Movimiento de cítara

Efecto de partículas

En física , el zitterbewegung ( pronunciación alemana: [ˈtsɪtɐ.bəˌveːɡʊŋ] , del alemán zittern  'temblar, estremecer' y Bewegung  'movimiento') es la predicción teórica de un movimiento oscilatorio rápido de partículas elementales que obedecen a ecuaciones de onda relativistas . Esta predicción fue discutida por primera vez por Gregory Breit en 1928 ^{[1] [2]} y más tarde por Erwin Schrödinger en 1930 ^{[3] [4]} como resultado del análisis de las soluciones de paquetes de ondas de la ecuación de Dirac para electrones relativistas en el espacio libre, en la que una interferencia entre estados de energía positivos y negativos produce una fluctuación aparente (hasta la velocidad de la luz) de la posición de un electrón alrededor de la mediana, con una frecuencia angular de ⁠2 mc2^​/ℏ⁠ , o aproximadamente1,6 × 10 ²¹ radianes por segundo.

Este aparente movimiento oscilatorio se interpreta a menudo como un artefacto del uso de la ecuación de Dirac en la descripción de una partícula individual y desaparece cuando se utiliza la teoría cuántica de campos . Para el átomo de hidrógeno , el zitterbewegung está relacionado con el término de Darwin , una pequeña corrección del nivel de energía de los orbitales s . ^[5]

Teoría

Fermión de espín libre 1/2

La ecuación de Dirac dependiente del tiempo se escribe como

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$,

donde es la constante de Planck reducida , es la función de onda ( bispinor ) de una partícula fermiónica de espín 1/2 , y H es el hamiltoniano de Dirac de una partícula libre : ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c}$,

donde es la masa de la partícula, es la velocidad de la luz , es el operador de momento , y y son matrices relacionadas con las matrices Gamma , como y . ${\textstyle m}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle p_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\textstyle \gamma _{\mu }}$ ${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$ ${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$

En la imagen de Heisenberg , la dependencia temporal de un observable arbitrario Q obedece a la ecuación

${\displaystyle -i\hbar {\frac {dQ}{dt}}=\left[H,Q\right].}$

En particular, la dependencia del tiempo del operador de posición está dada por

${\displaystyle {\frac {dx_{k}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[H,x_{k}\right]=c\alpha _{k}}$.

donde x _k ( t ) es el operador de posición en el tiempo t .

La ecuación anterior muestra que el operador α _k puede interpretarse como el componente k -ésimo de un "operador de velocidad".

Obsérvese que esto implica que

${\displaystyle \left\langle \left({\frac {dx_{k}(t)}{dt}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$,

como si la "raíz cuadrada de la velocidad media" en cada dirección del espacio fuera la velocidad de la luz.

Para agregar dependencia del tiempo a α _k , se implementa la imagen de Heisenberg, que dice

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}}$.

La dependencia del tiempo del operador de velocidad está dada por

${\displaystyle \hbar {\frac {d\alpha _{k}(t)}{dt}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)}$,

dónde

${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].}$

Ahora bien, como tanto p _k como H son independientes del tiempo, la ecuación anterior se puede integrar fácilmente dos veces para encontrar la dependencia temporal explícita del operador de posición.

Primero:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}$,

Y finalmente

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)}$.

La expresión resultante consta de una posición inicial, un movimiento proporcional al tiempo y un término de oscilación con una amplitud igual a la longitud de onda Compton reducida . Ese término de oscilación es el llamado zitterbewegung.

Interpretación

En mecánica cuántica, el término zitterbewegung desaparece al tomar valores esperados para paquetes de ondas que están compuestos completamente de ondas de energía positiva (o completamente de ondas de energía negativa). La velocidad relativista estándar se puede recuperar tomando una transformación de Foldy-Wouthuysen , cuando los componentes positivos y negativos están desacoplados. Por lo tanto, llegamos a la interpretación del zitterbewegung como causado por la interferencia entre componentes de onda de energía positiva y negativa. ^[6]

En la electrodinámica cuántica (EDQ) los estados de energía negativa son reemplazados por estados de positrones , y el zitterbewegung se entiende como el resultado de la interacción del electrón con pares electrón-positrón que se forman y aniquilan espontáneamente . ^[7]

