Algebroide de mentiras

Versión infinitesimal del grupoide de Lie

En matemáticas , un álgebroide de Lie es un fibrado vectorial junto con un corchete de Lie en su espacio de secciones y un morfismo de fibrado vectorial , que satisface una regla de Leibniz. Por lo tanto, un álgebroide de Lie puede considerarse como una "generalización de múltiples objetos" de un álgebra de Lie . ${\displaystyle A\rightarrow M}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$

Los algebroides de Lie desempeñan en la teoría de los grupoides de Lie un papel similar al que desempeñan las álgebras de Lie en la teoría de los grupos de Lie : reducir los problemas globales a infinitesimales. De hecho, cualquier grupoide de Lie da lugar a un algebroide de Lie, que es el fibrado vertical de la función fuente restringida en las unidades. Sin embargo, a diferencia de las álgebras de Lie, no todos los algebroides de Lie surgen de un grupoide de Lie.

Los álgebroides de Lie fueron introducidos en 1967 por Jean Pradines. ^[1]

Definición y conceptos básicos

Un algebroide de Lie es una tripleta que consta de ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$

• Un haz vectorial sobre una variedad ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
• Un soporte de Lie en su espacio de secciones ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$
• un morfismo de fibrados vectoriales , llamado ancla , donde es el fibrado tangente de ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

de manera que el ancla y el soporte satisfacen la siguiente regla de Leibniz:

${\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]}$

donde . Aquí está la imagen de a través de la derivación , es decir, la derivada de Lie de a lo largo del campo vectorial . La notación denota el producto (puntual) entre la función y el campo vectorial . ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A),f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \rho (X)f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle \rho (X)f\cdot Y}$ ${\displaystyle \rho (X)f}$ ${\displaystyle Y}$

A menudo se escribe cuando el corchete y el ancla se desprenden claramente del contexto; algunos autores denotan álgebroides de Lie por , lo que sugiere un "límite" de un grupoide de Lie cuando las flechas que indican el origen y el destino se vuelven "infinitesimalmente cercanas". ^[2] ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A\Rightarrow M}$

Primeras propiedades

De la definición se desprende que

• Para cada , el núcleo es un álgebra de Lie, llamada álgebra de Lie de isotropía en ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}(A)=\ker(\rho _{x})}$ ${\displaystyle x}$
• El núcleo es un fibrado (no necesariamente trivial localmente) de álgebras de Lie, llamado fibrado de álgebra de Lie de isotropía. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(A)=\ker(\rho )}$
• La imagen es una distribución singular que es integrable, es decir, admite subvariedades inmersas máximas , llamadas órbitas , que satisfacen para cada . De manera equivalente, las órbitas pueden describirse explícitamente como los conjuntos de puntos que están unidos por caminos A , es decir, pares de caminos en y en tales que y ${\displaystyle \mathrm {Im} (\rho )\subseteq TM}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (\rho _{x})=T_{x}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle (a:I\to A,\gamma :I\to M)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a(t)\in A_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle \rho (a(t))=\gamma '(t)}$
• El mapa de anclaje desciende a un mapa entre secciones que es un morfismo del álgebra de Lie, es decir ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :\Gamma (A)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]}$

Para todos . ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A)}$

La propiedad que induce un morfismo en el álgebra de Lie fue tomada como un axioma en la definición original del álgebroide de Lie. ^[1] Tal redundancia, a pesar de ser conocida desde un punto de vista algebraico ya antes de la definición de Pradine, ^[3] fue notada solo mucho después. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \rho }$

Subalgebroides e ideales

Un subálgebroide de Lie de un álgebroide de Lie es un subfibrado vectorial de la restricción tal que toma valores en y es una subálgebra de Lie de . Claramente, admite una estructura única del álgebroide de Lie tal que es un morfismo del álgebra de Lie. Con el lenguaje presentado a continuación, la inclusión es un morfismo del álgebroide de Lie. ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A'\to M'}$ ${\displaystyle A_{\mid M'}\to M'}$ ${\displaystyle \rho _{\mid A'}}$ ${\displaystyle TM'}$ ${\displaystyle \Gamma (A,A'):=\{\alpha \in \Gamma (A)\mid \alpha _{\mid M'}\in \Gamma (A')\}}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle A'\to M'}$ ${\displaystyle \Gamma (A,A')\to \Gamma (A')}$ ${\displaystyle A'\hookrightarrow A}$

