Los temperamentos de tono medio son temperamentos musicales ; [1] es decir, una variedad de sistemas de afinación construidos, de manera similar a la afinación pitagórica , como una secuencia de quintas iguales, tanto ascendentes como descendentes, escaladas para permanecer dentro de la misma octava. Pero en lugar de utilizar quintas perfectas , que consisten en relaciones de frecuencia de valor , estas se atemperan mediante un factor adecuado que las estrecha a relaciones que son ligeramente menores que , para acercar las terceras mayores o menores a la relación de entonación justa de o , respectivamente. Un temperamento regular es uno en el que todas las quintas se eligen para que tengan el mismo tamaño.
El temperamento igual de doce tonos ( 12 TET ) se obtiene haciendo que todos los semitonos tengan el mismo tamaño, siendo cada uno igual a un doceavo de una octava; es decir, con proporciones 12 √ 2 : 1 . En relación con la afinación pitagórica , estrecha las quintas perfectas en aproximadamente 2 centésimas o 1/ 12 º de una coma pitagórica para dar una relación de frecuencia de. Esto produce terceras mayores que tienen una anchura de aproximadamente 13 centésimas , o 1/ 8 º de un semitono. El temperamento igual de doce tonos es casi exactamente lo mismo que 1/ 11 Afinación de coma sintónica de tono medio ( 1,955 cents frente a 1,95512).
El cuarto de coma significa tono , que templa cada una de las doce quintas perfectas mediante 1 /4 de una coma sintónica , es el tipo más conocido de temperamento de tono medio, y el término temperamento de tono medio se usa a menudo para referirse a él específicamente. Cuatro quintas ascendentes (como CGDAE ) templadas por 1 /4 La coma (y rebajada en dos octavas) produce una tercera mayor justa ( CE ) (con proporción 5 : 4 ), que es una coma sintónica (o aproximadamente 22 cents ) más angosta que la tercera pitagórica que resultaría de cuatro quintas perfectas .
Se utilizó comúnmente desde principios del siglo XVI hasta principios del XVIII, después de lo cual el equitemperamento dodecafónico finalmente se generalizó. Para órganos de iglesia y otros usos de teclado, continuó utilizándose hasta bien entrado el siglo XIX, y a veces se recupera en interpretaciones de música antigua en la actualidad. El tono medio de un cuarto de coma se puede aproximar bien mediante una división de la octava en 31 tonos iguales .
Procede de la misma manera que la afinación pitagórica ; es decir, toma la fundamental (por ejemplo, C ) y sube seis quintas sucesivas (siempre ajustando dividiendo por potencias de 2 para permanecer dentro de la octava por encima de la fundamental), y de manera similar baja, seis quintas sucesivas (ajustando de nuevo a la octava multiplicando por potencias de 2 ). Sin embargo, en lugar de utilizar la 3 /2 razón, que da quintas perfectas , esta debe dividirse por la raíz cuarta de 81 /80 , que es la coma sintónica : la razón de la tercera pitagórica 81 /64 a la tercera mayor justa 5 /4 . De manera equivalente, se puede utilizar 4 √ 5 en lugar de 3 /2 , lo que produce las mismas quintas ligeramente reducidas. Esto da como resultado que el intervalo CE sea simplemente una tercera mayor 5 /4 , y los segundos intermedios ( CD , DE ) dividen a CE uniformemente, por lo que DC y ED son razones iguales, cuyo cuadrado es 5 /4 . Lo mismo ocurre con las segundas secuencias principales FGA y GAB .
Sin embargo, hay una brecha residual en la afinación de media nota de un cuarto de coma entre la última de la secuencia superior de seis quintas y la última de la secuencia inferior; por ejemplo, entre F ♯ y G ♭ si el punto de partida se elige como C , que, ajustados para la octava, están en la proporción de 125 /128 o -41,06 centavos. Esto es en el sentido opuesto a la coma pitagórica (es decir, el extremo superior es más plano que el inferior) y casi el doble de grande.
En el tercer tono de coma , las quintas están templadas por 1 /3 de una coma sintónica. De ello se deduce que tres quintas descendentes (como ADGC ) producen una tercera menor ( AC ) de proporción . 6 /5 , que es casi una coma sintónica más ancha que la tercera menor resultante de la afinación pitagórica de tres quintas perfectas . El tono medio de la tercera coma se puede aproximar muy bien mediante una división de la octava en 19 pasos iguales .
