Derivada parcial

Derivada de una función con múltiples variables

En matemáticas , una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniendo las otras constantes (a diferencia de la derivada total , en la que se permite que varíen todas las variables). Las derivadas parciales se utilizan en cálculo vectorial y geometría diferencial .

La derivada parcial de una función con respecto a la variable se denota de diversas formas: ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$, , , , , , o . ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle \ D_{x}f}$ ${\displaystyle D_{1}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Se puede considerar como la tasa de cambio de la función en la dirección . ${\displaystyle x}$

A veces, para , la derivada parcial de con respecto a se denota como Dado que una derivada parcial generalmente tiene los mismos argumentos que la función original, su dependencia funcional a veces se significa explícitamente mediante la notación, como en: ${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$

$${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$$

El símbolo utilizado para denotar las derivadas parciales es ∂ . Uno de los primeros usos conocidos de este símbolo en matemáticas es el del Marqués de Condorcet en 1770, ^[1] quien lo utilizó para las diferencias parciales . La notación de derivadas parciales moderna fue creada por Adrien-Marie Legendre (1786), aunque más tarde la abandonó; Carl Gustav Jacob Jacobi reintrodujo el símbolo en 1841. ^[2]

Definición

Al igual que las derivadas ordinarias, la derivada parcial se define como un límite . Sea U un subconjunto abierto de y una función. La derivada parcial de f en el punto con respecto a la i -ésima variable x _i se define como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}$$

Donde es el vector unitario de la i -ésima variable x _i . Incluso si todas las derivadas parciales existen en un punto dado a , la función no necesita ser continua allí. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen en un entorno de a y son continuas allí, entonces f es totalmente diferenciable en ese entorno y la derivada total es continua. En este caso, se dice que f es una función C ¹ . Esto se puede utilizar para generalizar para funciones con valores vectoriales, , utilizando cuidadosamente un argumento componente por componente. ${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

La derivada parcial puede verse como otra función definida en U y puede ser derivada parcialmente. Si la dirección de la derivada no se repite, se denomina derivada parcial mixta . Si todas las derivadas parciales mixtas de segundo orden son continuas en un punto (o en un conjunto), f se denomina función C ² en ese punto (o en ese conjunto); en este caso, las derivadas parciales pueden intercambiarse mediante el teorema de Clairaut : ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

Notación

Para los siguientes ejemplos, sea f una función en x , y y z .

Derivadas parciales de primer orden:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

Derivadas parciales de segundo orden:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$$

Derivadas mixtas de segundo orden :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$$

Derivadas parciales y mixtas de orden superior:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$$

Cuando se trabaja con funciones de múltiples variables, algunas de estas variables pueden estar relacionadas entre sí, por lo que puede ser necesario especificar explícitamente qué variables se mantienen constantes para evitar ambigüedades. En campos como la mecánica estadística , la derivada parcial de f con respecto a x , manteniendo y y z constantes, se expresa a menudo como

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$

Convencionalmente, para mayor claridad y simplicidad de la notación, la función derivada parcial y el valor de la función en un punto específico se combinan incluyendo los argumentos de la función cuando se utiliza el símbolo de derivada parcial (notación de Leibniz). Por lo tanto, una expresión como

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$$

se utiliza para la función, mientras que

$${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$$

podría usarse para el valor de la función en el punto . Sin embargo, esta convención falla cuando queremos evaluar la derivada parcial en un punto como . En tal caso, la evaluación de la función debe expresarse de una manera difícil de manejar como ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$$

o

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$$

para poder utilizar la notación de Leibniz. Por lo tanto, en estos casos, puede ser preferible utilizar la notación del operador diferencial de Euler con como símbolo de derivada parcial con respecto a la i -ésima variable. Por ejemplo, se escribiría para el ejemplo descrito anteriormente, mientras que la expresión representa la función derivada parcial con respecto a la primera variable. ^[3] ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$ ${\displaystyle D_{1}f}$

Para derivadas parciales de orden superior, la derivada parcial (función) de con respecto a la variable j -ésima se denota . Es decir, , de modo que las variables se enumeran en el orden en que se toman las derivadas y, por lo tanto, en orden inverso a cómo se suele notar la composición de operadores. Por supuesto, el teorema de Clairaut implica que siempre que se cumplan condiciones de regularidad comparativamente leves en f . ${\displaystyle D_{i}f}$ ${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$ ${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$ ${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$

Gradiente

Un ejemplo importante de una función de varias variables es el caso de una función escalar en un dominio del espacio euclidiano (por ejemplo, en o ). En este caso f tiene una derivada parcial con respecto a cada variable x _j . En el punto a , estas derivadas parciales definen el vector ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}$

$${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$$

Este vector se denomina gradiente de f en a . Si f es diferenciable en cada punto de algún dominio, entonces el gradiente es una función vectorial ∇ f que lleva el punto a al vector ∇ f ( a ) . En consecuencia, el gradiente produce un campo vectorial .

