Variedad de comida

En matemáticas , particularmente en el campo de la geometría algebraica , una variedad Chow es una variedad algebraica cuyos puntos corresponden a ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos en un espacio proyectivo dado . Más precisamente, la variedad Chow ^[1] es la variedad de módulos finos que parametriza todos los ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado en . ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

La variedad Chow se puede construir mediante un Chow incrustado en un espacio proyectivo suficientemente grande. Esta es una generalización directa de la construcción de una variedad Grassmanniana a través de la incrustación de Plücker , como son los Grassmannianos en el caso de las variedades Chow. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle d=1}$

Las variedades de Chow son distintas de los grupos de Chow , que son el grupo abeliano de todos los ciclos algebraicos en una variedad (no necesariamente en un espacio proyectivo) hasta la equivalencia racional. Ambos llevan el nombre de Wei-Liang Chow (周煒良), pionero en el estudio de ciclos algebraicos.

Antecedentes de los ciclos algebraicos

Si X es una subvariedad cerrada de dimensión , el grado de X es el número de puntos de intersección entre X y un subespacio proyectivo genérico ^[2] -dimensional de . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

El grado es constante en familias ^[4] de subvariedades, excepto en ciertos límites degenerados. Para ver esto, considere la siguiente familia parametrizada por t.

${\displaystyle X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$.

Siempre que , es una cónica (una subvariedad irreductible de grado 2), pero degenera a la recta (que tiene grado 1). Hay varios enfoques para conciliar esta cuestión, pero el más simple es declarar que es una línea de multiplicidad 2 (y más generalmente adjuntar multiplicidades a subvariedades) usando el lenguaje de ciclos algebraicos . ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Un ciclo algebraico dimensional es una combinación lineal formal finita ${\displaystyle (k-1)}$

${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$.

en el que s son subvariedades cerradas irreducibles -dimensionales en , y s son números enteros. Un ciclo algebraico es efectivo si cada . El grado de un ciclo algebraico se define como ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq 0}$

${\displaystyle \deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})}$.

Un polinomio homogéneo o un ideal homogéneo en n-muchas variables define un ciclo algebraico efectivo en , en el que la multiplicidad de cada componente irreducible es del orden de desaparición en ese componente. En la familia de ciclos algebraicos definida por , el ciclo es 2 veces la recta , que tiene grado 2. De manera más general, el grado de un ciclo algebraico es constante en las familias, por lo que tiene sentido considerar el problema de módulos de ciclos algebraicos efectivos. de dimensión y grado fijos. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{2}-tyz}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Ejemplos de variedades de Chow

Hay tres clases especiales de variedades de Chow con construcciones particularmente simples.

Grado 1: Subespacios

Un ciclo algebraico efectivo de dimensión k-1 y grado 1 es la proyectivización de un subespacio k-dimensional de un espacio afín n-dimensional. Esto le da un isomorfismo a una variedad de Grassmann : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,1,n)\simeq \operatorname {Gr} (k,n)}$

Este último espacio tiene un distinguido sistema de coordenadas homogéneas , dado por las coordenadas de Plücker .

Dimensión 0: Puntos

Un ciclo algebraico efectivo en de dimensión 0 y grado d es una d-tupla (desordenada) de puntos en , posiblemente con repetición. Esto da un isomorfismo a una potencia simétrica de : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (1,d,n)\simeq \operatorname {Sym} _{d}\mathbb {P} ^{n-1}}$.

Codimensión 1: Divisores

Un ciclo algebraico efectivo de codimensión 1 ^[5] y grado d se puede definir mediante la desaparición de un polinomio d de un solo grado en n-muchas variables, y este polinomio es único hasta el cambio de escala. Denotando el espacio vectorial de polinomios de grado d en n-muchas variables, esto da un isomorfismo a un espacio proyectivo : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle V_{d,n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-1,d,n)\simeq \mathbb {P} V_{d,n}}$.

Tenga en cuenta que este último espacio tiene un sistema distinguido de coordenadas homogéneas , que envían un polinomio al coeficiente de un monomio fijo.

Un ejemplo no trivial

La variedad Chow parametriza los ciclos de dimensión 1, grado 2 en . Esta variedad Chow tiene dos componentes irreductibles. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

• Los módulos de las cónicas contenidas en un plano proyectivo (y sus degeneraciones).
• Los módulos de pares de rectas.

