Superálgebra

Estructura algebraica utilizada en física teórica

En matemáticas y física teórica , una superálgebra es un álgebra graduada Z 2 _. [ ^1] Es decir, es un álgebra sobre un anillo o cuerpo conmutativo con una descomposición en partes "pares" e "impares" y un operador de multiplicación que respeta la graduación.

El prefijo super- proviene de la teoría de la supersimetría en física teórica. Las superálgebras y sus representaciones, los supermódulos , proporcionan un marco algebraico para formular la supersimetría. El estudio de tales objetos a veces se denomina superálgebra lineal . Las superálgebras también desempeñan un papel importante en el campo relacionado de la supergeometría, donde entran en las definiciones de variedades graduadas , supervariedades y superesquemas.

Definición formal

Sea K un anillo conmutativo . En la mayoría de las aplicaciones, K es un campo de característica 0 , como R o C.

Una superálgebra sobre K es un K -módulo A con una descomposición en suma directa

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

junto con una multiplicación bilineal A × A → A tal que

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

donde los subíndices se leen módulo 2, es decir, se consideran elementos de Z ₂ .

Un superanillo , o anillo graduado Z 2 _, es una superálgebra sobre el anillo de números enteros Z .

Los elementos de cada uno de los A _i se llaman homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo x , denotado por | x |, es 0 o 1 según esté en A ₀ o A ₁ . Los elementos de paridad 0 se llaman pares y los de paridad 1 impares . Si x e y son homogéneos, entonces también lo es el producto xy por . ${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$

Una superálgebra asociativa es aquella cuya multiplicación es asociativa y una superálgebra unitaria es aquella con un elemento identidad multiplicativo . El elemento identidad en una superálgebra unitaria es necesariamente par. A menos que se especifique lo contrario, se supone que todas las superálgebras de este artículo son asociativas y unitarias.

Una superálgebra conmutativa (o álgebra superconmutativa) es aquella que satisface una versión graduada de la conmutatividad . Específicamente, A es conmutativa si

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

para todos los elementos homogéneos x e y de A . Hay superálgebras que son conmutativas en el sentido ordinario, pero no en el sentido de superálgebra. Por esta razón, las superálgebras conmutativas a menudo se denominan supercommutativas para evitar confusiones. ^[2]

Convenciones de signos

Cuando la clasificación Z ₂ surge como una "acumulación" de un álgebra clasificada en Z o N en componentes pares e impares, entonces se pueden encontrar en la literatura dos convenciones de signos distintas (pero esencialmente equivalentes). ^[3] Estas pueden llamarse la "convención de signos cohomológicos" y la "convención de supersignos". Se diferencian en cómo se comporta el antípoda (intercambio de dos elementos). En el primer caso, se tiene una función de intercambio

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

donde es el grado ( Z o N ) de y la paridad. Asimismo, es el grado de y con paridad . Esta convención se ve comúnmente en entornos matemáticos convencionales, como geometría diferencial y topología diferencial. La otra convención es tomar ${\displaystyle m=\deg x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=\deg y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q.}$

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

con las paridades dadas como y la paridad. Esto se ve más a menudo en textos de física y requiere que se emplee juiciosamente un funtor de paridad para rastrear isomorfismos. Pierre Deligne proporciona argumentos detallados ^[3]. ${\displaystyle p=m{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle q=n{\bmod {2}}}$

Ejemplos

• Cualquier álgebra sobre un anillo conmutativo K puede considerarse como una superálgebra puramente par sobre K ; es decir, tomando A ₁ como trivial.
• Cualquier álgebra con calificación Z o N puede considerarse una superálgebra leyendo el módulo de calificación 2. Esto incluye ejemplos como álgebras tensoriales y anillos polinomiales sobre K.
• En particular, cualquier álgebra exterior sobre K es una superálgebra. El álgebra exterior es el ejemplo estándar de un álgebra superconmutativa .
• Los polinomios simétricos y los polinomios alternados forman juntos una superálgebra, que es la parte par y la parte impar, respectivamente. Nótese que esta es una clasificación diferente de la clasificación por grado.
• Las álgebras de Clifford son superálgebras. Por lo general, no son conmutativas.
• El conjunto de todos los endomorfismos (denotados como , donde en negrita se hace referencia a como interno , compuesto de todos los mapas lineales) de un superespacio vectorial forma una superálgebra bajo composición. ${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$
• El conjunto de todas las supermatrices cuadradas con entradas en K forma una superálgebra denotada por M _{p | q} ( K ). Esta álgebra puede identificarse con el álgebra de endomorfismos de un supermódulo libre sobre K de rango p | q y es el Hom interno de arriba para este espacio.
• Las superálgebras de Lie son un análogo graduado de las álgebras de Lie . Las superálgebras de Lie no son unitarias ni asociativas; sin embargo, se puede construir el análogo de un álgebra envolvente universal de una superálgebra de Lie que sea una superálgebra unitaria y asociativa.

