grupo picardo

Grupo matemático que ocurre en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas.

En matemáticas , el grupo Picard de un espacio anillado X , denotado por Pic( X ), es el grupo de clases de isomorfismo de haces (o haces de líneas ) invertibles en X , siendo la operación del grupo producto tensorial . Esta construcción es una versión global de la construcción del grupo de clases divisor, o grupo de clases ideal , y se usa mucho en geometría algebraica y teoría de variedades complejas .

Alternativamente, el grupo Picard se puede definir como el grupo de cohomología de la gavilla.

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

Para esquemas integrales , el grupo Picard es isomorfo al grupo de clases de divisores Cartier . Para variedades complejas, la secuencia de haz exponencial proporciona información básica sobre el grupo Picard.

El nombre es en honor a las teorías de Émile Picard , en particular de los divisores sobre superficies algebraicas .

Ejemplos

• El grupo Picard del espectro de un dominio de Dedekind es su grupo de clase ideal .
• Las gavillas invertibles en el espacio proyectivo P ⁿ ( k ) para k un campo , son las gavillas torcidas , por lo que el grupo Picard de P ⁿ ( k ) es isomorfo a Z. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$
• El grupo Picard de la línea afín con dos orígenes sobre k es isomorfo a Z.
• El grupo Picard del espacio afín complejo de dimensiones : de hecho, la secuencia exponencial produce la siguiente secuencia larga exacta en cohomología ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

y dado que ^[1] tenemos porque es contráctil, entonces y podemos aplicar el isomorfismo de Dolbeault para calcular mediante el lema de Dolbeault-Grothendieck . ${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$

esquema picardo

La construcción de una estructura de esquema en ( versión funtor representable de) el grupo Picard, el esquema Picard , es un paso importante en la geometría algebraica, en particular en la teoría de la dualidad de las variedades abelianas . Fue construido por Grothendieck (1962), y también descrito por Mumford (1966) y Kleiman (2005).

En los casos de mayor importancia para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa no singular V sobre un campo de característica cero, el componente conexo de la identidad en el esquema de Picard es una variedad abeliana llamada variedad Picard y denotada Pic ⁰ ( V ). El dual de la variedad Picard es la variedad Albanese , y en el caso particular donde V es una curva, la variedad Picard es naturalmente isomorfa a la variedad jacobiana de V. Sin embargo, para campos de característica positiva, Igusa construyó un ejemplo de una superficie proyectiva suave S con Pic ⁰ ( S ) no reducida y, por lo tanto, no es una variedad abeliana .

El cociente Pic( V )/Pic ⁰ ( V ) es un grupo abeliano generado finitamente denominado NS( V ), el grupo Néron-Severi de V . En otras palabras, el grupo Picard encaja en una secuencia exacta.

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

El hecho de que el rango de NS( V ) sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi ; el rango es el número Picard de V , a menudo denominado ρ( V ). Geométricamente NS( V ) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V ; es decir, utilizando una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de equivalencia lineal de divisores , la clasificación se vuelve susceptible de invariantes discretas. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica , una clasificación esencialmente topológica por números de intersección .

Esquema relativo de Picard

Sea f : X → S un morfismo de esquemas. El functor Picard relativo (o el esquema Picard relativo si es un esquema) viene dado por: ^[2] para cualquier S -esquema T ,

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

donde es el cambio de base de f y f _T ^* es el retroceso. ${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$

Decimos que una L in tiene grado r si para cualquier punto geométrico s → T el retroceso de L a lo largo de s tiene grado r como un haz invertible sobre la fibra X _s (cuando el grado se define para el grupo Picard de X _s ). ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$ ${\displaystyle s^{*}L}$

Ver también

• Cohomología de la gavilla
• Variedad de comida
• Divisor Cartier
• Paquete de líneas holomorfas
• grupo de clase ideal
• grupo de clase arakelov
• pila de grupo
• categoría picardo

Notas

1. Cohomología de gavilla # Cohomología de gavilla con coeficientes constantes
2. Kleiman 2005, Definición 9.2.2.

Referencias

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: año 1961/62, exposiciones 223-240, núm. 7, Charla no. 232, págs. 143-161
• Grothendieck, A. (1962), VI. Los esquemas de Picard. Propiedades generales, Séminaire Bourbaki, t. 14: año 1961/62, exposiciones 223-240, núm. 7, Charla no. 236, págs. 221-243
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052
• Igusa, Jun-Ichi (1955), "Sobre algunos problemas de geometría algebraica abstracta", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 41 (11): 964–967, Bibcode : 1955PNAS...41..964I, doi : 10.1073/pnas.41.11.964 , PMC  534315 , PMID  16589782
• Kleiman, Steven L. (2005), "El esquema de Picard", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Encuestas Monogr., vol. 123, Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K, MR  2223410
• Mumford, David (1966), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-07993-6, SEÑOR  0209285, OCLC  171541070
• Mumford, David (1970), Variedades abelianas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290