En matemáticas , un nudo es una inserción del círculo ( S 1 ) en el espacio euclidiano tridimensional , R 3 (también conocido como E 3 ). A menudo, dos nudos se consideran equivalentes si son isotópicos ambientales , es decir, si existe una deformación continua de R 3 que lleva un nudo al otro.
Una diferencia crucial entre las nociones matemáticas estándar y convencionales de un nudo es que los nudos matemáticos son cerrados: no hay extremos que atar o desatar en un nudo matemático. Las propiedades físicas como la fricción y el espesor tampoco se aplican, aunque existen definiciones matemáticas de un nudo que tienen en cuenta dichas propiedades. El término nudo también se aplica a las incrustaciones de S j en S n , especialmente en el caso j = n − 2 . La rama de las matemáticas que estudia los nudos se conoce como teoría de nudos y tiene muchas relaciones con la teoría de grafos .
Un nudo es una incrustación del círculo ( S 1 ) en el espacio euclidiano tridimensional ( R 3 ), [1] o la 3-esfera ( S 3 ), ya que la 3-esfera es compacta . [2] [Nota 1] Se define que dos nudos son equivalentes si hay una isotopía ambiental entre ellos. [3]
Un nudo en R 3 (o alternativamente en la 3-esfera , S 3 ), puede proyectarse sobre un plano R 2 (respectivamente una esfera S 2 ). Esta proyección es casi siempre regular , lo que significa que es inyectiva en todas partes, excepto en un número finito de puntos de cruce, que son las proyecciones de solo dos puntos del nudo, y estos puntos no son colineales . En este caso, al elegir un lado de proyección, uno puede codificar completamente la clase de isotopía del nudo por su proyección regular registrando una simple información de sobre/debajo en estos cruces. En términos de teoría de grafos, una proyección regular de un nudo, o diagrama de nudos , es entonces un grafo plano cuadrivalente con vértices sobre/debajo decorados. Las modificaciones locales de este grafo que permiten pasar de un diagrama a cualquier otro diagrama del mismo nudo (hasta la isotopía ambiental del plano) se denominan movimientos de Reidemeister .
El nudo más simple, llamado nudo desnudado o nudo trivial, es un círculo redondo incrustado en R 3 . [4] En el sentido ordinario de la palabra, el nudo desnudado no está "anudado" en absoluto. Los nudos no triviales más simples son el nudo de trébol ( 3 1 en la tabla), el nudo de ocho ( 4 1 ) y el nudo de cinco hojas ( 5 1 ). [5]
Varios nudos unidos o enredados entre sí se denominan eslabones . Los nudos son eslabones con un solo componente.
Un nudo poligonal es un nudo cuya imagen en R 3 es la unión de un conjunto finito de segmentos de línea . [6] Un nudo manso es cualquier nudo equivalente a un nudo poligonal. [6] [Nota 2] Los nudos que no son mansos se denominan salvajes , [7] y pueden tener un comportamiento patológico . [7] En la teoría de nudos y la teoría de 3-variedades , a menudo se omite el adjetivo "manso". Los nudos lisos, por ejemplo, siempre son mansos.
Un nudo enmarcado es la extensión de un nudo manso a una incrustación del toro sólido D 2 × S 1 en S 3 .
El encuadre del nudo es el número de enlace de la imagen de la cinta I × S 1 con el nudo. Un nudo enmarcado puede verse como la cinta incrustada y el encuadre es el número (con signo) de giros. [8] Esta definición se generaliza a una análoga para enlaces enmarcados . Se dice que los enlaces enmarcados son equivalentes si sus extensiones a toros sólidos son isotópicos ambientales.
Los diagramas de enlaces enmarcados son diagramas de enlaces con cada componente marcado, para indicar el enmarcado, por un entero que representa una pendiente con respecto al meridiano y la longitud preferida. Una forma estándar de ver un diagrama de enlaces sin marcas como representación de un enlace enmarcado es usar el enmarcado de pizarra . Este enmarcado se obtiene convirtiendo cada componente en una cinta que se encuentra plana sobre el plano. Un movimiento de Reidemeister de tipo I cambia claramente el enmarcado de pizarra (cambia el número de giros en una cinta), pero los otros dos movimientos no. Reemplazar el movimiento de tipo I por un movimiento de tipo I modificado da un resultado para los diagramas de enlaces con enmarcado de pizarra similar al teorema de Reidemeister: Los diagramas de enlaces, con enmarcado de pizarra, representan enlaces enmarcados equivalentes si y solo si están conectados por una secuencia de movimientos de tipo I, II y III (modificados). Dado un nudo, se pueden definir infinitos enmarcados en él. Supongamos que se nos da un nudo con un enmarcado fijo. Se puede obtener un nuevo encuadre a partir del existente cortando una cinta y torciéndola un múltiplo entero de 2π alrededor del nudo y luego pegándola nuevamente en el lugar donde hicimos el corte. De esta manera se obtiene un nuevo encuadre a partir de uno antiguo, hasta la relación de equivalencia para nudos encuadrados, dejando el nudo fijo. [9] El encuadre en este sentido está asociado al número de torsiones que realiza el campo vectorial alrededor del nudo. Saber cuántas veces se tuerce el campo vectorial alrededor del nudo permite determinar el campo vectorial hasta el difeomorfismo, y la clase de equivalencia del encuadre está determinada completamente por este entero llamado entero de encuadre.
