Álgebra del espacio-tiempo

Contexto de la física relativista en el álgebra geométrica

En física matemática , el álgebra del espacio-tiempo ( STA ) es la aplicación del álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ), o equivalentemente el álgebra geométrica G( M 4 ) a la física. El álgebra del espacio-tiempo proporciona una "formulación unificada y sin coordenadas para toda la física relativista , incluidas la ecuación de Dirac , la ecuación de Maxwell y la relatividad general " y "reduce la división matemática entre la física clásica , la cuántica y la relativista ". ^{[1] : ix}

El álgebra del espacio-tiempo es un espacio vectorial que permite combinar no sólo vectores , sino también bivectores (cantidades dirigidas que describen rotaciones asociadas con rotaciones o planos particulares, como áreas o rotaciones) o cuchillas (cantidades asociadas con hipervolúmenes particulares), así como rotar , reflejar o potenciar según Lorentz . ^{[2] : 40, 43, 97, 113} También es el álgebra madre natural de los espinores en la relatividad especial. ^{[2] : 333} Estas propiedades permiten expresar muchas de las ecuaciones más importantes de la física en formas particularmente simples, y pueden ser muy útiles para una comprensión más geométrica de sus significados. ^{[1] : v}

En comparación con los métodos relacionados, STA y el álgebra de Dirac son ambas álgebras de Clifford Cl _1,3 , pero STA utiliza escalares de números reales mientras que el álgebra de Dirac utiliza escalares de números complejos . La división del espacio-tiempo de STA es similar al enfoque del álgebra del espacio físico (APS, álgebra de Pauli) . APS representa el espacio-tiempo como un paravector , un espacio vectorial tridimensional combinado y un escalar unidimensional. ^{[3] : 225–266}

Estructura

Para cualquier par de vectores STA, , ​​existe un producto vectorial (geométrico) , un producto interno (punto) y un producto externo (cuña, exterior) . El producto vectorial es una suma de un producto interno y externo: ^{[1] : 6} ${\textstyle a,b}$ ${\textstyle ab}$ ${\textstyle a\cdot b}$ ${\textstyle a\wedge b}$

${\displaystyle a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b}$

El producto interno genera un número real (escalar) y el producto externo genera un bivector. Los vectores y son ortogonales si su producto interno es cero; los vectores y son paralelos si su producto externo es cero. ^{[2] : 22–23} ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

Los vectores de base ortonormales son un vector temporal y tres vectores espaciales . Los términos distintos de cero del tensor métrico de Minkowski son los términos diagonales, . Para : ${\textstyle \gamma _{0}}$ ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$ ${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

Las matrices de Dirac comparten estas propiedades, y STA es equivalente al álgebra generada por las matrices de Dirac sobre el campo de números reales; ^{[1] :} la representación matricial explícita es innecesaria para STA.

Los productos de los vectores base generan una base tensorial que contiene un escalar , cuatro vectores , seis bivectores , cuatro pseudovectores ( trivectores ) y un pseudoescalar con . ^{[1] : 11} El pseudoescalar conmuta con todos los elementos STA de grado par , pero anticonmuta con todos los elementos STA de grado impar . ^{[4] : 6} ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$ ${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{I\}}$ ${\textstyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$

Subálgebra

Esta es una ilustración de los espinores del álgebra espacio-temporal en Cl ⁺ (1,3) bajo el producto octoniónico como un plano de Fano.

Las tablas de multiplicación de octoniones asociadas en forma e _n y STA.

