Toro sólido

Objeto tridimensional

Toro sólido

En matemáticas , un toro sólido es el espacio topológico formado al barrer un disco alrededor de un círculo . ^[1] Es homeomorfo al producto cartesiano del disco y el círculo, ^[2] dotado de la topología del producto . ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$

Una forma estándar de visualizar un toro sólido es como un toroide , incrustado en un espacio tridimensional . Sin embargo, debe distinguirse de un toro , que tiene la misma apariencia visual: el toro es el espacio bidimensional en el límite de un toroide, mientras que el toro sólido incluye también el espacio interior compacto encerrado por el toro.

Un toro sólido es un toro más el volumen dentro del toro. Los objetos del mundo real que se aproximan a un toro sólido incluyen juntas tóricas , aros salvavidas no inflables , donas con forma de anillo y bagels .

Propiedades topológicas

El toro sólido es una variedad tridimensional , orientable , compacta y conexa con borde. El borde es homeomorfo a , el toro ordinario . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Como el disco es contráctil , el toro sólido tiene el tipo de homotopía de un círculo, . ^[3] Por lo tanto, el grupo fundamental y los grupos de homología son isomorfos a los del círculo: ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong \pi _{1}\left(S^{1}\right)\cong \mathbb {Z} ,\\H_{k}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong H_{k}\left(S^{1}\right)\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Véase también

• Cheerios
• Cirugía hiperbólica de Dehn
• Foliación de reeb
• Colector Whitehead
• Rosquilla

Referencias

1. Falconer, Kenneth (2004), Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones (2.ª ed.), John Wiley & Sons , pág. 198, ISBN 9780470871355.
2. Matsumoto, Yukio (2002), Introducción a la teoría de Morse, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 208, American Mathematical Society , pág. 188, ISBN 9780821810224.
3. Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de la homotopía estable, Anales de estudios matemáticos, vol. 128, Princeton University Press , pág. 2, ISBN 9780691025728.