El primer artículo de Cantor sobre la teoría de conjuntos

Primer artículo sobre la teoría de conjuntos transfinitos

Georg Cantor, hacia 1870    

El primer artículo de teoría de conjuntos de Cantor contiene los primeros teoremas de la teoría de conjuntos transfinitos de Georg Cantor , que estudia los conjuntos infinitos y sus propiedades. Uno de estos teoremas es su "descubrimiento revolucionario" de que el conjunto de todos los números reales es incontablemente , en lugar de contablemente , infinito. ^[1] Este teorema se demuestra utilizando la primera prueba de incontabilidad de Cantor , que difiere de la prueba más familiar que utiliza su argumento diagonal . El título del artículo, " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales " ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen"), se refiere a su primer teorema: el conjunto de números algebraicos reales es contable. El artículo de Cantor se publicó en 1874. En 1879, modificó su prueba de incontabilidad utilizando la noción topológica de un conjunto que es denso en un intervalo.

El artículo de Cantor también contiene una prueba de la existencia de números trascendentales . Tanto las pruebas constructivas como las no constructivas se han presentado como "pruebas de Cantor". La popularidad de presentar una prueba no constructiva ha llevado a una idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos. Dado que la prueba que Cantor publicó construye números trascendentales o no, un análisis de su artículo puede determinar si esta prueba es constructiva o no. ^[2] La correspondencia de Cantor con Richard Dedekind muestra el desarrollo de sus ideas y revela que tenía una elección entre dos pruebas: una prueba no constructiva que utiliza la incontabilidad de los números reales y una prueba constructiva que no utiliza la incontabilidad.

Los historiadores de las matemáticas han examinado el artículo de Cantor y las circunstancias en las que fue escrito. Por ejemplo, han descubierto que a Cantor se le recomendó que omitiera su teorema de incontabilidad en el artículo que presentó, ya que lo añadió durante la corrección de pruebas . Han rastreado este y otros hechos sobre el artículo a la influencia de Karl Weierstrass y Leopold Kronecker . Los historiadores también han estudiado las contribuciones de Dedekind al artículo, incluidas sus contribuciones al teorema sobre la contabilidad de los números algebraicos reales. Además, han reconocido el papel desempeñado por el teorema de incontabilidad y el concepto de contabilidad en el desarrollo de la teoría de conjuntos, la teoría de la medida y la integral de Lebesgue .

El artículo

El artículo de Cantor es breve, de menos de cuatro páginas y media. ^[A] Comienza con una discusión de los números algebraicos reales y una declaración de su primer teorema: El conjunto de números algebraicos reales puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de números enteros positivos. ^[3] Cantor replantea este teorema en términos más familiares para los matemáticos de su tiempo: "El conjunto de números algebraicos reales puede escribirse como una secuencia infinita en la que cada número aparece sólo una vez". ^[4]

El segundo teorema de Cantor funciona con un intervalo cerrado [ a ,  b ], que es el conjunto de números reales ≥  a y ≤  b . El teorema establece: Dada cualquier secuencia de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. Por lo tanto, hay infinitos números de ese tipo. ^[5]

Cantor observa que la combinación de sus dos teoremas produce una nueva prueba del teorema de Liouville de que cada intervalo [ a ,  b ] contiene infinitos números trascendentales . ^[5]

Cantor luego comenta que su segundo teorema es:

la razón por la cual las colecciones de números reales que forman un llamado continuo (como, por ejemplo, todos los números reales que son ≥ 0 y ≤ 1) no pueden corresponder uno a uno con la colección (ν) [la colección de todos los números enteros positivos]; así he encontrado la clara diferencia entre un llamado continuo y una colección como la totalidad de números algebraicos reales. ^[6]

Esta observación contiene el teorema de incontabilidad de Cantor, que sólo establece que un intervalo [ a ,  b ] no puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números enteros positivos. No establece que este intervalo sea un conjunto infinito de cardinalidad mayor que el conjunto de los números enteros positivos. La cardinalidad se define en el siguiente artículo de Cantor, que se publicó en 1878. ^[7]

Cantor sólo enuncia su teorema de incontabilidad, pero no lo utiliza en ninguna demostración. ^[3]

Las pruebas

Primer teorema

Números algebraicos en el plano complejo coloreados según el grado del polinomio (rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4). Los puntos se hacen más pequeños a medida que los coeficientes polinomiales enteros se hacen más grandes.

Para demostrar que el conjunto de números algebraicos reales es numerable, defina la altura de un polinomio de grado n con coeficientes enteros como: n  − 1 + | a ₀ | + | a ₁ | + ... + | a _n |, donde a ₀ , a ₁ , ..., a _n son los coeficientes del polinomio. Ordene los polinomios por su altura y ordene las raíces reales de polinomios de la misma altura por orden numérico. Dado que solo hay un número finito de raíces de polinomios de una altura dada, estos ordenamientos colocan los números algebraicos reales en una secuencia. Cantor fue un paso más allá y produjo una secuencia en la que cada número algebraico real aparece solo una vez. Lo hizo utilizando solo polinomios que son irreducibles sobre los números enteros. La siguiente tabla contiene el comienzo de la enumeración de Cantor. ^[9]

Segundo teorema

Sólo queda por demostrar la primera parte del segundo teorema de Cantor, que establece: Dada cualquier sucesión de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la sucesión dada. ^[B]