Los elementos de grado par de STA (escalares, bivectores, pseudoescalares) forman una subálgebra par de Clifford Cl _3,0 ( R ) equivalente al álgebra de APS o de Pauli. ^{[1] : 12} Los bivectores de STA son equivalentes a los vectores y pseudovectores de APS. La subálgebra de STA se vuelve más explícita al cambiar el nombre de los bivectores de STA a y los bivectores de STA a . ^{[1] : 22  [2] : 37} Las matrices de Pauli, , son una representación matricial para . ^{[2] : 37} Para cualquier par de , los productos internos distintos de cero son , y los productos externos distintos de cero son: ^{[2] : 37  [1] : 16} ${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$ ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}}$

La secuencia del álgebra hasta la subálgebra par continúa como álgebra del espacio físico, álgebra de cuaterniones, números complejos y números reales. La subálgebra STA par Cl ⁺ (1,3) de espinores del espacio-tiempo real en Cl(1,3) es isomorfa al álgebra geométrica de Clifford Cl(3,0) del espacio euclidiano R ³ con elementos base. Véase la ilustración de los espinores del álgebra del espacio-tiempo en Cl ⁺ (1,3) bajo el producto octoniónico como un plano de Fano. ^[5]

División

Un vector distinto de cero es un vector nulo ( nilpotente de grado 2 ) si . ^{[6] : 2} Un ejemplo es . Los vectores nulos son tangentes al cono de luz (cono nulo). ^{[6] : 4} Un elemento es un idempotente si . ^{[7] : 103} Dos idempotentes y son idempotentes ortogonales si . ^{[7] : 103} Un ejemplo de un par idempotente ortogonal es y con . Los divisores de cero propios son elementos distintos de cero cuyo producto es cero, como los vectores nulos o los idempotentes ortogonales. ^{[8] : 191} Un álgebra de división es un álgebra que contiene elementos inversos multiplicativos (recíprocos) para cada elemento, pero esto ocurre si no hay divisores de cero propios y si el único idempotente es 1. ^{[7] : 103  [9] : 211  [a]} Las únicas álgebras de división asociativas son los números reales, los números complejos y los cuaterniones. ^{[10] : 366} Como STA no es un álgebra de división, algunos elementos de STA pueden carecer de un inverso; sin embargo, la división por el vector no nulo puede ser posible mediante la multiplicación por su inverso, definido como . ^{[11] : 14} ${\textstyle a}$ ${\textstyle a^{2}=0}$ ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle b_{1}}$ ${\textstyle b_{2}}$ ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\textstyle k=1,2,3}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c}$

Marco recíproco

Asociado a la base ortogonal está el conjunto de bases recíprocas que satisface estas ecuaciones: ^{[1] : 63} ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

Estos vectores de marco recíprocos difieren solo en un signo, con , pero . ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3}}$

Un vector puede representarse utilizando los vectores base o los vectores base recíprocos con suma sobre , según la notación de Einstein . El producto interno del vector y los vectores base o los vectores base recíprocos genera los componentes del vector. ${\textstyle a}$ ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

La gimnasia métrica y de índices elevan o bajan los índices:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

Gradiente espacio-temporal

El gradiente del espacio-tiempo, al igual que el gradiente en un espacio euclidiano, se define de modo que se satisfaga la relación de derivada direccional : ^{[12] : 45}

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

Esto requiere que la definición del gradiente sea

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Escritos explícitamente con , estos parciales son ${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}}$

División del espacio-tiempo

En STA, una división del espacio-tiempo es una proyección desde un espacio de cuatro dimensiones hacia un espacio de (3+1) dimensiones en un marco de referencia elegido mediante las dos operaciones siguientes:

• un colapso del eje de tiempo elegido, produciendo un espacio tridimensional abarcado por bivectores, equivalente a los vectores base tridimensionales estándar en el álgebra del espacio físico y
• una proyección del espacio 4D sobre el eje de tiempo elegido, que produce un espacio unidimensional de escalares, que representa el tiempo escalar. ^{[14] : 180}

Esto se logra mediante la premultiplicación o posmultiplicación por un vector base temporal , que sirve para dividir un vector de cuatro en un componente temporal escalar y un componente espacial bivectorial, en el marco de referencia que se mueve conjuntamente con . Con tenemos ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

La división del espacio-tiempo es un método para representar un vector de espacio-tiempo de grado par como un vector en el álgebra de Pauli, un álgebra donde el tiempo es un escalar separado de los vectores que ocurren en el espacio tridimensional. El método reemplaza estos vectores del espacio-tiempo ^{[1] : 22–24} ${\textstyle (\gamma )}$

