En matemáticas , un haz de líneas expresa el concepto de línea que varía de un punto a otro de un espacio. Por ejemplo, una curva en el plano que tiene una línea tangente en cada punto determina una línea variable: el paquete tangente es una forma de organizarlas. Más formalmente, en topología algebraica y topología diferencial , un paquete de líneas se define como un paquete de vectores de rango 1. [1]
Los paquetes de líneas se especifican eligiendo un espacio vectorial unidimensional para cada punto del espacio de manera continua. En aplicaciones topológicas, este espacio vectorial suele ser real o complejo. Los dos casos muestran un comportamiento fundamentalmente diferente debido a las diferentes propiedades topológicas de los espacios vectoriales reales y complejos: si el origen se elimina de la línea real, entonces el resultado es el conjunto de matrices reales invertibles 1×1 , que es homotopía equivalente a un espacio discreto de dos puntos contrayendo los reales positivos y negativos cada uno a un punto; mientras que eliminar el origen del plano complejo produce matrices complejas invertibles 1 × 1, que tienen el tipo de homotopía de un círculo.
Por lo tanto, desde la perspectiva de la teoría de la homotopía , un haz de líneas real se comporta de manera muy similar a un haz de fibras con una fibra de dos puntos, es decir, como una doble cubierta . Un caso especial de esto es la doble cubierta orientable de una variedad diferenciable , donde el paquete de líneas correspondiente es el paquete determinante del paquete tangente (ver más abajo). La tira de Möbius corresponde a una doble cobertura del círculo (el mapeo θ → 2θ) y, al cambiar la fibra, también se puede considerar que tiene una fibra de dos puntos, el intervalo unitario como una fibra o la línea real.
Los paquetes de líneas complejos están estrechamente relacionados con los paquetes de círculos . Hay algunos famosos, por ejemplo las fibraciones de Hopf de esferas a esferas.
En geometría algebraica , una gavilla invertible (es decir, una gavilla localmente libre de rango uno) a menudo se denomina haz de líneas .
Cada paquete de líneas surge de un divisor con las siguientes condiciones
(I) Si X es un esquema reducido e irreducible, entonces cada paquete de líneas proviene de un divisor.
(II) Si X es un esquema proyectivo, entonces se cumple la misma afirmación.
Uno de los haces de líneas más importantes en geometría algebraica es el haz de líneas tautológico en el espacio proyectivo . La proyectivización P ( V ) de un espacio vectorial V sobre un campo k se define como el cociente de por la acción del grupo multiplicativo k × . Por lo tanto, cada punto de P ( V ) corresponde a una copia de k × , y estas copias de k × se pueden ensamblar en un paquete k × sobre P ( V ). k × difiere de k solo en un único punto, y al unir ese punto a cada fibra, obtenemos un haz de líneas en P ( V ). Este haz de líneas se denomina haz de líneas tautológico . Este haz de líneas se denomina a veces porque corresponde al dual de la gavilla retorcida de Serre .
Supongamos que X es un espacio y que L es un paquete de líneas en X. Una sección global de L es una función s : X → L tal que si p : L → X es la proyección natural, entonces ps = id X . En una pequeña vecindad U en X en la que L es trivial, el espacio total del paquete de líneas es el producto de U y el campo subyacente k , y la sección s se restringe a una función U → k . Sin embargo, los valores de s dependen de la elección de la trivialización, por lo que se determinan sólo hasta la multiplicación por una función que no desaparece en ninguna parte.
Las secciones globales determinan mapas de espacios proyectivos de la siguiente manera: Al elegir r + 1 , no todos los puntos cero en una fibra de L eligen una fibra del haz de líneas tautológicas en P r , por lo que elegir r + 1 secciones globales de L que no desaparecen simultáneamente determina un mapa desde X al espacio proyectivo P r . Este mapa envía las fibras de L a las fibras del dual del haz tautológico. Más específicamente, supongamos que s 0 , ..., s r son secciones globales de L . En una pequeña vecindad U en X , estas secciones determinan funciones con valores k en U cuyos valores dependen de la elección de la trivialización. Sin embargo, están determinados hasta la multiplicación simultánea por una función distinta de cero, por lo que sus proporciones están bien definidas. Es decir, sobre un punto x , los valores s 0 ( x ), ..., s r ( x ) no están bien definidos porque un cambio en la trivialización los multiplicará cada uno por una constante λ distinta de cero. Pero las multiplicará por la misma constante λ, por lo que las coordenadas homogéneas [ s 0 ( x ) : ... : s r ( x )] están bien definidas siempre que las secciones s 0 , ..., s r no desaparezcan simultáneamente en x . Por lo tanto, si las secciones nunca desaparecen simultáneamente, determinan una forma [ s 0 : ... : s r ] que da un mapa de X a P r , y el retroceso del dual del paquete tautológico bajo este mapa es L . De esta forma, el espacio proyectivo adquiere una propiedad universal .
