Espinor de Dirac

Espinor complejo de cuatro componentes

En la teoría cuántica de campos , el espinor de Dirac es el espinor que describe todas las partículas fundamentales conocidas que son fermiones , con la posible excepción de los neutrinos . Aparece en la solución de onda plana de la ecuación de Dirac , y es una determinada combinación de dos espinores de Weyl , en concreto, un bispinor que se transforma "espinorialmente" bajo la acción del grupo de Lorentz .

Los espinores de Dirac son importantes e interesantes de muchas maneras. En primer lugar, son importantes porque describen todos los fermiones de partículas fundamentales conocidos en la naturaleza ; esto incluye el electrón y los quarks . Algebraicamente se comportan, en cierto sentido, como la "raíz cuadrada" de un vector . Esto no es fácilmente evidente a partir del examen directo, pero poco a poco se ha ido aclarando durante los últimos 60 años que las representaciones espinoriales son fundamentales para la geometría . Por ejemplo, efectivamente todas las variedades de Riemann pueden tener espinores y conexiones de espín construidas sobre ellas, a través del álgebra de Clifford . ^[1] El espinor de Dirac es específico del espacio-tiempo de Minkowski y las transformaciones de Lorentz ; el caso general es bastante similar.

Este artículo está dedicado al espinor de Dirac en la representación de Dirac . Esta corresponde a una representación específica de las matrices gamma y es la más adecuada para demostrar las soluciones de energía positiva y negativa de la ecuación de Dirac. Existen otras representaciones, en particular la representación quiral , que es más adecuada para demostrar la simetría quiral de las soluciones de la ecuación de Dirac. Los espinores quirales pueden escribirse como combinaciones lineales de los espinores de Dirac que se presentan a continuación; por lo tanto, no se pierde ni se gana nada, excepto un cambio de perspectiva con respecto a las simetrías discretas de las soluciones.

El resto de este artículo está diseñado de manera pedagógica, utilizando notaciones y convenciones específicas de la presentación estándar del espinor de Dirac en los libros de texto sobre teoría cuántica de campos. Se centra principalmente en el álgebra de las soluciones de ondas planas. La manera en que el espinor de Dirac se transforma bajo la acción del grupo de Lorentz se analiza en el artículo sobre bispinores .

Definición

El espinor de Dirac es el bispinor en el ansatz de onda plana de la ecuación de Dirac libre para un espinor con masa , que, en unidades naturales se convierte en y con la notación de barra de Feynman puede escribirse ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ $${\displaystyle \psi (x)=u\left({\vec {p}}\right)\;e^{-ip\cdot x}}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0}$$ $${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0}$$ $${\displaystyle \left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0}$$

A continuación se ofrece una explicación de los términos que aparecen en el ansatz.

• El campo de Dirac es , un campo relativista de espín 1/2 , o concretamente una función en el espacio de Minkowski valorada en , una función vectorial compleja de cuatro componentes. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$
• El espinor de Dirac relacionado con una onda plana con vector de onda es , un vector que es constante con respecto a la posición en el espacio-tiempo pero que depende del momento . ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• El producto interno en el espacio de Minkowski para los vectores y es . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\vec {p}}t-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$
• El cuádruple momento de una onda plana es donde es arbitrario, ${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right):=\left(\pm E_{\vec {p}},{\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• En un marco de referencia inercial dado, las coordenadas son . Estas coordenadas parametrizan el espacio de Minkowski. En este artículo, cuando aparece en un argumento, a veces se omite el índice. ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

El espinor de Dirac para la solución de frecuencia positiva se puede escribir como donde $${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,}$$

• ${\displaystyle \phi }$es un dos-espinor arbitrario, concretamente un vector. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$es el vector de Pauli ,
• ${\displaystyle E_{\vec {p}}}$es la raíz cuadrada positiva . En este artículo, a veces se omite el subíndice y la energía se escribe simplemente . ${\textstyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle E}$

En unidades naturales, cuando se suma m ^{2 a} p ² o cuando se suma m a , m significa mc en unidades ordinarias; cuando se suma m a E , m significa mc ² en unidades ordinarias. Cuando se suma m a o a , significa (lo que se denomina longitud de onda Compton reducida inversa ) en unidades ordinarias. ${\displaystyle {p\!\!\!/}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$

Derivación de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac tiene la forma $${\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Para derivar una expresión para el cuadriespinor ω , las matrices α y β deben darse en forma concreta. La forma precisa que adopten depende de la representación. En todo este artículo se utiliza la representación de Dirac. En esta representación, las matrices son $${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Estas dos matrices 4×4 están relacionadas con las matrices gamma de Dirac . Nótese que 0 e I son matrices 2×2 aquí.