Como estos bivectores elevan al cuadrado la unidad, sirven como base espacial. Utilizando la notación matricial de Pauli , se escriben . Los vectores espaciales en STA se indican en negrita; luego, con y , la división del espacio-tiempo y su reverso son: ${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle x^{0}=ct}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Sin embargo, las fórmulas anteriores solo funcionan en la métrica de Minkowski con signatura (+ - - -). Para las formas de división del espacio-tiempo que funcionan en cualquiera de las signaturas, se deben utilizar definiciones alternativas en las que y . ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$

Transformaciones

Para rotar un vector en álgebra geométrica, se utiliza la siguiente fórmula: ^{[15] : 50–51} ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}}$,

donde es el ángulo a rotar, y es el bivector normalizado que representa el plano de rotación de modo que . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$

Para un bivector espacial dado, , se aplica la fórmula de Euler , ^{[2] : 401} dando la rotación ${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Para un bivector temporal dado, , entonces una "rotación a través del tiempo" utiliza la ecuación análoga para los números complejos divididos : ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Al interpretar esta ecuación, estas rotaciones a lo largo de la dirección del tiempo son simplemente rotaciones hiperbólicas . Son equivalentes a los impulsos de Lorentz en la relatividad especial.

Ambas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz y el conjunto combinado de todas ellas es el grupo de Lorentz . Para transformar un objeto en STA desde cualquier base (correspondiente a un marco de referencia) a otra, se deben utilizar una o más de estas transformaciones. ^{[1] : 47–62}

Cualquier elemento del espacio-tiempo se transforma por multiplicación con el pseudoescalar para formar su elemento dual . ^{[12] : 114} La rotación de dualidad transforma el elemento del espacio-tiempo en elemento a través del ángulo con el pseudoescalar es: ^{[1] : 13} ${\textstyle A}$ ${\textstyle AI}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{\prime }}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle I}$

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A}$

La rotación de dualidad ocurre solo para álgebras de Clifford no singulares , es decir, no singulares, que contienen pseudoescalares con un cuadrado distinto de cero. ^{[1] : 13}

La involución de grado (involución principal, inversión) transforma cada vector r en : ^{[1] : 13  [16]} ${\textstyle A_{r}}$ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}}$

La transformación de reversión se produce al descomponer cualquier elemento del espacio-tiempo como una suma de productos de vectores y luego invertir el orden de cada producto. ^{[1] : 13  [17]} Para multivectores que surgen de un producto de vectores, la reversión es : ${\textstyle A}$ ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ ${\textstyle A^{\dagger }}$

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}}$

La conjugación de Clifford de un elemento del espacio-tiempo combina transformaciones de reversión e involución de grado, indicadas como : ^[18] ${\textstyle A}$ ${\textstyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }}$

Las transformaciones de involución de grado, reversión y conjugación de Clifford son involuciones . ^[19]

Electromagnetismo clásico

El bivector de Faraday

En STA, el campo eléctrico y el campo magnético se pueden unificar en un único campo bivectorial, conocido como bivector de Faraday, equivalente al tensor de Faraday . ^{[2] : 230} Se define como:

${\displaystyle F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},}$

donde y son los campos eléctricos y magnéticos habituales, y es el pseudoescalar STA. ^{[2] : 230} Alternativamente, expandiendo en términos de componentes, se define que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.}$

Los campos separados y se recuperan del uso ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}}$

El término representa un marco de referencia dado y, como tal, el uso de diferentes marcos de referencia dará como resultado campos relativos aparentemente diferentes, exactamente como en la relatividad especial estándar. ^{[2] : 233} ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Dado que el bivector de Faraday es un invariante relativista, se puede encontrar más información en su cuadrado, lo que da dos nuevas cantidades invariantes de Lorentz, una escalar y una pseudoescalar:

${\displaystyle F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.}$

La parte escalar corresponde a la densidad lagrangiana del campo electromagnético, y la parte pseudoescalar es un invariante de Lorentz que se observa con menos frecuencia. ^{[2] : 234}