Para encontrar un número en [ a ,  b ] que no esté contenido en la secuencia dada, construya dos secuencias de números reales de la siguiente manera: Encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que estén en el intervalo abierto ( a ,  b ). Denote el menor de estos dos números por a ₁ y el mayor por b ₁ . De manera similar, encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que estén en ( a ₁ ,  b ₁ ). Denote el menor por a ₂ y el mayor por b ₂ . Continuar con este procedimiento genera una secuencia de intervalos ( a ₁ ,  b ₁ ), ( a ₂ ,  b ₂ ), ( a ₃ ,  b ₃ ), ... tales que cada intervalo en la secuencia contiene todos los intervalos sucesivos , es decir, genera una secuencia de intervalos anidados . Esto implica que la secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... es creciente y la secuencia b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... es decreciente. ^[10]  

El número de intervalos generados es finito o infinito. Si es finito, sea ( a _L ,  b _L ) el último intervalo. Si es infinito, tomemos los límites a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n y b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Como a _n  <  b _n para todo n , o bien a _∞  =  b _∞ o bien a _∞  <  b _∞ . Por lo tanto, hay tres casos a considerar:

Caso 1: Último intervalo ( a _L , b _L )

Caso 1: Hay un último intervalo ( a _L ,  b _L ). Como como máximo puede haber un x _n en este intervalo, cada y en este intervalo excepto x _n (si existe) no está en la secuencia dada.

Caso 2: a _∞ = b _∞

Caso 2: a _∞  =  b _∞ . Entonces a _∞ no está en la sucesión ya que para todo n  : a _∞ está en el intervalo ( a _n ,  b _n ) pero x _n no pertenece a ( a _n ,  b _n ). En símbolos: a _∞  ∈  ( a _n ,  b _n ) pero x _n  ∉  ( a _n ,  b _n ).

Caso 3: a _∞ < b _∞

Caso 3: a _∞  <  b _∞ . Entonces todo y en [ a _∞ ,  b _∞ ] no está contenido en la secuencia dada ya que para todo n  : y pertenece a ( a _n ,  b _n ) pero x _n no. ^[11]

La prueba está completa ya que, en todos los casos, se ha encontrado al menos un número real en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. ^[D]

Las demostraciones de Cantor son constructivas y se han utilizado para escribir un programa informático que genera los dígitos de un número trascendental. Este programa aplica la construcción de Cantor a una secuencia que contiene todos los números algebraicos reales entre 0 y 1. El artículo que analiza este programa ofrece algunos de sus resultados, que muestran cómo la construcción genera un trascendental. ^[12]

Ejemplo de construcción de Cantor

Un ejemplo ilustra cómo funciona la construcción de Cantor. Consideremos la secuencia :1/2⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠2/3⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠3/4⁠ , ⁠1/5⁠ , ⁠2/5⁠ , ⁠3/5⁠ , ⁠4/5⁠ , ... Esta secuencia se obtiene ordenando los números racionales en (0, 1) por denominadores crecientes, ordenando aquellos con el mismo denominador por numeradores crecientes y omitiendo las fracciones reducibles . La siguiente tabla muestra los primeros cinco pasos de la construcción. La primera columna de la tabla contiene los intervalos ( a _n ,  b _n ). La segunda columna enumera los términos visitados durante la búsqueda de los primeros dos términos en ( a _n ,  b _n ). Estos dos términos están en rojo. ^[13]

Como la secuencia contiene todos los números racionales en (0, 1), la construcción genera un número irracional , que resulta ser √ 2  − 1. ^[14]

Prueba de incontabilidad de Cantor de 1879

Por todas partes denso

En 1879, Cantor publicó una nueva prueba de incontabilidad que modifica su prueba de 1874. Primero define la noción topológica de un conjunto de puntos P como " denso en todas partes en un intervalo": ^[E]

Si P se encuentra parcial o totalmente en el intervalo [α, β], entonces puede darse el caso notable de que todo intervalo [γ, δ] contenido en [α, β], por pequeño que sea, contenga puntos de P. En tal caso, diremos que P es denso en todas partes en el intervalo [α, β]. ^[F]

En este análisis de la prueba de Cantor: se utilizan a ,  b ,  c ,  d en lugar de α, β, γ, δ. Además, Cantor solo utiliza su notación de intervalo si el primer punto final es menor que el segundo. Para este análisis, esto significa que ( a ,  b ) implica que a  <  b .

Dado que la discusión de la prueba de Cantor de 1874 se simplificó al utilizar intervalos abiertos en lugar de intervalos cerrados, aquí se utiliza la misma simplificación. Esto requiere una definición equivalente de denso en todas partes: un conjunto P es denso en todas partes en el intervalo [ a ,  b ] si y solo si cada subintervalo abierto ( c ,  d ) de [ a ,  b ] contiene al menos un punto de P . ^[18]

Cantor no especificó cuántos puntos de P debe contener un subintervalo abierto ( c ,  d ). No necesitaba especificar esto porque la suposición de que cada subintervalo abierto contiene al menos un punto de P implica que cada subintervalo abierto contiene una cantidad infinita de puntos de P . ^[G]

