Principio de incertidumbre

Principio fundamental de la física cuántica

Regla de conmutación canónica para las variables posición q y momento p de una partícula, 1927. pq − qp = h /(2 πi ). Principio de incertidumbre de Heisenberg, 1927.

El principio de incertidumbre , también conocido como principio de indeterminación de Heisenberg , es un concepto fundamental de la mecánica cuántica . Afirma que existe un límite a la precisión con la que se pueden conocer simultáneamente ciertos pares de propiedades físicas, como la posición y el momento . En otras palabras, cuanto más exactamente se mide una propiedad, con menos precisión se puede conocer la otra.

Más formalmente, el principio de incertidumbre es cualquiera de una variedad de desigualdades matemáticas que afirman un límite fundamental al producto de la precisión de ciertos pares de mediciones relacionadas en un sistema cuántico, como la posición , x , y el momento, p . ^[1] Estas variables pareadas se conocen como variables complementarias o variables conjugadas canónicamente .

Introducida por primera vez en 1927 por el físico alemán Werner Heisenberg , ^{[2] [3] [4] [5]} la desigualdad formal que relaciona la desviación estándar de la posición σ _x y la desviación estándar del momento σ _p fue derivada por Earle Hesse Kennard ^[6] más tarde ese año y por Hermann Weyl ^[7] en 1928:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

¿Dónde está la constante de Planck reducida ? ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

El principio de incertidumbre, por excelencia de la mecánica cuántica, se presenta en muchas formas distintas a la posición-momento. La relación energía-tiempo se utiliza ampliamente para relacionar la duración de un estado cuántico con los anchos de energía medidos, pero su derivación formal está plagada de cuestiones confusas sobre la naturaleza del tiempo. El principio básico se ha extendido en numerosas direcciones; debe tenerse en cuenta en muchos tipos de mediciones físicas fundamentales.

Posición-momento

La superposición de varias ondas planas para formar un paquete de ondas. Este paquete de ondas se vuelve cada vez más localizado con la adición de muchas ondas. La transformada de Fourier es una operación matemática que separa un paquete de ondas en sus ondas planas individuales. Las ondas que se muestran aquí son reales solo con fines ilustrativos; en mecánica cuántica, la función de onda es generalmente compleja .

Es vital ilustrar cómo se aplica el principio a situaciones físicas relativamente inteligibles, ya que es indiscernible en las escalas macroscópicas ^{[8] que experimentan los humanos. Dos marcos alternativos para la física cuántica ofrecen explicaciones diferentes para el principio de incertidumbre. La imagen de} la mecánica ondulatoria del principio de incertidumbre es más intuitiva visualmente, pero la imagen más abstracta de la mecánica matricial lo formula de una manera que se generaliza más fácilmente.

Matemáticamente, en mecánica ondulatoria, la relación de incertidumbre entre posición y momento surge porque las expresiones de la función de onda en las dos bases ortonormales correspondientes en el espacio de Hilbert son transformadas de Fourier entre sí (es decir, la posición y el momento son variables conjugadas ). Una función distinta de cero y su transformada de Fourier no pueden estar localizadas nítidamente al mismo tiempo. ^[9] Una compensación similar entre las varianzas de los conjugados de Fourier surge en todos los sistemas subyacentes al análisis de Fourier, por ejemplo en las ondas sonoras: un tono puro es un pico agudo en una sola frecuencia, mientras que su transformada de Fourier da la forma de la onda sonora en el dominio del tiempo, que es una onda sinusoidal completamente deslocalizada. En mecánica cuántica, los dos puntos clave son que la posición de la partícula toma la forma de una onda de materia, y el momento es su conjugado de Fourier, asegurado por la relación de De Broglie p = ħk , donde k es el número de onda .

