e (constante matemática)

2,71828..., base de los logaritmos naturales

Valor constante utilizado en matemáticas

Gráfica de la ecuación y = 1/ x . Aquí, e es el único número mayor que 1 que hace que el área sombreada bajo la curva sea igual a 1.

El número e es una constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 que es la base del logaritmo natural y la función exponencial . A veces se le llama número de Euler , en honor al matemático suizo Leonhard Euler , aunque esto puede generar confusión con los números de Euler , o con la constante de Euler , una constante diferente que normalmente se denota como . Alternativamente, e puede llamarse constante de Napier en honor a John Napier . ^{[2] [3]} El matemático suizo Jacob Bernoulli descubrió la constante mientras estudiaba el interés compuesto. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \gamma }$

El número e es de gran importancia en matemáticas, ^[6] junto con 0, 1, π e i . Los cinco aparecen en una formulación de la identidad de Euler y desempeñan papeles importantes y recurrentes en las matemáticas. ^{[7] [8]} Al igual que la constante π , e es irracional , lo que significa que no se puede representar como una proporción de números enteros, y además es trascendental , lo que significa que no es raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales. ^[3] Con 30 decimales, el valor de e es: ^[1] ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

Definiciones

El número e es el límite de una expresión que surge en el cálculo del interés compuesto . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

Es la suma de la serie infinita $${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

Es el único número positivo a tal que la gráfica de la función y = a ^x tiene una pendiente de 1 en x = 0 .

Se tiene donde es la función exponencial (natural) , la única función que es igual a su propia derivada y satisface la ecuación Dado que la función exponencial se denota comúnmente como se tiene también $${\displaystyle e=\exp(1),}$$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp(0)=1.}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$ $${\displaystyle e=e^{1}.}$$

El logaritmo de base b se puede definir como la función inversa de la función Dado que se tiene La ecuación implica por tanto que e es la base del logaritmo natural. ${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$ ${\displaystyle b=b^{1},}$ ${\displaystyle \log _{b}b=1.}$ ${\displaystyle e=e^{1}}$

El número e también puede caracterizarse en términos de una integral : ^[9] $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$$

Para otras caracterizaciones, véase § Representaciones.

Historia

Las primeras referencias a la constante se publicaron en 1618 en la tabla de un apéndice de una obra sobre logaritmos de John Napier . Sin embargo, este no contenía la constante en sí, sino simplemente una lista de logaritmos en base ${\displaystyle e}$ . Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred . En 1661, Christiaan Huygens estudió cómo calcular logaritmos por métodos geométricos y calculó una cantidad que, en retrospectiva, es el logaritmo en base 10 de e , pero no reconoció a e en sí como una cantidad de interés. ^{[5] [10]}

La constante en sí fue introducida por Jacob Bernoulli en 1683, para resolver el problema de la capitalización continua del interés. ^{[11] [12]} En su solución, la constante e aparece como el límite donde n representa el número de intervalos en un año en el que se evalúa el interés compuesto (por ejemplo, para la capitalización mensual). $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$ ${\displaystyle n=12}$

El primer símbolo utilizado para esta constante fue la letra b de Gottfried Leibniz en cartas a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. ^[13]

Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para la constante en 1727 o 1728, en un artículo inédito sobre fuerzas explosivas en cañones, ^[14] y en una carta a Christian Goldbach el 25 de noviembre de 1731. ^{[15] [16]} La primera aparición de e en una publicación impresa fue en Mechanica de Euler (1736). ^[17] Se desconoce por qué Euler eligió la letra e . ^[18] Aunque algunos investigadores utilizaron la letra c en los años posteriores, la letra e fue más común y finalmente se convirtió en estándar. ^[2]

Euler demostró que e es la suma de las series infinitas donde n ! es el factorial de n . ^[5] La equivalencia de las dos caracterizaciones que utilizan el límite y la serie infinita se puede demostrar mediante el teorema del binomio . ^[19] $${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

Aplicaciones

Interés compuesto

El efecto de ganar un interés anual del 20 % sobre una inversión inicial de 1000 $ a distintas frecuencias de capitalización. La curva límite de la parte superior es el gráfico , donde y está en dólares, t en años y 0,2 = 20 %. ${\displaystyle y=1000e^{0.2t}}$

Jacob Bernoulli descubrió esta constante en 1683, mientras estudiaba una cuestión sobre el interés compuesto : ^[5]

Una cuenta comienza con $1.00 y paga un interés del 100 por ciento por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor de la cuenta al final del año será de $2.00. ¿Qué sucede si el interés se calcula y se acredita con mayor frecuencia durante el año?

