Flujo

Concepto matemático aplicable a la física.

El flujo describe cualquier efecto que parezca pasar o viajar (ya sea que se mueva o no) a través de una superficie o sustancia. El flujo es un concepto de las matemáticas aplicadas y del cálculo vectorial que tiene muchas aplicaciones en la física . En los fenómenos de transporte , el flujo es una cantidad vectorial que describe la magnitud y la dirección del flujo de una sustancia o propiedad. En el cálculo vectorial, el flujo es una cantidad escalar , definida como la integral de superficie del componente perpendicular de un campo vectorial sobre una superficie. ^[1]

Terminología

La palabra flujo proviene del latín : fluxus significa "fluir", y fluere es "fluir". ^[2] Como fluxión , este término fue introducido en el cálculo diferencial por Isaac Newton .

El concepto de flujo de calor fue una contribución clave de Joseph Fourier en el análisis de los fenómenos de transferencia de calor. ^[3] Su tratado seminal Théorie analytique de la chaleur ( La teoría analítica del calor ), ^[4] define la fluxión como una cantidad central y procede a derivar las ahora bien conocidas expresiones de flujo en términos de diferencias de temperatura a lo largo de una losa, y luego de manera más general en términos de gradientes de temperatura o diferenciales de temperatura, a lo largo de otras geometrías. Se podría argumentar, basándose en el trabajo de James Clerk Maxwell , ^[5] que la definición de transporte precede a la definición de flujo utilizada en electromagnetismo . La cita específica de Maxwell es:

En el caso de los flujos, tenemos que obtener la integral, sobre una superficie, del flujo que pasa por cada elemento de la superficie. El resultado de esta operación se denomina integral de superficie del flujo. Representa la cantidad que pasa por la superficie.

—James  Clerk Maxwell

Según la definición de transporte, el flujo puede ser un único vector o puede ser un campo vectorial/función de posición. En este último caso, el flujo se puede integrar fácilmente sobre una superficie. Por el contrario, según la definición de electromagnetismo, el flujo es la integral sobre una superficie; no tiene sentido integrar un flujo de segunda definición, ya que se estaría integrando sobre una superficie dos veces. Por lo tanto, la cita de Maxwell solo tiene sentido si se utiliza "flujo" según la definición de transporte (y además es un campo vectorial en lugar de un único vector). Esto es irónico porque Maxwell fue uno de los principales desarrolladores de lo que ahora llamamos "flujo eléctrico" y "flujo magnético" según la definición de electromagnetismo. Sus nombres de acuerdo con la cita (y la definición de transporte) serían "integral de superficie del flujo eléctrico" e "integral de superficie del flujo magnético", en cuyo caso "flujo eléctrico" se definiría como "campo eléctrico" y "flujo magnético" como "campo magnético". Esto implica que Maxwell concibió estos campos como flujos de algún tipo.

Dado un flujo según la definición de electromagnetismo, la densidad de flujo correspondiente , si se utiliza ese término, se refiere a su derivada a lo largo de la superficie que se integró. Por el teorema fundamental del cálculo , la densidad de flujo correspondiente es un flujo según la definición de transporte. Dada una corriente como la corriente eléctrica (carga por tiempo, la densidad de corriente también sería un flujo según la definición de transporte, carga por tiempo por área). Debido a las definiciones conflictivas de flujo y la intercambiabilidad de flujo , flujo y corriente en un inglés no técnico, todos los términos utilizados en este párrafo a veces se usan de manera intercambiable y ambigua. Los flujos concretos en el resto de este artículo se utilizarán de acuerdo con su amplia aceptación en la literatura, independientemente de a qué definición de flujo corresponda el término.

Flujo como caudal por unidad de área

En los fenómenos de transporte ( transferencia de calor , transferencia de masa y dinámica de fluidos ), el flujo se define como la tasa de flujo de una propiedad por unidad de área, que tiene las dimensiones [cantidad]·[tiempo] ⁻¹ ·[área] ⁻¹ . ^[6] El área es la superficie por la que fluye la propiedad. Por ejemplo, la cantidad de agua que fluye a través de una sección transversal de un río cada segundo dividida por el área de esa sección transversal, o la cantidad de energía solar que cae sobre un trozo de tierra cada segundo dividida por el área del trozo, son tipos de flujo.

