Subespacio complementado

En la rama de las matemáticas llamada análisis funcional , un subespacio complementado de un espacio vectorial topológico es un subespacio vectorial para el cual existe algún otro subespacio vectorial llamado su complemento ( topológico ) , tal que es la suma directa en la categoría de vector topológico. espacios . Formalmente, las sumas directas topológicas fortalecen la suma directa algebraica al requerir que ciertos mapas sean continuos; el resultado conserva muchas propiedades interesantes de la operación de suma directa en espacios vectoriales de dimensión finita. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$

Cada subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach se complementa, pero es posible que otros subespacios no. En general, clasificar todos los subespacios complementados es un problema difícil, que se ha resuelto sólo para algunos espacios de Banach bien conocidos .

El concepto de subespacio complementado es análogo, pero distinto, al de conjunto complementario . El complemento de la teoría de conjuntos de un subespacio vectorial nunca es un subespacio complementario.

Preliminares: definiciones y notación

Si es un espacio vectorial y y son subespacios vectoriales de entonces hay un mapa de suma bien definido ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$

morfismocategoría de espacios vectorialeslineal ${\displaystyle S}$

Suma directa algebraica

Se dice que el espacio vectorial es la suma directa algebraica (o suma directa en la categoría de espacios vectoriales) cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$

1. El mapa de suma es un isomorfismo del espacio vectorial . ^{[1] [2]} ${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. El mapa de suma es biyectivo.
3. ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$y ; en este caso se llama complemento o suplemento algebraico de in y se dice que los dos subespacios son complementarios o suplementarios . ^{[2] [3]} ${\displaystyle M+N=X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

Cuando se cumplen estas condiciones, la inversa está bien definida y se puede escribir en términos de coordenadas como ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$

$${\displaystyle S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}}$$

^[4]. ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

De manera equivalente, y son los vectores únicos en y respectivamente, que satisfacen ${\displaystyle P_{M}(x)}$ ${\displaystyle P_{N}(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$

$${\displaystyle x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}}$$

$${\displaystyle P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ and }}\qquad \ker P_{N}=M}$$

mapa de identidad^[2] ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$

Motivación

Supongamos que el espacio vectorial es la suma directa algebraica de . En la categoría de espacios vectoriales, los productos y coproductos finitos coinciden: algebraicamente y son indistinguibles. Dado un problema que involucra elementos de , se pueden dividir los elementos en sus componentes en y , porque los mapas de proyección definidos anteriormente actúan como inversos a la inclusión natural de y en . Entonces se puede resolver el problema en los subespacios vectoriales y recombinarlos para formar un elemento de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En la categoría de espacios vectoriales topológicos , esa descomposición algebraica se vuelve menos útil. La definición de un espacio vectorial topológico requiere que el mapa de suma sea continuo; su inverso puede no serlo. ^[1] Sin embargo, la definición categórica de suma directa requiere que y sean morfismos, es decir, aplicaciones lineales continuas . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$ ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle P_{N}}$

El espacio es la suma directa topológica de y si (y sólo si) se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

1. El mapa de suma es un isomorfismo TVS (es decir, un homeomorfismo lineal sobreyectivo ). ^[1] ${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. ${\displaystyle X}$es la suma directa algebraica de y también cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
   1. La inversa del mapa de suma es continua. ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$
   2. Ambas proyecciones canónicas y son continuas. ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ ${\displaystyle P_{N}:X\to N}$
   3. Al menos una de las proyecciones canónicas y es continua. ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle P_{N}}$
   4. El mapa de cociente canónico es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (es decir, un homeomorfismo lineal). ^[2] ${\displaystyle p:N\to X/M;p(n)=n+M}$
3. ${\displaystyle X}$es la suma directa de y en la categoría de espacios vectoriales topológicos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
4. El mapa es biyectivo y abierto . ${\displaystyle S}$
5. Cuando se consideran grupos topológicos aditivos , es la suma topológica directa de los subgrupos y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

También se escribe la suma directa topológica ; Si la suma es en sentido topológico o algebraico generalmente se aclara a través del contexto . ${\displaystyle X=M\oplus N}$

Definición

Toda suma directa topológica es una suma directa algebraica ; lo contrario no está garantizado. Incluso si ambos y están cerrados , es posible que aún no sean continuos. es un complemento (topológico) o suplemento si evita esa patología, es decir, si, topológicamente ,. (Entonces  también es complementario de .) ^[1] La condición 2(d) anterior implica que cualquier complemento topológico de es isomorfo, como un espacio vectorial topológico, al espacio vectorial cociente . ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$

${\displaystyle M}$se llama complementado si tiene complemento topológico (y no complementado si no). La elección de puede ser muy importante: todo subespacio vectorial complementado tiene complementos algebraicos que no se complementan topológicamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Debido a que un mapa lineal entre dos espacios normados (o de Banach ) está acotado si y sólo si es continuo , la definición en las categorías de espacios normados (resp. de Banach ) es la misma que en los espacios vectoriales topológicos.