Si el interés se acredita dos veces en el año, la tasa de interés para cada 6 meses será del 50%, por lo que el $1 inicial se multiplica por 1,5 dos veces, lo que da $1,00 × 1,5 ² = $2,25 al final del año. La capitalización trimestral da $1,00 × 1,25 ⁴ = $2,44140625 , y la capitalización mensual da $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035... . Si hay n intervalos de capitalización, el interés para cada intervalo será 100%/ n y el valor al final del año será $1,00 ×  (1 + 1/ n ) ⁿ . ^{[20] [21]}

Bernoulli notó que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza del interés ) con n más grande y, por lo tanto, intervalos de capitalización más pequeños. ^[5] La capitalización semanal ( n = 52 ) produce $2.692596..., mientras que la capitalización diaria ( n = 365 ) produce $2.714567... (aproximadamente dos centavos más). El límite a medida que n se hace grande es el número que llegó a conocerse como e . Es decir, con capitalización continua , el valor de la cuenta alcanzará $2.718281828... De manera más general, una cuenta que comienza en $1 y ofrece una tasa de interés anual de R , después de t años, producirá e ^Rt dólares con capitalización continua. Aquí, R es el equivalente decimal de la tasa de interés expresada como un porcentaje , por lo que para un interés del 5%, R = 5/100 = 0.05 . ^{[20] [21]}

Los ensayos de Bernoulli

Gráficas de probabilidad P de no observar eventos independientes cada uno de probabilidad 1/ n después de n ensayos de Bernoulli, y 1 − P  vs n  ; se puede observar que a medida que n aumenta, la probabilidad de que un evento 1/ n -casual nunca aparezca después de n intentos converge rápidamente a 1/ e .

El número e también tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad , de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Supongamos que un jugador juega en una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno en n y juega n veces. A medida que n aumenta, la probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas se acerca a 1/ e . Para n = 20 , esto ya es aproximadamente 1/2,789509....

Este es un ejemplo de un proceso de ensayo de Bernoulli . Cada vez que el jugador juega en las máquinas tragamonedas, hay una probabilidad de 1 en n de ganar. Jugar n veces se modela mediante la distribución binomial , que está estrechamente relacionada con el teorema binomial y el triángulo de Pascal . La probabilidad de ganar k veces de n ensayos es: ^[22]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

En particular, la probabilidad de ganar cero veces ( k = 0 ) es

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

El límite de la expresión anterior, cuando n tiende a infinito, es precisamente 1/ e .

Crecimiento y decrecimiento exponencial

El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad a lo largo del tiempo a una tasa cada vez mayor. Ocurre cuando la tasa instantánea de cambio (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad misma. ^[21] Descrita como una función, una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que está experimentando un decaimiento exponencial . La ley del crecimiento exponencial se puede escribir en formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base diferente , para la cual el número e es una opción común y conveniente: Aquí, denota el valor inicial de la cantidad x , k es la constante de crecimiento y es el tiempo que tarda la cantidad en crecer por un factor de e . $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

Distribución normal estándar

La distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria se conoce como distribución normal estándar , ^[23] dada por la función de densidad de probabilidad $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

La restricción de la desviación estándar unitaria (y, por lo tanto, también de la varianza unitaria) da como resultado ⁠1/2⁠ en el exponente, y la restricción del área total unitaria bajo la curva da como resultado el factor . Esta función es simétrica alrededor de x = 0 , donde alcanza su valor máximo , y tiene puntos de inflexión en x = ±1 . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Trastornos