El nombre de "temperamento de tono medio" deriva del hecho de que en todos estos temperamentos el tamaño del tono entero, dentro de la escala diatónica, está en algún lugar entre los tonos mayores y menores (9:8 y 10:9 respectivamente) de entonación justa , que se diferencian entre sí por una coma sintónica . En cualquier sistema regular [1] el tono entero (como CD ) se alcanza después de dos quintas (como CGD ) (reducidas en una octava), mientras que la tercera mayor se alcanza después de cuatro quintas ( CGDAE ) (reducidas en dos octavas). De ello se deduce que en 1 /4 coma media el tono entero es exactamente la mitad de la tercera mayor justa (en centésimas) o, equivalentemente, la raíz cuadrada de la relación de frecuencia de 5 /4 .
Por lo tanto, un sentido en el que el tono es una media es que, como proporción de frecuencias, es la media geométrica del tono mayor y el tono menor: , equivalente a 193,157 centésimas : el tamaño de un tono entero de un cuarto de coma. Sin embargo, cualquier tono intermedio se califica como una "media" en el sentido de ser intermedio y, por lo tanto, como una opción válida para algún sistema de tonos medios.
En el caso del temperamento de cuarto de tono, en el que la tercera mayor se estrecha mediante una coma sintónica, el tono entero se hace media coma más estrecho que el tono mayor de entonación justa (9:8), o media coma más ancho que el tono menor (10:9). Este es el sentido en el que el temperamento de cuarto de tono se considera a menudo "el" temperamento de cuarto de tono ejemplar, ya que, en él, el tono entero se encuentra a medio camino (en centésimas ) entre sus posibles extremos. [1]
Ya en 1496 se publicaron menciones de sistemas de afinación que podrían referirse al mediotono ( Gaffurius ). [2] Pietro Aron [3] (Venecia, 1523) hablaba sin lugar a dudas del mediotono de un cuarto de coma. Lodovico Fogliani [4] mencionó el sistema de un cuarto de coma, pero no ofreció ninguna discusión al respecto. Las primeras descripciones matemáticamente precisas de la afinación del mediotono se encuentran en los tratados de finales del siglo XVI de Zarlino [5] y de Salinas . [6] Ambos autores describieron el 1 /4 coma, 1 /3 coma, y 2 /7 sistemas de afinación equitemperada con coma . Marin Mersenne describió varios sistemas de afinación en su obra fundamental sobre teoría musical , Harmonie universelle , [7] incluido el sistema equitemperado de 31 tonos, pero lo rechazó por razones prácticas.
A veces se hacía referencia a los temperamentos meítonos con otros nombres o descripciones. Por ejemplo, en 1691 Huygens [8] abogó por el uso del sistema equitemplado de 31 tonos TET } como una excelente aproximación para el 1 /4 sistema de coma-meitono, mencionando escritos anteriores de Zarlino y Salinas , y discrepando de la opinión negativa de Mersenne (1639). Hizo una comparación detallada de las proporciones de frecuencia en el sistema 31 TET y el temperamento de coma-meitono , al que se refirió de diversas maneras como "temperamento ordinario" o "el que todos usan". (Véase las referencias citadas en el artículo Temperament Ordinaire .)
Por supuesto, el sistema de tono medio de un cuarto de coma (o cualquier otro sistema de tono medio) no pudo haberse implementado con total precisión hasta mucho después, ya que los dispositivos que podían medir con precisión todas las frecuencias de tono no existieron hasta mediados del siglo XIX. Pero los afinadores podían aplicar los mismos métodos que siempre han utilizado los afinadores "de oído": subir quintas y bajar octavas, o bajar quintas y subir octavas, templando las quintas para que sean ligeramente más pequeñas que las 3/ 2 proporción. La forma en que los afinadores podrían identificar una "coma negra" de manera confiable de oído es un poco más sutil. Dado que esto equivale aproximadamente al 0,3% de la frecuencia que, cerca del do central (~264 Hz) , es aproximadamente un hercio , podrían hacerlo usando quintas perfectas como referencia y ajustando la nota temperada para producir pulsos a esta velocidad. Sin embargo, la frecuencia de los pulsos tendría que ajustarse ligeramente, proporcionalmente a la frecuencia de la nota. Alternativamente, las terceras mayores de la escala diatónica se pueden ajustar a solo terceras mayores, de proporción 5/ 4 , eliminando los ritmos.
