En teoría musical , la quinta de lobo (a veces también llamada quinta de Procusto o quinta imperfecta ) [1] [2] es un intervalo musical particularmente disonante que abarca siete semitonos . Estrictamente, el término se refiere a un intervalo producido por un sistema de afinación específico , ampliamente utilizado en los siglos XVI y XVII: el temperamento de medio tono de cuarto de coma . [3] De manera más amplia, también se utiliza para referirse a intervalos similares (de magnitudes cercanas, pero variables) producidos por otros sistemas de afinación, incluidos los temperamentos pitagóricos y la mayoría de los de medio tono .
Cuando las doce notas dentro de la octava de una escala cromática se afinan utilizando los sistemas de temperamento de medio tono de un cuarto de coma, uno de los doce intervalos que aparentemente abarcan siete semitonos es en realidad una sexta disminuida , que resulta ser mucho más amplia que las quintas genuinas afinadas , [a] En los sistemas de medio tono, este intervalo suele ser de do ♯ a la ♭ o de sol ♯ a mi ♭, pero se puede mover en cualquier dirección para favorecer ciertos grupos de claves. [4] Las once quintas perfectas suenan casi perfectamente consonantes. Por el contrario, la sexta disminuida utilizada como sustituto es severamente disonante: suena como el aullido de un lobo , debido a un fenómeno llamado latido . Dado que la sexta disminuida es nominalmente equivalente enarmónicamente a una quinta perfecta, pero en el temperamento de medio tono , las notas enarmónicas solo están cerca (dentro de aproximadamente 1/4 agudo o 1/4 bemol); la discordancia del intervalo sustituido se llama "quinta de lobo".
Además de la coma de cuarto de tono mencionada anteriormente, otros sistemas de afinación pueden producir sextas disminuidas severamente disonantes. Por el contrario, en el temperamento igual de 12 tonos (12-TET) , que es el sistema de afinación más comúnmente utilizado actualmente, la sexta disminuida no es una quinta lobo, ya que tiene exactamente el mismo tamaño que una quinta perfecta.
Por extensión, cualquier intervalo que se percibe como severamente disonante y se considera como "aullando como un lobo" se llama intervalo de lobo . Por ejemplo, en el tono medio de negra, la segunda aumentada , la tercera aumentada , la quinta aumentada , la cuarta disminuida y la séptima disminuida pueden llamarse intervalos de lobo, ya que su relación de frecuencias se desvía significativamente de la relación del intervalo correspondiente correctamente afinado (ver Tamaño de los intervalos de tono medio de negra ).
La razón de los tonos "lobo" en las afinaciones de tono medio es la mala práctica de los intérpretes de presionar la tecla para una nota enarmónica como sustituto de una nota que no ha sido afinada en el teclado; por ejemplo, presionar la tecla negra afinada en G ♯ cuando la música requiere A ♭ . En todos los sistemas de afinación de tono medio , los sostenidos y los bemoles no son equivalentes; una reliquia de esto, que persiste en la práctica musical moderna, es distinguir meticulosamente la notación musical para dos notas que tienen el mismo tono en temperamento igual ( "enarmónico" ) y se tocan con la misma tecla en un teclado de temperamento igual (como C ♯ y D ♭ , o E ♯ y F ♮ ), a pesar del hecho de que son iguales en todo menos en teoría .
Para cerrar el círculo de quintas en escalas de 12 notas, doce quintas deben promediar 700 cents [b] Cada una de las primeras once quintas (empezando por la quinta debajo de la tónica , la subdominante : F en la tonalidad de C, cuando cada tecla negra está afinada a un sostenido mediotono / sin bemoles) tiene un valor de 700 − ε cents , donde ε es un pequeño número de cents por los que se desafinan todas las quintas. [c] En los sistemas de afinación de temperamento mediotono , la duodécima y última quinta no existe en la octava de 12 notas del teclado. La nota real disponible es realmente una sexta disminuida : el intervalo es 700 + 11 ε cents , y no es una quinta mediotono correcta, que sería 700 − ε cents. La diferencia de 12 ε cents entre el tono disponible y el tono deseado es la fuente del "lobo". El efecto "lobo" es particularmente molesto para valores de 12 ε centavos que se acercan a 20~25 centavos [d] Una reacción simplista al problema es: "Por supuesto que suena horrible: ¡Estás tocando la nota equivocada!"