Ecuación de Maxwell

STA formula las ecuaciones de Maxwell en una forma más simple como una ecuación, ^{[20] : 230} en lugar de las 4 ecuaciones del cálculo vectorial . ^{[21] : 2–3} De manera similar al bivector de campo anterior, la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente se pueden unificar en un solo vector espacio-temporal, equivalente a un cuatrivector . Como tal, la corriente espacio-temporal está dada por ^{[22] : 26} ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i},}$

donde los componentes son los componentes de la densidad de corriente tridimensional clásica. Al combinar estas cantidades de esta manera, queda particularmente claro que la densidad de carga clásica no es más que una corriente que viaja en la dirección temporal dada por . ${\displaystyle J^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Combinando el campo electromagnético y la densidad de corriente junto con el gradiente espacio-temporal como se definió anteriormente, podemos combinar las cuatro ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación en STA. ^{[20] : 230}

Ecuación de Maxwell:

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ}$

El hecho de que todas estas cantidades sean objetos covariantes en la STA garantiza automáticamente la covarianza de Lorentz de la ecuación, lo que es mucho más fácil de demostrar que cuando se separa en cuatro ecuaciones separadas.

De esta forma, también es mucho más sencillo demostrar ciertas propiedades de las ecuaciones de Maxwell, como la conservación de la carga . Utilizando el hecho de que para cualquier campo bivectorial, la divergencia de su gradiente espaciotemporal es , se puede realizar la siguiente manipulación: ^{[23] : 231} ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}}$

Esta ecuación tiene el significado claro de que la divergencia de la densidad de corriente es cero, es decir, la carga total y la densidad de corriente se conservan a lo largo del tiempo.

Utilizando el campo electromagnético, la forma de la fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada también se puede simplificar considerablemente utilizando STA. ^{[24] : 156}

Fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=qF\cdot v}$

Formulación potencial

En la formulación estándar del cálculo vectorial, se utilizan dos funciones potenciales: el potencial escalar eléctrico y el potencial vectorial magnético . Con las herramientas de STA, estos dos objetos se combinan en un único campo vectorial , análogo al potencial electromagnético de cuatro campos en el cálculo tensorial. En STA, se define como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}}$

donde es el potencial escalar y son los componentes del potencial magnético. Como se define, este campo tiene unidades del SI de webers por metro (V⋅s⋅m ⁻¹ ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A^{k}}$

El campo electromagnético también puede expresarse en términos de este campo potencial, utilizando

${\displaystyle {\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.}$

Sin embargo, esta definición no es única. Para cualquier función escalar dos veces diferenciable , el potencial dado por ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}})}$

${\displaystyle A'=A+\nabla \Lambda }$

También dará lo mismo que el original, debido a que ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.}$

Este fenómeno se denomina libertad de calibre . El proceso de elegir una función adecuada para simplificar al máximo un problema dado se conoce como fijación de calibre . Sin embargo, en la electrodinámica relativista, a menudo se impone la condición de Lorenz , donde . ^{[2] : 231} ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$

Para reformular la ecuación de Maxwell STA en términos del potencial , primero se reemplaza con la definición anterior. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{aligned}}}$

Sustituyendo en este resultado, se llega a la formulación potencial del electromagnetismo en STA: ^{[2] : 232}

Ecuación potencial:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=\mu _{0}J}$

Formulación lagrangiana

De manera análoga al formalismo del cálculo tensorial, la formulación potencial en STA conduce naturalmente a una densidad lagrangiana apropiada . ^{[2] : 453}

Densidad lagrangiana electromagnética:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange con valores multivectoriales para el campo se pueden derivar y, al no tener en cuenta el rigor matemático de tomar la derivada parcial con respecto a algo que no es un escalar, las ecuaciones relevantes se convierten en: ^{[25] : 440}

${\displaystyle \nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.}$

Para comenzar a derivar nuevamente la ecuación de potencial a partir de esta forma, lo más sencillo es trabajar en el calibre de Lorenz, estableciendo ^{[2] : 232}

