estado de mierda

Estado numérico en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , un estado de Fock o estado numérico es un estado cuántico que es un elemento de un espacio de Fock con un número bien definido de partículas (o cuantos ). Estos estados llevan el nombre del físico soviético Vladimir Fock . Los estados de Fock juegan un papel importante en la segunda formulación de cuantificación de la mecánica cuántica.

La representación de partículas fue tratada en detalle por primera vez por Paul Dirac para los bosones y por Pascual Jordan y Eugene Wigner para los fermiones . ^{[1] : 35} Los estados de Fock de bosones y fermiones obedecen a relaciones útiles con respecto a los operadores de creación y aniquilación del espacio de Fock .

Definición

Se especifica un estado multipartícula de N partículas idénticas que no interactúan escribiendo el estado como una suma de productos tensoriales de N estados de una partícula. Además, dependiendo de la integralidad del espín de las partículas , los productos tensoriales deben ser productos alternos (antisimétricos) o simétricos del espacio de Hilbert de una partícula subyacente . Específicamente:

• Los fermiones , que tienen espín semientero y obedecen al principio de exclusión de Pauli , corresponden a productos tensoriales antisimétricos.
• Los bosones , que poseen espín entero (y no se rigen por el principio de exclusión), corresponden a productos tensoriales simétricos.

Si el número de partículas es variable, se construye el espacio de Fock como la suma directa del producto tensorial de los espacios de Hilbert para cada número de partículas . En el espacio de Fock, es posible especificar el mismo estado en una nueva notación, la notación del número de ocupación, especificando el número de partículas en cada posible estado de una partícula.

Sea una base ortonormal de estados en el espacio de Hilbert de una partícula subyacente. Esto induce una base correspondiente del espacio de Fock llamada "base del número de ocupación". Un estado cuántico en el espacio de Fock se denomina estado de Fock si es un elemento de la base del número de ocupación. ${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$

Un estado de Fock satisface un criterio importante: para cada i , el estado es un estado propio del operador de número de partículas correspondiente al i -ésimo estado elemental k _i . El valor propio correspondiente da el número de partículas en el estado. Este criterio casi define los estados de Fock (además hay que seleccionar un factor de fase). ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

Un estado de Fock dado se denota por . En esta expresión, denota el número de partículas en el i-ésimo estado k _i , y el operador de número de partículas para el i-ésimo estado, actúa sobre el estado de Fock de la siguiente manera: ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$ ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

Por tanto, el estado de Fock es un estado propio del operador numérico con valor propio . ^{[2] : 478} ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$

Los estados de Fock suelen formar la base más conveniente de un espacio de Fock. Los elementos de un espacio de Fock que son superposiciones de estados de diferente número de partículas (y, por tanto, no estados propios del operador numérico) no son estados de Fock. Por esta razón, no todos los elementos de un espacio de Fock se denominan "estados de Fock".

Si definimos el operador del número agregado de partículas como ${\textstyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

La definición del estado de Fock garantiza que la varianza de la medición , es decir, medir el número de partículas en un estado de Fock siempre devuelva un valor definido sin fluctuaciones. ${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$

Ejemplo usando dos partículas

Para cualquier estado final , cualquier estado de Fock de dos partículas idénticas dadas por y cualquier operador , tenemos la siguiente condición de indistinguibilidad : ^{[3] : 191} ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

Entonces, debemos tener ${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

donde para bosones y fermiones .​ Dado que y son arbitrarios, podemos decir, ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$para bosones y

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$para fermiones. ^{[3] : 191}

Tenga en cuenta que el operador numérico no distingue bosones de fermiones; de hecho, simplemente cuenta partículas sin tener en cuenta su tipo de simetría. Para percibir cualquier diferencia entre ellos, necesitamos otros operadores, a saber, los operadores de creación y aniquilación .

Estado bosónico de Fock

Los bosones , que son partículas con espín entero, siguen una regla simple: su estado propio compuesto es simétrico ^[4] bajo la operación de un operador de intercambio . Por ejemplo, en un sistema de dos partículas en la representación del producto tensorial tenemos . ${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

Operadores de creación y aniquilación de bosones.

Deberíamos poder expresar la misma propiedad simétrica en esta nueva representación del espacio de Fock. Para esto introducimos operadores bosónicos de creación y aniquilación no hermitianos , ^[4] denotados por y respectivamente. La acción de estos operadores en un estado de Fock viene dada por las dos ecuaciones siguientes: ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle b}$

• Operador de creación : ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Operador de aniquilación : ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^[4]

La operación de operadores de creación y aniquilación en los estados Bosonic Fock.

No hermiticidad de los operadores de creación y aniquilación.

Los operadores bosónicos de creación y aniquilación del estado de Fock no son operadores hermitianos . ^[4]

Prueba de que los operadores de creación y aniquilación no son hermitianos.

Para un estado de Fock , ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, está claro que el operador adjunto de creación (aniquilación) no entra en sí mismo. Por tanto, no son operadores hermitianos.