Otra aplicación de e , también descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Remond de Montmort , se encuentra en el problema de los trastornos , también conocido como el problema del guardarropa : ^[24] n invitados son invitados a una fiesta y, en la puerta, todos los invitados dejan sus sombreros con el mayordomo, quien a su vez coloca los sombreros en n cajas, cada una etiquetada con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no ha preguntado las identidades de los invitados, por lo que coloca los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de de Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros se coloque en la caja correcta. Esta probabilidad, denotada por , es: ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

A medida que n tiende a infinito, p _n se acerca a 1/ e . Además, la cantidad de formas en que se pueden colocar los sombreros en las cajas de modo que ninguno de ellos esté en la caja correcta es n !/ e , redondeada al entero más cercano, para cada  n positivo . ^[25]

Problemas de planificación óptima

El valor máximo de ocurre en . De manera equivalente, para cualquier valor de la base b > 1 , se da el caso de que el valor máximo de ocurre en ( problema de Steiner , analizado más adelante). ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x=e}$ ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=e}$

Esto es útil en el problema de un palo de longitud L que se divide en n partes iguales. El valor de n que maximiza el producto de las longitudes es entonces ^[26]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$o ${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

La cantidad también es una medida de información obtenida de un evento que ocurre con probabilidad (aproximadamente cuando ), de modo que esencialmente la misma división óptima aparece en problemas de planificación óptima como el problema de la secretaria . ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle 36.8\%}$ ${\displaystyle x=e}$

Asintóticos

El número e aparece de forma natural en relación con muchos problemas que implican asintóticas . Un ejemplo es la fórmula de Stirling para la asintótica de la función factorial , en la que aparecen tanto los números e como π : ^[27] $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Como consecuencia de ello, ^[27] $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

Propiedades

Cálculo

Se muestran las gráficas de las funciones x ↦ a ^x para a = 2 (línea de puntos), a = e (azul) y a = 4 (línea discontinua). Todas pasan por el punto (0,1) , pero la línea roja (cuya pendiente es 1 ) es tangente solo a e ^x allí.

El valor de la función de logaritmo natural para el argumento e , es decir, ln e , es igual a 1.

La principal motivación para introducir el número e , particularmente en cálculo , es realizar cálculo diferencial e integral con funciones exponenciales y logaritmos . ^{[28] Una} función exponencial general y = a ^x tiene una derivada, dada por un límite :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

El límite entre paréntesis de la derecha es independiente de la variable x . Su valor resulta ser el logaritmo de a en base e . Por lo tanto, cuando el valor de a se establece en e , este límite es igual a 1 , y se llega a la siguiente identidad simple:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

En consecuencia, la función exponencial con base e es especialmente adecuada para realizar cálculos. Elegir e (en lugar de otro número) como base de la función exponencial hace que los cálculos que involucran las derivadas sean mucho más simples.

Otra motivación proviene de considerar la derivada de la base, un logaritmo (es decir, log _a x ), ^[28] para  x > 0 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

donde se realizó la sustitución u = h / x . El logaritmo base de e es 1, si a es igual a e . Entonces, simbólicamente,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

El logaritmo con esta base especial se llama logaritmo natural y generalmente se denota como ln ; se comporta bien bajo diferenciación ya que no hay un límite indeterminado para realizar los cálculos.

Por lo tanto, hay dos formas de seleccionar esos números especiales a . Una forma es hacer que la derivada de la función exponencial a ^x sea igual a a ^x y resolver para a . La otra forma es hacer que la derivada del logaritmo de base a sea 1/ x y resolver para a . En cada caso, se llega a una elección conveniente de base para hacer el cálculo. Resulta que estas dos soluciones para a son en realidad la misma : el número e .