Otras definiciones y construcciones

Subálgebra uniforme

Sea A una superálgebra sobre un anillo conmutativo K . El submódulo A ₀ , que consta de todos los elementos pares, es cerrado bajo la multiplicación y contiene la identidad de A y, por lo tanto, forma una subálgebra de A , llamada naturalmente subálgebra par . Forma un álgebra ordinaria sobre K .

El conjunto de todos los elementos impares A ₁ es un bimódulo A ₀ cuya multiplicación escalar es simplemente una multiplicación en A . El producto en A dota a A 1 _de una forma bilineal

${\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}$

de tal manera que

${\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}$

para todos los x , y y z en A ₁ . Esto se deduce de la asociatividad del producto en A .

Involución de grado

Existe un automorfismo involutivo canónico en cualquier superálgebra llamado involución de grado . Se da en elementos homogéneos por

${\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}$

y sobre elementos arbitrarios por

${\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}$

donde x _i son las partes homogéneas de x . Si A no tiene 2-torsión (en particular, si 2 es invertible), entonces la involución de grado se puede utilizar para distinguir las partes pares e impares de A :

${\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}$

Superconmutatividad

El superconmutador en A es el operador binario dado por

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

sobre elementos homogéneos, extendidos a todo A por linealidad. Se dice que los elementos x e y de A son superconmutativos si [ x , y ] = 0 .

El supercentro de A es el conjunto de todos los elementos de A que superconmutan con todos los elementos de A :

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}$

El supercentro de A es, en general, diferente del centro de A como álgebra no graduada. Una superálgebra conmutativa es aquella cuyo supercentro es todo A.

Producto supertensor

El producto tensorial graduado de dos superálgebras A y B puede considerarse como una superálgebra A ⊗ B con una regla de multiplicación determinada por:

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}$

Si A o B son puramente pares, esto es equivalente al producto tensorial ordinario sin graduar (excepto que el resultado sí está graduado). Sin embargo, en general, el producto supertensor es distinto del producto tensorial de A y B considerados como álgebras ordinarias sin graduar.

Generalizaciones y definición categórica

Se puede generalizar fácilmente la definición de superálgebras para incluir superálgebras sobre un superanillo conmutativo. La definición dada anteriormente es entonces una especialización para el caso en el que el anillo base es puramente par.

Sea R un superanillo conmutativo. Una superálgebra sobre R es un R -supermódulo A con una multiplicación R -bilineal A × A → A que respeta la gradación. La bilinealidad aquí significa que

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

para todos los elementos homogéneos r ∈ R y x , y ∈ A .

De manera equivalente, se puede definir una superálgebra sobre R como un superanillo A junto con un homomorfismo de superanillo R → A cuya imagen se encuentra en el supercentro de A.

También se pueden definir las superálgebras categóricamente . La categoría de todos los R -supermódulos forma una categoría monoidal bajo el producto supertensor con R sirviendo como objeto unitario. Una superálgebra unitaria asociativa sobre R puede entonces definirse como un monoide en la categoría de R -supermódulos. Es decir, una superálgebra es un R -supermódulo A con dos morfismos (pares)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

para lo cual conmutan los diagramas habituales.

Notas

1. Kac, Martínez y Zelmanov 2001, pág. 3
2. Varadarajan 2004, pág. 87
3. Véase la discusión de Deligne sobre estos dos casos.

Referencias

• Deligne, P. ; Morgan, JW (1999). "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)". Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos . Vol. 1. Sociedad Matemática Americana. págs. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

• Kac, VG ; Martínez, C.; Zelmanov, E. (2001). Superálgebras de Jordan simples graduadas de crecimiento uno. Memorias de la serie AMS. Vol. 711. Librería AMS. ISBN 978-0-8218-2645-4.

• Manin, YI (1997). Teoría de campos de calibración y geometría compleja ((2.ª ed.) ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-61378-1.

• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.