Pero el operador adjunto de creación (aniquilación) es el operador de aniquilación (creación). ^{[5] : 45}

Identidades del operador

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema bosónico son

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^[4]

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^[4]

donde está el conmutador y es el delta de Kronecker . ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

N estados básicos bosónicos

Acción sobre algunos estados Fock específicos

• Para un estado de vacío (ninguna partícula se encuentra en ningún estado) expresado como , tenemos: ${\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  y, . ^[4] Es decir, el l -ésimo operador de creación crea una partícula en el l -ésimo estado k _l , y el estado de vacío es un punto fijo de operadores de aniquilación ya que no hay partículas para aniquilar. ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0}$
• Podemos generar cualquier estado de Fock operando en el estado de vacío con una cantidad adecuada de operadores de creación :

  ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle }$

• Para un estado de Fock monomodo, expresado como , ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle }$
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle }$y,
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle }$

Acción de los operadores numéricos.

Los operadores numéricos para un sistema bosónico vienen dados por , donde ^[4] ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$

Los operadores numéricos son operadores hermitianos.

Comportamiento simétrico de los estados bosónicos de Fock.

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación aseguran que los estados bosónicos de Fock tengan el comportamiento simétrico apropiado bajo el intercambio de partículas. Aquí, el intercambio de partículas entre dos estados (digamos, l y m ) se realiza aniquilando una partícula en el estado l y creando una en el estado m . Si comenzamos con un estado de Fock y queremos cambiar una partícula de un estado a otro , entonces operamos el estado de Fock de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{l}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$

Usando la relación de conmutación que tenemos, ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

Entonces, el estado Bosonic Fock se comporta de manera simétrica cuando lo opera el operador de Exchange.

• 
  función de Wigner de ${\displaystyle |0\rangle }$
• 
  función de Wigner de ${\displaystyle |1\rangle }$
• 
  función de Wigner de ${\displaystyle |2\rangle }$
• 
  función de Wigner de ${\displaystyle |3\rangle }$
• 
  función de Wigner de ${\displaystyle |4\rangle }$

Estado fermiónico de Fock

Operadores de creación y aniquilación de fermiones.

Para poder retener el comportamiento antisimétrico de los fermiones , para los estados fermiónicos de Fock introducimos operadores de creación y aniquilación de fermiones no hermitianos, ^[4] definidos para un estado fermiónico de Fock como: ^[4] ${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

• El operador de creación actúa como: ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• El operador de aniquilación actúa como: ${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

Estas dos acciones se realizan de forma antisimétrica, lo que discutiremos más adelante.

Identidades del operador

Las relaciones anticonmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema fermiónico son,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$ ^[4]

donde está el anticonmutador y es el delta de Kronecker . Estas relaciones de anticonmutación se pueden utilizar para mostrar el comportamiento antisimétrico de los estados fermiónicos de Fock . ${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Acción de los operadores numéricos.

Los operadores numéricos para fermiones vienen dados por . ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Número máximo de ocupación

La acción del operador numérico, así como de los operadores de creación y aniquilación, puede parecer la misma que la de los bosónicos, pero el verdadero giro proviene del número máximo de ocupación de cada estado en el estado fermiónico de Fock. Ampliando el ejemplo fermiónico de 2 partículas anterior, primero debemos convencernos de que se obtiene un estado fermiónico de Fock aplicando una cierta suma de operadores de permutación al producto tensorial de los eigenkets de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^{[7] : 16}

Este determinante se llama determinante de Slater . ^{[ cita necesaria ]} Si alguno de los estados de una sola partícula es igual, dos filas del determinante de Slater serían iguales y, por lo tanto, el determinante sería cero. Por tanto, dos fermiones idénticos no deben ocupar el mismo estado (una declaración del principio de exclusión de Pauli ). Por lo tanto, el número de ocupación de cualquier estado es 0 o 1. El valor propio asociado al estado fermiónico de Fock debe ser 0 o 1. ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$

N estados de base fermiónicos | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }

Acción sobre algunos estados Fock específicos

La operación de los operadores de creación y aniquilación en los estados Fermionic Fock.

• Para un estado de Fock fermiónico monomodo, expresado como , ${\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  y , como el número máximo de ocupación de cualquier estado es 1. No más de 1 fermión puede ocupar el mismo estado, como establece el principio de exclusión de Pauli . ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Para un estado de Fock fermiónico monomodo, expresado como , ${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  y , ya que el número de partículas no puede ser menor que cero. ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Para un estado de Fock fermiónico multimodo, expresado como, ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...,n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$,

  donde se llama cadena de Jordan-Wigner , que depende del orden de los estados de una sola partícula involucrados y de la suma de los números de ocupación de fermiones de todos los estados anteriores. ^{[5] : 88} ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Comportamiento antisimétrico del estado fermiónico de Fock.

El comportamiento antisimétrico de los estados fermiónicos bajo el operador de Exchange se encarga de las relaciones anticonmutación. Aquí, el intercambio de partículas entre dos estados se realiza aniquilando una partícula en un estado y creando otra en otro. Si comenzamos con un estado de Fock y queremos cambiar una partícula de un estado a otro , entonces operamos el estado de Fock de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{l}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$

Usando la relación de anticonmutación tenemos

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

pero,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, los estados fermiónicos de Fock son antisimétricos cuando los operan operadores de intercambio de partículas.