Las cinco regiones coloreadas tienen el mismo área y definen unidades de ángulo hiperbólico a lo largo de la hipérbola. ${\displaystyle xy=1.}$

La serie de Taylor para la función exponencial se puede deducir del hecho de que la función exponencial es su propia derivada y que es igual a 1 cuando se evalúa en 0: ^[29] El ajuste recupera la definición de e como la suma de una serie infinita. $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle x=1}$

La función logaritmo natural se puede definir como la integral de 1 a de , y la función exponencial se puede definir entonces como la función inversa del logaritmo natural. El número e es el valor de la función exponencial evaluada en , o equivalentemente, el número cuyo logaritmo natural es 1. De ello se deduce que e es el único número real positivo tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle x=1}$ $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

Como e ^x es la única función ( salvo multiplicación por una constante K ) que es igual a su propia derivada ,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

Por lo tanto, también es su propia antiderivada : ^[30]

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

De manera equivalente, la familia de funciones

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

donde K es cualquier número real o complejo, es la solución completa de la ecuación diferencial

$${\displaystyle y'=y.}$$

Desigualdades

Las funciones exponenciales y = 2 ^x e y = 4 ^x intersecan la gráfica de y = x + 1 , respectivamente, en x = 1 y x = -1/2 . El número e es la única base tal que y = e ^x interseca solo en x = 0 . Podemos inferir que e se encuentra entre 2 y 4.

El número e es el único número real tal que para todo x positivo . ^[31] $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

Además, tenemos la desigualdad para todo real x , con igualdad si y solo si x = 0 . Además, e es la única base de la exponencial para la cual la desigualdad a ^x ≥ x + 1 se cumple para todo x . ^[32] Este es un caso límite de la desigualdad de Bernoulli . $${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

Funciones de tipo exponencial

El máximo global de ^x √ x ocurre en x = e .

El problema de Steiner pide encontrar el máximo global para la función

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

Este máximo se produce precisamente en x = e . (Se puede comprobar que la derivada de ln f ( x ) es cero sólo para este valor de  x .)

De manera similar, x = 1/ e es donde ocurre el mínimo global para la función.

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

La tetración infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$o ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

converge si y sólo si x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447] , ^{[33] [34]} demostrado por un teorema de Leonhard Euler . ^{[35] [36] [37]}

Teoría de números

El número real e es irracional . Euler demostró esto al mostrar que su simple desarrollo en fracción continua no termina. ^[38] (Véase también la prueba de Fourier de que e es irracional ).

Además, por el teorema de Lindemann-Weierstrass , e es trascendental , lo que significa que no es una solución de ninguna ecuación polinómica no nula con coeficientes racionales. Fue el primer número que se demostró trascendental sin haber sido construido específicamente para este propósito (compárese con el número de Liouville ); la prueba fue dada por Charles Hermite en 1873. ^[39] El número e es uno de los pocos números trascendentales para los que se conoce el exponente de irracionalidad exacto (dado por ). ^[40] ${\displaystyle \mu (e)=2}$

Se conjetura que e es normal , lo que significa que cuando e se expresa en cualquier base, los posibles dígitos en esa base están distribuidos uniformemente (ocurren con igual probabilidad en cualquier secuencia de longitud dada). ^[41]

En geometría algebraica , un período es un número que puede expresarse como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico . La constante π es un período, pero se conjetura que e no lo es. ^[42]

Números complejos

La función exponencial e ^x puede escribirse como una serie de Taylor ^{[43] [29]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

Debido a que esta serie es convergente para cada valor complejo de x , se utiliza comúnmente para extender la definición de e ^x a los números complejos. ^[44] Esto, con la serie de Taylor para sen y cos x , permite derivar la fórmula de Euler :

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

que es válida para cada complejo x . ^[44] El caso especial con x = π es la identidad de Euler :

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$que se considera un ejemplo de belleza matemática ya que muestra una conexión profunda entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba de que π es trascendental , lo que implica la imposibilidad de cuadrar el círculo . ^{[45] [46]} Además, la identidad implica que, en la rama principal del logaritmo, ^[44]

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

Además, utilizando las leyes de exponenciación,

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

para cualquier entero n , que es la fórmula de De Moivre . ^[47]

Las expresiones de cos x y sen x en términos de la función exponencial se pueden deducir de la serie de Taylor: ^[44] $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

La expresión a veces se abrevia como cis( x ) . ^[47] ${\textstyle \cos x+i\sin x}$

Representaciones

El número e se puede representar de diversas maneras: como una serie infinita , un producto infinito , una fracción continua o un límite de una sucesión . Además del límite y la serie dados anteriormente, también existe la fracción continua

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[48] ​​[49]}

que escrito parece

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

El siguiente producto infinito se evalúa como e : ^[26] $${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

Se han probado muchas otras representaciones de e en series, secuencias, fracciones continuas y productos infinitos .