En mecánica matricial , la formulación matemática de la mecánica cuántica , cualquier par de operadores autoadjuntos no conmutativos que representan observables están sujetos a límites de incertidumbre similares. Un estado propio de un observable representa el estado de la función de onda para un cierto valor de medición (el valor propio). Por ejemplo, si se realiza una medición de un observable A , entonces el sistema está en un estado propio particular Ψ de ese observable. Sin embargo, el estado propio particular del observable A no necesita ser un estado propio de otro observable B : si es así, entonces no tiene una medición asociada única para él, ya que el sistema no está en un estado propio de ese observable. ^[10]

Visualización

El principio de incertidumbre se puede visualizar utilizando las funciones de onda del espacio de posición y momento para una partícula sin espín con masa en una dimensión.

Cuanto más localizada sea la función de onda del espacio de posición, más probable es que la partícula se encuentre con las coordenadas de posición en esa región y, correspondientemente, la función de onda del espacio de momento está menos localizada, por lo que los posibles componentes de momento que podría tener la partícula están más extendidos. Por el contrario, cuanto más localizada sea la función de onda del espacio de momento, más probable es que la partícula se encuentre con esos valores de componentes de momento en esa región y, correspondientemente, cuanto menos localizada sea la función de onda del espacio de posición, por lo que las coordenadas de posición que podría ocupar la partícula están más extendidas. Estas funciones de onda son transformadas de Fourier entre sí: matemáticamente, el principio de incertidumbre expresa la relación entre las variables conjugadas en la transformada.

Funciones de onda de posición x y momento p correspondientes a partículas cuánticas. La opacidad del color de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad de encontrar la partícula con posición x o componente de momento p .
Arriba: Si se desconoce la longitud de onda λ , también se desconocen el momento p , el vector de onda k y la energía E (relaciones de De Broglie). Como la partícula está más localizada en el espacio de posición, Δ x es menor que para Δ p _x .
Abajo: Si se conoce λ , también se conocen p , k y E . Como la partícula está más localizada en el espacio de momento, Δ p es menor que para Δ x .

Interpretación de la mecánica ondulatoria

Propagación de las ondas de De Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto dado x se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura invierte el signo, por lo que la amplitud comienza a disminuir nuevamente, y viceversa: el resultado es una amplitud alterna: una onda.

Según la hipótesis de De Broglie , cada objeto del universo está asociado a una onda . Por lo tanto, todos los objetos, desde una partícula elemental hasta los átomos, las moléculas, los planetas y más allá, están sujetos al principio de incertidumbre.

La función de onda independiente del tiempo de una onda plana monomodo de número de onda k ₀ o momento p ₀ es ^[11] $${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

La regla de Born establece que esto debe interpretarse como una función de amplitud de densidad de probabilidad en el sentido de que la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b es $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

En el caso de la onda plana monomodo, es 1 si es así y 0 en caso contrario. En otras palabras, la posición de la partícula es extremadamente incierta en el sentido de que podría estar prácticamente en cualquier parte a lo largo del paquete de ondas. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

Por otra parte, considere una función de onda que es una suma de muchas ondas , que podemos escribir como donde A _n representa la contribución relativa del modo p _n al total general. Las figuras a la derecha muestran cómo con la adición de muchas ondas planas, el paquete de ondas puede volverse más localizado. Podemos llevar esto un paso más allá hasta el límite continuo , donde la función de onda es una integral sobre todos los modos posibles con que representa la amplitud de estos modos y se llama función de onda en el espacio de momento . En términos matemáticos, decimos que es la transformada de Fourier de y que x y p son variables conjugadas . Sumar todas estas ondas planas tiene un costo, es decir, el momento se ha vuelto menos preciso, habiéndose convertido en una mezcla de ondas de muchos momentos diferentes. ^[12] $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Una forma de cuantificar la precisión de la posición y el momento es la desviación estándar  σ . Como es una función de densidad de probabilidad para la posición, calculamos su desviación estándar. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

La precisión de la posición se mejora, es decir, se reduce σ _x , al utilizar muchas ondas planas, lo que debilita la precisión del momento, es decir, aumenta σ _p . Otra forma de expresarlo es que σ _x y σ _p tienen una relación inversa o al menos están acotadas desde abajo. Este es el principio de incertidumbre, cuyo límite exacto es el límite de Kennard.