Los estados fock no son estados propios de energía en general

En la segunda teoría de cuantificación, la función de densidad hamiltoniana viene dada por

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[3] : 189}

El hamiltoniano total está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

En la teoría libre de Schrödinger, ^{[3] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

y

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

y

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

¿Dónde está el operador de aniquilación? ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Sólo para partículas que no interactúan lo hacen y conmutan; en general no se desplazan. Para partículas que no interactúan, ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Si no conmutan, el hamiltoniano no tendrá la expresión anterior. Por tanto, en general, los estados de Fock no son estados propios de energía de un sistema.

Fluctuaciones del vacío

El estado de vacío o es el estado de menor energía y los valores esperados de y desaparecen en este estado: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Los campos eléctrico y magnético y el potencial vectorial tienen la expansión modal de la misma forma general:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h.c.}$

Por lo tanto, es fácil ver que los valores esperados de estos operadores de campo desaparecen en el estado de vacío:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Sin embargo, se puede demostrar que los valores esperados del cuadrado de estos operadores de campo no son cero. Por tanto, hay fluctuaciones en el campo alrededor del promedio del conjunto cero. Estas fluctuaciones del vacío son responsables de muchos fenómenos interesantes, incluido el cambio de Lamb en la óptica cuántica.

Estados Fock multimodo

En un campo multimodo, cada operador de creación y aniquilación opera en su propio modo. Entonces y funcionará solo en . Dado que los operadores correspondientes a diferentes modos operan en diferentes subespacios del espacio de Hilbert, todo el campo es un producto directo de todos los modos: ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$ ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Los operadores de creación y aniquilación operan en el estado multimodo aumentando o disminuyendo únicamente el estado numérico de su propio modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

También definimos el operador de número total para el campo, que es una suma de operadores de número de cada modo:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

El estado de Fock multimodo es un vector propio del operador de número total cuyo valor propio es el número de ocupación total de todos los modos.

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

En el caso de partículas que no interactúan, el operador numérico y el hamiltoniano conmutan entre sí y, por lo tanto, los estados de Fock multimodo se convierten en estados propios del hamiltoniano multimodo.

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Fuente del estado de fotón único

Los fotones individuales se generan habitualmente utilizando emisores únicos (átomos, iones, moléculas, centro de nitrógeno vacante , ^[8] punto cuántico ^[9] ). Sin embargo, estas fuentes no siempre son muy eficientes y a menudo presentan una baja probabilidad de obtener un solo fotón según la demanda; y a menudo complejos e inadecuados fuera del entorno de un laboratorio.

Comúnmente se utilizan otras fuentes que superan estos problemas a expensas de un comportamiento no determinista. Las fuentes anunciadas de un solo fotón son fuentes probabilísticas de dos fotones de las cuales se divide el par y la detección de un fotón presagia la presencia del restante. Estas fuentes generalmente dependen de la no linealidad óptica de algunos materiales como el niobato de litio periódicamente polarizado ( conversión descendente paramétrica espontánea ) o el silicio ( mezcla espontánea de cuatro ondas ), por ejemplo.

Comportamiento no clásico

La representación P de Glauber-Sudarshan de los estados de Fock muestra que estos estados son puramente mecánicos cuánticos y no tienen una contraparte clásica. La ^{[ aclaración necesaria ]} de estos estados en la representación es una 'ésima derivada de la función delta de Dirac y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad clásica. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$ ${\displaystyle 2n}$

Ver también

• Estados coherentes
• límite de heisenberg
• Luz no clásica

Referencias

1. Friedrichs, KO (1953). Aspectos matemáticos de la Teoría Cuántica de Campos . Editores intercientíficos. ASIN  B0006ATGK4.
2. Mandel, Lobo (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521417112.
3. Gross, Franz (1999). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos . Wiley-VCH. ISBN 0471353868.
4. "Notas de la conferencia sobre mecánica cuántica 1 sobre partículas idénticas, TIFR, Mumbai" (PDF) .
5. Altland, Alejandro; Simons, Ben (2006). Teoría del campo de la materia condensada. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521769752.
6. Bruus, Flensberg (2003). Teoría cuántica de muchos cuerpos en física de la materia condensada: una introducción . OUP Oxford. ISBN 0198566336.
7. Schwabl, Hilton, Lahee (2008). Mecánica Cuántica Avanzada . Saltador. ISBN 978-3540850618.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. C. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, Patrick y H. Weinfurter, (2000), "Fuente de estado sólido estable de fotones individuales", Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103/PhysRevLett.85.290
9. C. Santori, M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale e Y. Yamamoto (2001), "Fotones individuales activados desde un punto cuántico", Phys. Rev. Lett. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103/PhysRevLett.86.1502

enlaces externos

• Vladan Vuletic del MIT ha utilizado un conjunto de átomos para producir una fuente de estado de Fock (también conocido como fotón único) (PDF)
• Produzca y mida el estado de un solo fotón (estado de Fock) con un experimento interactivo QuantumLab