Para una afinación de 12 tonos igualmente temperados , las quintas deben estar templadas en considerablemente menos de un 1/4 coma (muy cerca de una 1/11coma sintónica , o una1/12 coma pitagórica ), ya que deben formar un ciclo perfecto, sin espacio al final, mientras que 1/4La afinación con coma media , como se mencionó anteriormente, tiene un espacio residual que es dos veces más grande que la pitagórica, en la dirección opuesta.
Aunque el mesotono es más conocido como un sistema de afinación asociado con la música anterior del Renacimiento y el Barroco, hay evidencia de su uso continuo como temperamento de teclado hasta bien entrado el siglo XIX.
Ha tenido un resurgimiento considerable en la interpretación de música antigua a finales del siglo XX y en obras de nueva composición que exigían específicamente un tono medio, por parte de algunos compositores, como Adams , Ligeti y Leedy .
Un temperamento de tono medio es un temperamento regular , que se distingue por el hecho de que el factor de corrección de las quintas perfectas pitagóricas, dado habitualmente como una fracción específica de la coma sintónica, se elige para hacer que los intervalos de tono entero sean lo más iguales posible a la media geométrica del tono mayor y el tono menor. Históricamente, los temperamentos de tono medio de uso común, que se analizan a continuación, ocupan una porción estrecha de este continuo de afinación, con quintas que van desde aproximadamente 695 a 699 centésimas.
Los temperamentos de tono medio se pueden especificar de varias maneras: por qué fracción de una coma sintónica se está achatando la quinta (como se indica arriba), el ancho de la quinta perfecta temperada en centésimas, o la relación entre el tono entero (en centésimas) y el semitono diatónico . Esta última relación fue denominada " R " por el compositor, pianista y teórico estadounidense Easley Blackwood . Si R es un número racional R = , entonces es la aproximación más cercana a la quinta temperada de tono medio correspondiente dentro de la división equitemperada de la octava en partes iguales. Tales divisiones de la octava en un número de partes pequeñas mayor que 12 a veces se denominan microtonalidad , y los intervalos más pequeños se denominan microtonos .
En estos términos, a continuación se enumeran algunas afinaciones de tono medio históricamente notables y se comparan con la afinación microtonal equitemperada más cercana. La primera columna da la fracción de la coma sistónica por la que se templan las quintas perfectas en el sistema de tono medio. La segunda enumera los intervalos racionales de 5 límites que ocurren dentro de esta afinación. La tercera da la fracción de una octava, dentro del sistema de microintervalos equitemperados correspondiente, que mejor se aproxima a la quinta de tono medio. La cuarta da la diferencia entre los dos, en centésimas . La quinta es el valor correspondiente de la fracción R = , y la quinta es el número de microtonos equitemperados ( ET ) en una octava.
Ni en el equitemperamento de doce tonos ni en el temperamento medio de un cuarto de coma la quinta es una fracción racional de la octava, pero existen varias afinaciones que se aproximan a la quinta por dicho intervalo; estas son un subconjunto de los temperamentos iguales (" NTET "), en los que la octava se divide en algún número ( N ) de intervalos igualmente amplios.
Los temperamentos iguales que son útiles como aproximaciones a las afinaciones de tono medio incluyen (en orden de aumento del ancho del generador ) 19 TET ( ~+ 1 /3 coma), 50 TET ( ~+ 2 /7 coma), 31 TET ( ~+ 1 /4 coma), 43 TET ( ~+ 1 /5 coma), y 55 TET ( ~+ 1 /6 coma). Sin embargo, cuanto más se aleja la afinación del tono medio de un cuarto de coma, menos relacionada está la afinación con las relaciones armónicas. Esto se puede superar templando los parciales para que coincidan con la afinación, lo que, sin embargo, solo es posible en sintetizadores electrónicos. [10]
12-ET
19-ET
31-ET
43-ET
50-ET
55-ET
Un número entero de quintas perfectas nunca sumará un número entero de octavas, porque log 2 3 es un número irracional. Si un número entero apilado de quintas perfectas está demasiado cerca de la octava, entonces uno de los intervalos que es enarmónicamente equivalente a una quinta debe tener un ancho diferente que las otras quintas. Por ejemplo, para hacer que una escala cromática de 12 notas en afinación pitagórica se acerque a la octava, uno de los intervalos de quinta debe estar más bajo ("desafinado") por la coma pitagórica ; esta quinta alterada se llama " quinta de lobo " porque suena similar a una quinta en su tamaño de intervalo y parece una quinta desafinada, pero en realidad es una sexta disminuida (por ejemplo, entre G ♯ y E ♭ ). Del mismo modo, 11 de las 12 cuartas perfectas también están afinadas, pero la cuarta restante es una tercera aumentada (en lugar de una cuarta verdadera).
