Representación P de Glauber–Sudarshan

La representación P de Glauber–Sudarshan es una forma sugerida de escribir la distribución del espacio de fases de un sistema cuántico en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica. La representación P es la distribución de cuasiprobabilidad en la que los observables se expresan en orden normal . En óptica cuántica , esta representación, formalmente equivalente a varias otras representaciones, ^{[1] [2] [3]} a veces se prefiere sobre tales representaciones alternativas para describir la luz en el espacio de fases óptico , porque los observables ópticos típicos, como el operador de número de partículas , se expresan naturalmente en orden normal. Lleva el nombre de George Sudarshan ^[4] y Roy J. Glauber ^[5] , quienes trabajaron en el tema en 1963. ^[6] A pesar de muchas aplicaciones útiles en la teoría láser y la teoría de la coherencia, la representación P de Sudarshan–Glauber tiene la peculiaridad de que no siempre es positiva y no es una función de probabilidad auténtica.

Definición

Deseamos construir una función con la propiedad de que la matriz de densidad sea diagonal en base a estados coherentes , es decir, ${\displaystyle P(\alpha )}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \{|\alpha \rangle \}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\alpha )|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\qquad d^{2}\alpha \equiv d\,{\rm {Re}}(\alpha )\,d\,{\rm {Im}}(\alpha ).}$

También deseamos construir la función de modo que el valor esperado de un operador de orden normal satisfaga el teorema de equivalencia óptica . Esto implica que la matriz de densidad debe estar en orden antinormal para que podamos expresarla como una serie de potencias.

${\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}=\sum _{j,k}c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}{\hat {a}}^{\dagger k}.}$

Insertar la resolución de la identidad

${\displaystyle {\hat {I}}={\frac {1}{\pi }}\int |{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,}$

vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{A}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|{\hat {a}}^{\dagger k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\alpha ^{*k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \sum _{j,k}c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}\alpha ^{*k}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*})|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\end{aligned}}}$

y así asignamos formalmente

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*}).}$

Para cualquier cálculo práctico se necesitan fórmulas integrales más útiles para P. ^{Un método [7]} consiste en definir la función característica

${\displaystyle \chi _{N}(\beta )=\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot e^{i\beta \cdot {\hat {a}}^{\dagger }}e^{i\beta ^{*}\cdot {\hat {a}}})}$

y luego tomamos la transformada de Fourier

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \chi _{N}(\beta )e^{-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}$

Otra fórmula integral útil para P es ^[8]

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\pi ^{2}}}\int \langle -\beta |{\hat {\rho }}|\beta \rangle e^{|\beta |^{2}-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}$

Nótese que ambas fórmulas integrales no convergen en ningún sentido habitual para sistemas "típicos". También podemos utilizar los elementos de la matriz de en la base de Fock . La siguiente fórmula muestra que siempre es posible ^[4] escribir la matriz de densidad en esta forma diagonal sin recurrir a ordenamientos de operadores utilizando la inversión (dada aquí para un solo modo), ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$

${\displaystyle P(\alpha )=\sum _{n}\sum _{k}\langle n|{\hat {\rho }}|k\rangle {\frac {\sqrt {n!k!}}{2\pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(n-k)\theta }\left[\left(-{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{n+k}\delta (r)\right],}$

donde r y θ son la amplitud y la fase de α . Aunque esta es una solución formal completa de esta posibilidad, requiere infinitas derivadas de funciones delta de Dirac , mucho más allá del alcance de cualquier teoría de distribución templada ordinaria .

