Suma directa de módulos

Operación en álgebra abstracta

En álgebra abstracta , la suma directa es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo más grande. La suma directa de módulos es el módulo más pequeño que contiene los módulos dados como submódulos sin restricciones "innecesarias", lo que lo convierte en un ejemplo de coproducto . Contrasta con el producto directo , que es la noción dual .

Los ejemplos más conocidos de esta construcción se dan cuando se consideran espacios vectoriales (módulos sobre un cuerpo ) y grupos abelianos (módulos sobre el anillo Z de números enteros ). La construcción también puede extenderse para cubrir espacios de Banach y espacios de Hilbert .

Consulte el artículo descomposición de un módulo para conocer una forma de escribir un módulo como una suma directa de submódulos.

Construcción de espacios vectoriales y grupos abelianos

En estos dos casos, primero damos la construcción, suponiendo que sólo tenemos dos objetos. Luego, generalizamos a una familia arbitraria de módulos arbitrarios. Los elementos clave de la construcción general se identifican con mayor claridad al considerar estos dos casos en profundidad.

Construcción para dos espacios vectoriales

Supongamos que V y W son espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Al producto cartesiano V × W se le puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre K (Halmos 1974, §18) definiendo las operaciones componente por componente:

• ( v ₁ , a ₁ ) + ( v ₂ , a ₂ ) = ( v ₁ + v ₂ , a ₁ + a ₂ )
• α ( v , w ) = ( α v , α w )

para v , v ₁ , v ₂ ∈ V , w , w ₁ , w ₂ ∈ W y α ∈ K .

El espacio vectorial resultante se denomina suma directa de V y W y generalmente se denota mediante un símbolo más dentro de un círculo: $${\displaystyle V\oplus W}$$

Se acostumbra escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( v , w ), sino como una suma v + w .

El subespacio V × {0} de V ⊕ W es isomorfo a V y a menudo se identifica con V ; de manera similar para {0} × W y W . (Véase la suma directa interna a continuación). Con esta identificación, cada elemento de V ⊕ W se puede escribir de una y sólo una manera como la suma de un elemento de V y un elemento de W . La dimensión de V ⊕ W es igual a la suma de las dimensiones de V y W . Un uso elemental es la reconstrucción de un espacio vectorial finito a partir de cualquier subespacio W y su complemento ortogonal: $${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$$

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de espacios vectoriales.

Construcción para dos grupos abelianos

Para los grupos abelianos G y H que se escriben de forma aditiva, el producto directo de G y H también se denomina suma directa (Mac Lane y Birkhoff 1999, §V.6). Por lo tanto, el producto cartesiano G × H está equipado con la estructura de un grupo abeliano al definir las operaciones componente por componente:

( g ₁ , h ₁ ) + ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ + g ₂ , h ₁ + h ₂ )

para g ₁ , g ₂ en G , y h ₁ , h ₂ en H .

Los múltiplos integrales se definen de manera similar por componentes mediante

n ( g , h ) = ( ng , nh )

para g en G , h en H y n un entero . Esto es paralelo a la extensión del producto escalar de espacios vectoriales a la suma directa anterior.

El grupo abeliano resultante se denomina suma directa de G y H y generalmente se denota con un símbolo más dentro de un círculo: $${\displaystyle G\oplus H}$$

Se acostumbra escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( g , h ), sino como una suma g + h .

El subgrupo G × {0} de G ⊕ H es isomorfo a G y a menudo se identifica con G ; de manera similar para {0} × H y H . (Véase la suma directa interna a continuación). Con esta identificación, es cierto que cada elemento de G ⊕ H se puede escribir de una y solo una manera como la suma de un elemento de G y un elemento de H . El rango de G ⊕ H es igual a la suma de los rangos de G y H .

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de grupos abelianos.

Construcción para una familia arbitraria de módulos

Se debe notar una clara similitud entre las definiciones de la suma directa de dos espacios vectoriales y de dos grupos abelianos. De hecho, cada una es un caso especial de la construcción de la suma directa de dos módulos . Además, modificando la definición se puede dar cabida a la suma directa de una familia infinita de módulos. La definición precisa es la siguiente (Bourbaki 1989, §II.1.6).

