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Álgebra de dimensiones superiores

En matemáticas , especialmente en la teoría de categorías ( superiores ) , el álgebra de dimensiones superiores es el estudio de las estructuras categorizadas . Tiene aplicaciones en la topología algebraica no abeliana y generaliza el álgebra abstracta .

Categorías de dimensiones superiores

Un primer paso hacia la definición de álgebras de dimensiones superiores es el concepto de 2 categorías de la teoría de categorías superiores , seguido por el concepto más "geométrico" de doble categoría. [1] [2] [3]

Un concepto de nivel superior se define así como una categoría de categorías, o supercategoría, que generaliza a dimensiones superiores la noción de categoría , considerada como cualquier estructura que sea una interpretación de los axiomas de Lawvere de la teoría elemental de categorías abstractas (ETAC). [4] [5] [6] [7] Así, una supercategoría y también una supercategoría , pueden considerarse como extensiones naturales de los conceptos de metacategoría , [8] multicategoría y multigrafo, grafo k -partito o grafo coloreado (véase una figura en color, y también su definición en teoría de grafos ).

Las supercategorías se introdujeron por primera vez en 1970, [9] y posteriormente se desarrollaron para aplicaciones en física teórica (especialmente teoría cuántica de campos y teoría cuántica de campos topológica ) y biología matemática o biofísica matemática . [10]

Otras vías en el álgebra de dimensiones superiores involucran: bicategorías , homomorfismos de bicategorías, categorías variables (también conocidas como categorías indexadas o parametrizadas), topoi , descendencia efectiva y categorías enriquecidas e internas .

Grupoides dobles

En álgebra de dimensiones superiores (HDA), un grupoide doble es una generalización de un grupoide unidimensional a dos dimensiones, [11] y el último grupoide puede considerarse como un caso especial de una categoría con todas las flechas invertibles o morfismos .

Los grupoides dobles se utilizan a menudo para capturar información sobre objetos geométricos como variedades de dimensiones superiores (o variedades n -dimensionales ). [11] En general, una variedad n -dimensional es un espacio que localmente parece un espacio euclidiano n -dimensional , pero cuya estructura global puede ser no euclidiana .

Los grupoides dobles fueron introducidos por primera vez por Ronald Brown en Grupoides dobles y módulos cruzados (1976), [11] y fueron desarrollados posteriormente hacia aplicaciones en topología algebraica no abeliana . [12] [13] [14] [15] Un concepto "dual" relacionado es el de algebroide doble y el concepto más general de R-algebroide .

Topología algebraica no abeliana

Véase topología algebraica no abeliana

Aplicaciones

Física teórica

En la teoría cuántica de campos , existen categorías cuánticas. [16] [17] [18] y grupoides cuánticos dobles. [18] Se puede considerar que los grupoides cuánticos dobles son grupoides fundamentales definidos a través de un 2-functor , lo que permite pensar en el caso físicamente interesante de los grupoides fundamentales cuánticos (QFG) en términos de la bicategoría Span(Groupoids) , y luego construir 2- espacios de Hilbert y 2- aplicaciones lineales para variedades y cobordismos . En el siguiente paso, se obtienen cobordismos con vértices a través de transformaciones naturales de tales 2-functores. Luego se afirmó que, con el grupo de calibración SU(2) , "la TQFT extendida , o ETQFT, da una teoría equivalente al modelo Ponzano-Regge de la gravedad cuántica "; [18] de manera similar, el modelo de Turaev-Viro se obtendría entonces con representaciones de SU q (2). Por lo tanto, se puede describir el espacio de estados de una teoría de gauge – o muchos tipos de teorías cuánticas de campos (QFTs) y física cuántica local, en términos de los grupoides de transformación dados por simetrías, como por ejemplo en el caso de una teoría de gauge, por las transformaciones de gauge que actúan sobre estados que son, en este caso, conexiones. En el caso de simetrías relacionadas con grupos cuánticos , se obtendrían estructuras que son categorías de representación de grupoides cuánticos , [16] en lugar de los 2- espacios vectoriales que son categorías de representación de grupoides.

Física cuántica

Véase también

Notas

  1. ^ "Categorías dobles y pseudoálgebras" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de junio de 2010.
  2. ^ Brown, R.; Loday, J.-L. (1987). "Escisión homotópica y teoremas de Hurewicz para n -cubos de espacios". Actas de la London Mathematical Society . 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325 . doi :10.1112/plms/s3-54.1.176. 
  3. ^ Batanin, MA (1998). "Categorías globulares monoidales como entorno natural para la teoría de n-categorías débiles". Avances en Matemáticas . 136 (1): 39–103. doi : 10.1006/aima.1998.1724 .
  4. ^ Lawvere, FW (1964). "Una teoría elemental de la categoría de conjuntos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 52 (6): 1506–1511. Bibcode :1964PNAS...52.1506L. doi : 10.1073/pnas.52.6.1506 . PMC 300477 . PMID  16591243. 
  5. ^ Lawvere, FW: 1966, La categoría de categorías como fundamento de las matemáticas, en Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla , Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlín, Heidelberg y Nueva York, pp. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ Archivado el 12 de agosto de 2009 en Wayback Machine.
  6. ^ "Kryptowährungen und Physik". Planeta Física. 29 de marzo de 2024.
  7. ^ Lawvere, FW (1969b). "Adjuntitud en fundaciones". Dialectica . 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900 . doi :10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. Archivado desde el original el 12 de agosto de 2009 . Consultado el 21 de junio de 2009 . 
  8. ^ "Axiomas de metacategorías y supercategorías". PlanetPhysics. Archivado desde el original el 14 de agosto de 2009. Consultado el 2 de marzo de 2009 .
  9. ^ "Teoría de las supercategorías". PlanetMath. Archivado desde el original el 26 de octubre de 2008.
  10. ^ "Biología matemática y biofísica teórica". PlanetPhysics. Archivado desde el original el 14 de agosto de 2009. Consultado el 2 de marzo de 2009 .
  11. ^ a B C Brown, Ronald; Spencer, Christopher B. (1976). "Grupoides dobles y módulos cruzados". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 17 (4): 343–362.
  12. ^ "Geometría no conmutativa y topología algebraica no abeliana". PlanetPhysics. Archivado desde el original el 14 de agosto de 2009. Consultado el 2 de marzo de 2009 .
  13. ^ Libro de topología algebraica no abeliana Archivado el 4 de junio de 2009 en Wayback Machine.
  14. ^ Topología algebraica no abeliana: grupos de homotopía superiores de espacios filtrados
  15. ^ Marrón, Ronald; Higgins, Felipe; Sivera, Rafael (2011). Topología algebraica nobeliana. arXiv : matemáticas/0407275 . doi :10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8.
  16. ^ ab "Categoría cuántica". PlanetMath. Archivado desde el original el 1 de diciembre de 2011.
  17. ^ "Isomorfismo de asociatividad". PlanetMath. Archivado desde el original el 17 de diciembre de 2010.
  18. ^ abc Morton, Jeffrey (18 de marzo de 2009). "Una nota sobre los grupoides cuánticos". C*-álgebras, teoría de la deformación, grupoides, geometría no conmutativa, cuantización . Atlas teórico.

Lectura adicional