Representaciones estocásticas

Además de las expresiones analíticas exactas para la representación de e , existen técnicas estocásticas para estimar e . Una de estas técnicas comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes X ₁ , X ₂ ..., extraídas de la distribución uniforme en [0, 1]. Sea V el menor número n tal que la suma de las primeras n observaciones exceda 1:

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

Entonces el valor esperado de V es e : E( V ) = e . ^{[50] [51]}

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado sustancialmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de los ordenadores como a las mejoras algorítmicas. ^{[52] [53]}

Desde aproximadamente 2010, la proliferación de computadoras de escritorio modernas de alta velocidad ha hecho posible que los aficionados calculen billones de dígitos de e en cantidades de tiempo aceptables. El 5 de diciembre de 2020, se realizó un cálculo récord, que dio e igual a 31.415.926.535.897 (aproximadamente π × 10¹³ ) dígitos. ^[61]

Calculando los dígitos

Una forma de calcular los dígitos de e es con la serie ^[62] $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

Un método más rápido implica dos funciones recursivas y . Las funciones se definen como ${\displaystyle p(a,b)}$ ${\displaystyle q(a,b)}$ $${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

La expresión produce la suma parcial n de la serie anterior. Este método utiliza la división binaria para calcular e con menos operaciones aritméticas de un solo dígito y, por lo tanto, reduce la complejidad de bits . La combinación de esto con métodos basados ​​en la transformada rápida de Fourier para multiplicar números enteros hace que el cálculo de los dígitos sea muy rápido. ^[62] $${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

En la cultura informática

Durante el surgimiento de la cultura de Internet , los individuos y las organizaciones a veces rendían homenaje al número e .

En un ejemplo temprano, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa Metafont se aproximaran a e . Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, y así sucesivamente. ^[63]

En otro caso, la presentación de la oferta pública inicial de Google en 2004, en lugar de una típica cantidad de dinero redonda, la empresa anunció su intención de recaudar 2.718.281.828 USD , lo que equivale a mil millones de dólares redondeados al dólar más cercano. ^[64]

Google también fue responsable de un cartel publicitario ^[65] que apareció en el corazón de Silicon Valley , y más tarde en Cambridge, Massachusetts ; Seattle, Washington ; y Austin, Texas . Decía "{primer primo de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de e }.com". El primer primo de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el dígito 99. ^[66] Resolver este problema y visitar el sitio web anunciado (ahora desaparecido) condujo a un problema aún más difícil de resolver, que consistía en encontrar el quinto término en la secuencia 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Resultó que la secuencia consistía en números de 10 dígitos encontrados en dígitos consecutivos de e cuyos dígitos sumaban 49. El quinto término en la secuencia es 5966290435, que comienza en el dígito 127. ^[67] Resolver este segundo problema finalmente condujo a una página web de Google Labs donde se invitaba al visitante a enviar un currículum. ^[68]