Con solo 12 notas disponibles en la octava de un teclado convencional, en las afinaciones de tono medio siempre deben omitirse notas. Por ejemplo, una opción para afinar un instrumento en tono medio, para tocar música en la tonalidad de C ♮ , sería
con este conjunto de notas seleccionadas en negrita y algunas de las notas omitidas mostradas en gris. [e]
Esta limitación en el conjunto de notas medias y sus sostenidos y bemoles que se pueden afinar en un teclado en cualquier momento, fue la razón principal por la que los intérpretes de teclado y arpa orquestal del período barroco se vieron obligados a afinar sus instrumentos en los descansos a mitad de la interpretación, para tener disponibles todas las alteraciones accidentales requeridas por la siguiente pieza musical. [f] [g] Algunas músicas que modulan demasiado entre teclas no se pueden tocar en un solo teclado o arpa, sin importar cómo estén afinadas: en el ejemplo de afinación anterior, la música que modula de do mayor a la mayor (que necesita sol ♯ para la séptima nota ) y do menor (que necesita la ♭ para su sexta nota ) no es posible, ya que cada una de las dos notas medias, sol ♯ y la ♭ , requieren que la misma cuerda en cada octava del instrumento esté afinada a sus diferentes tonos.
Por conveniencia, los teclistas sustituyen el intervalo de sexta disminuida incorrecto por una quinta mediatónica genuina (o se olvidan de afinar nuevamente su instrumento). Aunque no está disponible, una quinta mediatónica genuina sería consonante, pero en los sistemas de afinación mediatónica (donde ε no es cero) el sostenido de cualquier nota siempre es diferente del bemol de la nota que está por encima de ella. Un teclado mediatónico que permitiera una modulación ilimitada teóricamente requeriría un número infinito de teclas sostenidas y bemoles separadas, y luego dobles sostenidos y dobles bemoles, y así sucesivamente: Inevitablemente debe haber tonos faltantes en un teclado estándar con solo 12 notas en una octava. El valor de ε cambia según el sistema de afinación. En otros sistemas de afinación (como la afinación pitagórica y la mediatónica de doceava coma), cada una de las once quintas puede tener un tamaño de 700 + ε cents, por lo que la sexta disminuida es 700 − 11 ε cents. Si su diferencia 12 ε , es muy grande, como en el sistema de afinación de tono medio de negra, se utiliza la sexta disminuida como sustituto de una quinta, se llama "quinta lobo".
En términos de relaciones de frecuencia , para cerrar el círculo de quintas , el producto de las relaciones de las quintas debe ser 128 (ya que las doce quintas, si se cierran en un círculo, abarcan siete octavas exactamente; una octava es 2:1 , y 2 7 = 128 ), y si f es el tamaño de una quinta, 128 : f 11 , o f 11 : 128 , será el tamaño del lobo.
Asimismo encontramos variadas afinaciones para las terceras: Las terceras mayores deben tener una media de 400 centésimas, y a cada par de terceras de tamaño 400 ∓ 4 ε centésimas tenemos una tercera (o cuarta disminuida) de 400 ± 8 ε centésimas, dando lugar a ocho terceras 4 ε centésimas más estrechas o anchas, y cuatro cuartas disminuidas 8 ε centésimas más anchas o estrechas que la media. Tres de estas cuartas disminuidas forman tríadas mayores con quintas perfectas, pero una de ellas forma una tríada mayor sustituyendo la sexta disminuida por una quinta real. Si la sexta disminuida es un intervalo de lobo, esta tríada se denomina tríada mayor de lobo .
De manera similar, obtenemos nueve terceras menores de 300 ± 3 ε cents y tres terceras menores (o segundas aumentadas) de 300 ∓ 9 ε cents.
En el tono medio de un cuarto de coma , la relación de frecuencia para la quinta es 4 √ 5 , que es aproximadamente 3,42157 centavos más plano que 700 centavos de temperamento igual (o exactamente un doceavo de una diesis ), y por lo tanto el lobo es aproximadamente 737,637 centavos, o 35,682 centavos más agudo que una quinta perfecta con una relación exactamente de 3:2 , y esta es la quinta del lobo "aullante" original.