Definición matemática general (transporte)

Las líneas de campo de un campo vectorial F pasan a través de superficies con una normal unitaria n , el ángulo de n a F es θ . El flujo es una medida de cuánto del campo pasa a través de una superficie dada. F se descompone en componentes perpendiculares (⊥) y paralelas (‖) a n . Solo el componente paralelo contribuye al flujo porque es la extensión máxima del campo que pasa a través de la superficie en un punto, el componente perpendicular no contribuye.
Arriba: Tres líneas de campo a través de una superficie plana, una normal a la superficie, una paralela y una intermedia.
Abajo: Línea de campo a través de una superficie curva , que muestra la configuración de la normal unitaria y el elemento de superficie para calcular el flujo.

Para calcular el flujo de un campo vectorial F (flechas rojas) a través de una superficie S, la superficie se divide en pequeñas áreas dS . El flujo a través de cada área es igual al componente normal (perpendicular) del campo, el producto escalar de F ( x ) con el vector normal unitario n ( x ) (flechas azules) en el punto x multiplicado por el área dS . La suma de F · n , dS para cada área de la superficie es el flujo a través de la superficie.

A continuación se presentan 3 definiciones en orden creciente de complejidad. Cada una es un caso especial de lo siguiente. En todos los casos se utiliza el símbolo frecuente j (o J ) para el flujo, q para la cantidad física que fluye, t para el tiempo y A para el área. Estos identificadores se escribirán en negrita cuando y solo cuando sean vectores.

Primero, el flujo como un escalar (único): donde En este caso, la superficie en la que se mide el flujo es fija y tiene un área A. Se supone que la superficie es plana y que el flujo es constante en todas partes con respecto a la posición y perpendicular a la superficie. $${\displaystyle j={\frac {I}{A}},}$$ $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.}$$

En segundo lugar, el flujo como un campo escalar definido a lo largo de una superficie, es decir, una función de puntos en la superficie: como antes, se supone que la superficie es plana y se supone que el flujo es perpendicular a ella en todas partes. Sin embargo, el flujo no necesita ser constante. q ahora es una función de p , un punto en la superficie, y A , un área. En lugar de medir el flujo total a través de la superficie, q mide el flujo a través del disco con el área A centrada en p a lo largo de la superficie. $${\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).}$$

Por último, el flujo como campo vectorial : en este caso, no hay una superficie fija sobre la que estemos midiendo. q es una función de un punto, un área y una dirección (dada por un vector unitario ), y mide el flujo a través del disco de área A perpendicular a ese vector unitario. I se define eligiendo el vector unitario que maximiza el flujo alrededor del punto, porque el flujo verdadero se maximiza a través del disco que es perpendicular a él. El vector unitario, por lo tanto, maximiza de manera única la función cuando apunta en la "dirección verdadera" del flujo. (Estrictamente hablando, esto es un abuso de notación porque el "arg max" no puede comparar vectores directamente; en su lugar, tomamos el vector con la norma más grande). $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Propiedades

Estas definiciones directas, especialmente la última, son bastante difíciles de manejar. Por ejemplo, la construcción arg max es artificial desde la perspectiva de las mediciones empíricas, mientras que con una veleta o algo similar se puede deducir fácilmente la dirección del flujo en un punto. En lugar de definir el flujo vectorial directamente, a menudo es más intuitivo enunciar algunas propiedades sobre él. Además, a partir de estas propiedades el flujo se puede determinar de todos modos de forma única.