Sea R un anillo y { M _i  :  i  ∈  I } una familia de R -módulos izquierdos indexados por el conjunto I . La suma directa de { M _i } se define entonces como el conjunto de todas las secuencias donde y para un número cofinito de índices i . (El producto directo es análogo, pero los índices no necesitan anularse cofinitamente). ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

También se puede definir como funciones α de I a la unión disjunta de los módulos M _i tales que α( i ) ∈  M _i para todo i ∈ I y α( i ) = 0 para un número cofinito de índices i . Estas funciones se pueden considerar de manera equivalente como secciones finitamente soportadas del haz de fibras sobre el conjunto de índices I , siendo la fibra sobre . ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Este conjunto hereda la estructura del módulo a través de la adición de componentes y la multiplicación escalar. Explícitamente, dos de estas secuencias (o funciones) α y β se pueden sumar escribiendo para todo i (nótese que esto es nuevamente cero para todos los índices excepto para un número finito de índices), y dicha función se puede multiplicar con un elemento r de R definiendo para todo i . De esta manera, la suma directa se convierte en un módulo R izquierdo , y se denota ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$ ${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$$

Se acostumbra escribir la secuencia como una suma . A veces se utiliza una suma prima para indicar que un número cofinito de términos son cero. ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \sum \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sum '\alpha _{i}}$

Propiedades

• La suma directa es un submódulo del producto directo de los módulos M _i (Bourbaki 1989, §II.1.7). El producto directo es el conjunto de todas las funciones α desde I hasta la unión disjunta de los módulos M _i con α ( i )∈ M _i , pero no necesariamente nulo para todos los i excepto para un número finito . Si el conjunto de índices I es finito, entonces la suma directa y el producto directo son iguales.
• Cada uno de los módulos M _i puede identificarse con el submódulo de la suma directa que consiste en aquellas funciones que se anulan en todos los índices diferentes de i . Con estas identificaciones, cada elemento x de la suma directa puede escribirse de una y sólo una manera como suma de un número finito de elementos de los módulos M _i .
• Si los M _i son en realidad espacios vectoriales, entonces la dimensión de la suma directa es igual a la suma de las dimensiones de los M _i . Lo mismo es cierto para el rango de los grupos abelianos y la longitud de los módulos .
• Todo espacio vectorial sobre el cuerpo K es isomorfo a una suma directa de un número suficiente de copias de K , por lo que en cierto sentido solo deben considerarse estas sumas directas. Esto no es cierto para módulos sobre anillos arbitrarios.
• El producto tensorial se distribuye sobre sumas directas en el siguiente sentido: si N es algún módulo R recto , entonces la suma directa de los productos tensoriales de N con M _i (que son grupos abelianos) es naturalmente isomorfa al producto tensorial de N con la suma directa de M _i .
• Las sumas directas son conmutativas y asociativas (hasta el isomorfismo), lo que significa que no importa en qué orden se forme la suma directa.
• El grupo abeliano de homomorfismos R - lineales desde la suma directa hasta algún R -módulo izquierdo L es naturalmente isomorfo al producto directo de los grupos abelianos de homomorfismos R -lineales desde M _i hasta L : De hecho, claramente hay un homomorfismo τ desde el lado izquierdo hasta el lado derecho, donde τ ( θ )( i ) es el homomorfismo R -lineal que envía x ∈ M _i a θ ( x ) (usando la inclusión natural de M _i en la suma directa). El inverso del homomorfismo τ está definido por para cualquier α en la suma directa de los módulos M _i . El punto clave es que la definición de τ ⁻¹ tiene sentido porque α ( i ) es cero para todos excepto un número finito de i , y por lo tanto la suma es finita. $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$$ $${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$$
  En particular, el espacio vectorial dual de una suma directa de espacios vectoriales es isomorfo al producto directo de los duales de esos espacios.
• La suma directa finita de módulos es un biproducto : Si son las aplicaciones de proyección canónica y son las aplicaciones de inclusión, entonces es igual al morfismo identidad de A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n , y es el morfismo identidad de A _k en el caso l = k , y es la aplicación cero en caso contrario. $${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$$ $${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$ $${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$$ $${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$$