Las terceras menores bemoles son solo alrededor de 2,335 centésimas más agudas que una tercera submenor de proporción 7:6 , y las terceras mayores agudas, de proporción exactamente 32:25 , son alrededor de 7,712 centésimas más graves que la tercera supermayor de 9:7 . Las afinaciones de tonos medios con quintas ligeramente más graves producen aproximaciones aún más cercanas a las terceras submenores y supermayores y sus tríadas correspondientes. Por lo tanto, estas terceras difícilmente merecen el apelativo de wolf, y de hecho, históricamente no se les ha dado ese nombre.
El quinto lobo de un cuarto de coma significa uno se puede aproximar por el intervalo de límite 7 49:32 , que tiene un tamaño de 737,652 centavos.
En la afinación pitagórica , hay once quintas afinadas con precisión que son más agudas que 700 centésimas en aproximadamente 1,955 centésimas (o exactamente un doceavo de una coma pitagórica ), y por lo tanto una quinta será doce veces más grave, lo que es 23,460 centésimas (una coma pitagórica) más grave que una quinta justa. Una quinta tan grave también puede considerarse como "aullando como un lobo". Ahora también hay ocho terceras mayores agudas y cuatro bemoles.
La afinación de cinco límites fue diseñada para maximizar el número de intervalos puros, pero incluso en este sistema varios intervalos son marcadamente impuros. La afinación de cinco límites produce un número mucho mayor de intervalos de Wolf con respecto a la afinación pitagórica , que puede considerarse una afinación de entonación justa de tres límites. Es decir, mientras que la afinación pitagórica determina solo 2 intervalos de lobo (una quinta y una cuarta), las escalas simétricas de 5 límites producen 12 de ellos, y la escala asimétrica 14. También es importante señalar que las dos quintas, tres terceras menores y tres sextas mayores marcadas en naranja en las tablas (ratio 40:27 , 32:27 y 27:16 ; o G↓, E ♭ ↓ y A↑), aunque no cumplen completamente las condiciones para ser intervalos de lobo, se desvían de la razón pura correspondiente en una cantidad (1 coma sintónica , es decir, 81:80 , o aproximadamente 21,5 cents ) lo suficientemente grande como para ser claramente percibida como disonante .
La afinación de cinco límites determina una sexta disminuida de tamaño 1024:675 (aproximadamente 722 centésimas, es decir, 20 centésimas más aguda que la quinta perfecta pitagórica 3:2 ). Si este intervalo debe considerarse lo suficientemente disonante como para ser llamado quinta lobo es un asunto controvertido.
La afinación de cinco límites también crea dos quintas perfectas impuras de tamaño 40:27 . Las quintas de cinco límites son aproximadamente 680 centésimas; menos puras que la quinta perfecta pitagórica 3:2 y/o solo 701.95500 centésimas . No son sextas disminuidas, pero en relación con la quinta perfecta pitagórica son menos consonantes (aproximadamente 20 centésimas más planas) y, por lo tanto, podrían considerarse quintas de lobo. La inversión correspondiente es una cuarta perfecta impura de tamaño 27:20 (aproximadamente 520 centésimas ). Por ejemplo, en la escala diatónica de Do mayor , una quinta perfecta impura surge entre Re y La, y su inversión surge entre La y Re.
Dado que en este contexto el término perfecto se interpreta como "perfectamente consonante", [5] la cuarta perfecta impura y la quinta perfecta a veces se denominan simplemente cuarta y quinta imperfectas . [2] Sin embargo, la convención de nomenclatura estándar ampliamente adoptada para los intervalos musicales los clasifica como intervalos perfectos , junto con la octava y el unísono . Esto también es cierto para cualquier cuarta perfecta o quinta perfecta que se desvíe ligeramente de las proporciones perfectamente consonantes 4:3 o 3:2 (por ejemplo, aquellas afinadas usando el temperamento de 12 tonos igual o de cuarto de coma mediotono ). Por el contrario, las expresiones cuarta imperfecta y quinta imperfecta no entran en conflicto con la convención de nomenclatura estándar cuando se refieren a una tercera aumentada disonante o una sexta disminuida (por ejemplo, la cuarta y quinta lobo en la afinación pitagórica).