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001113 (Expansión decimal de e)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Miller, Jeff. "Usos más antiguos de símbolos para constantes". MacTutor . Universidad de St. Andrews, Escocia . Consultado el 31 de octubre de 2023 .
3. Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
4. Pickover, Clifford A. (2009). El libro de las matemáticas: desde Pitágoras hasta la 57.ª dimensión, 250 hitos en la historia de las matemáticas (edición ilustrada). Sterling Publishing Company. pág. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9.Extracto de la página 166
5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (septiembre de 2001). "El número e". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Universidad de St Andrews .
6. Sawyer, WW (1961). El deleite del matemático . Penguin. pág. 155.
7. Wilson, Robinn (2018). La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas (edición ilustrada). Oxford University Press. pág. (prefacio). ISBN 978-0-19-251405-9.
8. Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: una biografía del número más misterioso del mundo (edición ilustrada). Prometheus Books. pág. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.
9. Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "E (constante matemática)", Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
10. Bruins, EM (1983). "El cálculo de logaritmos por Huygens" (PDF) . Teoría de funciones constructivas : 254–257.
11. Jacob Bernoulli consideró el problema de la capitalización continua del interés, lo que llevó a una expresión en serie para e . Ver: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solucione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algunas preguntas sobre intereses, con solución de un problema sobre juegos de azar, propuestas en el Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), en el año (anno) 1685.**), Acta eruditorum , págs. En la página 222, Bernoulli plantea la pregunta: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proporcionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este es un problema de otro tipo: la cuestión es, si algún prestamista invirtiera [una] suma de dinero [a] interés, la dejara acumularse, de modo que [en] cada momento [recibiera] un] parte proporcional de [su] interés anual; ¿cuánto se debería [al] final [del] año?) Bernoulli construye una serie de potencias para calcular la respuesta, y luego escribe: "… quæ nostra serie [expresión matemática para una serie geométrica] &c. mayor est. … si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a ." ( … que nuestra serie [una serie geométrica] es mayor [que]. … si a = b , [la [al prestamista] se le deberá más de 2½ a y menos de 3 a .) Si a = b , la serie geométrica se reduce a la serie para a × e , por lo que 2,5 < e < 3 . (** Se refiere a un problema planteado por Jacob Bernoulli y que aparece en el Journal des Sçavans de 1685, al pie de la página 314.)
12. Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). Una historia de las matemáticas (2.ª ed.). Wiley. pág. 419. ISBN 978-0-471-54397-8.
13. Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF) (en alemán). busque por ejemplo la letra nr. 6
14. Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta . Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (inglés: escrito para el número cuyo logaritmo tiene la unidad, e, o sea 2,7182817…”)
15. Letra XV. Euler à Goldbach, fechado el 25 de noviembre de 1731 en: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle ... (Correspondencia matemática y física de algunos geómetras famosos del siglo XVIII), vol. 1, (San Petersburgo, Rusia: 1843), págs. 56–60, véase especialmente la pág. 58. De la pág. 58: "... (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1),..." (... (e denota ese número cuyo logaritmo hiperbólico [es decir, natural] es igual a 1)...)
16. Remmert, Reinhold (1991). Teoría de Funciones Complejas . Springer-Verlag . pag. 136.ISBN​ 978-0-387-97195-7.
17. Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (San Petersburgo (Petropoli), Rusia: Academia de Ciencias, 1736), vol. 1, Capítulo 2, Corolario 11, párrafo 171, pág. 68. De la página 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. ${\displaystyle {\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}}$ ${\displaystyle c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}}$ (Entonces [es decir, c , la velocidad] será o , donde e denota el número cuyo logaritmo hiperbólico [es decir, natural] es 1 .) ${\displaystyle {\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}}$ ${\displaystyle c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}}$