Estos dos componentes de 8 dimensiones se cruzan en los módulos de pares de líneas coplanares, que es el lugar singular en . Esto muestra que, a diferencia de los casos especiales anteriores, las variedades de Chow no tienen por qué ser suaves o irreducibles. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$

La incrustación de Chow

Sea X una subvariedad irreducible de dimensión k-1 y grado d. Según la definición del grado, la mayoría de los subespacios proyectivos dimensionales de se cruzan con X en d-muchos puntos. Por el contrario, la mayoría de los subespacios proyectivos -dimensionales de no se cruzan en X en absoluto. Esto se puede afinar de la siguiente manera. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-k-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Lema. ^[6] El conjunto que parametriza los subespacios que intersectan a X de forma no trivial es una hipersuperficie irreducible de grado ^[7] d. ${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Como consecuencia, existe una forma de grado d ^[8] en la que desaparece precisamente en , y esta forma es única hasta la escala. Esta construcción se puede extender a un ciclo algebraico declarando que . A cada ciclo algebraico de grado d, se asocia una forma de grado d en , llamada forma Chow de X, que está bien definida hasta el escalamiento. ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ ${\displaystyle Z(X)}$ ${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

Denotemos el espacio vectorial de grado d formas en . ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

El teorema de Chow-van-der-Waerden. ^[9] El mapa que envía es una incrustación cerrada de variedades. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle X\mapsto R_{X}}$

En particular, un ciclo algebraico efectivo X está determinado por su forma Chow . ${\displaystyle R_{X}}$

Si se ha elegido una base para, enviar los coeficientes de en esta base da un sistema de coordenadas homogéneo en la variedad Chow , llamado coordenadas Chow de . Sin embargo, como no existe consenso sobre cuál es la "mejor" base para , este término puede resultar ambiguo. ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{k,d,n}}$

Desde una perspectiva fundamental, el teorema anterior se suele utilizar como definición de . Es decir, la variedad Chow generalmente se define como una subvariedad de , y solo entonces se muestra que es un espacio de módulos fino para el problema de módulos en cuestión. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$

Relación con el esquema de Hilbert

Una solución más sofisticada al problema de contar "correctamente" el grado de una subvariedad degenerada es trabajar con subesquemas de en lugar de subvariedades. Los esquemas pueden realizar un seguimiento de información infinitesimal que las variedades y los ciclos algebraicos no pueden. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Por ejemplo, si dos puntos de una variedad se aproximan entre sí en una familia algebraica, la subvariedad límite es un solo punto, el ciclo algebraico límite es un punto con multiplicidad 2 y el subesquema límite es un 'punto gordo' que contiene la tangente dirección en la que chocaron los dos puntos.

El esquema de Hilbert es el esquema de módulos finos de subesquemas cerrados de dimensión k-1 y grado d interior . ^[10] Cada subesquema cerrado determina un ciclo algebraico efectivo, y el mapa inducido ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$.

Se llama mapa del ciclo o morfismo de Hilbert-Chow . Este mapa es genéricamente un isomorfismo sobre los puntos correspondientes a subvariedades irreducibles de grado d, pero las fibras sobre ciclos algebraicos no simples pueden ser más interesantes. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$

cociente de comida

Un cociente de Chow parametriza los cierres de órbitas genéricas. Está construido como una subvariedad cerrada de una variedad Chow.

El teorema de Kapranov dice que el espacio de módulos de curvas estables de género cero con n puntos marcados es el cociente de Chow de Grassmann por el toro máximo estándar. ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$

Ver también

• Variedad picardo
• cociente git

Referencias

1. La notación para las variedades de Chow no es estándar entre las referencias.
2. Aquí y en todo momento, asumimos que el campo base es algebraicamente cerrado y tiene una característica 0, por lo que podemos definir "genérico" como cualquier fenómeno caracterizado por una condición abierta de Zariski. El grado puede definirse con una generalidad más amplia, pero contar las intersecciones genéricas es posiblemente la forma más intuitiva.
3. Tenga en cuenta que el grado no es intrínseco a X como variedad, sino a su inclusión en . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$
4. Se supone que todas las familias son planas .
5. Un ciclo algebraico de codimensión 1 también se llama divisor de Weil .
6. [GKZ94, Capítulo 3, Proposición 2.2]
7. 'Grado' solo se ha definido en este artículo para subvariedades de espacio proyectivo. Sin embargo, las coordenadas de Plucker permiten una definición análoga de grado para subvariedades de Grassmannianos.
8. Una forma de grado d en este contexto significa una coordenada homogénea de grado d. Para un Grassmanniano, esto puede venir dado por un polinomio de grado d en las coordenadas de Plücker y está bien definido hasta las relaciones de Plücker.
9. cf [GKZ94, Capítulo 4, Teorema 1.1]
10. Existe una variación considerable en la forma en que se utiliza el término "esquema Hilbert". Algunos autores no subdividen por dimensión o grado, otros asumen que la dimensión es 0 (es decir, un esquema de puntos de Hilbert) y otros consideran esquemas más generales que . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

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• Gelfand, Israel M .; Kapranov, Mikhail M .; Zelevinsky, IAndrei V. (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales . Birkhäuser , Boston, MA. ISBN 978-0-8176-4771-1.
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1947]. Métodos de Geometría Algebraica, Tomo I (Libro II) . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-46900-5. SEÑOR  0028055.
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Métodos de Geometría Algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Cuádricas y variedades Grassmann . Biblioteca de Matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-46901-2. SEÑOR  0048065.
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• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag
• Kollár, János , "Capítulo 1", Libro sobre módulos de superficies
• Kulikov, Val.S. (2001) [1994], "Variedad Chow", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. SEÑOR  1304906.