Prueba de Cantor de 1879

Cantor modificó su demostración de 1874 con una nueva demostración de su segundo teorema: dada cualquier secuencia P de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en P . La nueva demostración de Cantor tiene sólo dos casos. Primero, maneja el caso de que P no sea denso en el intervalo, luego trata el caso más difícil de que P sea denso en el intervalo. Esta división en casos no sólo indica qué secuencias son más difíciles de manejar, sino que también revela el importante papel que juega la densidad en la demostración. ^{[prueba 1]}

En el primer caso, P no es denso en [ a ,  b ]. Por definición, P es denso en [ a ,  b ] si y solo si para todos los subintervalos ( c ,  d ) de [ a ,  b ], existe un x  ∈  P tal que x ∈ ( c , d ) . Tomando la negación de cada lado del "si y solo si" produce: P no es denso en [ a ,  b ] si y solo si existe un subintervalo ( c ,  d ) de [ a ,  b ] tal que para todo x  ∈  P  : x ∉ ( c , d ) . Por lo tanto, todo número en ( c ,  d ) no está contenido en la secuencia P . ^{[prueba 1]} Este caso maneja el caso 1 y el caso 3 de la prueba de Cantor de 1874.

En el segundo caso, que maneja el caso 2 de la prueba de Cantor de 1874, P es denso en [ a ,  b ]. La densidad de la secuencia P se usa para definir recursivamente una secuencia de intervalos anidados que excluye todos los números en P y cuya intersección contiene un solo número real en [ a ,  b ]. La secuencia de intervalos comienza con ( a ,  b ). Dado un intervalo en la secuencia, el siguiente intervalo se obtiene al encontrar los dos números con los índices más bajos que pertenecen a P y al intervalo actual. Estos dos números son los puntos finales del siguiente intervalo abierto. Dado que un intervalo abierto excluye sus puntos finales, cada intervalo anidado elimina dos números del frente de la secuencia P , lo que implica que la intersección de los intervalos anidados excluye todos los números en P . ^{[prueba 1]} A continuación se dan detalles de esta prueba y una prueba de que esta intersección contiene un solo número real en [ a ,  b ].

El desarrollo de las ideas de Cantor

El desarrollo que condujo al artículo de Cantor de 1874 aparece en la correspondencia entre Cantor y Richard Dedekind . El 29 de noviembre de 1873, Cantor le preguntó a Dedekind si la colección de números enteros positivos y la colección de números reales positivos "pueden corresponderse de modo que cada individuo de una colección corresponda a uno y solo un individuo de la otra". Cantor agregó que las colecciones que tienen tal correspondencia incluyen la colección de números racionales positivos y colecciones de la forma ( a _{n 1 ,  n 2 , . . . ,  n ν} ) donde n ₁ , n ₂ , . . . , n _ν y ν son números enteros positivos. ^[19]

Dedekind respondió que no podía responder a la pregunta de Cantor y dijo que "no merecía demasiado esfuerzo porque no tenía ningún interés práctico particular". Dedekind también envió a Cantor una prueba de que el conjunto de números algebraicos es contable. ^[20]

El 2 de diciembre, Cantor respondió que su pregunta sí tiene interés: "Sería bueno si pudiera responderse; por ejemplo, siempre que pudiera responderse no , uno tendría una nueva prueba del teorema de Liouville de que hay números trascendentales". ^[21]

El 7 de diciembre, Cantor envió a Dedekind una prueba por contradicción de que el conjunto de los números reales es incontable. Cantor comienza suponiendo que los números reales en pueden escribirse como una secuencia. Luego, aplica una construcción a esta secuencia para producir un número en que no está en la secuencia, contradiciendo así su suposición. ^[22] En conjunto, las cartas del 2 y 7 de diciembre proporcionan una prueba no constructiva de la existencia de números trascendentales. ^[23] Además, la prueba en la carta de Cantor del 7 de diciembre muestra parte del razonamiento que lo llevó a descubrir que los números reales forman un conjunto incontable. ^[24] ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Dedekind recibió la prueba de Cantor el 8 de diciembre. Ese mismo día, Dedekind simplificó la prueba y le envió su prueba a Cantor. Cantor utilizó la prueba de Dedekind en su artículo. ^[25] La carta que contenía la prueba de Cantor del 7 de diciembre no se publicó hasta 1937. ^[26]

El 9 de diciembre, Cantor anunció el teorema que le permitió construir números trascendentales así como demostrar la incontabilidad del conjunto de los números reales:

Demuestro directamente que si empiezo con una secuencia

(1)     ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n , ...

Puedo determinar, en cada intervalo dado [ α ,  β ], un número η que no está incluido en (1). ^[27]

Este es el segundo teorema del artículo de Cantor. Proviene de la comprensión de que su construcción puede aplicarse a cualquier secuencia, no sólo a secuencias que supuestamente enumeran los números reales. De modo que Cantor tenía que elegir entre dos pruebas que demuestran la existencia de números trascendentales: una prueba es constructiva, pero la otra no. Estas dos pruebas pueden compararse partiendo de una secuencia que consta de todos los números algebraicos reales.

