Límite (matemáticas)

Valor aproximado por un objeto matemático.

En matemáticas , un límite es el valor al que se acerca una función (o secuencia ) cuando la entrada (o índice) se acerca a algún valor . ^[1] Los límites son esenciales para el cálculo y el análisis matemático , y se utilizan para definir continuidad , derivadas e integrales .

En las fórmulas, el límite de una función generalmente se escribe como

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

y se lee como "el límite de f de x cuando x se acerca a c es igual a L ". Esto significa que el valor de la función f puede acercarse arbitrariamente a L , eligiendo x suficientemente cerca de c . Alternativamente, el hecho de que una función f se acerque al límite L cuando x se aproxima a c a veces se denota con una flecha hacia la derecha (→ o ), como en ${\displaystyle \rightarrow }$

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,}$

que dice " de tiende a como tiende a ". ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

El concepto de límite de una secuencia se generaliza aún más al concepto de límite de una red topológica y está estrechamente relacionado con el límite y el límite directo en la teoría de categorías .

El límite inferior y el límite superior proporcionan generalizaciones del concepto de límite que son particularmente relevantes cuando el límite en un punto puede no existir.

Historia

Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El término de una progresión es el final de la serie, que ninguna progresión puede alcanzar, incluso si ella continúa en el infinito, pero al cual puede acercarse más que un segmento dado". ^[2]

La definición moderna de límite se remonta a Bernard Bolzano quien, en 1817, desarrolló los conceptos básicos de la técnica épsilon-delta para definir funciones continuas. Sin embargo, su trabajo permaneció desconocido para otros matemáticos hasta treinta años después de su muerte. ^[3]

Augustin-Louis Cauchy en 1821, ^[4] seguido por Karl Weierstrass , formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) del límite .

La notación moderna de colocar la flecha debajo del símbolo límite se debe a GH Hardy , quien la introdujo en su libro Un curso de matemática pura en 1908. ^[5]

Tipos de límites

En secuencias

Numeros reales

La expresión 0,999... debe interpretarse como el límite de la secuencia 0,9, 0,99, 0,999,... y así sucesivamente. Se puede demostrar rigurosamente que esta secuencia tiene el límite 1 y, por lo tanto, se interpreta significativamente que esta expresión tiene el valor 1. ^[6]

Formalmente, supongamos que a ₁ , a ₂ ,… es una secuencia de números reales . Cuando existe el límite de la secuencia, el número real L es el límite de esta secuencia si y sólo si para cada número real ε > 0 , existe un número natural N tal que para todo n > N , tenemos | un _norte - L | < ε . ^[7] La ​​notación común

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$$

"El límite de n cuando _n se acerca al infinito es igual a L " o "El límite cuando n se acerca al infinito de n es igual a _L " .

La definición formal intuitivamente significa que eventualmente, todos los elementos de la secuencia se acercan arbitrariamente al límite, ya que el valor absoluto | un _norte - L | es la distancia entre an _y L .

No todas las secuencias tienen un límite. Una sucesión con límite se llama convergente ; de lo contrario se llama divergente . Se puede demostrar que una secuencia convergente tiene un solo límite.

El límite de una secuencia y el límite de una función están estrechamente relacionados. Por un lado, el límite cuando n tiende al infinito de una secuencia { a _n } es simplemente el límite al infinito de una función a ( n ) —definida sobre los números naturales { n } . Por otro lado, si X es el dominio de una función f ( x ) y si el límite cuando n tiende al infinito de f ( x _n ) es L para cada secuencia arbitraria de puntos { x _n } en X − x ₀ que converge a x ₀ , entonces el límite de la función f ( x ) cuando x se aproxima a x ₀ es igual a L . ^[8] Una de esas secuencias sería { x ₀ + 1/ n } .