La forma universal de determinar un mapa del espacio proyectivo es mapear la proyectivización del espacio vectorial de todas las secciones de L. En el caso topológico, hay una sección que no desaparece en cada punto que se puede construir utilizando una función de relieve que desaparece fuera de una pequeña vecindad del punto. Debido a esto, el mapa resultante está definido en todas partes. Sin embargo, el codominio suele ser demasiado grande para ser útil. Lo contrario ocurre en los entornos algebraico y holomórfico. Aquí el espacio de las secciones globales es a menudo de dimensión finita, pero puede que no haya secciones globales que no desaparezcan en un punto dado. (Como en el caso en que este procedimiento construye un lápiz de Lefschetz ). De hecho, es posible que un paquete no tenga ninguna sección global distinta de cero; este es el caso del haz de líneas tautológicas. Cuando el conjunto de líneas es suficientemente amplio, esta construcción verifica el teorema de incrustación de Kodaira .
En general, si V es un haz vectorial en un espacio X , con dimensión de fibra constante n , la enésima potencia exterior de V tomada fibra por fibra es un haz de líneas, llamado haz de líneas determinante . Esta construcción se aplica en particular al haz cotangente de una variedad lisa . El paquete determinante resultante es responsable del fenómeno de las densidades tensoriales , en el sentido de que para una variedad orientable tiene una sección global que no desaparece, y sus potencias tensoriales con cualquier exponente real pueden definirse y usarse para 'torcer' cualquier paquete vectorial por tensor . producto .
La misma construcción ( tomando la potencia exterior superior) se aplica a un módulo proyectivo M generado finitamente sobre un dominio noetheriano y el módulo invertible resultante se llama módulo determinante de M.
La primera clase Stiefel-Whitney clasifica paquetes de líneas reales suaves; en particular, la colección de (clases de equivalencia de) haces de líneas reales está en correspondencia con elementos de la primera cohomología con coeficientes Z /2 Z ; esta correspondencia es de hecho un isomorfismo de grupos abelianos (las operaciones de grupo son el producto tensorial de haces de líneas y la suma habitual en cohomología). De manera análoga, la primera clase de Chern clasifica haces de líneas complejas suaves en un espacio, y el grupo de haces de líneas es isomorfo a la segunda clase de cohomología con coeficientes enteros. Sin embargo, los paquetes pueden tener estructuras suaves equivalentes (y por lo tanto la misma primera clase Chern) pero estructuras holomorfas diferentes. Las declaraciones de clase de Chern se prueban fácilmente utilizando la secuencia exponencial de gavillas en la variedad.
De manera más general, se puede ver el problema de clasificación desde un punto de vista teórico de la homotopía. Hay un paquete universal para paquetes de líneas reales y un paquete universal para paquetes de líneas complejos. Según la teoría general sobre clasificación de espacios , la heurística consiste en buscar espacios contráctiles sobre los cuales existen acciones grupales de los respectivos grupos C 2 y S 1 , que son acciones libres. Esos espacios pueden servir como los paquetes principales universales , y los cocientes de las acciones como los espacios de clasificación BG . En estos casos podemos encontrarlos explícitamente, en los análogos de dimensión infinita del espacio proyectivo real y complejo .
Por tanto el espacio clasificador BC 2 es del tipo homotópico de RP ∞ , el espacio proyectivo real dado por una secuencia infinita de coordenadas homogéneas . Lleva el paquete de líneas reales universal; en términos de teoría de homotopía, eso significa que cualquier paquete de líneas reales L en un complejo CW X determina un mapa de clasificación de X a RP ∞ , haciendo de L un paquete isomorfo al retroceso del paquete universal. Este mapa de clasificación se puede utilizar para definir la clase Stiefel-Whitney de L , en la primera cohomología de X con coeficientes Z /2 Z , a partir de una clase estándar en RP ∞ .
De manera análoga, el espacio proyectivo complejo CP ∞ lleva un haz de líneas complejo universal. En este caso, la clasificación de mapas da lugar a la primera clase Chern de X , en H 2 ( X ) (cohomología integral).
Existe otra teoría análoga con los haces de líneas cuaterniónicas (dimensión real cuatro). Esto da lugar a una de las clases de Pontryagin , en cohomología cuatridimensional real.
De esta manera, los casos fundamentales de la teoría de clases características dependen únicamente de haces de líneas. Según un principio de división general , esto puede determinar el resto de la teoría (si no explícitamente).
Existen teorías de haces de líneas holomorfas en variedades complejas y haces invertibles en geometría algebraica , que elaboran una teoría de haces de líneas en esas áreas.