La prueba constructiva aplica la construcción de Cantor a esta secuencia y al intervalo [ a ,  b ] para producir un número trascendental en este intervalo. ^[5]

La prueba no constructiva utiliza dos pruebas por contradicción:

1. La prueba por contradicción utilizada para demostrar el teorema de incontabilidad (ver Prueba del teorema de incontabilidad de Cantor).
2. La prueba por contradicción utilizada para demostrar la existencia de números trascendentales a partir de la numerabilidad de los números algebraicos reales y la incontabilidad de los números reales. La carta de Cantor del 2 de diciembre menciona esta prueba de existencia pero no la contiene. He aquí una prueba: supongamos que no hay números trascendentales en [ a ,  b ]. Entonces todos los números en [ a ,  b ] son ​​algebraicos. Esto implica que forman una subsecuencia de la secuencia de todos los números algebraicos reales, lo que contradice el teorema de incontabilidad de Cantor. Por lo tanto, la suposición de que no hay números trascendentales en [ a ,  b ] es falsa. Por lo tanto, hay un número trascendental en [ a ,  b ]. ^[H]

Cantor decidió publicar la prueba constructiva, que no sólo produce un número trascendental sino que también es más corta y evita dos pruebas por contradicción. La prueba no constructiva de la correspondencia de Cantor es más simple que la anterior porque funciona con todos los números reales en lugar del intervalo [ a ,  b ]. Esto elimina el paso de subsecuencia y todas las ocurrencias de [ a ,  b ] en la segunda prueba por contradicción. ^[5]

Un concepto erróneo sobre la obra de Cantor

Akihiro Kanamori , que se especializa en teoría de conjuntos, afirmó que "los relatos de la obra de Cantor han invertido en su mayoría el orden para deducir la existencia de números trascendentales, estableciendo primero la incontabilidad de los reales y sólo después extrayendo la conclusión de existencia a partir de la contabilidad de los números algebraicos. En los libros de texto la inversión puede ser inevitable, pero esto ha promovido la idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos". ^[29]

Tanto la prueba publicada de Cantor como la prueba de orden inverso utilizan el teorema: Dada una secuencia de números reales, se puede encontrar un número real que no esté en la secuencia. Al aplicar este teorema a la secuencia de números reales algebraicos, Cantor produjo un número trascendental. Luego demostró que los números reales son incontables: Supongamos que existe una secuencia que contiene todos los números reales. La aplicación del teorema a esta secuencia produce un número real que no está en la secuencia, lo que contradice la suposición de que la secuencia contiene todos los números reales. Por lo tanto, los números reales son incontables. ^[5] La prueba de orden inverso comienza demostrando primero que los números reales son incontables. Luego demuestra que existen los números trascendentales: Si no hubiera números trascendentales, todos los números reales serían algebraicos y, por lo tanto, contables, lo que contradice lo que se acaba de demostrar. Esta contradicción demuestra que los números trascendentales existen sin construir ninguno. ^[29]

Oskar Perron,     hacia 1948

La correspondencia que contenía el razonamiento no constructivo de Cantor se publicó en 1937. Para entonces, otros matemáticos habían redescubierto su prueba no constructiva de orden inverso. Ya en 1921, esta prueba se llamó "prueba de Cantor" y se la criticó por no producir ningún número trascendental. ^[30] En ese año, Oskar Perron presentó la prueba de orden inverso y luego afirmó: "... La prueba de Cantor para la existencia de números trascendentales tiene, junto con su simplicidad y elegancia, la gran desventaja de que es solo una prueba de existencia; no nos permite especificar realmente ni siquiera un solo número trascendental". ^{[31] [I]}

Abraham Fraenkel, entre 1939 y 1949

Ya en 1930 algunos matemáticos intentaron corregir esta idea errónea sobre la obra de Cantor. En ese año, el teórico de conjuntos Abraham Fraenkel afirmó que el método de Cantor es "... un método que, por cierto, contrariamente a una interpretación generalizada, es fundamentalmente constructivo y no meramente existencial". ^[32] En 1972, Irving Kaplansky escribió: "A menudo se dice que la prueba de Cantor no es 'constructiva' y, por lo tanto, no produce un número trascendental tangible. Esta observación no está justificada. Si establecemos una lista definida de todos los números algebraicos... y luego aplicamos el procedimiento diagonal ..., obtenemos un número trascendental perfectamente definido (podría calcularse con cualquier número de decimales)". ^{[33] [J]} La prueba de Cantor no solo es constructiva, sino que también es más simple que la prueba de Perron, que requiere el desvío de probar primero que el conjunto de todos los números reales es incontable. ^[34]

El argumento diagonal de Cantor ha sustituido a menudo su construcción de 1874 en las exposiciones de su prueba. El argumento diagonal es constructivo y produce un programa informático más eficiente que su construcción de 1874. Utilizándolo, se ha escrito un programa informático que calcula los dígitos de un número trascendental en tiempo polinomial . El programa que utiliza la construcción de 1874 de Cantor requiere al menos un tiempo subexponencial . ^{[35] [K]}

La presentación de la prueba no constructiva sin mencionar la prueba constructiva de Cantor aparece en algunos libros que tuvieron bastante éxito, medido por el tiempo que tardó en aparecer nuevas ediciones o reimpresiones; por ejemplo: Irrationalzahlen de Oskar Perron (1921; 1960, 4.ª edición), Men of Mathematics de Eric Temple Bell (1937; todavía se reimprime), An Introduction to the Theory of Numbers de Godfrey Hardy y EM Wright (1938; 2008, 6.ª edición), A Survey of Modern Algebra de Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane (1941; 1997, 5.ª edición) y Calculus de Michael Spivak (1967; 2008, 4.ª edición). ^{[36] [L]} Desde 2014, han aparecido al menos dos libros que afirman que la prueba de Cantor es constructiva, ^[37] y al menos cuatro que afirman que su prueba no construye ningún (o un solo) trascendental. ^[38]

