En matemáticas , una gavilla invertible es una gavilla en un espacio anillado que tiene una inversa con respecto al producto tensorial de haces de módulos . Es el equivalente en geometría algebraica de la noción topológica de haz de líneas . Debido a sus interacciones con los divisores de Cartier , desempeñan un papel central en el estudio de las variedades algebraicas .
Sea ( X , O X ) un espacio anillado. Las clases de isomorfismo de haces de módulos O X forman un monoide bajo la operación del producto tensorial de módulos O X. El elemento de identidad de esta operación es el propio O X. Las gavillas reversibles son los elementos invertibles de este monoide. Específicamente, si L es un haz de módulos O X , entonces L se llama invertible si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: [1] [2]
Cada haz localmente libre de rango uno es invertible. Si X es un espacio localmente anillado, entonces L es invertible si y sólo si está localmente libre de rango uno. Debido a este hecho, las gavillas reversibles están estrechamente relacionadas con los haces de líneas , hasta el punto de que a veces se combinan.
Sea X un esquema afín Spec R . Entonces una gavilla invertible en X es la gavilla asociada a un módulo proyectivo de rango uno sobre R . Por ejemplo, esto incluye ideales fraccionarios de campos numéricos algebraicos , ya que estos son módulos proyectivos de rango uno sobre los anillos de números enteros del campo numérico.
De manera bastante general, las clases de isomorfismo de haces invertibles en X forman un grupo abeliano bajo producto tensorial. Este grupo generaliza el grupo de clase ideal . En general esta escrito
con Pic el funtor Picard . Dado que también incluye la teoría de la variedad jacobiana de una curva algebraica , el estudio de este funtor es un tema importante en la geometría algebraica.
La construcción directa de gavillas reversibles mediante datos sobre X conduce al concepto de divisor Cartier .