El infinito como límite

También existe la noción de que un límite "tiende al infinito", en lugar de a un valor finito . Se dice que una secuencia "tiende al infinito" si, para cada número real , conocido como límite, existe un número entero tal que para cada número , ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

$${\displaystyle a_{n}>M.}$$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty }$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow \infty }$

Es posible que una secuencia sea divergente, pero no tienda al infinito. Este tipo de secuencias se denominan oscilatorias . Un ejemplo de secuencia oscilatoria es . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$

Existe una noción correspondiente de tender al infinito negativo, definida cambiando la desigualdad en la definición anterior a con ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty }$ ${\displaystyle a_{n}<M,}$ ${\displaystyle M<0.}$

Una secuencia con se llama ilimitada , una definición igualmente válida para secuencias en números complejos o en cualquier espacio métrico . Las sucesiones que no tienden al infinito se llaman acotadas . Las secuencias que no tienden al infinito positivo se llaman acotadas por arriba , mientras que aquellas que no tienden al infinito negativo se llaman acotadas por abajo . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty }$

Espacio métrico

La discusión anterior sobre secuencias es para secuencias de números reales. La noción de límites se puede definir para secuencias valoradas en espacios más abstractos, como los espacios métricos . Si es un espacio métrico con función distancia y es una secuencia en , entonces el límite (cuando existe) de la secuencia es un elemento tal que, dado , existe un tal que para cada , tenemos ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a\in M}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

$${\displaystyle d(a,a_{n})<\epsilon .}$$

${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$

Ejemplo: ℝ ⁿ

Un ejemplo importante es el espacio de vectores reales de dimensiones, con elementos donde cada uno de ellos es real, un ejemplo de una función de distancia adecuada es la distancia euclidiana , definida por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$$

${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}$

Espacio topológico

En cierto sentido, el espacio más abstracto en el que se pueden definir límites son los espacios topológicos . Si es un espacio topológico con topología y es una secuencia en , entonces el límite (cuando existe) de la secuencia es un punto tal que, dada una vecindad (abierta) de , existe un tal que para cada , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

$${\displaystyle a_{n}\in U}$$

espacio de Hausdorff ${\displaystyle X}$

Espacio funcional

Esta sección trata la idea de límites de secuencias de funciones, que no debe confundirse con la idea de límites de funciones, que se analiza a continuación.

El campo del análisis funcional busca en parte identificar nociones útiles de convergencia en espacios funcionales. Por ejemplo, considere el espacio de funciones de un conjunto genérico a . Dada una secuencia de funciones tal que cada una es una función , supongamos que existe una función tal que para cada una , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$

$${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

Entonces se dice que la secuencia converge puntualmente a . Sin embargo, dichas secuencias pueden presentar un comportamiento inesperado. Por ejemplo, es posible construir una secuencia de funciones continuas que tenga un límite puntual discontinuo. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Otra noción de convergencia es la convergencia uniforme . La distancia uniforme entre dos funciones es la diferencia máxima entre las dos funciones a medida que varía el argumento. Eso es, ${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$

$${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$

converge uniformementelímite uniforme ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$

Se pueden definir muchas nociones diferentes de convergencia en espacios funcionales. A veces esto depende de la regularidad del espacio. Ejemplos destacados de espacios funcionales con cierta noción de convergencia son los espacios Lp y el espacio de Sobolev .

en funciones

Una función f ( x ) para la cual el límite en el infinito es L . Para cualquier distancia arbitraria ε , debe haber un valor S tal que la función permanezca dentro de L ± ε para todo x > S.

Supongamos que f es una función de valor real yc es un número real . Intuitivamente hablando, la expresión

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

significa que se puede hacer que f ( x ) esté tan cerca de L como se desee, haciendo que x esté lo suficientemente cerca de c . ^[9] En ese caso, la ecuación anterior se puede leer como "el límite de f de x , cuando x se aproxima a c , es L ".