Afirmar que Cantor dio un argumento no constructivo sin mencionar la prueba constructiva que publicó puede llevar a afirmaciones erróneas sobre la historia de las matemáticas . En A Survey of Modern Algebra, Birkhoff y Mac Lane afirman: "El argumento de Cantor para este resultado [No todo número real es algebraico] fue rechazado al principio por muchos matemáticos, ya que no exhibía ningún número trascendental específico". ^[39] La prueba que Cantor publicó produce números trascendentales, y no parece haber evidencia de que su argumento fuera rechazado. Incluso Leopold Kronecker , que tenía opiniones estrictas sobre lo que es aceptable en matemáticas y que podría haber retrasado la publicación del artículo de Cantor, no lo retrasó. ^[4] De hecho, aplicar la construcción de Cantor a la secuencia de números algebraicos reales produce un proceso limitante que Kronecker aceptó, es decir, determina un número con cualquier grado requerido de precisión. ^[M]

La influencia de Weierstrass y Kronecker en el artículo de Cantor

Karl Weierstrass

Leopoldo Kronecker, 1865

Los historiadores de las matemáticas han descubierto los siguientes hechos sobre el artículo de Cantor "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales":

• El teorema de incontabilidad de Cantor no se incluyó en el artículo que presentó, pero lo agregó durante la corrección de pruebas . ^[43]
• El título del artículo hace referencia al conjunto de los números algebraicos reales. El tema principal de la correspondencia de Cantor fue el conjunto de los números reales. ^[44]
• La demostración del segundo teorema de Cantor proviene de Dedekind. Sin embargo, omite la explicación de Dedekind de por qué existen los límites a _∞ y b _∞ . ^[45]
• Cantor limitó su primer teorema al conjunto de números algebraicos reales. La prueba que utilizó demuestra la numerabilidad del conjunto de todos los números algebraicos. ^[20]

Para explicar estos hechos, los historiadores han señalado la influencia de los antiguos profesores de Cantor, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Cantor discutió sus resultados con Weierstrass el 23 de diciembre de 1873. ^[46] Weierstrass se sorprendió al principio con el concepto de numerabilidad, pero luego encontró útil la numerabilidad del conjunto de números algebraicos reales. ^[47] Cantor no quería publicar aún, pero Weierstrass sintió que debía publicar al menos sus resultados sobre los números algebraicos. ^[46]

De su correspondencia se desprende que Cantor sólo discutió su artículo con Weierstrass. Sin embargo, Cantor le dijo a Dedekind: "La restricción que he impuesto a la versión publicada de mis investigaciones se debe en parte a circunstancias locales..." ^[46] El biógrafo de Cantor, Joseph Dauben, cree que "circunstancias locales" se refiere a Kronecker, quien, como miembro del consejo editorial del Crelle's Journal , había retrasado la publicación de un artículo de 1870 de Eduard Heine , uno de los colegas de Cantor. Cantor enviaría su artículo al Crelle's Journal . ^[48]

Weierstrass le aconsejó a Cantor que dejara su teorema de incontabilidad fuera del artículo que presentó, pero también le dijo a Cantor que podía agregarlo como una nota marginal durante la corrección de pruebas, lo cual hizo. ^[43] Aparece en un comentario al final de la introducción del artículo. Las opiniones de Kronecker y Weierstrass jugaron un papel aquí. Kronecker no aceptaba los conjuntos infinitos, y parece que Weierstrass no aceptaba que dos conjuntos infinitos pudieran ser tan diferentes, siendo uno contable y el otro no. ^[49] Weierstrass cambió su opinión más tarde. ^[50] Sin el teorema de incontabilidad, el artículo necesitaba un título que no hiciera referencia a este teorema. Cantor eligió "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales"), que se refiere a la contabilidad del conjunto de números algebraicos reales, el resultado que Weierstrass encontró útil. ^[51]

La influencia de Kronecker aparece en la demostración del segundo teorema de Cantor. Cantor utilizó la versión de la demostración de Dedekind, salvo que omitió explicar por qué existen los límites a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n y b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Dedekind había utilizado su "principio de continuidad" para demostrar que existen. Este principio (que es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo de los números reales) proviene de la construcción de Dedekind de los números reales, una construcción que Kronecker no aceptó. ^[52]

Cantor restringió su primer teorema al conjunto de números algebraicos reales, aunque Dedekind le había enviado una prueba que manejaba todos los números algebraicos. ^[20] Cantor hizo esto por razones expositivas y debido a "circunstancias locales". ^[53] Esta restricción simplifica el artículo porque el segundo teorema funciona con secuencias reales. Por lo tanto, la construcción en el segundo teorema se puede aplicar directamente a la enumeración de los números algebraicos reales para producir "un procedimiento efectivo para el cálculo de números trascendentales". Este procedimiento sería aceptable para Weierstrass. ^[54]

Contribuciones de Dedekind al artículo de Cantor

Richard Dedekind,     hacia 1870

Desde 1856, Dedekind había desarrollado teorías que involucraban una cantidad infinita de conjuntos infinitos, por ejemplo: los ideales , que utilizó en la teoría algebraica de números , y los cortes de Dedekind , que utilizó para construir los números reales. Este trabajo le permitió comprender y contribuir al trabajo de Cantor. ^[55]