Demostración de la desigualdad de Kennard mediante la mecánica ondulatoria

Nos interesan las variaciones de posición y momento, definidas como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Sin pérdida de generalidad , supondremos que las medias se desvanecen, lo que simplemente equivale a un desplazamiento del origen de nuestras coordenadas. (A continuación se ofrece una prueba más general que no hace esta suposición). Esto nos da la forma más simple $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

La función puede interpretarse como un vector en un espacio funcional . Podemos definir un producto interno para un par de funciones u ( x ) y v ( x ) en este espacio vectorial: donde el asterisco denota el conjugado complejo . ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$ $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

Con este producto interno definido, observamos que la varianza para la posición se puede escribir como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Podemos repetir esto para el momento interpretando la función como un vector, pero también podemos aprovechar el hecho de que y son transformadas de Fourier entre sí. Evaluamos la transformada de Fourier inversa a través de la integración por partes : donde en la integración por partes, el término cancelado se desvanece porque la función de onda se desvanece en el infinito, y las dos integraciones finales reafirman las transformadas de Fourier. A menudo, el término se denomina operador de momento en el espacio de posición. Aplicando el teorema de Plancherel y luego el teorema de Parseval , vemos que la varianza para el momento se puede escribir como ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

El módulo al cuadrado de cualquier número complejo z se puede expresar como dejamos y y los sustituimos en la ecuación anterior para obtener $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$ $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Ahora sólo queda evaluar estos productos internos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

Conectando esto a las desigualdades anteriores, obtenemos o tomando la raíz cuadrada $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

con igualdad si y solo si p y x son linealmente dependientes. Nótese que la única física involucrada en esta prueba fue que y son funciones de onda para la posición y el momento, que son transformadas de Fourier entre sí. Un resultado similar se cumpliría para cualquier par de variables conjugadas. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

Interpretación de la mecánica matricial

En la mecánica matricial, los observables como la posición y el momento se representan mediante operadores autoadjuntos. ^[12] Al considerar pares de observables, una cantidad importante es el conmutador . Para un par de operadores  y , se define su conmutador como En el caso de la posición y el momento, el conmutador es la relación de conmutación canónica ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

El significado físico de la no conmutatividad se puede entender considerando el efecto del conmutador sobre los estados propios de posición y momento . Sea un estado propio derecho de posición con un valor propio constante x ₀ . Por definición, esto significa que Al aplicar el conmutador a se obtiene donde Î es el operador identidad . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

Supongamos, a los efectos de la prueba por contradicción , que también es un estado propio correcto del momento, con valor propio constante p ₀ . Si esto fuera cierto, entonces se podría escribir Por otro lado, la relación de conmutación canónica anterior requiere que Esto implica que ningún estado cuántico puede ser simultáneamente un estado propio de posición y de momento. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

Cuando se mide un estado, se proyecta sobre un estado propio en base al observable relevante. Por ejemplo, si se mide la posición de una partícula, entonces el estado equivale a un estado propio de posición. Esto significa que el estado no es un estado propio de momento, sino que puede representarse como una suma de múltiples estados propios de base de momento. En otras palabras, el momento debe ser menos preciso. Esta precisión puede cuantificarse mediante las desviaciones estándar, $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Al igual que en la interpretación de la mecánica ondulatoria anterior, se observa una compensación entre las respectivas precisiones de ambos, cuantificada por el principio de incertidumbre.

Estados estacionarios del oscilador armónico cuántico

Consideremos un oscilador armónico cuántico unidimensional. Es posible expresar los operadores de posición y momento en términos de los operadores de creación y aniquilación : $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Utilizando las reglas estándar para los operadores de creación y aniquilación en los estados propios de energía, las varianzas se pueden calcular directamente. El producto de estas desviaciones estándar es entonces $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$ $${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

En particular, el límite de Kennard anterior ^[6] está saturado para el estado fundamental n = 0 , para el cual la densidad de probabilidad es simplemente la distribución normal .