Formalmente, la definición del "límite de aproximaciones " se da de la siguiente manera. El límite es un número real de modo que, dado un número real arbitrario (considerado como el "error"), existe un tal que, para cualquier satisfacción , se cumple que . Esto se conoce como definición de límite (ε, δ) . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$

La desigualdad se utiliza para excluir del conjunto de puntos considerados, pero algunos autores no la incluyen en su definición de límites, reemplazándola por simplemente . Este reemplazo equivale a requerir adicionalmente que sea continuo en . ${\displaystyle 0<|x-c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |x-c|<\delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Se puede demostrar que existe una definición equivalente que pone de manifiesto la conexión entre límites de sucesiones y límites de funciones. ^[10] La definición equivalente se da a continuación. Primero observe que para cada secuencia en el dominio de , hay una secuencia asociada , la imagen de la secuencia debajo . El límite es un número real de modo que, para todas las secuencias , la secuencia asociada . ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

Límite unilateral

Es posible definir la noción de tener un límite "para zurdos" ("desde abajo") y la noción de límite "para diestros" ("desde arriba"). Estos no necesitan estar de acuerdo. Un ejemplo lo da la función indicadora positiva , definida de manera que if y if . En , la función tiene un "límite para zurdos" de 0, un "límite para diestros" de 1 y su límite no existe. Simbólicamente, esto se puede expresar como, para este ejemplo, , y , y de esto se puede deducir que no existe, porque . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\leq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$

Infinito en límites de funciones.

Es posible definir la noción de "tender al infinito" en el dominio de , ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L.}$$

En esta expresión, el infinito se considera con signo: o o . El "límite de f cuando x tiende al infinito positivo" se define de la siguiente manera. Es un número real tal que, dado cualquier real , existe un tal que si ,. De manera equivalente, para cualquier secuencia , tenemos . ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x>M}$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

También es posible definir la noción de "tiende al infinito" en el valor de , ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

La definición se da de la siguiente manera. Dado cualquier número real , existe un modo que para , el valor absoluto de la función . De manera equivalente, para cualquier secuencia , la secuencia . ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)|>M}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$

Análisis no estándar

En el análisis no estándar (que implica una ampliación hiperreal del sistema numérico), el límite de una secuencia se puede expresar como la parte estándar del valor de la extensión natural de la secuencia en un índice hipernatural infinito n=H . De este modo, ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{H}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).}$

Aquí, la función parcial estándar "st" redondea cada número hiperreal finito al número real más cercano (la diferencia entre ellos es infinitesimal ). Esto formaliza la intuición natural de que para valores "muy grandes" del índice, los términos de la secuencia están "muy cerca" del valor límite de la secuencia. Por el contrario, la parte estándar de un hiperreal representada en la construcción de ultrapoderes por una secuencia de Cauchy , es simplemente el límite de esa secuencia: ${\displaystyle a=[a_{n}]}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$

En este sentido, tomar la parte límite y tomar la parte estándar son procedimientos equivalentes.

conjuntos de límites

Conjunto de límites de una secuencia

Sea una secuencia en un espacio topológico . Para ser más concretos, se puede considerar como , pero las definiciones son válidas de manera más general. El conjunto límite es el conjunto de puntos tales que si hay una subsecuencia convergente con , entonces pertenece al conjunto límite. En este contexto, a esto a veces se le llama punto límite. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Un uso de esta noción es caracterizar el "comportamiento a largo plazo" de secuencias oscilatorias. Por ejemplo, considere la secuencia . A partir de n=1, los primeros términos de esta secuencia son . Se puede comprobar que es oscilatorio, por lo que no tiene límite, pero tiene puntos límite . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$ ${\displaystyle \{-1,+1\}}$

Conjunto límite de una trayectoria.

Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos , para estudiar límites de trayectorias. Al definir una trayectoria como una función , el punto se considera la "posición" de la trayectoria en el "tiempo" . El conjunto límite de una trayectoria se define de la siguiente manera. A cualquier secuencia de tiempos crecientes , hay una secuencia de posiciones asociada . Si es el conjunto límite de la secuencia para cualquier secuencia de tiempos crecientes, entonces es un conjunto límite de la trayectoria. ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$

Técnicamente, este es el límite establecido. El límite correspondiente establecido para secuencias de tiempo decreciente se llama conjunto de límite. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$

Un ejemplo ilustrativo es la trayectoria circular: . Este no tiene un límite único, sino que para cada uno , el punto es un punto límite, dado por la secuencia de tiempos . Pero no es necesario alcanzar los puntos límite de la trayectoria. La trayectoria también tiene establecido el círculo unitario como límite. ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$

Usos

Los límites se utilizan para definir una serie de conceptos importantes en el análisis.

Serie

Una expresión particular de interés que se formaliza como el límite de una secuencia son las sumas de series infinitas. Son "sumas infinitas" de números reales, generalmente escritas como

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$$

^[10] ${\displaystyle \{a_{n}\}}$

$${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$

${\displaystyle \{s_{n}\}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Un ejemplo clásico es el problema de Basilea , donde . Entonces ${\displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Sin embargo, mientras que para las secuencias existe esencialmente una noción única de convergencia, para las series existen diferentes nociones de convergencia. Esto se debe a que la expresión no discrimina entre diferentes ordenamientos de la secuencia , mientras que las propiedades de convergencia de la secuencia de sumas parciales pueden depender del ordenamiento de la secuencia. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$

Una serie que converge para todos los ordenamientos se llama incondicionalmente convergente . Se puede demostrar que es equivalente a la convergencia absoluta . Esto se define de la siguiente manera. Una serie es absolutamente convergente si está bien definida. Además, todos los pedidos posibles dan el mismo valor. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

En caso contrario, la serie es condicionalmente convergente . Un resultado sorprendente para series condicionalmente convergentes es el teorema de la serie de Riemann : dependiendo del orden, se puede hacer que las sumas parciales converjan a cualquier número real, así como . ${\displaystyle \pm \infty }$

Serie de potencia

Una aplicación útil de la teoría de sumas de series es para series de potencias. Estas son sumas de series de la forma

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$

radio de convergencia ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Continuidad de una función en un punto.

La definición de continuidad en un punto se da a través de límites.

La definición anterior de límite es cierta incluso si . De hecho, la función f ni siquiera necesita definirse en c . Sin embargo, si está definida y es igual a , entonces se dice que la función es continua en el punto . ${\displaystyle f(c)\neq L}$ ${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$

De manera equivalente, la función es continua en si como , o en términos de secuencias, siempre que , entonces . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)}$ ${\displaystyle x\rightarrow c}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}$

A continuación se proporciona un ejemplo de un límite que no está definido . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Considere la función

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$$

entonces f (1) no está definida (ver Forma indeterminada ), sin embargo, cuando x se acerca arbitrariamente a 1, f ( x ) se acerca correspondientemente a 2: ^[11]

Por lo tanto, f ( x ) puede acercarse arbitrariamente al límite de 2, simplemente haciendo que x esté lo suficientemente cerca de 1 .

En otras palabras,

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$$

Esto también se puede calcular algebraicamente, como ocurre con todos los números reales x ≠ 1 . ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$

Ahora, dado que x + 1 es continuo en x en 1, ahora podemos sustituir 1 por x , lo que lleva a la ecuación

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$$

Además de límites en valores finitos, las funciones también pueden tener límites en el infinito. Por ejemplo, considere la función

$${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$$

• f (100) = 1,9900
• f (1000) = 1,9990
• f (10000) = 1,9999

A medida que x se vuelve extremadamente grande, el valor de f ( x ) se acerca a 2 , y el valor de f ( x ) puede acercarse tanto a 2 como se desee, haciendo que x sea lo suficientemente grande. Entonces, en este caso, el límite de f ( x ) cuando x tiende al infinito es 2 , o en notación matemática,