${\displaystyle \nabla \cdot A=0.}$

Este proceso se puede realizar independientemente del calibre elegido, pero esto hace que el proceso resultante sea considerablemente más claro. Debido a la estructura del producto geométrico , el uso de esta condición da como resultado . ${\displaystyle \nabla \wedge A=\nabla A}$

Después de sustituir en , se obtiene fácilmente la misma ecuación de movimiento que la anterior para el campo potencial . ${\displaystyle F=c\nabla A}$ ${\displaystyle A}$

La ecuación de Pauli

La STA permite la descripción de la partícula de Pauli en términos de una teoría real en lugar de una teoría matricial. La descripción de la partícula de Pauli en términos de teoría matricial es: ^[26]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

donde es un espinor , es la unidad imaginaria sin interpretación geométrica, son las matrices de Pauli (con la notación 'sombrero' indicando que es un operador matricial y no un elemento del álgebra geométrica), y es el hamiltoniano de Schrödinger. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle H_{S}}$

El enfoque STA transforma la representación del espinor matricial en la representación STA utilizando elementos, , del subálgebra del espacio-tiempo de grado par y el pseudoescalar : ^{[2] : 37  [27] : 270, 271} ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}} }$

La partícula de Pauli se describe mediante la ecuación real de Pauli-Schrödinger: ^[26]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

donde ahora es un multivector par del álgebra geométrica, y el hamiltoniano de Schrödinger es . Hestenes se refiere a esto como la verdadera teoría de Pauli-Schrödinger para enfatizar que esta teoría se reduce a la teoría de Schrödinger si se omite el término que incluye el campo magnético. ^{[26] : 30} El vector es un vector fijo seleccionado arbitrariamente; una rotación fija puede generar cualquier vector fijo alternativo seleccionado . ^{[28] : 30} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H_{S}}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$

La ecuación de Dirac

La STA permite una descripción de la partícula de Dirac en términos de una teoría real en lugar de una teoría matricial. La descripción de la partícula de Dirac en términos de teoría matricial es: ^[29]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

donde están las matrices de Dirac y es la unidad imaginaria sin interpretación geométrica. ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ ${\textstyle i}$

Utilizando el mismo enfoque que para la ecuación de Pauli, el enfoque STA transforma el espinor superior de la matriz y el espinor inferior de la matriz del bispinor de Dirac en las representaciones de espinor del álgebra geométrica correspondientes y . Luego, se combinan para representar el bispinor de Dirac del álgebra geométrica completa . ^{[30] : 279} ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi _{U}}$ ${\textstyle \psi _{L}}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}} }$

Siguiendo la derivación de Hestenes, la partícula de Dirac se describe mediante la ecuación: ^{[29] [31] : 283}

Ecuación de Dirac en STA:

${\displaystyle \nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

Aquí, es el campo de espinor, y son elementos del álgebra geométrica, es el cuatro-potencial electromagnético , y es la derivada del vector espacio-tiempo. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle I\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Espinores de Dirac

Un espinor de Dirac relativista se puede expresar como: ^{[32] [33] [34] : 280} ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}}$

donde, según su derivación por David Hestenes , es una función par de valores multivectoriales en el espacio-tiempo, es un espinor o "rotor" unimodular, ^[35] y y son funciones de valores escalares. ^[32] En esta construcción, los componentes de se corresponden directamente con los componentes de un espinor de Dirac , ambos con 8 grados escalares de libertad. ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ ${\displaystyle R=R(x)}$ ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$ ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$ ${\displaystyle \psi }$

Esta ecuación se interpreta como la conexión del espín con el pseudoescalar imaginario. ^{[36] : 104–121}

El rotor, , Lorentz transforma el marco de vectores en otro marco de vectores mediante la operación ; ^{[37] : 15} nota que indica la transformación inversa . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }}$ ${\textstyle R^{\dagger }}$

