Rango de un grupo abeliano

Número de elementos en un subconjunto de un grupo conmutativo

En matemáticas , el rango , rango de Prüfer o rango libre de torsión de un grupo abeliano A es la cardinalidad de un subconjunto linealmente independiente máximo . ^[1] El rango de A determina el tamaño del grupo abeliano libre más grande contenido en A. Si A es libre de torsión , entonces se incrusta en un espacio vectorial sobre los números racionales de dimensión rango A. Para grupos abelianos finitamente generados , el rango es un invariante fuerte y cada uno de esos grupos está determinado hasta el isomorfismo por su rango y subgrupo de torsión . Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 han sido completamente clasificados. Sin embargo, la teoría de los grupos abelianos de rango superior es más compleja.

El término rango tiene un significado diferente en el contexto de los grupos abelianos elementales .

Definición

Un subconjunto { a _α } de un grupo abeliano A es linealmente independiente (sobre Z ) si la única combinación lineal de estos elementos que es igual a cero es trivial: si

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

donde todos los coeficientes n _α, salvo un número finito, son cero (de modo que la suma es, en efecto, finita), entonces todos los coeficientes son cero. Dos conjuntos linealmente independientes cualesquiera en A tienen la misma cardinalidad , que se denomina rango de A .

El rango de un grupo abeliano es análogo a la dimensión de un espacio vectorial . La principal diferencia con el caso del espacio vectorial es la presencia de torsión . Un elemento de un grupo abeliano A se clasifica como torsión si su orden es finito. El conjunto de todos los elementos de torsión es un subgrupo, llamado subgrupo de torsión y denotado T ( A ). Un grupo se llama libre de torsión si no tiene elementos de torsión no triviales. El grupo de factores A / T ( A ) es el único cociente libre de torsión máximo de A y su rango coincide con el rango de A .

La noción de rango con propiedades análogas puede definirse para módulos sobre cualquier dominio integral , caso de grupos abelianos correspondientes a módulos sobre Z. Para esto, véase módulo finitamente generado#Rango genérico .

Propiedades

• El rango de un grupo abeliano A coincide con la dimensión del espacio vectorial Q A ⊗ Q . Si A no tiene torsión, entonces la función canónica A → A ⊗ Q es inyectiva y el rango de A es la dimensión mínima del espacio vectorial Q que contiene a A como subgrupo abeliano. En particular, cualquier grupo intermedio Z ⁿ < A < Q ⁿ tiene rango n .
• Los grupos abelianos de rango 0 son exactamente los grupos abelianos periódicos .
• El grupo Q de los números racionales tiene rango 1. Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 se realizan como subgrupos de Q y existe una clasificación satisfactoria de ellos hasta el isomorfismo. Por el contrario, no existe una clasificación satisfactoria de los grupos abelianos libres de torsión de rango 2. ^[2]
• El rango es aditivo en secuencias exactas cortas : si

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}$

es una secuencia corta y exacta de grupos abelianos, entonces rk  B = rk  A  + rk  C. Esto se deduce de la planicidad de Q y del hecho correspondiente para los espacios vectoriales.

• El rango es aditivo sobre sumas directas arbitrarias :

${\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}$

donde la suma en el lado derecho utiliza aritmética cardinal .

Grupos de rango superior

Los grupos abelianos de rango mayor que 1 son fuentes de ejemplos interesantes. Por ejemplo, para cada cardinal d existen grupos abelianos libres de torsión de rango d que son indecomponibles , es decir, no se pueden expresar como una suma directa de un par de sus subgrupos propios. Estos ejemplos demuestran que el grupo abeliano libre de torsión de rango mayor que 1 no se puede construir simplemente por sumas directas de grupos abelianos libres de torsión de rango 1, cuya teoría es bien entendida. Además, para cada entero , hay un grupo abeliano libre de torsión de rango que es simultáneamente una suma de dos grupos indecomponibles y una suma de n grupos indecomponibles. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, incluso el número de sumandos indecomponibles de un grupo de un rango par mayor o igual a 4 no está bien definido. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle 2n-2}$

Otro resultado sobre la no unicidad de las descomposiciones de suma directa se debe a ALS Corner: dados los números enteros , existe un grupo abeliano libre de torsión A de rango n tal que para cualquier partición en k sumandos naturales, el grupo A es la suma directa de k subgrupos indecomponibles de rangos . ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, la secuencia de rangos de sumandos indecomponibles en una cierta descomposición de suma directa de un grupo abeliano libre de torsión de rango finito está muy lejos de ser un invariante de A . ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$ ${\displaystyle n=r_{1}+\cdots +r_{k}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$

Otros ejemplos sorprendentes incluyen grupos de rango 2 libres de torsión A _{n , m} y B _{n , m} tales que A ⁿ es isomorfo a B ⁿ si y solo si n es divisible por m .

Para grupos abelianos de rango infinito, existe un ejemplo de un grupo K y un subgrupo G tales que

• K es indescomponible;
• K se genera a partir de G y un único elemento más; y
• Todo sumando directo distinto de cero de G es descomponible.

Generalización

La noción de rango puede generalizarse para cualquier módulo M sobre un dominio integral R , como la dimensión sobre R ₀ , el campo cociente , del producto tensorial del módulo con el campo:

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}}$

Tiene sentido, ya que R ₀ es un campo y, por lo tanto, cualquier módulo (o, para ser más específicos, espacio vectorial ) sobre él es libre.

Se trata de una generalización, ya que todo grupo abeliano es un módulo sobre los números enteros. Se sigue fácilmente que la dimensión del producto sobre Q es la cardinalidad del subconjunto linealmente independiente máximo, ya que para cualquier elemento de torsión x y cualquier racional q ,

${\displaystyle x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.}$

Véase también

• Rango de un grupo

Referencias

1. Página 46 de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
2. Thomas, Simon; Schneider, Scott (2012), "Relaciones de equivalencia de Borel contables", en Cummings, James; Schimmerling, Ernest (eds.), Appalachian Set Theory: 2006-2012 , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 406, Cambridge University Press, págs. 25–62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113 , doi :10.1017/CBO9781139208574.003, ISBN  9781107608504En la página 46, Thomas y Schneider se refieren a "...este fracaso en clasificar incluso los grupos de rango 2 de una manera satisfactoria..."