Los intervalos de Wolf son un artefacto del diseño del teclado y de los teclistas que utilizan una tecla que en realidad está afinada con un tono diferente al previsto. [11] Esto se puede demostrar más fácilmente utilizando un teclado isomorfo , como el que se muestra en la Figura 2.
En un teclado isomorfo , cualquier intervalo musical dado tiene la misma forma dondequiera que aparezca, excepto en los bordes. He aquí un ejemplo. En el teclado que se muestra en la figura 2, desde cualquier nota dada, la nota que es una quinta perfecta más alta siempre está hacia arriba y hacia la derecha adyacente a la nota dada. No hay intervalos de lobo dentro del lapso de notas de este teclado. El problema está en el borde, en la nota E ♯ . La nota que es una quinta perfecta más alta que E ♯ es B ♯ , que no está incluida en el teclado mostrado (aunque podría estar incluida en un teclado más grande, colocada justo a la derecha de A ♯ , manteniendo así el patrón de notas consistente del teclado). Debido a que no hay un botón B ♯ , al tocar un acorde de potencia E ♯ (acorde de quinta abierta), uno debe elegir otra nota, como C , para tocar en lugar del B ♯ faltante .
Incluso las condiciones de borde producen intervalos de lobo solo si el teclado isomorfo tiene menos botones por octava que notas enarmónicamente distintas en la afinación (Milne 2007 ). Por ejemplo, el teclado isomorfo en la figura 2 tiene 19 botones por octava, por lo que la condición de borde citada anteriormente, de E ♯ a C , no es un intervalo de lobo en temperamento igual de 12 tonos ( TET ), 17 TET o 19 TET ; sin embargo, es un intervalo de lobo en 26 TET , 31 TET y 50 ET. En estas últimas afinaciones, el uso de la transposición electrónica podría mantener las notas de la tecla actual en los botones blancos del teclado isomorfo, de modo que estos intervalos de lobo se encontrarían muy raramente en la música tonal, a pesar de la modulación a teclas exóticas. [12]
Los teclados isomorfos exponen las propiedades invariantes de las afinaciones de tono medio del temperamento sintónico de forma isomórfica (es decir, por ejemplo, exponiendo un intervalo dado con una única forma consistente entre botones en cada octava, tecla y afinación) porque tanto el teclado isomorfo como el temperamento son entidades bidimensionales ( es decir , de rango 2 ) (Milne 2007 ). Los teclados unidimensionales de N teclas (donde N es algún número) pueden exponer con precisión las propiedades invariantes de una única afinación unidimensional en N TET ; por lo tanto, el teclado unidimensional estilo piano, con 12 teclas por octava, puede exponer las propiedades invariantes de una única afinación: 12 TET .
Cuando la quinta perfecta tiene exactamente 700 centavos de ancho (es decir, templada por aproximadamente 1/11 de una coma sintónica, o exactamente 1/12 de una coma pitagórica), entonces la afinación es idéntica al temperamento igual de 12 tonos conocido . Esto aparece en la tabla anterior cuando R = 2:1 .
Debido a los compromisos (y los intervalos de lobo) impuestos a las afinaciones de tonos medios por el teclado unidimensional estilo piano, los temperamentos de pozo y eventualmente el temperamento igual se volvieron más populares.
Usando los nombres de intervalos estándar, doce quintas equivalen a seis octavas más una séptima aumentada ; siete octavas equivalen a once quintas más una sexta disminuida . Teniendo en cuenta esto, tres "terceras menores" son en realidad segundas aumentadas (por ejemplo, B ♭ a C ♯ ), y cuatro "terceras mayores" son en realidad cuartas disminuidas (por ejemplo, B a E ♭ ). Varias tríadas (como B E ♭ F ♯ y B ♭ C ♯ F ) contienen ambos intervalos y tienen quintas normales.
