinomio mónico irreducible sobre GF( p ) de grado d que divide a n , define una extensión de cuerpo de grado d , que está contenido en GF( p n ) , y todas las raíces de P pertenecen a GF( p n ) , y son raíces de X q − X ; por tanto , P divide a X q − X . Como X q − X no tiene ningún factor múltiplo, es entonces el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles que lo dividen.
Esta propiedad se utiliza para calcular el producto de los factores irreducibles de cada grado de polinomios sobre GF( p ) ; consulte Factorización de grados distintos .
El número N ( q , n ) de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre GF( q ) está dado por [4] donde μ es la función de Möbius . Esta fórmula es una consecuencia inmediata de la propiedad de X q − X anterior y de la fórmula de inversión de Möbius .
Por la fórmula anterior, el número de polinomios irreducibles (no necesariamente mónicos) de grado n sobre GF( q ) es ( q − 1) N ( q , n ) .
La fórmula exacta implica que la desigualdad es aguda si y solo si n es una potencia de algún primo. Para cada q y cada n , el lado derecho es positivo, por lo que hay al menos un polinomio irreducible de grado n sobre GF( q ) .
En criptografía , la dificultad del problema del logaritmo discreto en cuerpos finitos o en curvas elípticas es la base de varios protocolos ampliamente utilizados, como el protocolo Diffie-Hellman . Por ejemplo, en 2014, una conexión segura a Internet con Wikipedia implicó el protocolo Diffie-Hellman de curva elíptica ( ECDHE ) sobre un gran campo finito. [5] En teoría de codificación , muchos códigos se construyen como subespacios de espacios vectoriales sobre campos finitos.
Los campos finitos son utilizados por muchos códigos de corrección de errores , como el código de corrección de errores Reed-Solomon o el código BCH . El campo finito casi siempre tiene una característica de 2 , ya que los datos de la computadora se almacenan en binario. Por ejemplo, un byte de datos se puede interpretar como un elemento de GF(2 8 ) . Una excepción es el código de barras PDF417 , que es GF(929) . Algunas CPU tienen instrucciones especiales que pueden ser útiles para campos finitos de característica 2 , generalmente variaciones del producto sin acarreo .
Los cuerpos finitos se utilizan ampliamente en la teoría de números , ya que muchos problemas sobre los números enteros se pueden resolver reduciéndolos módulo uno o varios números primos . Por ejemplo, los algoritmos más rápidos conocidos para la factorización de polinomios y el álgebra lineal sobre el cuerpo de los números racionales proceden por reducción módulo uno o varios primos, y luego reconstrucción de la solución utilizando el teorema del resto chino , el levantamiento de Hensel o el algoritmo LLL .
De manera similar, muchos problemas teóricos en la teoría de números pueden resolverse considerando sus reducciones módulo algunos o todos los números primos. Véase, por ejemplo, el principio de Hasse . Muchos desarrollos recientes de la geometría algebraica fueron motivados por la necesidad de ampliar el poder de estos métodos modulares. La prueba de Wiles del último teorema de Fermat es un ejemplo de un resultado profundo que involucra muchas herramientas matemáticas, incluidos los campos finitos.
Las conjeturas de Weil se refieren al número de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos y la teoría tiene muchas aplicaciones, incluidas las estimaciones exponenciales y de suma de caracteres .
Los campos finitos tienen una amplia aplicación en combinatoria , siendo dos ejemplos bien conocidos la definición de los grafos de Paley y la construcción relacionada de las matrices de Hadamard . En la combinatoria aritmética, los campos finitos [6] y los modelos de campos finitos [7] [8] se utilizan ampliamente, como en el teorema de Szemerédi sobre progresiones aritméticas.
Un anillo de división es una generalización de campo. No se supone que los anillos de división sean conmutativos. No hay anillos de división finitos no conmutativos: el pequeño teorema de Wedderburn establece que todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, son campos finitos. Este resultado se mantiene incluso si relajamos el axioma de asociatividad a alternatividad , es decir, todos los anillos de división alternativos finitos son campos finitos, por el teorema de Artin-Zorn . [9]
Un campo finito F no es algebraicamente cerrado: el polinomio no tiene raíces en F , ya que f ( α ) = 1 para todo α en F .
Dado un número primo p , sea una clausura algebraica de No sólo es única salvo un isomorfismo, como todas las clausuras algebraicas, sino que contrariamente al caso general, todos sus subcuerpos están fijados por todos sus automorfismos, y es también la clausura algebraica de todos los cuerpos finitos de la misma característica p .
Esta propiedad resulta principalmente del hecho de que los elementos de son exactamente las raíces de y esto define una inclusión para Estas inclusiones permiten escribir de manera informal. La validación formal de esta notación resulta del hecho de que las inclusiones de campo anteriores forman un conjunto dirigido de campos; Su límite directo es que puede considerarse así como "unión dirigida".
Dado un elemento primitivo de entonces es un elemento primitivo de
Para cálculos explícitos, puede ser útil tener una elección coherente de los elementos primitivos para todos los campos finitos; es decir, elegir el elemento primitivo de para que, siempre que uno tenga donde ya se eligió el elemento primitivo para
Tal construcción puede obtenerse mediante polinomios de Conway .
Aunque los cuerpos finitos no son algebraicamente cerrados, son cuasi-algebraicamente cerrados , lo que significa que todo polinomio homogéneo sobre un cuerpo finito tiene un cero no trivial cuyos componentes están en el cuerpo si el número de sus variables es mayor que su grado. Esta fue una conjetura de Artin y Dickson demostrada por Chevalley (véase el teorema de Chevalley-Warning ).
![{\displaystyle \mathrm {GF} (q)=\mathrm {GF} (p)[X]/(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c99172a80603d0f3b3ce895ea3e499e0cd4ff79)
![{\displaystyle \mathrm {GF} (4)=\mathrm {GF} (2)[X]/(X^{2}+X+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80071fd53b78f9395768578359f104114a98899)
