Número de enlace

Invariante numérico que describe la vinculación de dos curvas cerradas en el espacio tridimensional

Las dos curvas de este enlace toro (2, 8) tienen el número de enlace cuatro.

En matemáticas , el número de enlace es un invariante numérico que describe la vinculación de dos curvas cerradas en el espacio tridimensional . Intuitivamente, el número de enlace representa el número de veces que cada curva gira alrededor de la otra. En el espacio euclidiano , el número de enlace es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo dependiendo de la orientación de las dos curvas (esto no es cierto para las curvas en la mayoría de las 3-variedades , donde los números de enlace también pueden ser fracciones o simplemente no existir en absoluto).

El número de enlace fue introducido por Gauss en forma de integral de enlace . Es un importante objeto de estudio en la teoría de nudos , la topología algebraica y la geometría diferencial , y tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y ciencias , incluida la mecánica cuántica , el electromagnetismo y el estudio del superenrollamiento del ADN .

Definición

Si se permite que dos curvas cerradas en el espacio pasen por sí mismas pero no entre sí, pueden moverse exactamente a una de las siguientes posiciones estándar. Esto determina el número de enlace:

Cada curva puede pasar por sí misma durante este movimiento, pero las dos curvas deben permanecer separadas en todo momento. Esto se formaliza como homotopía regular , que además requiere que cada curva sea una inmersión , no cualquier función. Sin embargo, esta condición añadida no cambia la definición de número de enlace (no importa si se requiere que las curvas sean siempre inmersiones o no), lo que es un ejemplo de un principio h (principio de homotopía), lo que significa que la geometría se reduce a la topología.

Prueba

Este hecho (que el número de enlace es el único invariante) se demuestra más fácilmente colocando un círculo en la posición estándar y luego demostrando que el número de enlace es el único invariante del otro círculo. En detalle:

• Una curva simple es homotópica regular respecto de un círculo estándar (cualquier nudo puede desanudarse si se permite que la curva pase a través de sí misma). El hecho de que sea homotópica es claro, ya que el espacio tridimensional es contráctil y, por lo tanto, todas las funciones que se encuentran en él son homotópicas, aunque el hecho de que esto pueda hacerse mediante inmersiones requiere algún argumento geométrico.
• El complemento de un círculo estándar es homeomorfo a un toro sólido con un punto eliminado (esto se puede ver interpretando el espacio tridimensional como la esfera tridimensional con el punto en el infinito eliminado y la esfera tridimensional como dos toros sólidos pegados a lo largo del límite), o el complemento se puede analizar directamente.
• El grupo fundamental del espacio tridimensional menos un círculo son los números enteros, correspondientes al número de enlace. Esto se puede comprobar mediante el teorema de Seifert-Van Kampen (ya sea añadiendo el punto en el infinito para obtener un toro sólido, o añadiendo el círculo para obtener el espacio tridimensional, se puede calcular el grupo fundamental del espacio deseado).
• De esta manera, las clases de homotopía de una curva en un espacio tridimensional menos un círculo se determinan mediante el número de enlace.
• También es cierto que las clases de homotopía regulares están determinadas por el número de enlace, lo que requiere un argumento geométrico adicional.

Calcular el número de enlace

Con seis cruces positivos y dos cruces negativos, estas curvas tienen el número de enlace dos.

Existe un algoritmo para calcular el número de enlaces de dos curvas a partir de un diagrama de enlaces . Etiquete cada cruce como positivo o negativo , de acuerdo con la siguiente regla: ^[1]

El número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos es igual al doble del número de enlaces. Es decir:

${\displaystyle {\text{linking number}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

donde n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ representan el número de cruces de cada uno de los cuatro tipos. Las dos sumas y son siempre iguales, ^[2] lo que conduce a la siguiente fórmula alternativa ${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$ ${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$

${\displaystyle {\text{linking number}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

La fórmula considera solo los cruces inferiores de la curva azul con la roja, mientras que considera solo los cruces superiores. ${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$ ${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$

Propiedades y ejemplos

Las dos curvas del enlace de Whitehead tienen número de enlace cero.