Todas las afinaciones de medio tono caen dentro del rango de afinación válido del temperamento sintónico , por lo que todas las afinaciones de medio tono son afinaciones sintónicas. Todas las afinaciones sintónicas, incluyendo los medio tonos y las diversas entonaciones justas , posiblemente tengan un número infinito de notas en cada octava, es decir, siete notas naturales, siete notas sostenidas ( F ♯ a B ♯ ), siete notas bemoles ( B ♭ a F ♭ ) (que es el límite del arpa orquestal , que permite 21 tonos en una octava); luego notas dobles sostenidas, notas dobles bemoles, triples sostenidos y bemoles, y así sucesivamente. De hecho, los dobles sostenidos y bemoles son poco comunes, pero aún así necesarios; los triples sostenidos y bemoles casi nunca se ven. En cualquier afinación sintónica que divida la octava en un pequeño número de intervalos más pequeños igualmente amplios (como 12 , 19 o 31 ), esta infinidad de notas aún existe, aunque algunas notas serán equivalentes. Por ejemplo, en 19 ET, E ♯ y F ♭ tienen la misma altura; y en la entonación justa para C mayor , C ♯ D
están dentro de los 8,1 ¢ , por lo que pueden moderarse para que sean idénticos.
Muchos instrumentos musicales son capaces de realizar distinciones de tono muy precisas, como la voz humana, el trombón, las cuerdas sin trastes como el violín y los laúdes con trastes atados. Estos instrumentos son muy adecuados para el uso de afinaciones de tono medio.
Por otra parte, el teclado del piano tiene sólo doce dispositivos físicos de control de notas por octava, lo que lo hace poco adecuado para cualquier afinación que no sea 12 ET. Casi todos los problemas históricos con el temperamento de tono medio se deben al intento de asignar el número infinito de notas por octava del temperamento de tono medio a un número finito de teclas del piano. Esta es, por ejemplo, la fuente de la "quinta de lobo" discutida anteriormente. Al elegir qué notas asignar a las teclas negras del piano, es conveniente elegir aquellas notas que sean comunes a un pequeño número de teclas estrechamente relacionadas, pero esto sólo funcionará hasta el borde de la octava; al pasar a la siguiente octava, uno debe usar una "quinta de lobo" que no sea tan amplia como las otras, como se discutió anteriormente.
La existencia de la "quinta de lobo" es una de las razones por las que, antes de la introducción del buen temperamento , la música instrumental generalmente se quedaba en una serie de tonalidades "seguras" que no involucraban la "quinta de lobo" (que generalmente se colocaba entre sol ♯ y mi ♭ ).
A lo largo del Renacimiento y la Ilustración, teóricos tan variados como Nicola Vicentino , Francisco de Salinas , Fabio Colonna , Marin Mersenne , Christiaan Huygens e Isaac Newton defendieron el uso de afinaciones de medio tono que se extendían más allá de las doce notas del teclado, [1] [13] [14] y, por lo tanto, se han llamado afinaciones de medio tono "extendidas". Estos esfuerzos requirieron una extensión correspondiente de los instrumentos de teclado para ofrecer medios para controlar más de 12 notas por octava, incluido el Archicembalo de Vincento , el clavecín 19 ET de Mersenne, la sambuca 31 ET de Colonna y el clavecín 31 ET de Huygens. [15] Otros instrumentos extendieron el teclado solo en unas pocas notas. Algunos clavicémbalos y órganos de la época tienen las teclas de re♯/mi♭ divididas , de modo que tanto mi mayor / do♯ menor (4 sostenidos) como mi ♭ mayor / do menor (3 bemoles) se pueden tocar sin quintas. Muchos de esos instrumentos también tienen las teclas de sol♯/la♭ divididas , y algunos tienen las cinco teclas accidentales divididas.
Todos estos instrumentos alternativos eran "complicados" y "engorrosos" (Isacoff 2009), debido a
que puede reducir significativamente la cantidad de botones de control de notas necesarios en un teclado isomorfo (Plamondon 2009 ). Ambas críticas podrían abordarse con instrumentos de teclado isomorfos electrónicos (como el teclado bloqueador de hardware de código abierto ), que podrían ser más simples, menos engorrosos y más expresivos que los instrumentos de teclado existentes. [16]