Caracterizaciones equivalentes

El subespacio vectorial se complementa si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

• Existe un mapa lineal continuo con imagen tal que . Es decir, es una proyección lineal continua sobre . (En ese caso, algebraicamente , y es la continuidad de lo que implica que se trata de un complemento). ${\displaystyle P_{M}:X\to X}$ ${\displaystyle P_{M}(X)=M}$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus \ker {P}}$ ${\displaystyle P_{M}}$
• Para cada TVS, el mapa de restricción es sobreyectivo. ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}}$

Si además es Banach , entonces una condición equivalente es ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle M}$está cerrado , existe otro subespacio cerrado y es un isomorfismo de la suma directa abstracta a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

• Si es un espacio de medida y tiene medida positiva, entonces se complementa en . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(Y)}$
• ${\displaystyle c_{0}}$, el espacio de secuencias que convergen a , se complementa en , el espacio de secuencias convergentes. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$
• Por descomposición de Lebesgue , se complementa en . ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle \mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}}$

Condiciones suficientes

Para dos espacios vectoriales topológicos cualesquiera y , los subespacios y son complementos topológicos en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Todo complemento algebraico de , la clausura de , es también un complemento topológico. Esto se debe a que tiene la topología indiscreta , por lo que la proyección algebraica es continua. ^[6] ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$

Si y es sobreyectivo, entonces . ^[2] ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle Y=AM\oplus AN}$

Dimensión finita

Supongamos que es Hausdorff y localmente convexo y un subespacio vectorial topológico libre : para algún conjunto , tenemos (como tvs). Entonces es un subespacio vectorial cerrado y complementado de . ^{[prueba 1]} En particular, cualquier subespacio de dimensión finita se complementa. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Y\cong \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En espacios vectoriales topológicos arbitrarios, un subespacio vectorial de dimensión finita se complementa topológicamente si y solo si para cada distinto de cero , existe un funcional lineal continuo que se separa de . ^[1] Para ver un ejemplo en el que esto falla, consulte § Espacios de Fréchet. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0}$

codimensión finita

No todos los subespacios vectoriales de codimensional finito de un TVS son cerrados, pero los que lo son tienen complementos. ^{[7] [8]}

Espacios de Hilbert

En un espacio de Hilbert , el complemento ortogonal de cualquier subespacio vectorial cerrado es siempre un complemento topológico de . Esta propiedad caracteriza los espacios de Hilbert dentro de la clase de espacios de Banach : cada espacio de dimensión infinita, que no es de Hilbert Banach, contiene un subespacio cerrado no complementado, un teorema profundo de Joram Lindenstrauss y Lior Tzafriri. ^{[9] [3]} ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

espacios de frechet

Sea un espacio de Fréchet sobre el campo . Entonces los siguientes son equivalentes: ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle X}$no es normal (es decir, cualquier norma continua no genera la topología)
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo complementado a . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Propiedades; ejemplos de subespacios no complementados

Un subespacio complementado (vectorial) de un espacio de Hausdorff es necesariamente un subconjunto cerrado de , al igual que su complemento. ^{[1] [prueba 2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

A partir de la existencia de bases de Hamel , cada espacio de Banach de dimensión infinita contiene subespacios lineales no cerrados. ^{[prueba 3]} Dado que cualquier subespacio complementado es cerrado, ninguno de esos subespacios está complementado.

Asimismo, si es un TVS completo y no está completo, entonces no tiene complemento topológico en ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Aplicaciones

Si es una sobreyección lineal continua , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle A:X\to Y}$

1. El núcleo de tiene un complemento topológico. ${\displaystyle A}$
2. Existe una "inversa derecha": un mapa lineal continuo tal que donde está el mapa de identidad. ^[5] ${\displaystyle B:Y\to X}$ ${\displaystyle AB=\mathrm {Id} _{Y}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y}$

El método de descomposición

Los espacios vectoriales topológicos admiten el siguiente teorema de tipo Cantor-Schröder-Bernstein :