El siguiente paso es buscar soluciones de la forma mientras al mismo tiempo se divide ω en dos dos espinores: $${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)},}$$ $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

Resultados

Al utilizar toda la información anterior para introducirla en la ecuación de Dirac, obtenemos que esta ecuación matricial es en realidad dos ecuaciones acopladas: $${\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}}$$

Resuelva la segunda ecuación para χ y obtendrá $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}.}$$

Tenga en cuenta que esta solución debe tener para que la solución sea válida en un marco donde la partícula tiene . ${\textstyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

Derivación del signo de la energía en este caso. Consideramos el término potencialmente problemático . ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$

• Si , claramente como . ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}}$
• Por otra parte, sea , con un vector unitario, y sea . ${\textstyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle p\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la solución negativa claramente debe omitirse y . Fin de la derivación. ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$

Al ensamblar estas piezas, la solución de energía positiva completa se escribe convencionalmente como Lo anterior introduce un factor de normalización derivado en la siguiente sección. $${\displaystyle \psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$

Resolviendo en cambio la primera ecuación para un conjunto diferente de soluciones se encuentra: ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

En este caso, es necesario hacer cumplir que esta solución sea válida en un marco donde la partícula tiene . La prueba se sigue de manera análoga al caso anterior. Esta es la llamada solución de energía negativa . A veces puede resultar confuso llevar una energía explícitamente negativa, por lo que es convencional invertir el signo tanto de la energía como del momento, y escribir esto como ${\textstyle E=-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$ $${\displaystyle \psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

En un desarrollo posterior, las soluciones de tipo se denominan soluciones de partículas , que describen una partícula de espín 1/2 de masa positiva que porta energía positiva, y las soluciones de tipo se denominan soluciones de antipartículas , que describen nuevamente una partícula de espín 1/2 de masa positiva, que nuevamente porta energía positiva. En el marco del laboratorio, se considera que ambas tienen masa y energía positivas, aunque siguen siendo muy duales entre sí, y el signo invertido en la onda plana de la antipartícula sugiere que está "viajando hacia atrás en el tiempo". La interpretación de "tiempo hacia atrás" es un poco subjetiva e imprecisa, y equivale a una evasiva cuando la única evidencia que uno tiene son estas soluciones. Obtiene evidencia más sólida cuando se considera el campo de Dirac cuantizado. Un significado más preciso de estos dos conjuntos de soluciones como "opuestos entre sí" se da en la sección sobre conjugación de carga , a continuación. ${\displaystyle \psi ^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(-)}}$

Base quiral

En la representación quiral de , el espacio de soluciones está parametrizado por un vector , con solución de espinor de Dirac donde son 4-vectores de Pauli y es la raíz cuadrada de la matriz hermítica. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma \cdot p}}\,\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}\cdot p}}\,\xi \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$ ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$

Orientación del giro

Dos espinores

En la representación de Dirac, las definiciones más convenientes para los dos espinores son: y dado que estos forman una base ortonormal con respecto a un producto interno (complejo). $${\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$$

Matrices de Pauli

Las matrices de Pauli son $${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

Utilizando estos, se obtiene lo que a veces se llama el vector de Pauli : $${\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}$$

Ortogonalidad

Los espinores de Dirac proporcionan un conjunto completo y ortogonal de soluciones a la ecuación de Dirac . ^{[2] [3]} Esto se demuestra más fácilmente escribiendo los espinores en el marco de reposo, donde esto se vuelve obvio, y luego elevando a un marco de coordenadas de Lorentz arbitrario. En el marco de reposo, donde el triple momento se desvanece: se pueden definir cuatro espinores ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}},}$ $${\displaystyle u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

Presentamos la notación de barra de Feynman $${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$$

Los espinores potenciados se pueden escribir como y $${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

Los espinores conjugados se definen como los cuales pueden demostrarse que resuelven la ecuación de Dirac conjugada. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ $${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$$

con la derivada entendida como actuando hacia la izquierda. Los espinores conjugados son entonces y $${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$ $${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

La normalización elegida aquí es tal que el invariante escalar realmente es invariante en todos los marcos de Lorentz. En concreto, esto significa ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$$

Lo completo

Los cuatro espinores en el marco de reposo indican que hay cuatro soluciones distintas, reales y linealmente independientes para la ecuación de Dirac. Que en realidad son soluciones se puede demostrar claramente observando que, cuando se escribe en el espacio de momento, la ecuación de Dirac tiene la forma y ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$ $${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$ $${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$