Más recientemente, se ha observado que en el caso de partículas libres podría ser simplemente un artefacto de la teoría simplificada. El Zitterbewegung parece deberse a los "pequeños componentes" del espinor de Dirac 4, debido a un poco de antipartícula mezclada en la función de onda de la partícula para un movimiento no relativista. No aparece en la segunda teoría cuantificada correcta , o mejor dicho, se resuelve utilizando propagadores de Feynman y haciendo QED . Sin embargo, es una forma interesante de entender ciertos efectos de QED heurísticamente a partir de la imagen de una sola partícula. ^[8]

Imagen en zigzag de fermiones

Roger Penrose [ ^9] proporcionó una perspectiva alternativa del significado físico del zitterbewegung al observar que la ecuación de Dirac se puede reformular dividiendo el espinor de Dirac de cuatro componentes en un par de espinores de dos componentes sin masa , zurdos y diestros (o componentes en zigzag ), donde cada uno es el término fuente en la ecuación de movimiento del otro, con una constante de acoplamiento proporcional a la masa en reposo de la partícula original , como ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi =(\psi _{\rm {L}},\psi _{\rm {R}})}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=m\psi _{\rm {L}}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=m\psi _{\rm {R}}\end{matrix}}\right.}$.

La partícula masiva original de Dirac puede entonces considerarse compuesta de dos componentes sin masa, cada uno de los cuales se transforma continuamente en el otro. Como los componentes no tienen masa, se mueven a la velocidad de la luz y su giro está limitado a la dirección del movimiento, pero cada uno tiene una helicidad opuesta; y como el giro permanece constante, la dirección de la velocidad se invierte, lo que da lugar al característico movimiento en zigzag o zitterbewegung.

Simulación experimental

El Zitterbewegung de una partícula relativista libre nunca ha sido observado directamente, aunque algunos autores creen haber encontrado evidencia a favor de su existencia. ^[10] También se ha simulado en sistemas atómicos que proporcionan análogos de una partícula de Dirac libre. El primer ejemplo de este tipo, en 2010, colocó un ion atrapado en un entorno tal que la ecuación de Schrödinger no relativista para el ion tenía la misma forma matemática que la ecuación de Dirac (aunque la situación física es diferente). ^{[11] [12]} Las oscilaciones similares a Zitterbewegung de átomos ultrafríos en redes ópticas se predijeron en 2008. ^[13] En 2013, se simuló el zitterbewegung en un condensado de Bose-Einstein de 50.000 átomos de ⁸⁷ Rb confinados en una trampa óptica. ^[14]

Se demostró un análogo óptico del movimiento de zitter en un autómata celular cuántico implementado con estados de momento angular orbital de luz ^[15].

Otras propuestas de análogos de materia condensada incluyen nanoestructuras semiconductoras, grafeno y aislantes topológicos . ^{[16] [17] [18] [19]}