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$$

Funciones continuas

Una clase importante de funciones al considerar límites son las funciones continuas . Estas son precisamente aquellas funciones que preservan los límites , en el sentido de que si es una función continua, entonces siempre que esté en el dominio de , entonces el límite existe y además es . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a_{n})}$ ${\displaystyle f(a)}$

En el entorno más general de espacios topológicos, a continuación se ofrece una breve prueba:

Sea una función continua entre espacios topológicos y . Por definición, para cada conjunto abierto en , la preimagen está abierta en . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$

Ahora supongamos que es una secuencia con límite en . Entonces es una secuencia en y es algún punto. ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a_{n})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(a)}$

Elija un barrio de . Entonces es un conjunto abierto (por continuidad de ) que en particular contiene a , y por tanto es vecino de . Por la convergencia de a , existe tal que para , tenemos . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$

Luego aplicando a ambos lados da que, para lo mismo , para cada uno tenemos . Originalmente era un barrio arbitrario de , así . Esto concluye la prueba. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle f(a_{n})\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}$

En el análisis real, para el caso más concreto de funciones con valores reales definidas en un subconjunto , es decir, una función continua también puede definirse como una función que es continua en cada punto de su dominio. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$

Puntos límite

En topología , los límites se utilizan para definir puntos límite de un subconjunto de un espacio topológico, que a su vez dan una caracterización útil de conjuntos cerrados .

En un espacio topológico , considere un subconjunto . Un punto se llama punto límite si existe una secuencia tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$

La razón por la que se define como en lugar de simplemente se ilustra con el siguiente ejemplo. Toma y . Entonces , y por tanto es el límite de la secuencia constante . Pero no es un punto límite de . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$ ${\displaystyle 2\in S}$ ${\displaystyle 2,2,\cdots }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S}$

Un conjunto cerrado, que se define como el complemento de un conjunto abierto, es equivalente a cualquier conjunto que contenga todos sus puntos límite. ${\displaystyle C}$

Derivado

La derivada se define formalmente como un límite. En el ámbito del análisis real , la derivada se define primero para funciones reales definidas en un subconjunto . La derivada en se define de la siguiente manera. Si el límite de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$

$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

${\displaystyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle x}$

De manera equivalente, es el límite a partir de ${\displaystyle y\rightarrow x}$

$${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$$

Si la derivada existe, comúnmente se denota por . ${\displaystyle f'(x)}$

Propiedades

Secuencias de números reales

Para secuencias de números reales, se pueden demostrar varias propiedades. ^[10] Supongamos que y son dos secuencias que convergen hacia y respectivamente. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

• La suma de los límites es igual al límite de la suma.

$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.}$$

• El producto de los límites es igual al límite del producto.

$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.}$$

• La inversa del límite es igual al límite de la inversa (siempre que ) ${\displaystyle a\neq 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.}$$

${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle x}$

secuencias de cauchy

Una propiedad de las sucesiones convergentes de números reales es que son sucesiones de Cauchy . ^[10] La definición de una secuencia de Cauchy es que para cada número real , existe un tal que siempre que , ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$

$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon .}$$

De manera informal, para cualquier error arbitrariamente pequeño , es posible encontrar un intervalo de diámetro tal que eventualmente la secuencia esté contenida dentro del intervalo. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Las secuencias de Cauchy están estrechamente relacionadas con las secuencias convergentes. De hecho, para sucesiones de números reales son equivalentes: cualquier secuencia de Cauchy es convergente.

En espacios métricos generales, se sigue sosteniendo que las sucesiones convergentes también son de Cauchy. Pero lo contrario no es cierto: no toda secuencia de Cauchy es convergente en un espacio métrico general. Un contraejemplo clásico son los números racionales , , con la distancia habitual. La secuencia de aproximaciones decimales a , truncada en el ésimo lugar decimal es una secuencia de Cauchy, pero no converge en . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un espacio métrico en el que cada secuencia de Cauchy también es convergente, es decir, las secuencias de Cauchy son equivalentes a las secuencias convergentes, se conoce como espacio métrico completo .