Suma directa interna

Supongamos que M es un módulo R y M _i es un submódulo de M para cada i en I . Si cada x en M puede escribirse de exactamente una manera como una suma de un número finito de elementos de M _i , entonces decimos que M es la suma directa interna de los submódulos M _i (Halmos 1974, §18). En este caso, M es naturalmente isomorfo a la suma directa (externa) de M _i como se definió anteriormente (Adamson 1972, p.61).

Un submódulo N de M es un sumando directo de M si existe algún otro submódulo N′ de M tal que M sea la suma directa interna de N y N′ . En este caso, N y N′ se denominan submódulos complementarios .

Propiedad universal

En el lenguaje de la teoría de categorías , la suma directa es un coproducto y, por lo tanto, un colimite en la categoría de R -módulos izquierdos, lo que significa que se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Para cada i en I , considere la incrustación natural

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

que envía los elementos de M _i a aquellas funciones que son cero para todos los argumentos excepto i . Ahora, sea M un módulo R arbitrario y f _i  : M _i → M aplicaciones R -lineales arbitrarias para cada i , entonces existe precisamente una aplicación R -lineal

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

de modo que f o j _i = f _i para todo i .

Grupo Grothendieck

La suma directa da a una colección de objetos la estructura de un monoide conmutativo , en el sentido de que se define la adición de objetos, pero no la resta. De hecho, se puede definir la resta, y cada monoide conmutativo se puede extender a un grupo abeliano . Esta extensión se conoce como el grupo de Grothendieck . La extensión se realiza definiendo clases de equivalencia de pares de objetos, lo que permite que ciertos pares se traten como inversos. La construcción, detallada en el artículo sobre el grupo de Grothendieck, es "universal", en el sentido de que tiene la propiedad universal de ser única y homomórfica a cualquier otra incrustación de un monoide conmutativo en un grupo abeliano.

Suma directa de módulos con estructura adicional

Si los módulos que estamos considerando tienen alguna estructura adicional (por ejemplo, una norma o un producto interno ), entonces a menudo se puede hacer que la suma directa de los módulos también tenga esta estructura adicional. En este caso, obtenemos el coproducto en la categoría apropiada de todos los objetos que tienen la estructura adicional. Dos ejemplos destacados ocurren para los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .

En algunos textos clásicos, también se introduce la frase "suma directa de álgebras sobre un cuerpo " para denotar la estructura algebraica que actualmente se denomina más comúnmente producto directo de álgebras; es decir, el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes con las operaciones de componentes . Esta construcción, sin embargo, no proporciona un coproducto en la categoría de álgebras, sino un producto directo ( véase la nota a continuación y la observación sobre sumas directas de anillos ).

Suma directa de álgebras

Una suma directa de álgebras y es la suma directa como espacios vectoriales, con producto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

Consideremos estos ejemplos clásicos:

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$El anillo es isomorfo a los números complejos divididos y también se utiliza en el análisis de intervalos .

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$Es el álgebra de tesarinas introducida por James Cockle en 1848.

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,}$llamados biquaterniones divididos , fueron introducidos por William Kingdon Clifford en 1873.

Joseph Wedderburn explotó el concepto de suma directa de álgebras en su clasificación de números hipercomplejos . Véase sus Lectures on Matrices (1934), página 151. Wedderburn deja clara la distinción entre una suma directa y un producto directo de álgebras: Para la suma directa, el campo de escalares actúa conjuntamente en ambas partes: mientras que para el producto directo un factor escalar puede recolectarse alternativamente con las partes, pero no ambas: Ian R. Porteous usa las tres sumas directas anteriores, denotándolas como anillos de escalares en su análisis de Clifford Algebras and the Classical Groups (1995). ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$ ${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).}$ ${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}$

La construcción descrita anteriormente, así como el uso que hace Wedderburn de los términos suma directa y producto directo , siguen una convención diferente a la de la teoría de categorías . En términos categóricos, la suma directa de Wedderburn es un producto categórico , mientras que el producto directo de Wedderburn es un coproducto (o suma categórica) , que (para las álgebras conmutativas) en realidad corresponde al producto tensorial de las álgebras .