La primera contribución de Dedekind se refiere al teorema de que el conjunto de números algebraicos reales es numerable. Generalmente se le atribuye a Cantor el mérito de este teorema, pero el historiador matemático José Ferreirós lo llama "teorema de Dedekind". Su correspondencia revela lo que cada matemático aportó al teorema. ^[56]

En su carta introduciendo el concepto de numerabilidad, Cantor afirmó sin prueba que el conjunto de números racionales positivos es numerable, como lo son los conjuntos de la forma ( a _{n 1 ,  n 2 , ...,  n ν} ) donde n ₁ ,  n ₂ , ...,  n _ν y ν son números enteros positivos. ^[57] El segundo resultado de Cantor utiliza una familia indexada de números: un conjunto de la forma ( a _{n 1 ,  n 2 , ...,  n ν} ) es el rango de una función desde los índices ν hasta el conjunto de números reales. Su segundo resultado implica su primero: sea ν  = 2 y a _{n 1 ,  n 2}  =  ⁠número ₁/número ₂⁠ . La función puede ser bastante general, por ejemplo, a _{n 1 ,  n 2 ,  n 3 ,  n 4 ,  n 5}  = ( ⁠número ₁/número ₂⁠ ) ^{​​⁠1/número ₃⁠}  +  bronceado ( ⁠número ₄/número ₅⁠ ).

Dedekind respondió con una prueba del teorema de que el conjunto de todos los números algebraicos es contable. ^[20] En su respuesta a Dedekind, Cantor no afirmó haber demostrado el resultado de Dedekind. Sí indicó cómo demostró su teorema sobre las familias indexadas de números: "Su prueba de que ( n ) [el conjunto de números enteros positivos] puede correlacionarse uno a uno con el cuerpo de todos los números algebraicos es aproximadamente la misma que la forma en que pruebo mi afirmación en la última carta. Tomo n ₁ ²  +  n ₂ ²  + ··· +  n _ν ²  =  y ordeno los elementos en consecuencia". ^[58] Sin embargo, el ordenamiento de Cantor es más débil que el de Dedekind y no se puede extender a -tuplas de números enteros que incluyan ceros. ^[59] ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ ${\displaystyle n}$

La segunda contribución de Dedekind es su demostración del segundo teorema de Cantor. Dedekind envió esta demostración en respuesta a la carta de Cantor que contenía el teorema de incontabilidad, que Cantor demostró utilizando infinitas secuencias. Cantor escribió a continuación que había encontrado una demostración más simple que no utilizaba infinitas secuencias. ^[60] Así que Cantor tenía una elección de pruebas y decidió publicar la de Dedekind. ^[61]

Cantor agradeció en privado a Dedekind por su ayuda: "... sus comentarios (que valoro mucho) y su manera de plantear algunos de los puntos me fueron de gran ayuda". ^[46] Sin embargo, no mencionó la ayuda de Dedekind en su artículo. En artículos anteriores, había reconocido la ayuda recibida de Kronecker, Weierstrass, Heine y Hermann Schwarz . El hecho de que Cantor no mencionara las contribuciones de Dedekind dañó su relación con él. Dedekind dejó de responder a sus cartas y no reanudó la correspondencia hasta octubre de 1876. ^{[62] [N]}

El legado del artículo de Cantor

El artículo de Cantor introdujo el teorema de incontabilidad y el concepto de numerabilidad. Ambos conducirían a importantes avances en matemáticas. El teorema de incontabilidad demostró que las correspondencias biunívocas pueden utilizarse para analizar conjuntos infinitos. En 1878, Cantor las utilizó para definir y comparar cardinalidades. También construyó correspondencias biunívocas para demostrar que los espacios n -dimensionales R ⁿ (donde R es el conjunto de números reales) y el conjunto de números irracionales tienen la misma cardinalidad que R . ^{[63] [O]}

En 1883, Cantor extendió los números enteros positivos con sus ordinales infinitos . Esta extensión fue necesaria para su trabajo sobre el teorema de Cantor-Bendixson . Cantor descubrió otros usos para los ordinales; por ejemplo, utilizó conjuntos de ordinales para producir una infinidad de conjuntos con diferentes cardinalidades infinitas. ^[65] Su trabajo sobre conjuntos infinitos junto con el trabajo de teoría de conjuntos de Dedekind crearon la teoría de conjuntos. ^[66]

El concepto de contabilidad dio lugar a operaciones y objetos contables que se utilizan en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en 1878, Cantor introdujo las uniones contables de conjuntos. ^[67] En la década de 1890, Émile Borel utilizó uniones contables en su teoría de la medida , y René Baire utilizó ordinales contables para definir sus clases de funciones . ^[68] Basándose en el trabajo de Borel y Baire, Henri Lebesgue creó sus teorías de la medida y la integración , que se publicaron entre 1899 y 1901. ^[69]

Los modelos contables se utilizan en la teoría de conjuntos. En 1922, Thoralf Skolem demostró que si los axiomas convencionales de la teoría de conjuntos son consistentes , entonces tienen un modelo contable. Dado que este modelo es contable, su conjunto de números reales es contable. Esta consecuencia se llama paradoja de Skolem , y Skolem explicó por qué no contradice el teorema de incontabilidad de Cantor: aunque existe una correspondencia biunívoca entre este conjunto y el conjunto de números enteros positivos, dicha correspondencia biunívoca no es miembro del modelo. Por lo tanto, el modelo considera que su conjunto de números reales es incontable, o más precisamente, la oración de primer orden que dice que el conjunto de números reales es incontable es verdadera dentro del modelo. ^[70] En 1963, Paul Cohen utilizó modelos contables para demostrar sus teoremas de independencia . ^[71]

