Teoría de campos hamiltoniana

Formalismo en la teoría clásica de campos basada en la mecánica hamiltoniana

En física teórica , la teoría de campos hamiltoniana es el análogo teórico de la mecánica hamiltoniana clásica . Es un formalismo de la teoría de campos clásica junto con la teoría de campos lagrangiana . También tiene aplicaciones en la teoría cuántica de campos .

Definición

El hamiltoniano para un sistema de partículas discretas es una función de sus coordenadas generalizadas y momentos conjugados, y posiblemente, del tiempo. Para los continuos y los campos, la mecánica hamiltoniana no es adecuada, pero se puede ampliar considerando un gran número de masas puntuales y tomando el límite continuo, es decir, infinitas partículas que forman un continuo o campo. Dado que cada masa puntual tiene uno o más grados de libertad , la formulación del campo tiene infinitos grados de libertad.

Un campo escalar

La densidad hamiltoniana es el análogo continuo de los campos; es una función de los campos, de los campos de "momento" conjugados y posiblemente de las coordenadas espaciales y temporales en sí mismas. Para un campo escalar φ ( x , t ) , la densidad hamiltoniana se define a partir de la densidad lagrangiana por ^{[nb 1]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.}$

con ∇ el operador "del" o "nabla" , x es el vector de posición de algún punto en el espacio, y t es el tiempo . La densidad lagrangiana es una función de los campos en el sistema, sus derivadas espaciales y temporales, y posiblemente las coordenadas espaciales y temporales mismas. Es el campo análogo a la función lagrangiana para un sistema de partículas discretas descrito por coordenadas generalizadas.

Al igual que en la mecánica hamiltoniana, donde cada coordenada generalizada tiene un momento generalizado correspondiente, el campo φ ( x , t ) tiene un campo de momento conjugado π ( x , t ) , definido como la derivada parcial de la densidad lagrangiana con respecto a la derivada temporal del campo,

${\displaystyle \pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,}$

en el que el punto sobre ^{[nb 2]} denota una derivada temporal parcial ∂/∂ t , no una derivada temporal total d / dt .

Muchos campos escalares

Para muchos campos φ _i ( x , t ) y sus conjugados π _i ( x , t ) la densidad hamiltoniana es una función de todos ellos:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.}$

donde cada campo conjugado se define con respecto a su campo,

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.}$

En general, para cualquier número de campos, la integral de volumen de la densidad hamiltoniana da el hamiltoniano, en tres dimensiones espaciales:

${\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.}$

La densidad hamiltoniana es el hamiltoniano por unidad de volumen espacial. La dimensión correspondiente es [energía][longitud] ⁻³ , en unidades del SI julios por metro cúbico, J m ⁻³ .

Campos tensoriales y espinorales

Las ecuaciones y definiciones anteriores se pueden extender a los campos vectoriales y, de manera más general, a los campos tensoriales y espinoriales . En física, los campos tensoriales describen bosones y los campos espinoriales describen fermiones .

Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento de los campos son similares a las ecuaciones hamiltonianas para partículas discretas. Para cualquier número de campos:

Ecuaciones de campo hamiltonianas

${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$

donde nuevamente los puntos sobrepuestos son derivadas temporales parciales, la derivada variacional con respecto a los campos

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,}$

con · el producto escalar , debe utilizarse en lugar de simplemente derivadas parciales .

Espacio de fases

Los campos φ _i y conjugados π _i forman un espacio de fases de dimensión infinita , porque los campos tienen un número infinito de grados de libertad.

Soporte de Poisson

Para dos funciones que dependen de los campos φ _i y π _i , sus derivadas espaciales y las coordenadas espaciales y temporales,

${\displaystyle A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

${\displaystyle B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

y los campos son cero en el límite del volumen, se toman las integrales, el corchete de Poisson teórico del campo se define como (no debe confundirse con el conmutador de la mecánica cuántica). ^[1]

${\displaystyle [A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,}$

¿Dónde está la derivada variacional? ${\displaystyle \delta {\mathcal {F}}/\delta f}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.}$

En las mismas condiciones de desaparición de campos en la superficie, el siguiente resultado se cumple para la evolución temporal de A (de manera similar para B ):

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

que se puede encontrar a partir de la derivada temporal total de A , integración por partes y utilizando el corchete de Poisson anterior.