Los intervalos de Wolf son una consecuencia de mapear un temperamento bidimensional a un teclado unidimensional. [6] La única solución es hacer que el número de dimensiones coincida. Es decir:
Cuando la quinta perfecta está templada para tener exactamente 700 centavos de ancho (es decir, templada por casi exactamente 1/11 de una coma sintónica , o precisamente 1/12 de una coma pitagórica ), entonces la afinación es idéntica al temperamento igual de 12 tonos, ahora estándar .
Debido a los compromisos (y los intervalos de lobo) impuestos a las afinaciones de tonos medios por el teclado unidimensional estilo piano, los temperamentos de pozo y, eventualmente, el temperamento igual de 12 tonos se volvieron más populares.
Una quinta parte del tamaño que Mozart prefería, en o cerca de la quinta parte de temperamento igual de 698,182 centésimas, tendrá un lobo de 720 centésimas: 18,045 centésimas más agudo que una quinta afinada correctamente. Esto aúlla mucho menos agudamente, pero aún se nota.
El lobo puede ser "domesticado" adoptando un temperamento igual o un temperamento bueno . Los más intrépidos pueden simplemente querer tratarlo como un intervalo musical xenarmónico ; dependiendo del tamaño de la quinta media, la quinta del lobo puede ser afinada a proporciones justas más complejas 20:13, 26:17, 17:11, 32:21 o 49:32.
Con un temperamento medio más extremo, como el temperamento igual 19 , el lobo es lo suficientemente grande como para estar más cerca en tamaño de una sexta que de una quinta, y suena como un intervalo completamente diferente en lugar de una quinta desafinada.
Un método alternativo menos conocido que permite el uso de temperamentos multidimensionales sin intervalos de Wolf es utilizar un teclado bidimensional que sea " isomorfo " con ese temperamento. Un teclado y un temperamento son isomorfos si son generados por los mismos intervalos. Por ejemplo, el teclado Wicki que se muestra en la Figura 1 es generado por los mismos intervalos musicales que el temperamento sintónico —es decir, por la octava y la quinta perfecta temperada— , por lo que son isomorfos.
En un teclado isomorfo , cualquier intervalo musical dado tiene la misma forma dondequiera que aparezca, en cualquier octava, clave y afinación, excepto en los bordes. Por ejemplo, en el teclado de Wicki, desde cualquier nota dada, la nota que es una quinta perfecta temperada más alta siempre está adyacente hacia arriba y hacia la derecha a la nota dada. No hay intervalos de lobo dentro del lapso de notas de este teclado. El único problema está en el borde, en la nota E ♯ . La nota que es una quinta perfecta temperada más alta que E ♯ es B ♯ , que no está incluida en el teclado mostrado (aunque podría incluirse en un teclado más grande, colocado justo a la derecha de A ♯ , manteniendo así el patrón de notas consistente del teclado). Debido a que no hay un botón B ♯ , al tocar un acorde de potencia E ♯ , uno debe elegir otra nota que esté cerca en tono a B ♯ , como C, para tocar en lugar del B ♯ faltante . Es decir, el intervalo de Mi ♯ a Do sería un "intervalo de lobo" en este teclado. En 19-TET , el intervalo de Mi ♯ a Do ♭ sería (enarmónico a) una quinta perfecta.
Sin embargo, tales condiciones de borde producen intervalos de lobo solo si el teclado isomorfo tiene menos botones por octava que notas enarmónicamente distintas en la afinación. [6] Por ejemplo, el teclado isomorfo en la Figura 2 tiene 19 botones por octava, por lo que la condición de borde citada anteriormente, de E ♯ a C, no es un intervalo de lobo en 12-TET , 17-TET o 19-TET ; sin embargo, es un intervalo de lobo en 26-TET , 31-TET y 53-TET . En estas últimas afinaciones, el uso de la transposición electrónica podría mantener las notas de la tecla actual centradas en el teclado isomorfo, en cuyo caso estos intervalos de lobo se encontrarían muy raramente en la música tonal, a pesar de la modulación a teclas exóticas. [8]
Un teclado que es isomorfo con el temperamento sintónico, como el teclado de Wicki mencionado anteriormente, conserva su isomorfismo en cualquier afinación dentro del continuo de afinación del temperamento sintónico, incluso cuando cambia de afinación dinámicamente entre dichas afinaciones. [8] Plamondon, Milne y Sethares (2009), [8] La Figura 2 muestra el rango de afinación válido del temperamento sintónico.
... intervalo musical 'tercera mayor pitagórica'.
concordancia perfecta.