Esto se sigue porque lo que a su vez se sigue de las relaciones de anticonmutación para las matrices gamma : con el tensor métrico en el espacio plano (en el espacio curvo, las matrices gamma pueden verse como una especie de vielbein , aunque esto está más allá del alcance del presente artículo). Quizás sea útil notar que la ecuación de Dirac, escrita en el marco de reposo, toma la forma y de modo que los espinores del marco de reposo pueden interpretarse correctamente como soluciones a la ecuación de Dirac. Aquí hay cuatro ecuaciones, no ocho. Aunque los 4-espinores se escriben como cuatro números complejos, lo que sugiere 8 variables reales, solo cuatro de ellos tienen independencia dinámica; los otros cuatro no tienen importancia y siempre se pueden parametrizar. Es decir, uno podría tomar cada uno de los cuatro vectores y multiplicar cada uno por una fase global distinta. Esta fase no cambia nada; puede interpretarse como una especie de libertad de calibre global. Esto no quiere decir que "las fases no importen", como por supuesto lo hacen; la ecuación de Dirac debe escribirse en forma compleja, y las fases se acoplan al electromagnetismo. Las fases tienen incluso un significado físico, como lo implica el efecto Aharonov-Bohm : el campo de Dirac, acoplado al electromagnetismo, es un haz de fibras U(1) (el haz circular ), y el efecto Aharonov-Bohm demuestra la holonomía de ese haz. Todo esto no tiene un impacto directo en el recuento del número de componentes distintos del campo de Dirac. En cualquier contexto, solo hay cuatro componentes reales y distintos. $${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$$ $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle \left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$ $${\displaystyle \left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$ ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$ ${\displaystyle e^{i\eta }.}$

Con una elección apropiada de las matrices gamma, es posible escribir la ecuación de Dirac en una forma puramente real, teniendo sólo soluciones reales: ésta es la ecuación de Majorana . Sin embargo, sólo tiene dos soluciones linealmente independientes. Estas soluciones no se acoplan al electromagnetismo; describen una partícula masiva, eléctricamente neutra, de espín 1/2. Aparentemente, el acoplamiento al electromagnetismo duplica el número de soluciones. Pero, por supuesto, esto tiene sentido: el acoplamiento al electromagnetismo requiere tomar un campo real y hacerlo complejo. Con algo de esfuerzo, la ecuación de Dirac puede interpretarse como la ecuación de Majorana "complejizada". Esto se demuestra más fácilmente en un entorno geométrico genérico, fuera del alcance de este artículo.

Matrices de proyección de estados propios de energía

Es convencional definir un par de matrices de proyección y , que proyectan los estados propios de energía positiva y negativa. Dado un marco de coordenadas de Lorentz fijo (es decir, un momento fijo), estos son ${\displaystyle \Lambda _{+}}$ ${\displaystyle \Lambda _{-}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=-\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$$

Se trata de un par de matrices de 4×4. Suman la matriz identidad: son ortogonales y son idempotentes. $${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$$ $${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$$ $${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$$

Es conveniente observar su rastro: $${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$$

Tenga en cuenta que las propiedades de traza y ortonormalidad se mantienen independientemente del marco de Lorentz; estas son covariantes de Lorentz.

Conjugación de carga

La conjugación de carga transforma el espinor de energía positiva en el espinor de energía negativa. La conjugación de carga es una aplicación (una involución ) que tiene la forma explícita donde denota la transpuesta, es una matriz 4×4 y es un factor de fase arbitrario. El artículo sobre la conjugación de carga deriva la forma anterior y demuestra por qué la palabra "carga" es la palabra apropiada para usar: puede interpretarse como la carga eléctrica . En la representación de Dirac para las matrices gamma , la matriz puede escribirse como Por lo tanto, una solución de energía positiva (eliminando el superíndice de espín para evitar la sobrecarga de notación) se lleva a su conjugado de carga Nótese los conjugados complejos dispersos. Estos se pueden consolidar con la identidad para obtener con el espinor 2 siendo Como esto tiene precisamente la forma de la solución de energía negativa, queda claro que la conjugación de carga intercambia las soluciones de partícula y antipartícula. Nótese que no solo se invierte la energía, sino que también se invierte el momento. El espín hacia arriba se transmuta en espín hacia abajo. Se puede demostrar que la paridad también está invertida. La conjugación de carga es en gran medida un emparejamiento del espinor de Dirac con su "opuesto exacto". ${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$ $${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$$ ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$ $${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$ $${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}$$ $${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$ $${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$$

Véase también

• Ecuación de Dirac
• Ecuación de Weyl
• Ecuación de Majorana
• Base de helicidad
• Spin(1,3) , la doble cobertura de SO(1,3) por un grupo de espín

Referencias

1. Jost, Jürgen (2002). "Variedades de Riemann". Geometría riemanniana y análisis geométrico (3.ª ed.). Springer. págs. 1–39. doi :10.1007/978-3-642-21298-7_1. Véase la sección 1.8.
2. Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964). Mecánica cuántica relativista . McGraw-Hill. Véase el capítulo 3.
3. Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill. ISBN 0-07-032071-3. Véase el capítulo 2.

• Aitchison, IJR; AJG Hey (septiembre de 2002). Teorías de calibración en física de partículas (3.ª ed.) . Institute of Physics Publishing. ISBN 0-7503-0864-8.
• Miller, David (2008). «Relativistic Quantum Mechanics (RQM)» (PDF) . pp. 26–37. Archivado desde el original (PDF) el 2020-12-19 . Consultado el 2009-12-03 .