Véase también

• Teorema de Cantor

Notas

1. En una carta a Dedekind fechada el 25 de diciembre de 1873, Cantor afirma que ha escrito y presentado "un breve artículo" titulado " Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales " (Noether y Cavaillès 1937, p. 17; traducción al inglés: Ewald 1996, p. 847).
2. Esto implica el resto del teorema  ,  es decir, hay infinitos números en [ a ,  b ] que no están contenidos en la secuencia dada. Por ejemplo, sea el intervalo y considere sus subintervalos Dado que estos subintervalos son disjuntos por pares , la aplicación de la primera parte del teorema a cada subintervalo produce infinitos números en que no están contenidos en la secuencia dada. En general, para el intervalo aplique la primera parte del teorema a los subintervalos ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],}$ ${\displaystyle \ldots .}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle [a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],}$ ${\displaystyle \ldots .}$
3. Cantor no prueba este lema. En una nota al pie para el caso 2, afirma que x _n no se encuentra en el interior del intervalo [ a _n ,  b _n ]. ^[11] Esta prueba proviene de su prueba de 1879, que contiene una prueba inductiva más compleja que demuestra varias propiedades de los intervalos generados, incluida la propiedad demostrada aquí.
4. La principal diferencia entre la prueba de Cantor y la prueba anterior es que él genera la secuencia de intervalos cerrados [ a _n ,  b _n ]. Para encontrar a _{n  + 1} y b _{n  + 1} , él utiliza el interior del intervalo [ a _n ,  b _n ], que es el intervalo abierto ( a _n ,  b _n ). La generación de intervalos abiertos combina el uso que hace Cantor de los intervalos cerrados y sus interiores, lo que permite que los diagramas de casos representen todos los detalles de la prueba.
5. Cantor no fue el primero en definir "denso en todas partes", pero su terminología fue adoptada con o sin el "en todas partes" (denso en todas partes: Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990, p. 15; denso: Kelley 1991, p. 49). En 1870, Hermann Hankel había definido este concepto utilizando una terminología diferente: "una multitud de puntos ... llenan el segmento si no se puede dar ningún intervalo, por pequeño que sea, dentro del segmento en el que no se encuentre al menos un punto de esa multitud" (Ferreirós 2007, p. 155). Hankel se basaba en el artículo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1829 que contiene la función de Dirichlet , una función no integrable ( de Riemann ) cuyo valor es 0 para números racionales y 1 para números irracionales . (Ferreirós 2007, p. 149.)
6. Traducido de Cantor 1879, p. 2: ‹Ver Tfd› Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β), so kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P enthält. In einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α . . . β) überall-dicht sei.
7. Esto se demuestra generando una secuencia de puntos que pertenecen tanto a P como a ( c ,  d ). Como P es denso en [ a ,  b ], el subintervalo ( c ,  d ) contiene al menos un punto x ₁ de P . Por suposición, el subintervalo ( x ₁ ,  d ) contiene al menos un punto x ₂ de P y x ₂  >  x ₁ ya que x ₂ pertenece a este subintervalo. En general, después de generar x _n , el subintervalo (x _n ,  d ) se utiliza para generar un punto x _{n  + 1} que satisface x _{n  + 1}  >  x _n . Los infinitos puntos x _n pertenecen tanto a P como a ( c ,  d ).
8. El comienzo de esta prueba se deriva de la siguiente prueba restringiendo sus números al intervalo [ a ,  b ] y usando una subsecuencia, ya que Cantor estaba usando secuencias en su trabajo de 1873 sobre contabilidad.
   Texto alemán: ‹Ver Tfd› Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen. Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Algebraischen Zahlen, das Kontinuum also identisch mit der Menge aller algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht. ^[28] Traducción: Teorema 68. Hay números trascendentales. Si no existieran los números trascendentales, entonces todos los números serían algebraicos. Por lo tanto, el continuo sería idéntico al conjunto de todos los números algebraicos. Sin embargo, esto es imposible porque el conjunto de todos los números algebraicos es numerable, pero el continuo no lo es.
   
   
   