Osciladores armónicos cuánticos con condición inicial gaussiana

Densidades de probabilidad de posición (azul) y momento (rojo) para una distribución gaussiana inicial. De arriba a abajo, las animaciones muestran los casos Ω = ω , Ω = 2 ω y Ω = ω /2 . Nótese la compensación entre los anchos de las distribuciones.

En un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular característica ω , coloque un estado que esté desplazado del fondo del potencial por algún desplazamiento x ₀ como donde Ω describe el ancho del estado inicial pero no necesita ser el mismo que ω . A través de la integración sobre el propagador , podemos resolver la solución dependiente del tiempo completa. Después de muchas cancelaciones, las densidades de probabilidad se reducen a donde hemos usado la notación para denotar una distribución normal de media μ y varianza σ ² . Copiando las varianzas anteriores y aplicando identidades trigonométricas , podemos escribir el producto de las desviaciones estándar como $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$ $${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

De las relaciones podemos concluir lo siguiente (la igualdad más a la derecha se cumple sólo cuando Ω = ω ): $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Estados coherentes

Un estado coherente es un estado propio correcto del operador de aniquilación , que puede representarse en términos de estados de Fock como $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

En la imagen donde el estado coherente es una partícula masiva en un oscilador armónico cuántico, los operadores de posición y momento pueden expresarse en términos de los operadores de aniquilación en las mismas fórmulas anteriores y usarse para calcular las varianzas. Por lo tanto, cada estado coherente satura el límite de Kennard con la posición y el momento, cada uno de los cuales contribuye con una cantidad de manera "equilibrada". Además, cada estado coherente comprimido también satura el límite de Kennard, aunque las contribuciones individuales de la posición y el momento no necesitan estar equilibradas en general. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

Partícula en una caja

Consideremos una partícula en una caja unidimensional de longitud . Las funciones propias en el espacio de posición y momento son y donde y hemos utilizado la relación de De Broglie . Las varianzas de y se pueden calcular explícitamente: ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

El producto de las desviaciones típicas es, por tanto, Para todo , la cantidad es mayor que 1, por lo que nunca se viola el principio de incertidumbre. Para la concreción numérica, el valor más pequeño se da cuando , en cuyo caso $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Impulso constante

Densidad de probabilidad en el espacio de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre

Supongamos que una partícula tiene inicialmente una función de onda espacial de momento descrita por una distribución normal alrededor de un momento constante p ₀ según donde hemos introducido una escala de referencia , con que describe el ancho de la distribución (cf. no dimensionalización) . Si se permite que el estado evolucione en el espacio libre, entonces las funciones de onda espaciales de momento y posición dependientes del tiempo son $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$ $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Dado que y , esto puede interpretarse como una partícula que se mueve con un momento constante con una precisión arbitrariamente alta. Por otra parte, la desviación estándar de la posición es tal que el producto de incertidumbre solo puede aumentar con el tiempo como ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$ $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

Formalismo matemático

Partiendo de la derivación de Kennard de la incertidumbre de posición-momento, Howard Percy Robertson desarrolló ^{[13] [1]} una formulación para operadores hermíticos arbitrarios expresados ​​en términos de su desviación estándar , donde los corchetes indican un valor esperado del observable representado por el operador . Para un par de operadores y , defina su conmutador como ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ $${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

y la relación de incertidumbre de Robertson está dada por ^[14] $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.}$$

Erwin Schrödinger ^[15] mostró cómo permitir la correlación entre los operadores, dando una desigualdad más fuerte, conocida como la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger , ^{[16] [1]}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

donde se utiliza el anticonmutador . ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Prueba de la relación de incertidumbre de Schrödinger

La derivación que se muestra aquí incorpora y se basa en las que se muestran en Robertson, ^[13] Schrödinger ^[16] y libros de texto estándar como Griffiths. ^{[17] : 138} Para cualquier operador hermítico , basado en la definición de varianza , tenemos que y por lo tanto ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

De manera similar, para cualquier otro operador hermítico en el mismo estado para ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$ ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

El producto de las dos desviaciones puede entonces expresarse como

Para relacionar los dos vectores y , utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz ^[18] que se define como y por lo tanto la ecuación ( 1 ) se puede escribir como ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