Un abuso común de la notación es definir el operador del ( ∇ ) de la siguiente manera en el espacio euclidiano tridimensional con vectores unitarios : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$$

O, de forma más general, para un espacio euclidiano n -dimensional con coordenadas y vectores unitarios : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

$${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$$

Derivada direccional

Un gráfico de contorno de , que muestra el vector de gradiente en negro y el vector unitario escalado por la derivada direccional en la dirección de en naranja. El vector de gradiente es más largo porque el gradiente apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento de una función. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

La derivada direccional de una función escalar a lo largo de un vector es la función definida por el límite ^[4] $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Esta definición es válida en una amplia gama de contextos, por ejemplo, cuando la norma de un vector (y, por lo tanto, de un vector unitario) no está definida. ^[5]

Ejemplo

Supongamos que f es una función de más de una variable. Por ejemplo,

$${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

La gráfica de esta función define una superficie en el espacio euclidiano . A cada punto de esta superficie hay un número infinito de rectas tangentes . La diferenciación parcial es el acto de elegir una de estas rectas y hallar su pendiente . Por lo general, las rectas de mayor interés son las que son paralelas al plano xz y las que son paralelas al plano yz (que resultan de mantener y o x constantes, respectivamente).

Para hallar la pendiente de la recta tangente a la función en P (1, 1) y paralela al plano xz , tratamos a y como una constante. El gráfico y este plano se muestran a la derecha. A continuación, vemos cómo se ve la función en el plano y = 1. Al hallar la derivada de la ecuación mientras suponemos que y es una constante, encontramos que la pendiente de f en el punto ( x , y ) es:

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

Entonces, en (1, 1) , por sustitución, la pendiente es 3. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$$

en el punto (1, 1) . Es decir, la derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1) es 3 , como se muestra en el gráfico.

La función f puede reinterpretarse como una familia de funciones de una variable indexada por las otras variables:

$${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

En otras palabras, cada valor de y define una función, denotada f _y , que es una función de una variable x . ^[6] Es decir,

$${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

En esta sección, la notación de subíndice f _y denota una función contingente a un valor fijo de y , y no una derivada parcial.

Una vez que se elige un valor de y , digamos a , entonces f ( x , y ) determina una función f _a que traza una curva x ² + ax + a ² en el plano xz :

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$$

En esta expresión, a es una constante , no una variable , por lo que f _a es función de una única variable real, que es x . En consecuencia, se aplica la definición de derivada para una función de una variable:

$${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$$

El procedimiento anterior se puede realizar para cualquier opción de a . Al ensamblar las derivadas en una función se obtiene una función que describe la variación de f en la dirección x :

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$$

Esta es la derivada parcial de f con respecto a x . Aquí, " ∂ " es una "d" redondeada llamada el símbolo de la derivada parcial ; para distinguirla de la letra "d", " ∂ " a veces se pronuncia "parcial".

Derivadas parciales de orden superior

Las derivadas parciales de segundo orden y de orden superior se definen de manera análoga a las derivadas de orden superior de funciones univariadas. Para la función, la derivada parcial de segundo orden "propia" con respecto a x es simplemente la derivada parcial de la derivada parcial (ambas con respecto a x ): ^{[7] : 316–318} ${\displaystyle f(x,y,...)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$$

La derivada parcial cruzada con respecto a x e y se obtiene tomando la derivada parcial de f con respecto a x , y luego tomando la derivada parcial del resultado con respecto a y , para obtener

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$$

El teorema de Schwarz establece que si las derivadas segundas son continuas, la expresión de la derivada parcial cruzada no se ve afectada por la variable con respecto a la cual se toma la derivada parcial en primer lugar y con respecto a la cual se toma en segundo lugar. Es decir,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$$

o equivalentemente ${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}$

Las derivadas parciales propias y cruzadas aparecen en la matriz hessiana que se utiliza en las condiciones de segundo orden en los problemas de optimización . Las derivadas parciales de orden superior se pueden obtener mediante diferenciación sucesiva

Análogo antiderivado

Existe un concepto de derivadas parciales que es análogo al de antiderivadas para derivadas regulares. Dada una derivada parcial, permite la recuperación parcial de la función original.

Consideremos el ejemplo de

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

La denominada integral parcial se puede tomar con respecto a x (tratando a y como constante, de manera similar a la diferenciación parcial):

$${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}$$

Aquí, la constante de integración ya no es una constante, sino una función de todas las variables de la función original excepto x . La razón de esto es que todas las demás variables se tratan como constantes al tomar la derivada parcial, por lo que cualquier función que no involucre a x desaparecerá al tomar la derivada parcial, y tenemos que tener esto en cuenta cuando tomamos la antiderivada. La forma más general de representar esto es hacer que la constante represente una función desconocida de todas las demás variables.

Por lo tanto, el conjunto de funciones , donde g es cualquier función de un argumento, representa el conjunto completo de funciones en las variables x , y que podrían haber producido la derivada parcial x . ${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$ ${\displaystyle 2x+y}$

Si se conocen todas las derivadas parciales de una función (por ejemplo, con el gradiente ), entonces las antiderivadas se pueden hacer coincidir mediante el proceso anterior para reconstruir la función original hasta una constante. Sin embargo, a diferencia del caso de una sola variable, no todo conjunto de funciones puede ser el conjunto de todas las derivadas parciales (primeras) de una sola función. En otras palabras, no todo campo vectorial es conservativo .