Esto se ha ampliado para proporcionar un marco para observables con valores escalares y vectoriales que varían localmente y para respaldar la interpretación de Zitterbewegung de la mecánica cuántica propuesta originalmente por Schrödinger . ^{[38] [1] : vi}

Hestenes ha comparado su expresión con la expresión de Feynman en la formulación de la integral de trayectoria: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },}$

donde es la acción clásica a lo largo de la ruta -. ^[32] ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Usando los espinores, la densidad de corriente del campo se puede expresar mediante ^{[39] : 8}

${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Simetrías

La simetría de fase global es un cambio de fase global constante de la función de onda que deja la ecuación de Dirac sin cambios. ^{[40] : 41–48} La simetría de fase local es un cambio de fase que varía espacialmente y que deja la ecuación de Dirac sin cambios si se acompaña de una transformación de calibre del potencial electromagnético de cuatro fases , tal como se expresa mediante estas sustituciones combinadas. ^{[41] : 269, 283}

${\displaystyle \psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)}$

En estas ecuaciones, la transformación de fase local es un cambio de fase en la ubicación del espacio-tiempo con pseudovector y de subálgebra de espacio-tiempo de grado par aplicado a la función de onda ; la transformación de calibre es una resta del gradiente del cambio de fase del cuatro-potencial electromagnético con carga eléctrica de partículas . ^{[41] : 269, 283} ${\displaystyle \alpha (x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

Los investigadores han aplicado STA y enfoques relacionados con el álgebra de Clifford a las teorías de calibración, la interacción electrodébil , la teoría de Yang-Mills y el modelo estándar . ^{[42] : 1345–1347}

Las simetrías discretas son la paridad , la conjugación de carga y la inversión temporal aplicadas a la función de onda . Estos efectos son: ^{[43] : 283} ${\textstyle ({\hat {P}})}$ ${\textstyle ({\hat {C}})}$ ${\textstyle ({\hat {T}})}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}}$

Relatividad general

Relatividad general

Los investigadores han aplicado STA y enfoques relacionados del álgebra de Clifford a la relatividad, la gravedad y la cosmología. ^{[42] : 1343} La teoría de la gravedad de calibre (GTG) utiliza STA para describir una curvatura inducida en el espacio de Minkowski mientras admite una simetría de calibre bajo "reasignación suave arbitraria de eventos en el espacio-tiempo" que conduce a esta ecuación geodésica. ^{[44] [45] [4] [13]}

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R}$

y la derivada covariante

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

donde es la conexión asociada con el potencial gravitacional, y es una interacción externa como un campo electromagnético. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

La teoría muestra cierta promesa para el tratamiento de los agujeros negros, ya que su forma de la solución de Schwarzschild no falla en las singularidades; la mayoría de los resultados de la relatividad general se han reproducido matemáticamente, y la formulación relativista de la electrodinámica clásica se ha extendido a la mecánica cuántica y a la ecuación de Dirac .

Véase también

• Álgebra geométrica
• Álgebra de Dirac
• Ecuaciones de Maxwell
• Ecuación de Dirac
• Relatividad general

Notas

1. Un ejemplo: dado un idempotente , defina , luego , , y . Halle la inversa que satisfaga . Por lo tanto, . Sin embargo, no hay ninguna que satisfaga , por lo que este idempotente no tiene inversa. ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0})}$ ${\textstyle b=1-a={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0})}$ ${\textstyle a^{2}=a}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle ab=0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}a=1}$ ${\textstyle b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}\cdot 0\neq 0}$

Citas

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Referencias

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Enlaces externos

• Explorando la Física con Álgebra Geométrica, libro I
• Explorando la Física con Álgebra Geométrica, libro II
• Un lagrangiano multivectorial para la ecuación de Maxwell
• Los números imaginarios no son reales: el álgebra geométrica del espacio-tiempo, una introducción didáctica a las ideas del álgebra geométrica, por S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
• Apuntes del curso de Aplicaciones físicas del álgebra geométrica, ver especialmente la parte 2.
• Grupo de Álgebra Geométrica de la Universidad de Cambridge
• Investigación y desarrollo del cálculo geométrico