Como es en general un número complejo, utilizamos el hecho de que el módulo al cuadrado de cualquier número complejo se define como , donde es el conjugado complejo de . El módulo al cuadrado también se puede expresar como ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

Dejamos y y sustituimos estos en la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

El producto interno se escribe explícitamente como y utilizando el hecho de que y son operadores hermíticos, encontramos ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

De manera similar se puede demostrar que ${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

Así pues, tenemos y $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

Ahora sustituimos las dos ecuaciones anteriores en la ecuación ( 4 ) y obtenemos $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación ( 2 ) obtenemos la relación de incertidumbre de Schrödinger $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

Esta prueba tiene un problema ^[19] relacionado con los dominios de los operadores involucrados. Para que la prueba tenga sentido, el vector tiene que estar en el dominio del operador ilimitado , lo que no siempre es el caso. De hecho, la relación de incertidumbre de Robertson es falsa si es una variable angular y es la derivada con respecto a esta variable. En este ejemplo, el conmutador es una constante distinta de cero, al igual que en la relación de incertidumbre de Heisenberg, y sin embargo hay estados donde el producto de las incertidumbres es cero. ^[20] (Véase la sección de contraejemplos a continuación). Este problema se puede superar utilizando un método variacional para la prueba, ^{[21] [22]} o trabajando con una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas. ^[20] ${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Obsérvese que en la forma general de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger no es necesario suponer que los operadores y son operadores autoadjuntos . Basta con suponer que son simplemente operadores simétricos . (La distinción entre estas dos nociones generalmente se pasa por alto en la literatura de física, donde se utiliza el término hermítico para una o ambas clases de operadores. Véase el Capítulo 9 del libro de Hall ^[23] para una discusión detallada de esta distinción importante pero técnica). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Espacio de fases

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la relación de Robertson-Schrödinger se deduce de una condición de positividad en una función estrella-cuadrada real. Dada una función de Wigner con producto estrella ★ y una función f , lo siguiente es generalmente cierto: ^[24] ${\displaystyle W(x,p)}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Eligiendo , llegamos a ${\displaystyle f=a+bx+cp}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Como esta condición de positividad es verdadera para todos a , b y c , se deduce que todos los valores propios de la matriz son no negativos.

Los valores propios no negativos implican entonces una condición de no negatividad correspondiente en el determinante o , explícitamente, después de una manipulación algebraica, $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Ejemplos

Dado que las relaciones de Robertson y Schrödinger se aplican a operadores generales, se pueden aplicar a dos observables cualesquiera para obtener relaciones de incertidumbre específicas. A continuación se indican algunas de las relaciones más comunes que se encuentran en la literatura.

• Relación de incertidumbre entre posición y momento lineal : para los operadores de posición y momento lineal, la relación de conmutación canónica implica la desigualdad de Kennard de arriba: ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Relación de incertidumbre del momento angular : Para dos componentes ortogonales del operador de momento angular total de un objeto: donde i , j , k son distintos, y J _i denota el momento angular a lo largo del eje x _i . Esta relación implica que a menos que los tres componentes se anulen juntos, solo un único componente del momento angular de un sistema puede definirse con precisión arbitraria, normalmente el componente paralelo a un campo externo (magnético o eléctrico). Además, para , una elección , , en multipletes de momento angular, ψ = | j , m ⟩, limita el invariante de Casimir (momento angular al cuadrado, ) desde abajo y, por lo tanto, produce restricciones útiles como j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , y, por lo tanto, j ≥ m , entre otras. $${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$ ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• Para el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de orden Ginzburg-Landau ^{[25] [26]} $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