Un subálgebroide de Lie se denomina amplio si . En analogía con la definición estándar para el álgebra de Lie, un ideal de un algebroide de Lie es un subálgebroide de Lie amplio tal que es un ideal de Lie. Esta noción resultó ser muy restrictiva, ya que se ve obligado a estar dentro del fibrado de isotropía . Por esta razón, se ha introducido la noción más flexible de sistema ideal infinitesimal . ^[6] ${\displaystyle M'=M}$ ${\displaystyle I\subseteq A}$ ${\displaystyle \Gamma (I)\subseteq \Gamma (A)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ker(\rho )}$

Morfismos

Un morfismo algebroide de Lie entre dos algebroides de Lie y con la misma base es un morfismo de fibrado vectorial que es compatible con los corchetes de Lie, es decir para cada , y con los anclajes, es decir . ${\displaystyle (A_{1},[\cdot ,\cdot ]_{A_{1}},\rho _{1})}$ ${\displaystyle (A_{2},[\cdot ,\cdot ]_{A_{2}},\rho _{2})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle \phi ([\alpha ,\beta ]_{A_{1}})=[\phi (\alpha ),\phi (\beta )]_{A_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Gamma (A_{1})}$ ${\displaystyle \rho _{2}\circ \phi =\rho _{1}}$

Se puede formular una noción similar para morfismos con bases diferentes, pero la compatibilidad con los corchetes de Lie se vuelve más complicada. ^[7] De manera equivalente, se puede pedir que el gráfico de sea un subálgebroide del producto directo (introducido a continuación). ^[8] ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$

Los algebroides de Lie junto con sus morfismos forman una categoría .

Ejemplos

Casos triviales y extremos

• Dada cualquier variedad , su algebroide de Lie tangente es el fibrado tangente junto con el corchete de Lie de campos vectoriales y la identidad de como ancla. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$
• Dada cualquier variedad , el fibrado vectorial cero es un algebroide de Lie con corchete y ancla cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times 0\to M}$
• Los álgebroides de Lie sobre un punto son lo mismo que las álgebras de Lie . ${\displaystyle A\to \{*\}}$
• De manera más general, cualquier fibrado de álgebras de Lie es un álgebroide de Lie con ancla cero y corchete de Lie definido puntualmente.

Ejemplos de geometría diferencial

• Dada una foliación en , su algebroide de foliación es el subfibrado involutivo asociado , con corchetes y ancla inducidos desde el algebroide de Lie tangente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq TM}$
• Dada la acción de un álgebra de Lie sobre una variedad , su algebroide de acción es el fibrado vectorial trivial , con ancla dada por la acción del álgebra de Lie y corchetes determinados únicamente por el corchete de sobre secciones constantes y por la identidad de Leibniz. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M\to {\mathfrak {g}}}$
• Dado un fibrado G principal sobre una variedad , su álgebroide de Atiyah es el álgebroide de Lie que se ajusta en la siguiente secuencia corta y exacta : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A=TP/G}$

  ${\displaystyle 0\to \ker(\rho )\to TP/G\xrightarrow {\rho } TM\to 0.}$

El espacio de secciones del álgebroide de Atiyah es el álgebra de Lie de campos vectoriales -invariantes en , su fibrado de álgebra de Lie de isotropía es isomorfo al fibrado vectorial adjunto , y las divisiones derechas de la secuencia anterior son conexiones principales en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P}$

• Dado un fibrado vectorial , su algebroide lineal general , denotado por o , es el fibrado vectorial cuyas secciones son derivaciones de , es decir, operadores diferenciales de primer orden que admiten un cuerpo vectorial tal que para cada . El ancla es simplemente la asignación y el corchete de Lie está dado por el conmutador de operadores diferenciales. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {Der} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \rho (D)\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle D(f\sigma )=fD(\sigma )+\rho (D)(f)\sigma }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),\sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle D\mapsto \rho (D)}$
• Dada una variedad de Poisson , su algebroide cotangente es el fibrado vectorial cotangente , con corchete de Lie y mapa de anclaje . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle A=T^{*}M}$ ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$
• Dada una 2-forma cerrada , el fibrado vectorial es un algebroide de Lie con ancla en la proyección sobre el primer componente y corchete de Lie. En realidad, el corchete anterior se puede definir para cualquier 2-forma , pero es un algebroide de Lie si y solo si es cerrado. ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle A_{\omega }:=TM\times \mathbb {R} \to M}$ $${\displaystyle [(X,f),(Y,g)]:={\Big (}[X,Y],{\mathcal {L}}_{X}(g)-{\mathcal {L}}_{Y}(f)-\omega (X,Y){\Big )}.}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