18. Calinger, Ronald (2016). Leonhard Euler: genio matemático en la Ilustración . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11927-4.pág. 124.
19. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3.ª ed.). McGraw–Hill. pp. 63–65. ISBN 0-07-054235-X.
20. Gonick, Larry (2012). La guía de cálculo en dibujos animados. William Morrow. págs. 29–32. ISBN 978-0-06-168909-3.
21. Abramson, Jay; et al. (2023). "6.1 Funciones exponenciales". Álgebra universitaria 2e . AbiertoStax. ISBN 978-1-951693-41-1.
22. Kardar, Mehran (2007). Física estadística de partículas . Cambridge University Press . pág. 41. ISBN. 978-0-521-87342-0.OCLC 860391091  .
23. Illowsky, Barbara; Dean, Susan; et al. (2023). "6.1 La distribución normal estándar". Estadísticas . OpenStax. ISBN 978-1-951693-22-0.
24. Grinstead, Charles M.; Snell, James Laurie (1997). Introducción a la probabilidad (publicado en línea bajo la licencia GFDL ). American Mathematical Society. pág. 85. ISBN 978-0-8218-9414-9. Archivado desde el original el 27 de julio de 2011.
25. Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática . Vol. I. Addison-Wesley. pág. 183. ISBN 0-201-03801-3.
26. Steven Finch (2003). Constantes matemáticas . Cambridge University Press. pág. 14. ISBN 978-0-521-81805-6.
27. Gbur, Greg (2011). Métodos matemáticos para la física óptica y la ingeniería . Cambridge University Press. pág. 779. ISBN 978-0-521516-10-5.
28. Kline, M. (1998). Cálculo: un enfoque intuitivo y físico . Dover Publications. pág. 337 y siguientes. ISBN 0-486-40453-6.
29. Strang, Gilbert; Herman, Edwin; et al. (2023). "6.3 Serie Taylor y Maclaurin". Cálculo, volumen 2 . AbiertoStax. ISBN 978-1-947172-14-2.
30. Strang, Gilbert; Herman, Edwin; et al. (2023). "4.10 Antiderivadas". Cálculo, volumen 2 . AbiertoStax. ISBN 978-1-947172-14-2.
31. Dorrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Dover. págs. 44–48.
32. Un ejercicio de cálculo estándar que utiliza el teorema del valor medio ; véase por ejemplo Apostol (1967) Calculus , § 6.17.41.
33. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A073230 (Expansión decimal de (1/e)^e)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
34. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A073229 (Expansión decimal de e^(1/e))". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
35. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Acta Acad. Científico. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reimpreso en Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, vol. 6: Comentarios Algebraicae . Leipzig, Alemania: Teubner, págs. 350–369, 1921. (facsímil)
36. Knoebel, R. Arthur (1981). "Exponentials Reiterated". The American Mathematical Monthly . 88 (4): 235–252. doi :10.2307/2320546. ISSN  0002-9890. JSTOR  2320546.
37. Anderson, Joel (2004). "Exponenciales iterados". The American Mathematical Monthly . 111 (8): 668–679. doi :10.2307/4145040. ISSN  0002-9890. JSTOR  4145040.
38. Sandifer, Ed (febrero de 2006). "Cómo lo hizo Euler: ¿Quién demostró que e es irracional?" (PDF) . MAA Online. Archivado desde el original (PDF) el 23 de febrero de 2014. Consultado el 18 de junio de 2010 .
39. Gelfond, AO (2015) [1960]. Números trascendentales y algebraicos. Dover Books on Mathematics. Traducido por Boron, Leo F. Nueva York: Dover Publications . p. 41. ISBN. 978-0-486-49526-2.Sr .  0057921.
40. Weisstein, Eric W. "Medida de irracionalidad". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de septiembre de 2024 .
41. Khoshnevisan, Davar (2006). "Los números normales son normales" (PDF) . Informe anual 2006 del Instituto de Matemáticas Clay . Instituto de Matemáticas Clay . págs. 15, 27–31.
42. Kontsevich, Máximo ; Zagier, Don (2001). "Períodos" (PDF) .
43. Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (1927-01-02). Un curso de análisis moderno: Introducción a la teoría general de procesos infinitos y de funciones analíticas; con una descripción de las principales funciones trascendentales (4.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . p. 581. ISBN 978-0-521-06794-2.
44. Dennery, P.; Krzywicki, A. (1995) [1967]. Matemáticas para físicos . Dover. págs. 23–25. ISBN 0-486-69193-4.
45. Milla, Lorenz (2020). "La trascendencia de π y la cuadratura del círculo". arXiv : 2003.14035 [math.HO].