Limitaciones

La derivación de la desigualdad de Robertson para los operadores y requiere que se definan y . Hay sistemas cuánticos donde estas condiciones no son válidas. ^[27] Un ejemplo es una partícula cuántica en un anillo , donde la función de onda depende de una variable angular en el intervalo . Defina los operadores de "posición" y "momento" y por y con condiciones de contorno periódicas en . La definición de depende del rango de 0 a . Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación habituales para los operadores de posición y momento, . Más precisamente, siempre que se definan y , y el espacio de tales es un subespacio denso del espacio cuántico de Hilbert. ^[28] ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Ahora sea cualquiera de los estados propios de , que están dados por . Estos estados son normalizables, a diferencia de los estados propios del operador de momento en la línea. Además, el operador está acotado, ya que varía en un intervalo acotado. Por lo tanto, en el estado , la incertidumbre de es cero y la incertidumbre de es finita, de modo que El principio de incertidumbre de Robertson no se aplica en este caso: no está en el dominio del operador , ya que la multiplicación por altera las condiciones de contorno periódicas impuestas a . ^[20] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para los operadores de posición y momento habituales y en la línea real, no pueden darse tales contraejemplos. Mientras y estén definidos en el estado , se cumple el principio de incertidumbre de Heisenberg, incluso si no está en el dominio de o de . ^[29] ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

Estados mixtos

La incertidumbre de Robertson-Schrödinger se puede mejorar notando que debe cumplirse para todos los componentes en cualquier descomposición de la matriz de densidad dada como Aquí, para las probabilidades y se cumplen. Luego, usando la relación para , se deduce que ^[30] donde la función en el límite está definida La relación anterior muy a menudo tiene un límite mayor que el de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger original. Por lo tanto, necesitamos calcular el límite de la incertidumbre de Robertson-Schrödinger para los componentes mixtos del estado cuántico en lugar de para el estado cuántico, y calcular un promedio de sus raíces cuadradas. La siguiente expresión es más fuerte que la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger donde en el lado derecho hay un techo cóncavo sobre las descomposiciones de la matriz de densidad. La relación mejorada anterior está saturada por todos los estados cuánticos de un solo cúbit. ^[30] ${\displaystyle \varrho _{k}}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$ $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

Con argumentos similares, se puede derivar una relación con un techo convexo en el lado derecho ^[30] donde denota la información cuántica de Fisher y la matriz de densidad se descompone en estados puros como La derivación aprovecha el hecho de que la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza multiplicada por cuatro. ^{[31] [32]} $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

Se sigue una desigualdad más simple sin techo convexo ^[33] que es más fuerte que la relación de incertidumbre de Heisenberg, ya que para la información cuántica de Fisher tenemos mientras que para los estados puros la igualdad se cumple. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$ $${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

Las relaciones de incertidumbre de Maccone-Pati

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede ser trivial si se elige que el estado del sistema sea el estado propio de uno de los observables. Las relaciones de incertidumbre más fuertes probadas por Lorenzo Maccone y Arun K. Pati dan límites no triviales a la suma de las varianzas para dos observables incompatibles. ^[34] (Trabajos anteriores sobre relaciones de incertidumbre formuladas como la suma de varianzas incluyen, por ejemplo, Ref. ^[35] debido a Yichen Huang). Para dos observables no conmutativos y la primera relación de incertidumbre más fuerte viene dada por donde , , es un vector normalizado que es ortogonal al estado del sistema y se debe elegir el signo de para hacer de esta cantidad real un número positivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$ ${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

La segunda relación de incertidumbre más fuerte viene dada por donde es un estado ortogonal a . La forma de implica que el lado derecho de la nueva relación de incertidumbre es distinto de cero a menos que sea un estado propio de . Se puede observar que puede ser un estado propio de sin ser un estado propio de ninguno de los dos o . Sin embargo, cuando es un estado propio de uno de los dos observables, la relación de incertidumbre de Heisenberg-Schrödinger se vuelve trivial. Pero el límite inferior en la nueva relación es distinto de cero a menos que sea un estado propio de ambos. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Energía-tiempo

Una relación de incertidumbre de energía-tiempo como tiene una historia larga y controvertida; el significado de y varía y diferentes formulaciones tienen diferentes áreas de validez. ^[36] Sin embargo, una aplicación bien conocida está bien establecida ^{[37] [38]} y verificada experimentalmente: ^{[39] [40]} la conexión entre la vida útil de un estado de resonancia y su ancho de energía : En física de partículas, los anchos de los ajustes experimentales a la distribución de energía de Breit-Wigner se utilizan para caracterizar la vida útil de estados cuasi-estables o en descomposición. ^[41] $${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$ $${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