Construcciones a partir de otros algebroides de Lie

• Dado cualquier algebroide de Lie , existe un algebroide de Lie , llamado su algebroide tangente , que se obtiene al considerar el fibrado tangente de y y la diferencial del ancla. ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle (TA\to TM,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
• Dado cualquier algebroide de Lie , existe un algebroide de Lie , llamado su algebroide de k-jets , obtenido al considerar el fibrado de k-jets de , con corchete de Lie definido de forma única por y ancla . ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ]_{A},\rho _{A})}$ ${\displaystyle (J^{k}A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle [j^{k}\alpha ,j^{k}\beta ]:=j^{k}[\alpha ,\beta ]_{A}}$ ${\displaystyle \rho (j_{x}^{k}\alpha ):=\rho _{A}(\alpha (x))}$
• Dados dos álgebroides de Lie y , su producto directo es el único álgebroide de Lie con ancla y tal que es un morfismo de álgebra de Lie. ${\displaystyle A_{1}\to M_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}\to M_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\to M_{1}\times M_{2}}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})\mapsto \rho _{1}(\alpha _{1})\oplus \rho _{2}(\alpha _{2})\in TM_{1}\oplus TM_{2}\cong T(M_{1}\times M_{2}),}$ ${\displaystyle \Gamma (A_{1})\oplus \Gamma (A_{2})\to \Gamma (A_{1}\times A_{2}),\alpha _{1}\oplus \alpha _{2}\mapsto \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}\alpha _{1}+\mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}\alpha _{2}}$
• Dado un álgebroide de Lie y un mapa cuya diferencial es transversal al mapa de anclaje (por ejemplo, es suficiente que sea una inmersión sobreyectiva ), el álgebroide de pullback es el único álgebroide de Lie , con el fibrado vectorial de pullback y la proyección sobre el primer componente, tal que es un morfismo de álgebroide de Lie. ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ]_{A},\rho _{A})}$ ${\displaystyle f:M'\to M}$ ${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{!}A\to M'}$ ${\displaystyle f^{!}A:=TM'\times _{TM}A\to M'}$ ${\displaystyle \rho _{f^{!}A}:f^{!}A\to TM'}$ ${\displaystyle f^{!}A\to A}$

Clases importantes de algebroides de Lie

Algebroides de Lie totalmente intransitivos

Un algebroide de Lie se llama totalmente intransitivo si el mapa de anclaje es cero. ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

Los fibrados de álgebras de Lie (y, por tanto, también álgebras de Lie) son totalmente intransitivos. Esto agota por completo la lista de álgebras de Lie totalmente intransitivas: de hecho, si es totalmente intransitiva, debe coincidir con su fibrado de álgebras de Lie isotrópicas. ${\displaystyle A}$

Algebroides de Lie transitivos

Un algebroide de Lie se denomina transitivo si la función de anclaje es sobreyectiva. En consecuencia: ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

• Hay una secuencia corta y exacta $${\displaystyle 0\to \ker(\rho )\to A\xrightarrow {\rho } TM\to 0;}$$
• la división por la derecha de define un haz principal de conexiones en ; ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ker(\rho )}$
• el fibrado de isotropía es localmente trivial (como fibrado de álgebras de Lie); ${\displaystyle \ker(\rho )}$
• el retroceso de existir para cada . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:M'\to M}$

Los ejemplos prototípicos de álgebroides de Lie transitivos son los álgebroides de Atiyah. Por ejemplo:

• Los algebroides tangentes son trivialmente transitivos (de hecho, son el álgebroide de Atiyah del fibrado principal ) ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$
• Las álgebras de Lie son trivialmente transitivas (de hecho, son el álgebroide de Atiyah del fibrado principal , para una integración de ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to *}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Los algebroides lineales generales son transitivos (de hecho, son algebroides de Atiyah del fibrado de marcos ) ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$

En analogía con los álgebroides de Atiyah, un álgebroide de Lie transitivo arbitrario también se denomina secuencia de Atiyah abstracta , y su fibrado de álgebra de isotropía también se denomina fibrado adjunto . Sin embargo, es importante destacar que no todo álgebroide de Lie transitivo es un álgebroide de Atiyah. Por ejemplo: ${\displaystyle \ker(\rho )}$

• Los retrocesos de los algebroides transitivos son transitivos
• Los algebroides cotangentes asociados a variedades de Poisson son transitivos si y sólo si la estructura de Poisson no es degenerada ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$
• Los algebroides de Lie definidos por 2-formas cerradas son transitivos ${\displaystyle A_{\omega }}$

Estos ejemplos son muy relevantes en la teoría de integración del álgebroide de Lie (ver más abajo): mientras que cualquier álgebroide de Atiyah es integrable (a un grupoide de calibre), no todo álgebroide de Lie transitivo es integrable.

Algebroides de Lie regulares

Un algebroide de Lie se llama regular si la función de anclaje es de rango constante. Como consecuencia ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

• La imagen de define una foliación regular en ; ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$
• La restricción sobre cada hoja es un algebroide de Lie transitivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$

Por ejemplo:

• cualquier algebroide de Lie transitivo es regular (el ancla tiene rango máximo);
• cualquier algebroide de Lie totalmente intransitivo es regular (el ancla tiene rango cero);
• Los algebroides de foliación son siempre regulares;
• Los algebroides cotangentes asociados a variedades de Poisson son regulares si y sólo si la estructura de Poisson es regular. ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Otros conceptos relacionados

Comportamiento

Una acción de un algebroide de Lie sobre una variedad P a lo largo de una función suave consiste en un morfismo de álgebra de Lie tal que, para cada , Por supuesto, cuando , tanto el ancla como la función deben ser triviales, por lo tanto ambas condiciones están vacías y recuperamos la noción estándar de acción de un álgebra de Lie sobre una variedad. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle \mu :P\to M}$ $${\displaystyle a:\Gamma (A)\to {\mathfrak {X}}(P)}$$ ${\displaystyle p\in P,X\in \Gamma (A),f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ $${\displaystyle d_{p}\mu (a(X)_{p})=\rho _{\mu (p)}(X_{\mu (p)}),\quad a(f\cdot X)=(f\circ \mu )\cdot a(X).}$$ ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A\to \{*\}}$ ${\displaystyle P\to \{*\}}$

Conexiones

Dado un algebroide de Lie , una A-conexión en un fibrado vectorial consiste en una función -bilineal que es -lineal en el primer factor y satisface la siguiente regla de Leibniz: para cada , donde denota la derivada de Lie con respecto al campo vectorial . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \nabla :\Gamma (A)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E),\quad (\alpha ,s)\mapsto \nabla _{\alpha }(s)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ $${\displaystyle \nabla _{\alpha }(fs)=f\nabla _{\alpha }(s)+{\mathcal {L}}_{\rho (\alpha )}(f)s}$$ ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A),s\in \Gamma (E),f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rho (\alpha )}}$ ${\displaystyle \rho (\alpha )}$

La curvatura de una conexión A es la función -bilineal y se denomina plana si . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ $${\displaystyle R_{\nabla }:\Gamma (A)\times \Gamma (A)\to \mathrm {Hom} (E,E),\quad (\alpha ,\beta )\mapsto \nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }-\nabla _{[\alpha ,\beta ]},}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R_{\nabla }=0}$

Por supuesto, cuando recuperamos la noción estándar de conexión en un fibrado vectorial , así como las de curvatura y planitud. ${\displaystyle A=TM}$

Representaciones

Una representación de un algebroide de Lie es un fibrado vectorial junto con una A-conexión plana . De manera equivalente, una representación es un morfismo del algebroide de Lie . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$ ${\displaystyle A\to {\mathfrak {gl}}(E)}$