Discusión

Si el sistema cuántico tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado coherente o radiación térmica , entonces P es no negativo en todas partes como una distribución de probabilidad ordinaria. Sin embargo, si el sistema cuántico no tiene análogo clásico, por ejemplo, un estado de Fock incoherente o un sistema entrelazado , entonces P es negativo en alguna parte o más singular que una función delta de Dirac. (Por un teorema de Schwartz , las distribuciones que son más singulares que la función delta de Dirac siempre son negativas en alguna parte). Tal " probabilidad negativa " o alto grado de singularidad es una característica inherente a la representación y no disminuye la significatividad de los valores esperados tomados con respecto a P. Sin embargo, incluso si P se comporta como una distribución de probabilidad ordinaria, el asunto no es tan simple. Según Mandel y Wolf: "Los diferentes estados coherentes no son [mutuamente] ortogonales, de modo que incluso si se comportaran como una verdadera [función] de densidad de probabilidad, no describirían probabilidades de estados mutuamente excluyentes". ^[9] ${\displaystyle P(\alpha )}$

Ejemplos

Fock afirma

Los estados de Fock, para el entero , corresponden a una distribución P altamente singular , que puede escribirse como ^[10] Si bien no es una función, esta expresión corresponde a una distribución templada . En particular, para el estado de vacío , la distribución P es una función delta de Dirac en el origen, ya que . De manera similar, el estado de Fock da También podemos verificar fácilmente que la expresión anterior para funciona de manera más general observando que junto con la identidad El mismo razonamiento se puede utilizar para mostrar de manera más general que la función P de los operadores está dada por ${\displaystyle |\psi \rangle =|n\rangle }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle P_{n}(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle P_{0}(\alpha ,\alpha ^{*})=e^{|\alpha |^{2}}\delta ^{2}(\alpha )=\delta ^{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ $${\displaystyle P_{1}(\alpha ,\alpha ^{*})=e^{|\alpha |^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}\delta ^{2}(\alpha )=\delta ^{2}(\alpha )+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$$ ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)|\alpha \rangle \!\langle \alpha |=\sum _{j,k=0}^{\infty }{\frac {|j\rangle \!\langle k|}{n!{\sqrt {j!k!}}}}\int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)\alpha ^{j}\alpha ^{*k},}$$ $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)\alpha ^{j}\alpha ^{*k}=\left.{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}(\alpha ^{j}\alpha ^{*k})\right\vert _{\alpha =0}=n!^{2}\delta _{j,n}\delta _{k,n}.}$$ ${\displaystyle |n\rangle \!\langle m|}$ $${\displaystyle P_{n,m}(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\sqrt {n!m!}}}{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*m}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$$

Otra expresión formal concisa para la función P de los estados de Fock utilizando los polinomios de Laguerre es ^[3] $${\displaystyle P_{n}(\alpha ,\alpha ^{*})=L_{n}(-{\frac {1}{4}}\partial _{\alpha }\partial _{\alpha ^{*}})\delta ^{2}(\alpha ).}$$

Radiación térmica

A partir de argumentos de mecánica estadística en la base de Fock, se sabe que el número medio de fotones de un modo con vector de onda k y estado de polarización s para un cuerpo negro a temperatura T es

${\displaystyle \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle ={\frac {1}{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}.}$

La representación P del cuerpo negro es

${\displaystyle P(\{\alpha _{\mathbf {k} ,s}\})=\prod _{\mathbf {k} ,s}{\frac {1}{\pi \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }}e^{-|\alpha |^{2}/\langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }.}$

En otras palabras, cada modo del cuerpo negro se distribuye normalmente en la base de estados coherentes. Como P es positivo y acotado, este sistema es esencialmente clásico. En realidad, este es un resultado bastante notable porque, para el equilibrio térmico, la matriz de densidad también es diagonal en la base de Fock, pero los estados de Fock no son clásicos.