Dado un nudo en la 3-esfera, el complemento del nudo son todos los puntos de la 3-esfera que no están contenidos en el nudo. Un teorema importante de Gordon y Luecke establece que, como máximo, dos nudos tienen complementos homeomorfos (el nudo original y su reflejo especular). Esto, en efecto, convierte el estudio de los nudos en el estudio de sus complementos y, a su vez, en la teoría de las 3-variedades . [10]
La descomposición JSJ y el teorema de hiperbolización de Thurston reducen el estudio de los nudos en la 3-esfera al estudio de varias variedades geométricas mediante operaciones de empalme o satélite . En el nudo ilustrado, la descomposición JSJ divide el complemento en la unión de tres variedades: dos complementos de trébol y el complemento de los anillos de Borromeo . El complemento de trébol tiene la geometría de H 2 × R , mientras que el complemento de los anillos de Borromeo tiene la geometría de H 3 .
Las representaciones paramétricas de los nudos se denominan nudos armónicos. Aaron Trautwein recopiló representaciones paramétricas para todos los nudos, incluidos aquellos con un número de cruce de 8, en su tesis doctoral. [11] [12]
Peter Tait introdujo otra representación conveniente de los diagramas de nudos [13] [14] en 1877. [15] [16]
Cualquier diagrama de nudos define un grafo plano cuyos vértices son los cruces y cuyos bordes son caminos entre cruces sucesivos. Exactamente una cara de este grafo plano no tiene límites; cada una de las otras es homeomorfa a un disco bidimensional . Colorea estas caras de negro o blanco de modo que la cara no acotada sea negra y cualesquiera dos caras que compartan un borde límite tengan colores opuestos. El teorema de la curva de Jordan implica que existe exactamente una coloración de este tipo.
Construimos un nuevo grafo plano cuyos vértices son las caras blancas y cuyas aristas corresponden a los cruces. Podemos etiquetar cada arista en este grafo como arista izquierda o arista derecha, dependiendo de qué hilo parezca pasar sobre el otro cuando vemos el cruce correspondiente desde uno de los puntos finales de la arista. Las aristas izquierda y derecha se indican típicamente etiquetando las aristas izquierdas + y las aristas derechas -, o dibujando las aristas izquierdas con líneas sólidas y las aristas derechas con líneas discontinuas.
El diagrama de nudos original es el gráfico medial de este nuevo gráfico plano, con el tipo de cada cruce determinado por el signo de la arista correspondiente. Cambiar el signo de cada arista corresponde a reflejar el nudo en un espejo .
En dos dimensiones, solo los grafos planares pueden ser incrustados en el plano euclidiano sin cruces, pero en tres dimensiones, cualquier grafo no dirigido puede ser incrustado en el espacio sin cruces. Sin embargo, un análogo espacial de los grafos planares lo proporcionan los grafos con incrustaciones sin vínculos y las incrustaciones sin nudos . Una incrustación sin vínculos es una incrustación del grafo con la propiedad de que cualesquiera dos ciclos no están vinculados ; una incrustación sin nudos es una incrustación del grafo con la propiedad de que cualquier ciclo individual no está anudado . Los grafos que tienen incrustaciones sin vínculos tienen una caracterización de grafo prohibida que involucra a la familia Petersen , un conjunto de siete grafos que están intrínsecamente vinculados: no importa cómo estén incrustados, algunos dos ciclos estarán vinculados entre sí. [17] No se conoce una caracterización completa de los gráficos con incrustaciones sin nudos, pero el gráfico completo K 7 es uno de los gráficos prohibidos mínimos para incrustaciones sin nudos: no importa cómo se incrusta K 7 , contendrá un ciclo que forma un nudo de trébol . [18]
En las matemáticas contemporáneas, el término nudo se utiliza a veces para describir un fenómeno más general relacionado con las incrustaciones. Dada una variedad M con una subvariedad N , a veces se dice que N puede estar anudada en M si existe una incrustación de N en M que no es isotópica a N . Los nudos tradicionales forman el caso donde N = S 1 y M = R 3 o M = S 3 . [19] [20]
El teorema de Schoenflies establece que el círculo no se anuda en la 2-esfera: cada círculo topológico en la 2-esfera es isotópico a un círculo geométrico. [21] El teorema de Alexander establece que la 2-esfera no se anuda suavemente (o PL o topológicamente domesticada) en la 3-esfera. [22] En la categoría topológica domesticada, se sabe que la n -esfera no se anuda en la n + 1 -esfera para todo n . Este es un teorema de Morton Brown , Barry Mazur y Marston Morse . [23] La esfera cornuda de Alexander es un ejemplo de una 2-esfera anudada en la 3-esfera que no está domesticada. [24] En la categoría suave, se sabe que la n -esfera no se anuda en la n + 1 -esfera siempre que n ≠ 3 . El caso n = 3 es un problema pendiente desde hace tiempo, estrechamente relacionado con la pregunta: ¿la bola 4 admite una estructura lisa exótica ?
André Haefliger demostró que no hay nudos lisos de dimensión j en S n siempre que 2 n − 3 j − 3 > 0 , y dio más ejemplos de esferas anudadas para todos los n > j ≥ 1 tales que 2 n − 3 j − 3 = 0 . n − j se llama codimensión del nudo. Un aspecto interesante del trabajo de Haefliger es que las clases de isotopía de las incrustaciones de S j en S n forman un grupo, con la operación de grupo dada por la suma de conexión, siempre que la codimensión sea mayor que dos. Haefliger basó su trabajo en el teorema de h -cobordismo de Stephen Smale . Uno de los teoremas de Smale es que cuando se trata de nudos en codimensión mayor que dos, incluso los nudos no equivalentes tienen complementos difeomórficos. Esto le da al tema un matiz diferente al de la teoría de nudos de codimensión 2. Si se permiten las isotopías topológicas o PL, Christopher Zeeman demostró que las esferas no se anudan cuando la codimensión es mayor que 2. Véase una generalización a las variedades .
Revisado el 11 de mayo de 1877.