El conjunto de clases de isomorfismo de representaciones de un algebroide de Lie tiene una estructura natural de semianillo , con sumas directas y productos tensoriales de fibrados vectoriales. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (A)}$ ${\displaystyle A\to M}$

Algunos ejemplos incluyen los siguientes:

• Cuando una -conexión se simplifica a una función lineal y la condición de planitud la convierte en un morfismo de álgebra de Lie, recuperamos la noción estándar de representación de un álgebra de Lie . ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Cuando y es una representación del álgebra de Lie , el fibrado vectorial trivial es automáticamente una representación de ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}\times M\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\times M\to M}$ ${\displaystyle A}$
• Las representaciones del algebroide tangente son fibrados vectoriales dotados de conexiones planas. ${\displaystyle A=TM}$
• Todo algebroide de Lie tiene una representación natural en el fibrado lineal , es decir, el producto tensorial entre los fibrados lineales determinantes de y de . Se puede asociar una clase de cohomología en (ver más abajo) conocida como la clase modular del algebroide de Lie. ^[9] Para el algebroide cotangente asociado a una variedad de Poisson se recupera la clase modular de . ^[10] ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle Q_{A}:=\wedge ^{top}A\otimes \wedge ^{top}T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle H^{1}(A,Q_{A})}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Obsérvese que un grupoide de Lie arbitrario no tiene una representación canónica en su álgebroide de Lie, sino que cumple el papel de representación adjunta de los grupos de Lie en sus álgebras de Lie. Sin embargo, esto se hace posible si se permite la noción más general de representación hasta la homotopía .

Cohomología del algebroide de Lie

Considérese un algebroide de Lie y una representación . Denotando por el espacio de - formas diferenciales en con valores en el fibrado vectorial , se puede definir un diferencial con la siguiente fórmula similar a Koszul: Gracias a la planitud de , se convierte en un complejo de cocadena y su cohomología, denotada por , se llama cohomología del algebroide de Lie de con coeficientes en la representación . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(A,E):=\Gamma (\wedge ^{n}A^{*}\otimes E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d^{n}:\Omega ^{n}(A,E)\to \Omega ^{n+1}(A,E)}$ $${\displaystyle d\omega (\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n}):=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\nabla _{\alpha _{i}}{\big (}\omega (\alpha _{0},\ldots ,{\widehat {\alpha _{i}}},\ldots ,\alpha _{n}){\big )}-\sum _{i<j}^{n}(-1)^{i+j+1}\omega ([\alpha _{i},\alpha _{j}],\alpha _{0},\ldots ,{\widehat {\alpha _{i}}},\ldots ,{\widehat {\alpha _{j}}},\ldots ,\alpha _{n})}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (\Omega ^{n}(A,E),d^{n})}$ ${\displaystyle H^{*}(A,E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$

Esta definición general recupera teorías de cohomología bien conocidas:

• La cohomología de un álgebroide de Lie coincide con la cohomología de Chevalley-Eilenberg de un álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \{*\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• La cohomología de un algebroide de Lie tangente coincide con la cohomología de De Rham de . ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle M}$
• La cohomología de un algebroide de Lie de foliación coincide con la cohomología foliar de la foliación . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• La cohomología del algebroide de Lie cotangente asociado a una estructura de Poisson coincide con la cohomología de Poisson de . ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Correspondencia grupoide de Lie-algebroide de Lie

La construcción estándar que asocia un álgebra de Lie a un grupo de Lie se generaliza a este contexto: a cada grupoide de Lie se le puede asociar canónicamente un algebroide de Lie definido de la siguiente manera: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$

• El fibrado vectorial es , donde es el fibrado vertical de la fibra fuente y es el mapa unitario del grupoide; ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)=A:=u^{*}T^{s}G}$ ${\displaystyle T^{s}G\subseteq TG}$ ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle u:M\to G}$
• Las secciones de se identifican con los campos vectoriales invariantes por la derecha en , de modo que hereda un corchete de Lie; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$
• El mapa de anclaje es el diferencial del mapa de destino . ${\displaystyle \rho :=dt_{\mid A}:A\to TM}$ ${\displaystyle t:G\to M}$