Si el flujo j pasa a través del área en un ángulo θ con respecto a la normal del área , entonces el producto escalar Es decir, el componente del flujo que pasa a través de la superficie (es decir, normal a ella) es j  cos  θ , mientras que el componente del flujo que pasa tangencialmente al área es j  sen  θ , pero en realidad no hay flujo que pase a través del área en la dirección tangencial. El único componente del flujo que pasa normal al área es el componente coseno. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .}$$

Para el flujo vectorial, la integral de superficie de j sobre una superficie S , da el flujo propio por unidad de tiempo a través de la superficie: donde A (y su infinitesimal) es el área vectorial  – combinación de la magnitud del área A a través de la cual pasa la propiedad y un vector unitario normal al área. A diferencia del segundo conjunto de ecuaciones, aquí la superficie no necesita ser plana. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Finalmente, podemos integrar nuevamente sobre la duración del tiempo t ₁ a t ₂ , obteniendo la cantidad total de la propiedad que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t ₂  −  t ₁ ): $${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} \,dt.}$$

Flujos de transporte

A continuación se definen ocho de las formas más comunes de flujo en la literatura sobre fenómenos de transporte:

1. Flujo de momento , la tasa de transferencia de momento a través de una unidad de área (N·s·m ⁻² ·s ⁻¹ ). ( Ley de viscosidad de Newton ) ^[7]
2. Flujo de calor , la tasa de flujo de calor a través de una unidad de área (J·m ⁻² ·s ⁻¹ ). ( Ley de conducción de Fourier ) ^[8] (Esta definición de flujo de calor se ajusta a la definición original de Maxwell). ^[5]
3. Flujo de difusión , la velocidad de movimiento de las moléculas a través de una unidad de área (mol·m ⁻² ·s ⁻¹ ). ( Ley de difusión de Fick ) ^[7]
4. Flujo volumétrico , la tasa de flujo de volumen a través de una unidad de área (m ³ · m ⁻² · s ⁻¹ ). ( Ley de Darcy del flujo de agua subterránea )
5. Flujo de masa , la tasa de flujo de masa a través de una unidad de área (kg·m ⁻² ·s ⁻¹ ). (Ya sea una forma alternativa de la ley de Fick que incluye la masa molecular, o una forma alternativa de la ley de Darcy que incluye la densidad).
6. Flujo radiativo , cantidad de energía transferida en forma de fotones a una cierta distancia de la fuente por unidad de área por segundo (J·m ⁻² ·s ⁻¹ ). Se utiliza en astronomía para determinar la magnitud y la clase espectral de una estrella. También actúa como una generalización del flujo de calor, que es igual al flujo radiativo cuando se restringe al espectro electromagnético.
7. Flujo de energía , tasa de transferencia de energía a través de una unidad de área (J·m ⁻² ·s ⁻¹ ). El flujo radiativo y el flujo de calor son casos específicos de flujo de energía.
8. Flujo de partículas, la tasa de transferencia de partículas a través de una unidad de área ([número de partículas] m ⁻² ·s ⁻¹ )

Estos flujos son vectores en cada punto del espacio y tienen una magnitud y una dirección definidas. Además, se puede tomar la divergencia de cualquiera de estos flujos para determinar la tasa de acumulación de la cantidad en un volumen de control alrededor de un punto dado del espacio. Para el flujo incompresible , la divergencia del flujo de volumen es cero.

Difusión química

Como se mencionó anteriormente, el flujo molar químico de un componente A en un sistema isotérmico , isobárico se define en la ley de difusión de Fick como: donde el símbolo nabla ∇ denota el operador de gradiente , D _AB es el coeficiente de difusión (m ² ·s ⁻¹ ) del componente A que se difunde a través del componente B, c _A es la concentración ( mol /m ³ ) del componente A. ^[9] $${\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}}$$

Este flujo tiene unidades de mol·m ⁻² ·s ⁻¹ y se ajusta a la definición original de flujo de Maxwell. ^[5]

Para los gases diluidos, la teoría molecular cinética relaciona el coeficiente de difusión D con la densidad de partículas n = N / V , la masa molecular m , la sección transversal de colisión y la temperatura absoluta T , donde el segundo factor es el camino libre medio y la raíz cuadrada (con la constante de Boltzmann k ) es la velocidad media de las partículas. ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}}$$