Aplicaciones

Geometría

El volumen de un cono depende de la altura y el radio.

El volumen V de un cono depende de la altura h del cono y de su radio r según la fórmula

$${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$$

La derivada parcial de V con respecto a r es

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$$

que representa la tasa con la que cambia el volumen de un cono si se varía su radio y se mantiene constante su altura. La derivada parcial con respecto a h es igual a , que representa la tasa con la que cambia el volumen si se varía su altura y se mantiene constante su radio. ${\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$

Por el contrario, la derivada total de V con respecto a r y h son respectivamente

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}}$$

La diferencia entre la derivada total y la parcial es la eliminación de las dependencias indirectas entre variables en las derivadas parciales.

Si (por alguna razón arbitraria) las proporciones del cono deben permanecer iguales, y la altura y el radio están en una relación fija k ,

$${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}$$

Esto da la derivada total con respecto a r ,

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,}$$

Lo cual se simplifica a

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},}$$

De manera similar, la derivada total con respecto a h es

$${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.}$$

La derivada total con respecto a r y h del volumen entendido como función escalar de estas dos variables viene dada por el vector gradiente

$${\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).}$$

Mejoramiento

Las derivadas parciales aparecen en cualquier problema de optimización basado en cálculo con más de una variable de elección. Por ejemplo, en economía, una empresa puede desear maximizar la ganancia π( x , y ) con respecto a la elección de las cantidades x e y de dos tipos diferentes de producción. Las condiciones de primer orden para esta optimización son π _x = 0 = π _y . Dado que ambas derivadas parciales π _x y π _y generalmente serán funciones de ambos argumentos x e y , estas dos condiciones de primer orden forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .

Termodinámica, mecánica cuántica y física matemática

Las derivadas parciales aparecen en ecuaciones termodinámicas como la ecuación de Gibbs-Duhem , en mecánica cuántica como la ecuación de onda de Schrödinger , así como en otras ecuaciones de la física matemática . Las variables que se mantienen constantes en las derivadas parciales pueden ser cocientes de variables simples como las fracciones molares x _i en el siguiente ejemplo que involucra las energías de Gibbs en un sistema de mezcla ternaria:

$${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$$

Expresar fracciones molares de un componente como funciones de la fracción molar de otros componentes y relaciones molares binarias:

${\textstyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}}$

Los cocientes diferenciales se pueden formar en proporciones constantes como las anteriores:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}}$$

Las proporciones X, Y, Z de fracciones molares se pueden escribir para sistemas ternarios y multicomponentes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}}$$

que se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales como:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$$

Esta igualdad se puede reorganizar para tener el cociente diferencial de fracciones molares en un lado.

Cambio de tamaño de imagen

Las derivadas parciales son clave para los algoritmos de redimensionamiento de imágenes que tienen en cuenta el objetivo. Estos algoritmos, conocidos ampliamente como "seam carved" , requieren que a cada píxel de una imagen se le asigne una "energía" numérica para describir su disimilitud con respecto a los píxeles adyacentes ortogonales. Luego, el algoritmo elimina progresivamente las filas o columnas con la energía más baja. La fórmula establecida para determinar la energía de un píxel (magnitud del gradiente en un píxel) depende en gran medida de las construcciones de derivadas parciales.

Ciencias económicas

Las derivadas parciales desempeñan un papel destacado en economía , en la que la mayoría de las funciones que describen el comportamiento económico postulan que el comportamiento depende de más de una variable. Por ejemplo, una función de consumo social puede describir la cantidad gastada en bienes de consumo como dependiente tanto del ingreso como de la riqueza; la propensión marginal a consumir es entonces la derivada parcial de la función de consumo con respecto al ingreso.

Véase también

• Operador d'Alembert
• Regla de la cadena
• Curl (matemáticas)
• Divergencia
• Derivado exterior
• Integral iterada
• Matriz jacobiana y determinante
• Operador de Laplace
• Cálculo multivariable
• Simetría de las segundas derivadas
• Regla del triple producto , también conocida como regla de la cadena cíclica.

Notas

1. Cajori, Florian (1952), Una historia de las notaciones matemáticas, vol. 2 (3.ª ed.), 596
2. Miller, Jeff (sin fecha). "Usos más antiguos de los símbolos del cálculo". En O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.). Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Universidad de St Andrews . Consultado el 15 de junio de 2023 .
3. Spivak, M. (1965). Cálculo de variedades. Nueva York: WA Benjamin. pág. 44. ISBN 9780805390216.
4. R. Wrede; MR Spiegel (2010). Cálculo avanzado (3.ª ed.). Serie de esquemas de Schaum. ISBN 978-0-07-162366-7.
5. La aplicabilidad se extiende a funciones sobre espacios sin métrica y a variedades diferenciables , como en la relatividad general .
6. Esto también puede expresarse como la adyacencia entre las construcciones del espacio del producto y del espacio funcional .
7. Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). McGraw-Hill.

Enlaces externos

• "Derivada parcial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Derivadas parciales en MathWorld