Por supuesto, surge una construcción simétrica cuando se intercambia el papel de los mapas fuente y destino, y se reemplazan los campos vectoriales invariantes por la derecha por los invariantes por la izquierda; un isomorfismo entre los dos álgebroides de Lie resultantes estará dado por la diferencial del mapa inverso . ${\displaystyle i:G\to G}$

El flujo de una sección es la bisección de 1 parámetro , definida por , donde es el flujo del campo vectorial invariante por la derecha correspondiente . Esto permite definir el análogo del mapa exponencial para grupos de Lie como . ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A)}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\epsilon }\in \mathrm {Bis} (G)}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\epsilon }(x):=\phi _{\tilde {\alpha }}^{\epsilon }(1_{x})}$ ${\displaystyle \phi _{\tilde {\alpha }}^{\epsilon }\in \mathrm {Diff} (G)}$ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\in {\mathfrak {X}}(G)}$ ${\displaystyle \exp :\Gamma (A)\to \mathrm {Bis} (G),\exp(\alpha )(x):=\phi _{\alpha }^{1}(x)}$

Función de mentira

La aplicación de un grupoide de Lie a un algebroide de Lie es en realidad parte de una construcción categórica. De hecho, cualquier morfismo de grupoide de Lie puede diferenciarse en un morfismo entre los algebroides de Lie asociados. ${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle d\phi _{\mid \mathrm {Lie} (G_{1})}:\mathrm {Lie} (G_{1})\to \mathrm {Lie} (G_{2})}$

Esta construcción define un funtor de la categoría de grupoides de Lie y sus morfismos a la categoría de algebroides de Lie y sus morfismos, llamado funtor de Lie .

Estructuras y propiedades inducidas desde grupoides a algebroides

Sea un grupoide de Lie y su algebroide de Lie asociado. Entonces ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$

• Las álgebras de isotropía son las álgebras de Lie de los grupos de isotropía. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}(A)}$ ${\displaystyle G_{x}}$
• Las órbitas de coinciden con las órbitas de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle G}$es transitivo y es una inmersión si y sólo si es transitivo ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle A}$
• una acción de sobre induce una acción de (llamada acción infinitesimal ), definida por ${\displaystyle m:G\times _{M}P\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle a:\Gamma (A)\to {\mathfrak {X}}(P)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle a(\alpha )_{p}:=d_{1_{\mu (p)}}m(\cdot ,p)(\alpha _{\mu (p)})=d_{(1_{\mu (p)},p)}m(\alpha _{\mu (p)},0)}$$
• una representación de en un fibrado vectorial induce una representación de en , definida por Además, existe un morfismo de semianillos , que se convierte en un isomorfismo si es simplemente conexo en la fuente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E\to M}$ $${\displaystyle \nabla _{\alpha }\sigma (x):={\frac {d}{d\epsilon }}_{\mid \epsilon =0}{\Big (}\phi _{\alpha }^{\epsilon }(x){\Big )}^{-1}\cdot \sigma {\Big (}t(\phi _{\alpha }^{\epsilon }(x)){\Big )}}$$ ${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)\to \mathrm {Rep} (A)}$ ${\displaystyle G}$
• existe un morfismo , llamado morfismo de Van Est, de la cohomología diferenciable de con coeficientes en alguna representación en a la cohomología de con coeficientes en la representación inducida en . Además, si las fibras de están homológicamente -conectadas , entonces es un isomorfismo para , y es inyectivo para . ^[11] ${\displaystyle VE^{k}:H_{d}^{k}(G,E)\to H^{k}(A,E)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle VE^{k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle k=n+1}$

Ejemplos

• El álgebroide de Lie de un grupo de Lie es el álgebra de Lie ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \{*\}}$
• El algebroide de Lie tanto del grupoide de pares como del grupoide fundamental es el algebroide tangente ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TM\to M}$
• El algebroide de Lie del grupoide unitario es el algebroide cero ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M\times 0\to M}$
• El algebroide de Lie de un fibrado de grupo de Lie es el fibrado del álgebra de Lie ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle A\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide de acción es el algebroide de acción ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide de calibre es el algebroide de Atiyah ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TP/G\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide lineal general es el algebroide lineal general ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)\to M}$
• El algebroide de Lie tanto del grupoide de holonomía como del grupoide de monodromía es el algebroide de foliación. ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide tangente es el algebroide tangente , para ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$ ${\displaystyle TA\to TM}$ ${\displaystyle A=\mathrm {Lie} (G)}$
• El algebroide de Lie de un grupoide de jets es el algebroide de jets , por ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle J^{k}A\to M}$ ${\displaystyle A=\mathrm {Lie} (G)}$