En flujos turbulentos, el transporte por movimiento de remolinos puede expresarse como un coeficiente de difusión enormemente incrementado.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las partículas de masa m en el estado cuántico ψ ( r , t ) tienen una densidad de probabilidad definida como Por lo tanto, la probabilidad de encontrar una partícula en un elemento de volumen diferencial d ³ r es Entonces, el número de partículas que pasan perpendicularmente a través de la unidad de área de una sección transversal por unidad de tiempo es el flujo de probabilidad; Esto a veces se conoce como corriente de probabilidad o densidad de corriente, ^[10] o densidad de flujo de probabilidad. ^[11] $${\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}.}$$ $${\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right).}$$

Flujo como integral de superficie

Definición matemática general (integral de superficie)

El flujo visualizado. Los anillos muestran los límites de la superficie. Las flechas rojas representan el flujo de cargas, partículas de fluido, partículas subatómicas, fotones, etc. La cantidad de flechas que pasan por cada anillo es el flujo.

Como concepto matemático, el flujo se representa mediante la integral de superficie de un campo vectorial , ^[12]

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} A}$

donde F es un campo vectorial y d A es el área vectorial de la superficie A , dirigida como la normal a la superficie . Para el segundo, n es el vector normal unitario apuntado hacia afuera a la superficie.

La superficie debe ser orientable , es decir, se pueden distinguir dos lados: la superficie no se pliega sobre sí misma. Además, la superficie debe estar realmente orientada, es decir, utilizamos una convención en la que el flujo en una dirección se considera positivo y el flujo en sentido inverso se considera negativo.

La normal de la superficie generalmente se rige por la regla de la mano derecha .

Por el contrario, se puede considerar el flujo como la cantidad más fundamental y llamar al campo vectorial densidad de flujo.

A menudo, un campo vectorial se dibuja mediante curvas (líneas de campo) que siguen el "flujo"; la magnitud del campo vectorial es entonces la densidad de líneas, y el flujo a través de una superficie es el número de líneas. Las líneas se originan en áreas de divergencia positiva (fuentes) y terminan en áreas de divergencia negativa (sumideros).

Véase también la imagen de la derecha: el número de flechas rojas que pasan por una unidad de área es la densidad de flujo, la curva que rodea las flechas rojas denota el límite de la superficie y la orientación de las flechas con respecto a la superficie denota el signo del producto interno del campo vectorial con las normales de la superficie.

Si la superficie encierra una región 3D, normalmente la superficie está orientada de tal manera que el flujo de entrada se considera positivo; lo opuesto es el flujo de salida .

El teorema de divergencia establece que el flujo neto de salida a través de una superficie cerrada, en otras palabras, el flujo neto de salida de una región 3D, se obtiene sumando el flujo neto de salida local de cada punto de la región (que se expresa mediante la divergencia ).

Si la superficie no está cerrada, tiene como límite una curva orientada. El teorema de Stokes establece que el flujo del rotacional de un campo vectorial es la integral de línea del campo vectorial sobre este límite. Esta integral de trayectoria también se denomina circulación , especialmente en dinámica de fluidos. Por lo tanto, el rotacional es la densidad de circulación.

Podemos aplicar el flujo y estos teoremas a muchas disciplinas en las que vemos corrientes, fuerzas, etc., aplicadas a través de áreas.

Electromagnetismo

Flujo eléctrico

Una "carga" eléctrica, como un único protón en el espacio, tiene una magnitud definida en culombios. Dicha carga tiene un campo eléctrico que la rodea. En forma gráfica, el campo eléctrico de una carga puntual positiva se puede visualizar como un punto que irradia líneas de campo eléctrico (a veces también llamadas "líneas de fuerza"). Conceptualmente, el flujo eléctrico se puede considerar como "el número de líneas de campo" que pasan a través de un área dada. Matemáticamente, el flujo eléctrico es la integral del componente normal del campo eléctrico sobre un área dada. Por lo tanto, las unidades de flujo eléctrico son, en el sistema MKS , newtons por culombio por metro cuadrado, o N m ² /C. (La densidad de flujo eléctrico es el flujo eléctrico por unidad de área y es una medida de la fuerza del componente normal del campo eléctrico promediado sobre el área de integración. Sus unidades son N/C, las mismas que el campo eléctrico en unidades MKS).

