En matemáticas , un supermódulo es un módulo graduado Z 2 sobre un superanillo o superálgebra . Los supermódulos surgen en el álgebra súper lineal , que es un marco matemático para estudiar el concepto de supersimetría en física teórica .
Los supermódulos sobre una superálgebra conmutativa pueden verse como generalizaciones de superespacios vectoriales sobre un campo (puramente par ) K. Los supermódulos suelen desempeñar un papel más destacado en el álgebra superlineal que los superespacios vectoriales. Esta razón es que a menudo es necesario o útil ampliar el campo de escalares para incluir variables impares. Al hacerlo, se pasa de campos a superálgebras conmutativas y de espacios vectoriales a módulos.
Sea A una superálgebra fija . Un supermódulo derecho sobre A es un módulo derecho E sobre A con una descomposición de suma directa (como un grupo abeliano )
tal que la multiplicación por elementos de A satisface
para todo i y j en Z 2 . Los subgrupos E i son entonces módulos A 0 derechos .
Se dice que los elementos de E i son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo x , denotada por | x |, es 0 o 1 según esté en E 0 o E 1 . Los elementos de paridad 0 se dicen pares y los de paridad 1 impares . Si a es un escalar homogéneo y x es un elemento homogéneo de E entonces | x · a | es homogéneo y | x · a | = | x | + | un |.
Asimismo, los supermódulos y superbimódulos izquierdos se definen como módulos o bimódulos izquierdos sobre A cuyas multiplicaciones escalares respetan las graduaciones de la manera obvia. Si A es superconmutativo , entonces cada supermódulo izquierdo o derecho sobre A puede considerarse como un superbimódulo estableciendo
para elementos homogéneos a ∈ A y x ∈ E , y extendiéndose por linealidad. Si A es puramente par, esto se reduce a la definición ordinaria.
Un homomorfismo entre supermódulos es un homomorfismo de módulo que preserva la calificación. Sean E y F supermódulos rectos sobre A . Un mapa
es un homomorfismo de supermódulo si
para todo a ∈ A y todo x , y ∈ E . El conjunto de todos los homomorfismos de módulos de E a F se denota por Hom ( E , F ).
En muchos casos, es necesario o conveniente considerar una clase más amplia de morfismos entre supermódulos. Sea A un álgebra supercommutativa. Entonces, todos los supermódulos sobre A deben considerarse superbimódulos de forma natural. Para los supermódulos E y F , denotemos por Hom ( E , F ) el espacio de todos los mapas A-lineales derechos (es decir, todos los homomorfismos de módulos de E a F considerados como módulos A derechos no graduados ). Existe una graduación natural en Hom ( E , F ) donde los homomorfismos pares son los que preservan la graduación
y los homomorfismos impares son los que invierten la calificación
Si φ ∈ Hom ( E , F ) y a ∈ A son homogéneos entonces
Es decir, los homomorfismos pares son lineales tanto a la derecha como a la izquierda, mientras que los homomorfismos impares son lineales a la derecha pero antilineales a la izquierda (con respecto al automorfismo de clasificación).
Al conjunto Hom ( E , F ) se le puede dar la estructura de un bimódulo sobre A estableciendo
Con la calificación anterior, Hom ( E , F ) se convierte en un supermódulo sobre A cuya parte par es el conjunto de todos los homomorfismos de supermódulos ordinarios.
En el lenguaje de la teoría de categorías , la clase de todos los supermódulos sobre A forma una categoría con homomorfismos de supermódulos como morfismos. Esta categoría es una categoría cerrada monoidal simétrica bajo el producto supertensor cuyo funtor interno Hom está dado por Hom .