9. Con "prueba de Cantor", Perron no quiere decir que se trate de una prueba publicada por Cantor, sino que la prueba solo utiliza argumentos que Cantor publicó. Por ejemplo, para obtener un real no en una secuencia dada, Perron sigue la prueba de Cantor de 1874, excepto con una modificación: utiliza el argumento diagonal de Cantor de 1891 en lugar de su argumento de intervalos anidados de 1874 para obtener un real. Cantor nunca utilizó su argumento diagonal para refutar su teorema. En este caso, tanto la prueba de Cantor como la de Perron son constructivas, por lo que no puede surgir ningún error de concepto aquí. Luego, Perron modifica la prueba de Cantor de la existencia de un trascendental dando la prueba de orden inverso. Esto convierte la prueba constructiva de Cantor de 1874 en una prueba no constructiva, lo que conduce al error de concepto sobre el trabajo de Cantor.
10. Esta prueba es la misma que la prueba de Cantor de 1874 excepto por una modificación: utiliza su argumento diagonal de 1891 en lugar de su argumento de intervalos anidados de 1874 para obtener un real.
11. El programa que utiliza el método diagonal produce dígitos en pasos, mientras que el programa que utiliza el método 1874 requiere al menos pasos para producir dígitos. (Gray 1994, pp. 822–823.) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)}$ ${\displaystyle O(2^{\sqrt[{3}]{n}})}$ ${\displaystyle n}$
12. A partir del libro de Hardy y Wright, estos libros están vinculados al libro de Perron a través de sus bibliografías: el libro de Perron se menciona en la bibliografía del libro de Hardy y Wright, que a su vez se menciona en la bibliografía del libro de Birkhoff y Mac Lane y en la bibliografía del libro de Spivak. (Hardy y Wright 1938, pág. 400; Birkhoff y Mac Lane 1941, pág. 441; Spivak 1967, pág. 515.)
13. La opinión de Kronecker era: "Las definiciones deben contener los medios para llegar a una decisión en un número finito de pasos, y las pruebas de existencia deben realizarse de modo que la cantidad en cuestión pueda calcularse con cualquier grado requerido de precisión". ^[40] Por lo tanto, Kronecker aceptaría el argumento de Cantor como una prueba de existencia válida, pero no aceptaría su conclusión de que existen números trascendentales. Para Kronecker, no existen porque su definición no contiene medios para decidir en un número finito de pasos si un número dado es trascendental o no. ^[41] La construcción de Cantor de 1874 calcula números con cualquier grado requerido de precisión porque: Dado un k , un n puede calcularse de modo que b _n – a _n ≤ ⁠1/a⁠ donde ( a _n ,  b _n ) es el n -ésimo intervalo de la construcción de Cantor. Un ejemplo de cómo demostrar esto se da en Gray 1994, p. 822. El argumento diagonal de Cantor proporciona una precisión de 10 ^{− n} después de que se hayan calculado n números algebraicos reales porque cada uno de estos números genera un dígito del número trascendental. ^[42]
14. Ferreirós ha analizado las relaciones entre Cantor y Dedekind y explica por qué "las relaciones entre ambos matemáticos fueron difíciles a partir de 1874, cuando sufrieron una interrupción..." (Ferreirós 1993, pp. 344, 348–352.)
15. El método de Cantor para construir una correspondencia uno a uno entre el conjunto de números irracionales y R se puede utilizar para construir una entre el conjunto de números trascendentales y R . ^[64] La construcción comienza con el conjunto de números trascendentales T y elimina un subconjunto contable { t _n } (por ejemplo, t _n = ⁠mi/norte⁠ ). Sea este conjunto T ₀ . Entonces T  =   T ₀  ∪ { t _n } = T ₀  ∪ { t _{2 n – 1} } ∪ { t _{2 n} }, y R  =  T  ∪ { a _n } = T ₀  ∪ { t _n } ∪ { a _n } donde a _n es la sucesión de números algebraicos reales. Por tanto, tanto T como R son la unión de tres conjuntos disjuntos por pares: T ₀ y dos conjuntos contables. Una correspondencia biunívoca entre T y R viene dada por la función: g ( t ) = t si t  ∈  T ₀ , g ( t _{2 n – 1} ) = t _n , y g ( t _{2 n} ) = a _n .

Nota sobre la prueba de Cantor de 1879

1. Dado que la prueba de Cantor no ha sido publicada en inglés, se incluye una traducción al inglés junto con el texto original en alemán, que es de Cantor 1879, pp. 5-7. La traducción comienza una oración antes de la prueba porque esta oración menciona la prueba de Cantor de 1874. Cantor afirma que se publicó en el Diario de Borchardt. El Diario de Crelle también se llamó Diario de Borchardt desde 1856 hasta 1880, cuando Carl Wilhelm Borchardt editó la revista (Audin 2011, p. 80). Se utilizan corchetes para identificar esta mención de la prueba anterior de Cantor, para aclarar la traducción y para proporcionar números de página. Además, " Mannichfaltigkeit " (variedad) se ha traducido a "conjunto" y la notación de Cantor para conjuntos cerrados (α . . . β) se ha traducido a [α, β]. Cantor cambió su terminología de Mannichfaltigkeit a Menge (conjunto) en su artículo de 1883, que introdujo conjuntos de números ordinales (Kanamori 2012, p. 5). En la actualidad, en matemáticas, una variedad es un tipo de espacio topológico .

Referencias

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6. Cantor 1874, pág. 259. Traducción inglesa: Gray 1994, pág. 820.
7. Cantor 1878, pág. 242.
8. Gray 1994, pág. 820.
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28. Perron 1921, pág. 162.
29. Kanamori 2012, pág. 4.
30. Gray 1994, págs. 827–828.
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39. Birkhoff y Mac Lane 1941, pág. 392, (5.ª ed., págs. 436–437).
40. Burton 1995, pág. 595.
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49. Ferreirós 2007, págs. 184-185, 245.
50. Ferreirós 2007, p. 185: No está claro cuándo cambió su actitud, pero hay evidencia de que a mediados de la década de 1880 estaba aceptando la conclusión de que los conjuntos infinitos son de diferentes potencias [cardinalidades].
51. Ferreirós 2007, pág. 177.
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