Se utilizan dos formas de flujo eléctrico , una para el campo E : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

y uno para el campo D (llamado desplazamiento eléctrico ):

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

Esta cantidad surge de la ley de Gauss , que establece que el flujo del campo eléctrico E fuera de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica Q _A encerrada en la superficie (independientemente de cómo se distribuya esa carga), la forma integral es:

${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} ={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$

donde ε ₀ es la permitividad del espacio libre .

Si se considera el flujo del vector de campo eléctrico, E , para un tubo cerca de una carga puntual en el campo de la carga pero que no la contiene con lados formados por líneas tangentes al campo, el flujo para los lados es cero y hay un flujo igual y opuesto en ambos extremos del tubo. Esto es una consecuencia de la Ley de Gauss aplicada a un campo cuadrado inverso. El flujo para cualquier superficie de la sección transversal del tubo será el mismo. El flujo total para cualquier superficie que rodee una carga q es q / ε ₀ . ^[15]

En el espacio libre el desplazamiento eléctrico viene dado por la relación constitutiva D = ε ₀ E , por lo que para cualquier superficie límite el flujo del campo D es igual a la carga Q _A dentro de ella. Aquí la expresión "flujo de" indica una operación matemática y, como se puede ver, el resultado no es necesariamente un "flujo", ya que en realidad nada fluye a lo largo de las líneas de campo eléctrico.

Flujo magnético

La densidad de flujo magnético ( campo magnético ) que tiene la unidad Wb/m ² ( Tesla ) se denota por B , y el flujo magnético se define de manera análoga: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

con la misma notación anterior. La cantidad surge de la ley de inducción de Faraday , donde el flujo magnético depende del tiempo, ya sea porque el límite depende del tiempo o porque el campo magnético depende del tiempo. En forma integral:

${\displaystyle -{\frac {{\rm {d}}\Phi _{B}}{{\rm {d}}t}}=\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

donde d ℓ es un elemento lineal vectorial infinitesimal de la curva cerrada , con magnitud igual a la longitud del elemento lineal infinitesimal , y dirección dada por la tangente a la curva , con el signo determinado por la dirección de integración. ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle \partial A}$

La tasa temporal de cambio del flujo magnético a través de un bucle de alambre es menos la fuerza electromotriz creada en ese alambre. La dirección es tal que si se permite que la corriente pase a través del alambre, la fuerza electromotriz causará una corriente que se "opone" al cambio en el campo magnético al producir ella misma un campo magnético opuesto al cambio. Esta es la base de los inductores y muchos generadores eléctricos .

Flujo de Poynting

Usando esta definición, el flujo del vector de Poynting S sobre una superficie específica es la velocidad a la que la energía electromagnética fluye a través de esa superficie, definida como antes: ^[14]

${\displaystyle \Phi _{S}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

El flujo del vector de Poynting a través de una superficie es la potencia electromagnética , o energía por unidad de tiempo , que pasa a través de esa superficie. Esto se utiliza comúnmente en el análisis de la radiación electromagnética , pero también tiene aplicación en otros sistemas electromagnéticos.

De manera confusa, el vector de Poynting a veces se denomina flujo de potencia , lo que es un ejemplo del primer uso de flujo, mencionado anteriormente. ^[16] Tiene unidades de vatios por metro cuadrado (W/m ² ).