46. Hines, Robert. "e es trascendental" (PDF) . Universidad de Colorado . Archivado (PDF) del original el 23 de junio de 2021.
47. Sultan, Alan; Artzt, Alice F. (2010). Las matemáticas que todo profesor de matemáticas de secundaria debe saber . Routledge. págs. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3.
48. Hofstadter, DR (1995). Conceptos fluidos y analogías creativas: modelos informáticos de los mecanismos fundamentales del pensamiento . Libros básicos. ISBN 0-7139-9155-0.
49. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003417 (Fracción continua para e)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
50. Russell, KG (febrero de 1991). "Estimación del valor de e mediante simulación". The American Statistician . 45 (1): 66–68. doi :10.1080/00031305.1991.10475769. JSTOR  2685243.
51. Dinov, ID (2007) Estimación de e mediante simulación SOCR , Actividades prácticas de SOCR (consultado el 26 de diciembre de 2007).
52. Sebah, P. y Gourdon, X.; La constante e y su cálculo
53. Gourdon, X.; Se informaron grandes cálculos con PiFast
54. Roger Cotes (1714) "Logometria", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338): 5–45; véase especialmente la parte inferior de la página 10. De la página 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Además, por el mismo medio, la relación está entre 2,718281828459… y 1, …)
55. Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausana, Suiza: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volumen 1, página 90.
56. William Shanks, Contribuciones a las matemáticas , ... (Londres, Inglaterra: G. Bell, 1853), página 89.
57. William Shanks (1871) "Sobre los valores numéricos de e, loge 2, loge 3, loge 5 y loge 10, también sobre el valor numérico de M, el módulo del sistema común de logaritmos, todo hasta 205 decimales", Actas de la Royal Society de Londres , 20  : 27–29.
58. J. Marcus Boorman (octubre de 1884) "Cálculo de la base neperiana", Mathematical Magazine , 1 (12): 204–205.
59. Daniel Shanks ; John W Wrench (1962). "Cálculo de Pi hasta 100.000 decimales" (PDF) . Matemáticas de la computación . 16 (77): 76–99. doi :10.2307/2003813. JSTOR  2003813. p. 78: Hemos calculado e en un 7090 hasta 100,265D mediante el programa obvio
60. Wozniak, Steve (junio de 1981). "El sueño imposible: calcular e hasta 116.000 lugares con una computadora personal". BYTE . Vol. 6, núm. 6. McGraw-Hill. pág. 392 . Consultado el 18 de octubre de 2013 .
61. Alexander Yee, ed. (5 de diciembre de 2020). "e". Numberworld .
62. Finch, Steven R. (2005). Constantes matemáticas. Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-81805-6.OCLC 180072364  .
63. Knuth, Donald (3 de octubre de 1990). "El futuro de TeX y Metafont" (PDF) . TeX Mag . 5 (1): 145. Consultado el 17 de febrero de 2017 .
64. Roberge, Jonathan; Melançon, Louis (junio de 2017). «Ser el King Kong de la cultura algorítmica es una tarea difícil después de todo: los regímenes de justificación de Google y los significados de Glass». Convergencia: Revista internacional de investigación sobre nuevas tecnologías de los medios . 23 (3): 306–324. doi :10.1177/1354856515592506. ISSN  1354-8565.
65. "Primer primo de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de e". Brain Tags . Archivado desde el original el 2013-12-03 . Consultado el 2012-02-24 .
66. Kazmierczak, Marcus (29 de julio de 2004). "Google Billboard". mkaz.com. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2010. Consultado el 9 de junio de 2007 .
67. El primer primo de 10 dígitos de e Archivado el 11 de abril de 2021 en Wayback Machine . Explora la comunidad de Portland. Consultado el 9 de diciembre de 2020.
68. Shea, Andrea. "Google atrae a quienes buscan trabajo con un rompecabezas matemático". NPR . Consultado el 9 de junio de 2007 .

Lectura adicional

• Maor, Eli; e : La historia de un número , ISBN 0-691-05854-7 
• Comentario a la nota final 10 del libro Prime Obsession para otra representación estocástica
• McCartin, Brian J. (2006). "e: El amo de todo" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 28 (2): 10–21. doi :10.1007/bf02987150. S2CID  123033482.

Enlaces externos

• El número e a 1 millón de lugares y NASA.gov 2 y 5 millones de lugares
• Aproximaciones electrónicas – Wolfram MathWorld
• Los primeros usos de símbolos para constantes 13 de enero de 2008
• "La historia de e", por Robin Wilson en Gresham College , 28 de febrero de 2007 (disponible para descarga de audio y video)
• Motor de búsqueda electrónico 2 mil millones de dígitos de búsqueda de e , π y √ 2