Una razón por la que las secuencias de Cauchy pueden ser "más fáciles de trabajar" que las secuencias convergentes es que son una propiedad de la secuencia únicamente, mientras que las secuencias convergentes requieren no solo la secuencia sino también el límite de la secuencia . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$

Orden de convergencia

Más allá de si una secuencia converge o no a un límite , es posible describir qué tan rápido una secuencia converge a un límite. Una forma de cuantificar esto es utilizando el orden de convergencia de una secuencia. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$

Una definición formal de orden de convergencia se puede formular de la siguiente manera. Supongamos que es una secuencia de números reales que es convergente con el límite . Además, para todos . Si existen constantes positivas y tales que ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}\neq a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda }$$

orden de convergencia ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

El orden de convergencia se utiliza por ejemplo en el campo del análisis numérico , en el análisis de errores.

Computabilidad

Los límites pueden ser difíciles de calcular. Existen expresiones límite cuyo módulo de convergencia es indecidible . En la teoría de la recursividad , el lema del límite demuestra que es posible codificar problemas indecidibles utilizando límites. ^[12]

Existen varios teoremas o pruebas que indican si el límite existe. Éstas se conocen como pruebas de convergencia . Los ejemplos incluyen la prueba de razón y el teorema de compresión . Sin embargo, es posible que no indiquen cómo calcular el límite.

Ver también

• Análisis asintótico : un método para describir la conducta limitante
  • Notación O grande : se utiliza para describir el comportamiento limitante de una función cuando el argumento tiende hacia un valor particular o al infinito.
• Límite de Banach definido en el espacio de Banach que extiende los límites habituales. ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Convergencia de variables aleatorias
• Matriz convergente
• Límite en la teoría de categorías
  • límite directo
  • Límite inverso
• Límite de una función
  • Límite unilateral : cualquiera de los dos límites de funciones de una variable real x , cuando x se acerca a un punto desde arriba o desde abajo
  • Lista de límites : lista de límites para funciones comunes
  • Teorema de compresión : encuentra el límite de una función mediante comparación con otras dos funciones
• Límite superior y límite inferior
• Modos de convergencia
  • Un índice comentado

Notas

1. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Van Looy, Herman (1984). "Una cronología y análisis histórico de los manuscritos matemáticos de Gregorius a Sancto Vincentio (1584-1667)". Historia Matemática . 11 (1): 57–75. doi : 10.1016/0315-0860(84)90005-3 .
3. Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi :10.2307/2695743, JSTOR  2695743
4. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo de una sola variable (Novena ed.). Brooks/Cole , Aprendizaje Cengage . ISBN 978-0-547-20998-2.
5. Miller, Jeff (1 de diciembre de 2004), Usos más tempranos de símbolos de cálculo, archivado desde el original el 1 de mayo de 2015 , consultado el 18 de diciembre de 2008
6. Stillwell, John (1994), Elementos de álgebra: geometría, números, ecuaciones , Springer, p. 42, ISBN 978-1441928399
7. Weisstein, Eric W. "Límite". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 2020-06-20 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
8. Apóstol (1974, págs. 75–76)
9. Weisstein, Eric W. "Definición de Épsilon-Delta". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 25 de junio de 2020 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
10. Chua, Dexter. "Análisis I (basado en un curso impartido por Timothy Gowers)". Apuntes de los Tripos Matemáticos .
11. "límite | Definición, ejemplo y hechos". Enciclopedia Británica . Archivado desde el original el 9 de mayo de 2021 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
12. Soare, Robert I. (2014). Conjuntos y grados recursivamente enumerables: un estudio de funciones computables y conjuntos generados computablemente. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66681-3. OCLC  1154894968.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2ª ed.), Menlo Park: Addison-Wesley , LCCN  72011473

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