Unidades de radiometría del SI

1. Las organizaciones de normalización recomiendan que las cantidades radiométricas se denoten con el sufijo "e" (por "energético") para evitar confusiones con cantidades fotométricas o de fotones .
2. Símbolos alternativos que a veces se ven: W o E para energía radiante, P o F para flujo radiante, I para irradiancia, W para exitancia radiante.
3. Las cantidades espectrales dadas por unidad de frecuencia se denotan con el sufijo " ν " (letra griega nu , que no debe confundirse con la letra "v", que indica una cantidad fotométrica).
4. Las cantidades espectrales dadas por unidad de longitud de onda se denotan con el sufijo " λ ".
5. Las cantidades direccionales se denotan con el sufijo " Ω ".

Véase también

• Portal de matemáticas

• Magnitud AB
• Generador de compresión de flujo bombeado explosivamente
• Flujo de covarianza de remolinos (también conocido como correlación de remolinos, flujo de remolinos)
• Instalación de pruebas Fast Flux
• Fluencia (flujo de primer tipo para haces de partículas)
• Dinámica de fluidos
• Huella de flujo
• Fijación de flujo
• Cuantización de flujo
• Ley de Gauss
• Ley del cuadrado inverso
• Jansky (unidad no perteneciente al SI de densidad de flujo espectral)
• Flujo de calor latente
• Flujo luminoso
• Flujo magnético
• Flujo magnético cuántico
• Flujo de neutrones
• Flujo de Poynting
• Teorema de Poynting
• Flujo radiante
• Flujo cuántico rápido de un solo flujo
• Flujo de energía sonora
• Flujo volumétrico (flujo de primer tipo para fluidos)
• Caudal volumétrico (flujo de segundo tipo para fluidos)

Notas

1. Purcell, pág. 22-26
2. Weekley, Ernest (1967). Diccionario etimológico del inglés moderno . Courier Dover Publications. pág. 581. ISBN 0-486-21873-2.
3. Herivel, John (1975). Joseph Fourier: el hombre y el físico . Oxford: Clarendon Press. pp. 181–191. ISBN 0-19-858149-1.
4. Fourier, José (1822). Théorie analytique de la chaleur (en francés). París: Firmin Didot Père et Fils. OCLC  2688081.
5. Maxwell, James Clerk (1892). Tratado sobre electricidad y magnetismo . ISBN 0-486-60636-8.
6. Bird, R. Byron ; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (1960). Fenómenos de transporte . Wiley. ISBN 0-471-07392-X.
7. PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Principios esenciales de física (2.ª ed.). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
8. Carslaw, HS; Jaeger, JC (1959). Conducción de calor en sólidos (segunda edición). Oxford University Press. ISBN 0-19-853303-9.
9. Welty; Wicks, Wilson y Rorrer (2001). Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa (4.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-38149-7.
10. D. McMahon (2008). Mecánica cuántica desmitificada (2.ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-145546-6.
11. Sakurai, JJ (1967). Mecánica cuántica avanzada . Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
12. Murray R. Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial. Schaum's Outlines (2.ª ed.). McGraw Hill. pág. 100. ISBN 978-0-07-161545-7.
13. IS Grant; WR Phillips (2008). Electromagnetismo . Manchester Physics (2.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-92712-9.
14. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley . ISBN 978-81-7758-293-2.
15. Las conferencias de Feynman sobre física, vol. II, cap. 4: Electrostática
16. Wangsness, Roald K. (1986). Campos electromagnéticos (2.ª edición). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.pág.357

• Browne, Michael (2010). Física para la ingeniería y la ciencia, 2.ª edición . Schaum Outlines. Nueva York, Toronto: McGraw-Hill Publishing . ISBN. 978-0-0716-1399-6.
• Purcell, Edward (2013). Electricidad y magnetismo, 3.ª edición . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 978110-7014022.

Lectura adicional

• Stauffer, PH (2006). "Flux desconcertado: una propuesta para un uso consistente". Agua subterránea . 44 (2): 125–128. Código Bibliográfico :2006GrWat..44..125S. doi : 10.1111/j.1745-6584.2006.00197.x . PMID  16556188. S2CID  21812226.

Enlaces externos

• La definición del diccionario de flujo en Wikcionario