Ejemplo detallado 1

Describamos el algebroide de Lie asociado al grupoide de pares . Como la función fuente es , las fibras son del tipo , de modo que el espacio vertical es . Utilizando la función unitaria , se obtiene el fibrado vectorial . ${\displaystyle G:=M\times M}$ ${\displaystyle s:G\to M:(p,q)\mapsto q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M\times \{q\}}$ ${\displaystyle T^{s}G=\bigcup _{q\in M}TM\times \{q\}\subset TM\times TM}$ ${\displaystyle u:M\to G:q\mapsto (q,q)}$ ${\displaystyle A:=u^{*}T^{s}G=\bigcup _{q\in M}T_{q}M=TM}$

La extensión de secciones a campos vectoriales invariantes por la derecha es simple y la extensión de una función suave de a una función invariante por la derecha en es . Por lo tanto, el corchete en es simplemente el corchete de Lie de los campos vectoriales tangentes y el mapa de anclaje es simplemente la identidad. ${\displaystyle X\in \Gamma (A)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}(G)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}(p,q)=X(p)\oplus 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(p,q)=f(q)}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplo detallado 2

Considere el grupoide de Lie (acción)

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times U(1)\rightrightarrows \mathbb {R} ^{2}}$

donde se encuentra el mapa objetivo (es decir, la acción correcta de on ) ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle ((x,y),e^{i\theta })\mapsto {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Las fibras sobre un punto son todas copias de , por lo que ese es el fibrado vectorial trivial . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p=(x,y)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle u^{*}(T^{s}(\mathbb {R} ^{2}\times U(1)))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times U(1)\to \mathbb {R} ^{2}}$

Dado que su mapa de anclaje está dado por la diferencial del mapa de destino, hay dos casos para las álgebras de Lie de isotropía, correspondientes a las fibras de : ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\times U(1)\to T\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T^{t}(\mathbb {R} ^{2}\times U(1))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t^{-1}(0)\cong &U(1)\\t^{-1}(p)\cong &\{(a,u)\in \mathbb {R} ^{2}\times U(1):ua=p\}\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la isotropía sobre el origen es , mientras que en el resto del mundo es cero. ${\displaystyle U(1)}$

Integración de un algebroide de Lie

Teoremas de Lie

Un algebroide de Lie se denomina integrable si es isomorfo a para algún grupoide de Lie . El análogo del teorema clásico de Lie I establece que: ^[12] ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Si es un algebroide de Lie integrable, entonces existe un grupooide de Lie único (salvo isomorfismo) simplemente conexo que integra . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

De manera similar, un morfismo entre álgebroides de Lie integrables se denomina integrable si es el diferencial para algún morfismo entre dos integraciones de y . El análogo del teorema clásico de Lie II establece que: ^[13] ${\displaystyle F:A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle F=d\phi _{\mid A}}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

si es un morfismo de algebroides de Lie integrables, y es -simplemente conexo, entonces existe un morfismo único de grupoides de Lie que integran . ${\displaystyle F:\mathrm {Lie} (G_{1})\to \mathrm {Lie} (G_{2})}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle F}$

En particular, al elegir como grupoide lineal general de un fibrado vectorial , se deduce que cualquier representación de un algebroide de Lie integrable se integra a una representación de su grupoide de Lie integrante -simplemente conexo. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle GL(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$

Por otra parte, no existe un análogo del teorema clásico de Lie III , es decir, no siempre es posible volver de cualquier algebroide de Lie a un grupoide de Lie. Pradines afirmó que tal afirmación es válida ^[14], y el primer ejemplo explícito de algebroides de Lie no integrables, proveniente por ejemplo de la teoría de foliación, apareció solo varios años después ^[15] . A pesar de varios resultados parciales, incluida una solución completa en el caso transitivo ^[16], las obstrucciones generales para que un algebroide de Lie arbitrario sea integrable fueron descubiertas solo en 2003 por Crainic y Fernandes ^[17] . Adoptando un enfoque más general, se puede ver que cada algebroide de Lie se integra en un grupoide de Lie apilado ^{[18] [19]}