Sean TVS tales que y Supongamos que contiene una copia complementada de y contiene una copia complementada de Entonces es TVS-isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=X\oplus X}$ ${\displaystyle Y=Y\oplus Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Los supuestos de "autodivisión" que y no se pueden eliminar: Tim Gowers demostró en 1996 que existen espacios de Banach no isomorfos y , cada uno complementado en el otro. ^[12] ${\displaystyle X=X\oplus X}$ ${\displaystyle Y=Y\oplus Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En espacios clásicos de Banach

Comprender los subespacios complementados de un espacio de Banach arbitrario hasta el isomorfismo es un problema clásico que ha motivado mucho trabajo en teoría de bases, particularmente el desarrollo de operadores de suma absoluta. El problema sigue abierto para una variedad de espacios importantes de Banach, en particular el espacio . ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

Para algunos espacios de Banach la pregunta está cerrada. Lo más famoso es si, entonces, los únicos subespacios complementados de dimensión infinita son isomorfos y lo mismo ocurre con dichos espacios se llaman primos (cuando sus únicos subespacios complementados de dimensión infinita son isomorfos al original). Sin embargo, estos no son los únicos espacios privilegiados. ^[13] ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \ell _{p},}$ ${\displaystyle c_{0}.}$

Los espacios no son primos cuando , de hecho, admiten incontables subespacios complementados no isomorfos. ^[13] ${\displaystyle L_{p}[0,1]}$ ${\displaystyle p\in (1,2)\cup (2,\infty );}$

Los espacios y son isomorfos a y respectivamente, por lo que son primos. ^[13] ${\displaystyle L_{2}[0,1]}$ ${\displaystyle L_{\infty }[0,1]}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle \ell _{\infty },}$

El espacio no es primo porque contiene una copia complementada de . Actualmente no se conocen otros subespacios complementados de . ^[13] ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

Espacios de Banach indescomponibles

Un espacio de Banach de dimensión infinita se denomina indescomponible siempre que sus únicos subespacios complementados sean de dimensión finita o codimensional. Debido a que un subespacio codimensional finito de un espacio de Banach es siempre isomorfo a los espacios de Banach indescomponibles son primos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

El ejemplo más conocido de espacios indescomponibles es, de hecho , hereditariamente indescomponible, lo que significa que todo subespacio de dimensión infinita también es indescomponible. ^[14]

Ver también

• Suma directa  : operación en álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"
• Suma directa de módulos  – Operación en álgebra abstracta
• Suma directa de grupos topológicos.

Pruebas

1. está cerrado porque está completo y es Hausdorff. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle X}$

   Sea un isomorfismo TVS; cada uno es un funcional lineal continuo. Según el teorema de Hahn-Banach , podemos extender cada uno a un funcional lineal continuo en El mapa conjunto es una sobreyección lineal continua cuya restricción a es . La composición es entonces una proyección continua y continua sobre . ${\displaystyle f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}:X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P=f^{-1}\circ F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

   QED

2. En un espacio de Hausdorff, está cerrado. Un espacio complementado es el núcleo de la proyección (continua) sobre su complemento. Así es la preimagen de un mapa continuo, y por tanto cerrado. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$
   QED
3. Cualquier secuencia define un mapa de suma . Pero si son (algebraicamente) linealmente independientes y tienen soporte total, entonces . ${\displaystyle \{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }}$ ${\displaystyle T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}}$ ${\displaystyle \{e_{j}\}_{j}}$ ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j}}$ ${\displaystyle T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}$
   QED

Referencias

1. Grothendieck 1973, págs. 34-36.
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3. Brezis, Haim (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales . Texto universitario. Nueva York: Springer. págs. 38–39. ISBN 978-0-387-70913-0.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 19-24.
5. Trèves 2006, pag. 36.
6. Wilansky 2013, pag. 63.
7. Rudin 1991, pág. 106.
8. Serre, Jean-Pierre (1955). "Un teorema de dualidad". Comentarios Mathematici Helvetici . 29 (1): 9–26. doi :10.1007/BF02564268. S2CID  123643759.
9. Lindenstrauss, J. y Tzafriri, L. (1971). Sobre el problema de los subespacios complementados. Revista Israel de Matemáticas, 9, 263-269.
10. Jarchow 1981, págs. 129-130.
11. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
12. Narici y Beckenstein 2011, págs. 100-101.
13. Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2006). Temas de la teoría espacial de Banach. GTM 233 (2ª ed.). Suiza: Springer (publicado en 2016). págs. 29-232. doi :10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31557-7.
14. Argyros, Spiros; Tolias, Andreas (2004). Métodos en la teoría de espacios de Banach hereditariamente indecomponibles. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3521-0.

Bibliografía

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