Suma directa de espacios de Banach

La suma directa de dos espacios de Banach y es la suma directa de y considerados como espacios vectoriales, con la norma para todos y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

En general, si es una colección de espacios de Banach, donde recorre el conjunto de índices , entonces la suma directa es un módulo que consta de todas las funciones definidas sobre tales que para todos y ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x(i)\in X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$$

La norma viene dada por la suma anterior. La suma directa con esta norma es nuevamente un espacio de Banach.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto índice y luego la suma directa es el espacio que consiste en todas las secuencias de números reales con norma finita ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{1},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

Un subespacio cerrado de un espacio de Banach se complementa si existe otro subespacio cerrado de tal que sea igual a la suma directa interna. Nótese que no todo subespacio cerrado se complementa; por ejemplo, no se complementa en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\oplus B.}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Suma directa de módulos con formas bilineales

Sea una familia indexada por módulos dotados de formas bilineales . La suma directa ortogonal es la suma directa del módulo con forma bilineal definida por ^[1] en la que la suma tiene sentido incluso para conjuntos de índices infinitos porque solo un número finito de términos son distintos de cero. ${\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$$ ${\displaystyle I}$

Suma directa de espacios de Hilbert

Si se dan un número finito de espacios de Hilbert , se puede construir su suma directa ortogonal como se indicó anteriormente (ya que son espacios vectoriales), definiendo el producto interno como: ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ $${\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$$

La suma directa resultante es un espacio de Hilbert que contiene los espacios de Hilbert dados como subespacios mutuamente ortogonales .

Si se dan infinitos espacios de Hilbert para , podemos llevar a cabo la misma construcción; observe que al definir el producto interno, solo un número finito de sumandos serán distintos de cero. Sin embargo, el resultado solo será un espacio de producto interno y no necesariamente será completo . Luego definimos la suma directa de los espacios de Hilbert como la completitud de este espacio de producto interno. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle H_{i}}$

De manera alternativa y equivalente, se puede definir la suma directa de los espacios de Hilbert como el espacio de todas las funciones α con dominio tal que es un elemento de para cada y: ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \alpha (i)}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$$

El producto interno de dos funciones α y β se define entonces como: $${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$$

Este espacio está completo y obtenemos un espacio de Hilbert.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto índice y luego la suma directa es el espacio que consiste en todas las sucesiones de reales con norma finita Comparando esto con el ejemplo para espacios de Banach , vemos que la suma directa del espacio de Banach y la suma directa del espacio de Hilbert no son necesariamente lo mismo. Pero si solo hay un número finito de sumandos, entonces la suma directa del espacio de Banach es isomorfa a la suma directa del espacio de Hilbert, aunque la norma será diferente. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{2},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$

Todo espacio de Hilbert es isomorfo a una suma directa de suficientes copias del cuerpo base, que es Esto es equivalente a la afirmación de que todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal. De manera más general, todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert se complementa porque admite un complemento ortogonal . Por el contrario, el teorema de Lindenstrauss-Tzafriri afirma que si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach se complementa, entonces el espacio de Banach es isomorfo (topológicamente) a un espacio de Hilbert. ${\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .}$

Véase también

• Biproducto  : en la teoría de categorías, un objeto que es a la vez producto y coproducto de maneras compatibles.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Módulo indecomponible
• Teorema de Jordan-Hölder  : descomposición de una estructura algebraicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de Krull-Schmidt  – Teorema matemático
• Secuencia exacta dividida  : secuencia exacta corta donde el término medio es la suma directa de los externos y los mapas de estructura son la inclusión y la proyección canónicas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . págs. 4–5. ISBN 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016  .

• Adamson, Iain T. (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver y Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1991), Álgebra abstracta , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Mac Lane, S.; Birkhoff , G. (1999), Álgebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.