Grupoide de Ševera-Weinstein

Dado cualquier álgebroide de Lie , el candidato natural para una integración está dado por , donde denota el espacio de -caminos y la relación de -homotopía entre ellos. Esto a menudo se llama grupoide de Weinstein o grupoide de Ševera-Weinstein. ^{[20] [17]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A):=P(A)/\sim }$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A}$

En efecto, se puede demostrar que es un grupoide topológico -simplemente conexo, con la multiplicación inducida por la concatenación de caminos. Además, si es integrable, admite una estructura suave tal que coincide con el único grupoide de Lie -simplemente conexo que integra . ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

En consecuencia, el único obstáculo a la integrabilidad reside en la suavidad de . Este enfoque condujo a la introducción de objetos llamados grupos de monodromía , asociados a cualquier algebroide de Lie, y al siguiente resultado fundamental: ^[17] ${\displaystyle G(A)}$

Un algebroide de Lie es integrable si y sólo si sus grupos de monodromía son uniformemente discretos.

Tal afirmación se simplifica en el caso transitivo:

Un algebroide de Lie transitivo es integrable si y sólo si sus grupos de monodromía son discretos.

Los resultados anteriores muestran también que cada algebroide de Lie admite una integración en un grupoide de Lie local (en términos generales, un grupoide de Lie donde la multiplicación se define solo en un vecindario alrededor de los elementos identidad).

Ejemplos integrables

• Las álgebras de Lie son siempre integrables (según el teorema de Lie III)
• Los álgebroides de Atiyah de un fibrado principal son siempre integrables (al grupoide de calibración de ese fibrado principal)
• Los algebroides de Lie con ancla inyectiva (y por lo tanto, algebroides de foliación) son siempre integrables (según el teorema de Frobenius )
• Los fibrados del álgebra de Lie son siempre integrables ^[21]
• Los álgebroides de Lie de acción son siempre integrables (pero la integración no es necesariamente un grupoide de Lie de acción) ^[22]
• Cualquier subálgebroide de Lie de un álgebroide de Lie integrable es integrable. ^[12]

Un ejemplo no integrable

Considérese el algebroide de Lie asociado a una 2-forma cerrada y el grupo de periodos esféricos asociados a , es decir, la imagen del siguiente homomorfismo de grupo del segundo grupo de homotopía de ${\displaystyle A_{\omega }=TM\times \mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathrm {Im} (\Phi )\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \Phi :\pi _{2}(M)\to \mathbb {R} :\quad [f]\mapsto \int _{S^{2}}f^{*}\omega .}$$

Como es transitivo, es integrable si y solo si es el algebroide de Atyah de algún fibrado principal; un análisis cuidadoso muestra que esto sucede si y solo si el subgrupo es una red , es decir, es discreto. Un ejemplo explícito en el que dicha condición falla se da al tomar y para la forma de área. Aquí resulta ser , que es denso en . ${\displaystyle A_{\omega }}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M=S^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {pr} _{1}^{*}\sigma +{\sqrt {2}}\mathrm {pr} _{2}^{*}\sigma \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Omega ^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• R-algebroide
• Bialgebroid de mentira

Referencias

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3. JC, Herz (1953). "Pseudo-algèbres de Lie". CR Acad. Sci. París (en francés). 236 : 1935–1937.
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Libros y apuntes de conferencias

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• Kirill Mackenzie, Teoría general de grupoides de Lie y álgebroides de Lie , Cambridge U. Press, 2005.
• Marius Crainic, Rui Loja Fernandes, Conferencias sobre integrabilidad de corchetes de Lie , Geometry&Topology Monographs 17 (2011) 1–107, disponible en arXiv:math/0611259.
• Eckhard Meinrenken, Apuntes de conferencias sobre grupoides de Lie y algebroides de Lie , disponibles en http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341_LieGroupoids/Groupoids.pdf.
• Ieke Moerdijk, Janez Mrčun, Introducción a las foliaciones y los grupoides de mentira , Cambridge U. Press, 2010.