Véase también

• Efecto Casimir
• Turno de cordero

Referencias

1. Breit, Gregory (1928). "Una interpretación de la teoría del electrón de Dirac". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 14 (7): 553–559. Bibcode :1928PNAS...14..553B. doi : 10.1073/pnas.14.7.553 . ISSN  0027-8424. PMC  1085609 . PMID  16587362.
2. Greiner, Walter (1995). Mecánica cuántica relativista. doi :10.1007/978-3-642-88082-7. ISBN 978-3-540-99535-7.S2CID124404090  .​
3. Schrödinger, E. (1930). Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik [ Sobre el libre movimiento en la mecánica cuántica relativista ] (en alemán). págs. 418–428. OCLC  881393652.
4. Schrödinger, E. (1931). Zur Quantendynamik des Elektrons [ Dinámica cuántica del electrón ] (en alemán). pp. 63–72.
5. Tong, David (2017). Aplicaciones de la mecánica cuántica (PDF) . Universidad de Cambridge.
6. Greiner, Walter (1995). Mecánica cuántica relativista. doi :10.1007/978-3-642-88082-7. ISBN 978-3-540-99535-7.S2CID124404090  .​
7. Zhi-Yong, W., y Cai-Dong, X. (2008). Movimiento de traslación en la teoría cuántica de campos. Chinese Physics B, 17(11), 4170.
8. "Ecuación de Dirac: ¿es el Zitterbewegung un artefacto de la teoría de partículas individuales?"
9. Penrose, Roger (2004). El camino hacia la realidad (sexta edición). Alfred A. Knopf. pp. 628–632. ISBN 0-224-04447-8.
10. Catillon, P.; Cue, N.; Gaillard, MJ; et al. (1 de julio de 2008). "Una búsqueda del reloj interno de partículas de De Broglie mediante canalización de electrones". Fundamentos de la física . 38 (7): 659–664. Bibcode :2008FoPh...38..659C. doi :10.1007/s10701-008-9225-1. ISSN  1572-9516. S2CID  121875694.
11. Wunderlich, Christof (2010). «Física cuántica: los iones atrapados se ponen a temblar». Nature News and Views . 463 (7277): 37–39. Bibcode :2010Natur.463...37W. doi : 10.1038/463037a . PMID  20054385.
12. Gerritsma, R.; Kirchmair, G.; Zähringer, F.; Solano, E.; Blatt, R.; Roos, CF (2010). "Simulación cuántica de la ecuación de Dirac". Naturaleza . 463 (7277): 68–71. arXiv : 0909.0674 . Código Bib :2010Natur.463...68G. doi : 10.1038/naturaleza08688. PMID  20054392. S2CID  4322378.
13. Vaishnav, JY; Clark, CW (2008). "Observación del Zitterbewegung con átomos ultrafríos". Physical Review Letters . 100 : 153002. arXiv : 0711.3270 . doi :10.1103/PhysRevLett.100.153002.
14. Leblanc, LJ; Beeler, MC; Jiménez-García, K.; Perry, AR; Sugawa, S.; Williams, RA; Spielman, IB (2013). "Observación directa de zitterbewegung en un condensado de Bose-Einstein". Nueva Revista de Física . 15 (7): 073011. arXiv : 1303.0914 . doi :10.1088/1367-2630/15/7/073011. S2CID  119190847.
15. Suprano, Alessia; Zía, Danilo; Polino, Emanuele; Poderini, Davide; Carvacho, Gonzalo; Sciarrino, Fabio; Lugli, Mateo; Bisio, Alejandro; Perinotti, Paolo. "Simulación de autómata celular fotónico de campos cuánticos relativistas: observación de Zitterbewegung". arXiv : 2402.07672 .
16. Schliemann, John (2005). "Zitterbewegung de paquetes de ondas electrónicas en pozos cuánticos de semiconductores de blenda de cinc III-V". Physical Review Letters . 94 (20): 206801. arXiv : cond-mat/0410321 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..94t6801S. doi :10.1103/PhysRevLett.94.206801. PMID  16090266. S2CID  118979437.
17. Katsnelson, MI (2006). "Zitterbewegung, quiralidad y conductividad mínima en grafeno". The European Physical Journal B . 51 (2): 157–160. arXiv : cond-mat/0512337 . Código Bibliográfico :2006EPJB...51..157K. doi :10.1140/epjb/e2006-00203-1. S2CID  119353065.
18. Dóra, Balász; Cayssol, Jérôme; Simon, Ference; Moessner, Roderich (2012). "Ingeniería óptica de las propiedades topológicas de un aislante Hall de espín". Physical Review Letters . 108 (5): 056602. arXiv : 1105.5963 . Código Bibliográfico :2012PhRvL.108e6602D. doi :10.1103/PhysRevLett.108.056602. PMID  22400947. S2CID  15507388.
19. Shi, Likun; Zhang, Shoucheng; Cheng, Kai (2013). "Trayectoria electrónica anómala en aislantes topológicos". Physical Review B . 87 (16): 161115. arXiv : 1109.4771 . Código Bibliográfico :2013PhRvB..87p1115S. doi :10.1103/PhysRevB.87.161115. S2CID  118446413.

Lectura adicional

• Messiah, A. (1962). "XX, Sección 37" (pdf) . Mecánica cuántica . Vol. II. págs. 950–952. ISBN 9780471597681.

Enlaces externos

• Zitterbewegung en New Scientist