• Dos curvas cualesquiera que no estén enlazadas tienen un número de enlace cero. Sin embargo, dos curvas con un número de enlace cero pueden estar enlazadas (por ejemplo, el enlace de Whitehead ).
• Invertir la orientación de cualquiera de las curvas niega el número de enlace, mientras que invertir la orientación de ambas curvas lo deja sin cambios.
• El número de enlace es quiral : tomar la imagen especular del enlace niega el número de enlace. La convención para el número de enlace positivo se basa en la regla de la mano derecha .
• El número de vueltas de una curva orientada en el plano x - y es igual a su número de enlace con el eje z (pensando en el eje z como una curva cerrada en la 3-esfera ).
• De manera más general, si cualquiera de las curvas es simple , entonces el primer grupo de homología de su complemento es isomorfo a Z. En este caso, el número de enlace está determinado por la clase de homología de la otra curva.
• En física , el número de enlace es un ejemplo de número cuántico topológico .

Definición de integral de Gauss

Dadas dos curvas diferenciables que no se intersecan , defina el mapa de Gauss desde el toro hasta la esfera mediante ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

Elija un punto en la esfera unidad, v , de modo que la proyección ortogonal del enlace al plano perpendicular a v dé un diagrama de enlace. Observe que un punto ( s , t ) que va a v bajo la función de Gauss corresponde a un cruce en el diagrama de enlace donde está sobre . Además, una vecindad de ( s , t ) se mapea bajo la función de Gauss a una vecindad de v conservando o invirtiendo la orientación dependiendo del signo del cruce. Por lo tanto, para calcular el número de enlace del diagrama correspondiente a v, basta con contar el número con signo de veces que la función de Gauss cubre v . Como v es un valor regular , este es precisamente el grado de la función de Gauss (es decir, el número con signo de veces que la imagen de Γ cubre la esfera). La invariancia isotópica del número de enlace se obtiene automáticamente ya que el grado es invariante bajo funciones homotópicas. Cualquier otro valor regular daría el mismo número, por lo que el número de enlace no depende de ningún diagrama de enlace en particular. ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

Esta formulación del número de enlace de γ ₁ y γ ₂ permite una fórmula explícita como una integral de doble línea , la integral de enlace de Gauss :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det \left({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right)}{\left|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

Esta integral calcula el área total firmada de la imagen del mapa de Gauss (siendo el integrando el jacobiano de Γ) y luego la divide por el área de la esfera (que es 4 π ).

En la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la definición integral de Gauss surge al calcular el valor esperado del bucle de Wilson observable en la teoría de calibración de Chern-Simons . Explícitamente, la acción abeliana de Chern-Simons para un potencial de calibración de una forma en una variedad de tres está dada por ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

Estamos interesados ​​en realizar la integral de trayectoria de Feynman para Chern–Simons en : ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

Aquí está el símbolo antisimétrico. Dado que la teoría es simplemente gaussiana, no se necesita regularización ultravioleta ni renormalización . Por lo tanto, la invariancia topológica del lado derecho garantiza que el resultado de la integral de trayectoria será un invariante topológico. Lo único que queda por hacer es proporcionar un factor de normalización general y se presentará una elección natural. Dado que la teoría es gaussiana y abeliana, la integral de trayectoria se puede realizar simplemente resolviendo la teoría de manera clásica y sustituyendo . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Las ecuaciones clásicas del movimiento son

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

Aquí, hemos acoplado el campo de Chern-Simons a una fuente con un término en el lagrangiano. Obviamente, al sustituir el , podemos recuperar los bucles de Wilson. Como estamos en 3 dimensiones, podemos reescribir las ecuaciones de movimiento en una notación más familiar: ${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

Tomando el rizo de ambos lados y eligiendo el calibre de Lorenz , las ecuaciones se convierten en ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

Desde el punto de vista de la electrostática, la solución es

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

La integral de trayectoria para arbitrarios ahora se realiza fácilmente sustituyendo esto en la acción de Chern-Simons para obtener una acción efectiva para el campo. Para obtener la integral de trayectoria para los bucles de Wilson, sustituimos por una fuente que describe dos partículas que se mueven en bucles cerrados, es decir , con ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