Ejemplo muy singular

Incluso estados de apariencia muy simple pueden exhibir un comportamiento altamente no clásico. Consideremos una superposición de dos estados coherentes

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{0}|\alpha _{0}\rangle +c_{1}|\alpha _{1}\rangle }$

donde c ₀ , c ₁ son constantes sujetas a la restricción de normalización

${\displaystyle 1=|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).}$

Tenga en cuenta que esto es bastante diferente de un qubit porque y no son ortogonales. Como es sencillo calcular , podemos usar la fórmula de Mehta anterior para calcular P , ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha _{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle -\alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =\langle -\alpha |\psi \rangle \langle \psi |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\alpha )={}&|c_{0}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0})+|c_{1}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{1}^{*}-\alpha _{0}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{0}-\alpha _{1})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}c_{1}^{*}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{1}-\alpha _{0})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1}).\end{aligned}}}$

A pesar de tener infinitas derivadas de funciones delta, P sigue obedeciendo al teorema de equivalencia óptica. Si el valor esperado del operador numérico, por ejemplo, se toma con respecto al vector de estado o como un promedio del espacio de fase con respecto a P , los dos valores esperados coinciden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {n}}|\psi \rangle &=\int P(\alpha )|\alpha |^{2}\,d^{2}\alpha \\&=|c_{0}\alpha _{0}|^{2}+|c_{1}\alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).\end{aligned}}}$

Véase también

• Distribución de cuasiprobabilidad § Funciones características
• Luz no clásica
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner
• Representación de Husimi Q
• Controversias sobre el Premio Nobel

Referencias

1. L. Cohen (1966). "Funciones de distribución generalizadas en el espacio de fases". J. Math. Phys . 7 (5): 781–786. Bibcode :1966JMP.....7..781C. doi :10.1063/1.1931206.
2. L. Cohen (1976). "Problema de cuantificación y principio variacional en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica". J. Math. Phys . 17 (10): 1863–1866. Bibcode :1976JMP....17.1863C. doi :10.1063/1.522807.
3. Schleich, Wolfgang P. (9 de febrero de 2001). Óptica cuántica en el espacio de fases (1 ed.). Wiley. doi :10.1002/3527602976. ISBN 978-3-527-29435-0.
4. ECG Sudarshan (1963). "Equivalencia de descripciones semiclásicas y mecánico-cuánticas de haces de luz estadísticos". Phys. Rev. Lett . 10 (7): 277–279. Bibcode :1963PhRvL..10..277S. doi :10.1103/PhysRevLett.10.277.
5. RJ Glauber (1963). "Estados coherentes e incoherentes del campo de radiación". Phys. Rev. 131 ( 6): 2766–2788. Código Bibliográfico :1963PhRv..131.2766G. doi :10.1103/PhysRev.131.2766.
6. Fue objeto de controversia cuando Glauber recibió una parte del Premio Nobel de Física de 2005 por su trabajo en este campo y no se reconoció la contribución de George Sudarshan , cf. Zhou, Lulu (2005-12-06). "Los científicos cuestionan el Nobel". The Harvard Crimson . Consultado el 28 de abril de 2016 .El artículo de Sudarshan fue recibido en Physical Review Letters el 1 de marzo de 1963 y publicado el 1 de abril de 1963, mientras que el artículo de Glauber fue recibido en Physical Review el 29 de abril de 1963 y publicado el 15 de septiembre de 1963.
7. CL Mehta; ECG Sudarshan (1965). "Relación entre la descripción cuántica y semiclásica de la coherencia óptica". Phys. Rev . 138 (1B): B274–B280. Código Bibliográfico :1965PhRv..138..274M. doi :10.1103/PhysRev.138.B274.
8. CL Mehta (1967). "Representación de operadores cuánticos en estado coherente diagonal". Phys. Rev. Lett . 18 (18): 752–754. Código Bibliográfico :1967PhRvL..18..752M. doi :10.1103/PhysRevLett.18.752.
9. Mandel y Wolf 1995, pág. 541
10. Gerry, Christopher; Knight, Peter (2004). Introducción a la óptica cuántica. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511791239. ISBN 978-0-521-52735-4.

Bibliografía

Mandel, L. ; Wolf, E. (1995), Coherencia óptica y óptica cuántica , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2