Independencia temporal explícita

Los siguientes resultados son verdaderos si las densidades lagrangianas y hamiltonianas son explícitamente independientes del tiempo (aún pueden tener una dependencia implícita del tiempo a través de los campos y sus derivadas),

Densidades de energía cinética y potencial

La densidad hamiltoniana es la densidad de energía total, la suma de la densidad de energía cinética ( ) y la densidad de energía potencial ( ), ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.}$

Ecuación de continuidad

Tomando la derivada temporal parcial de la definición de la densidad hamiltoniana anterior, y utilizando la regla de la cadena para la diferenciación implícita y la definición del campo de momento conjugado, se obtiene la ecuación de continuidad :

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0}$

en la que la densidad hamiltoniana puede interpretarse como la densidad de energía, y

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

el flujo de energía, o flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de superficie.

Teoría relativista de campos

La teoría de campos hamiltoniana covariante es la formulación relativista de la teoría de campos hamiltoniana.

La teoría de campos hamiltoniana usualmente significa el formalismo hamiltoniano simpléctico cuando se aplica a la teoría de campos clásica , que toma la forma del formalismo hamiltoniano instantáneo en un espacio de fase de dimensión infinita , y donde las coordenadas canónicas son funciones de campo en algún instante de tiempo. ^[2] Este formalismo hamiltoniano se aplica a la cuantificación de campos , por ejemplo, en la teoría de calibre cuántico . En la teoría de campos hamiltoniana covariante, los momentos canónicos p ^μ _i corresponden a las derivadas de los campos con respecto a todas las coordenadas del mundo x ^μ . ^[3] Las ecuaciones de Hamilton covariantes son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange en el caso de lagrangianos hiperregulares . La teoría de campos hamiltoniana covariante se desarrolla en las variantes Hamilton-De Donder, ^[4] polisimpléctica, ^[5] multisimpléctica ^[6] y k -simpléctica ^{[7] . Un espacio de fase de la teoría de campos hamiltoniana covariante es una variedad} polisimpléctica o multisimpléctica de dimensión finita .

La mecánica no autónoma hamiltoniana se formula como teoría de campos hamiltonianos covariantes sobre haces de fibras a lo largo del eje del tiempo, es decir, la línea real . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• Mecánica analítica
• Teoría de De Donder-Weyl
• Cuatro vectores
• Cuantización canónica
• Mecánica de fluidos hamiltoniana
• Teoría clásica de campos covariantes
• Variedad polisimpléctica
• Mecánica no autónoma

Notas

1. Es un abuso estándar de notación abreviar todas las derivadas y coordenadas en la densidad lagrangiana de la siguiente manera:

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })}$

   El μ es un índice que toma los valores 0 (para la coordenada temporal) y 1, 2, 3 (para las coordenadas espaciales), por lo que estrictamente solo estaría presente una derivada o coordenada. En general, todas las derivadas espaciales y temporales aparecerán en la densidad lagrangiana; por ejemplo, en coordenadas cartesianas, la densidad lagrangiana tiene la forma completa:

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$

   Aquí escribimos lo mismo, pero usando ∇ para abreviar todas las derivadas espaciales como un vector.
2. Esta es la notación estándar en este contexto; la mayor parte de la literatura no menciona explícitamente que se trata de una derivada parcial. En general, las derivadas totales y parciales de una función no son lo mismo.

Citas

1. Greiner y Reinhardt 1996, Capítulo 2
2. Gotay, M., Un marco multisimpléctico para la teoría clásica de campos y el cálculo de variaciones. II. Descomposición espacio + tiempo, en "Mecánica, análisis y geometría: 200 años después de Lagrange" (North Holland, 1991).
3. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , "Teoría de campos clásica avanzada", World Scientific, 2009, ISBN  978-981-283-895-7 .
4. Krupkova, O., Teoría de campos hamiltoniana, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
5. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Ecuaciones hamiltonianas covariantes para la teoría de campos, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv :hep-th/9904062.
6. Echeverría-Enríquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometría de teorías de campos hamiltonianos multisimplécticas de primer orden, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
7. Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., El formalismo de Gunther ( formalismo k -simpléctico) en la teoría clásica de campos: enfoque de Skinner-Rusk y el operador de evolución, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Referencias

• Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Formulación variacional de la dinámica de fluidos y de fluidos geofísicos - Mecánica, simetrías y leyes de conservación - . Springer. p. 218. Bibcode :2018vffg.book.....B. doi :10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.S2CID125902566  .​
• Goldstein, Herbert (1980). "Capítulo 12: Sistemas y campos continuos". Mecánica clásica (2.ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. págs. 562–565. ISBN 0201029189.
• Greiner, W. ; Reinhardt, J. (1996), Cuantización de campo , Springer, ISBN 3-540-59179-6
• Fetter, AL; Walecka, JD (1980). Mecánica teórica de partículas y continuos . Dover. págs. 258-259. ISBN. 978-0-486-43261-8.