Como la acción efectiva es cuadrática en , es claro que habrá términos que describan la autointeracción de las partículas, y estos no son interesantes ya que estarían allí incluso en presencia de un solo bucle. Por lo tanto, normalizamos la integral de trayectoria por un factor que cancele precisamente estos términos. Recorriendo el álgebra, obtenemos ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {\left({\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)},}$

dónde

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

que es simplemente la integral de enlace de Gauss. Este es el ejemplo más simple de una teoría cuántica de campos topológica , donde la integral de trayectoria calcula invariantes topológicos. Esto también sirvió como una pista de que la variante no abeliana de la teoría de Chern-Simons calcula otros invariantes de nudos, y Edward Witten demostró explícitamente que la teoría no abeliana da el invariante conocido como polinomio de Jones. ^[3]

La teoría de calibración de Chern-Simons se desarrolla en tres dimensiones del espacio-tiempo. En términos más generales, existen teorías cuánticas de campos topológicos de dimensiones superiores. Existen estadísticas más complejas de bucles múltiples/trenzamiento de cuerdas de teorías de calibración de cuatro dimensiones capturadas por los invariantes de enlace de teorías cuánticas de campos topológicos exóticas en cuatro dimensiones del espacio-tiempo. ^[4]

Generalizaciones

Los invariantes de Milnor generalizan el número de enlace a enlaces con tres o más componentes, lo que permite demostrar que los anillos borromeos están enlazados, aunque dos componentes tengan número de enlace 0.

• De la misma manera que las curvas cerradas pueden vincularse en tres dimensiones, dos variedades cerradas cualesquiera de dimensiones m y n pueden vincularse en un espacio euclidiano de dimensión . Cualquier vínculo de este tipo tiene un mapa de Gauss asociado, cuyo grado es una generalización del número de vínculo. ${\displaystyle m+n+1}$
• Cualquier nudo enmarcado tiene un número de autoenlace que se obtiene calculando el número de enlace del nudo C con una nueva curva obtenida al mover ligeramente los puntos de C a lo largo de los vectores de enmarcado. El número de autoenlace que se obtiene al moverse verticalmente (a lo largo del marco de la pizarra) se conoce como el número de autoenlace de Kauffman .
• El número de enlace se define para dos círculos enlazados; dados tres o más círculos, se pueden definir los invariantes de Milnor , que son un invariante numérico que generaliza el número de enlace.
• En topología algebraica , el producto de copa es una generalización algebraica de largo alcance del número de enlace, siendo los productos de Massey los análogos algebraicos de los invariantes de Milnor .
• Una incrustación sin enlaces de un grafo no dirigido es una incrustación en un espacio tridimensional de modo que cada dos ciclos tienen un número de enlace cero. Los grafos que tienen una incrustación sin enlaces tienen una caracterización de menor prohibido como los grafos sin menor de la familia Petersen .

Véase también

• Curva diferenciable  – Estudio de las curvas desde un punto de vista diferencial
• Invariante de Hopf  – Invariante de homotopía de aplicaciones entre n-esferas
• Número del beso  – Concepto geométrico
• Writhe  – Invariante de un diagrama de nudos

Notas

1. Este es el mismo etiquetado utilizado para calcular la torsión de un nudo , aunque en este caso sólo etiquetamos los cruces que involucran ambas curvas del enlace.
2. Esto se desprende del teorema de la curva de Jordan si cualquiera de las dos curvas es simple. Por ejemplo, si la curva azul es simple, entonces n ₁  +  n ₃ y n ₂  +  n ₄ representan la cantidad de veces que la curva roja cruza dentro y fuera de la región limitada por la curva azul.
3. Witten, E. (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Comm. Math. Phys . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/bf01217730. MR  0990772. Zbl  0667.57005.
4. Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (septiembre de 2017). "Estadísticas de trenzado e invariantes de enlace de materia cuántica topológica bosónica/fermiónica en dimensiones 2+1 y 3+1". Anales de Física . 384C : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Código Bibliográfico :2017AnPhy.384..254P. doi :10.1016/j.aop.2017.06.019.

Referencias

• AV Chernavskii (2001) [1994], "Coeficiente de enlace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AV Chernavskii (2001) [1994], "Número retorcido", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press