Un significado informal y heurístico del principio es el siguiente: ^[42] Un estado que solo existe por un corto tiempo no puede tener una energía definida. Para tener una energía definida, la frecuencia del estado debe definirse con precisión, y esto requiere que el estado se mantenga durante muchos ciclos, el recíproco de la precisión requerida. Por ejemplo, en espectroscopia , los estados excitados tienen una vida útil finita. Por el principio de incertidumbre tiempo-energía, no tienen una energía definida y, cada vez que se desintegran, la energía que liberan es ligeramente diferente. La energía promedio del fotón saliente tiene un pico en la energía teórica del estado, pero la distribución tiene un ancho finito llamado ancho de línea natural . Los estados de desintegración rápida tienen un ancho de línea amplio, mientras que los estados de desintegración lenta tienen un ancho de línea estrecho. ^[43] El mismo efecto del ancho de línea también dificulta especificar la masa en reposo de partículas inestables de desintegración rápida en física de partículas . Cuanto más rápido se desintegra la partícula (cuanto más corta es su vida), menos segura es su masa (cuanto mayor es el ancho de la partícula ).

El tiempo en la mecánica cuántica

El concepto de "tiempo" en mecánica cuántica presenta muchos desafíos. ^[44] No existe una teoría cuántica de medición del tiempo; la relatividad es fundamental para el tiempo y difícil de incluir en la mecánica cuántica. ^[36] Mientras que la posición y el momento están asociados con una sola partícula, el tiempo es una propiedad del sistema: no tiene ningún operador necesario para la relación de Robertson-Schrödinger. ^[1] El tratamiento matemático de los sistemas cuánticos estables e inestables difiere. ^[45] Estos factores se combinan para hacer que los principios de incertidumbre energía-tiempo sean controvertidos.

Se pueden distinguir tres nociones de "tiempo": ^[36] externo, intrínseco y observable. El tiempo externo o de laboratorio es el que ve el experimentador; el tiempo intrínseco se infiere a partir de cambios en variables dinámicas, como las manecillas de un reloj o el movimiento de una partícula libre; el tiempo observable se refiere al tiempo como algo observable, la medición de eventos separados en el tiempo.

Un principio de incertidumbre de energía-tiempo externo podría decir que medir la energía de un sistema cuántico con una precisión requiere un intervalo de tiempo . ^[38] Sin embargo, Yakir Aharonov y David Bohm ^{[46] [36]} han demostrado que, en algunos sistemas cuánticos, la energía se puede medir con precisión dentro de un tiempo arbitrariamente corto: los principios de incertidumbre de tiempo externo no son universales. ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

El tiempo intrínseco es la base de varias formulaciones de relaciones de incertidumbre energía-tiempo, incluida la relación de Mandelstam-Tamm que se analiza en la siguiente sección. Un sistema físico con un tiempo intrínseco que coincide estrechamente con el tiempo externo del laboratorio se denomina "reloj". ^{[44] : 31}

El tiempo observable, que mide el tiempo entre dos eventos, sigue siendo un desafío para las teorías cuánticas; se han logrado algunos avances utilizando conceptos de medida con valores de operador positivos . ^[36]

Mandelstam–Tamm

En 1945, Leonid Mandelstam e Igor Tamm derivaron una relación de incertidumbre de tiempo-energía no relativista como sigue. ^{[47] [36] A partir de la mecánica de Heisenberg, el} teorema de Ehrenfest generalizado para un observable B sin dependencia temporal explícita, representado por un operador autoadjunto, relaciona la dependencia temporal del valor promedio de con el promedio de su conmutador con el hamiltoniano: ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle .}$$

El valor de se sustituye entonces en la relación de incertidumbre de Robertson por el operador de energía y : dando (siempre que el denominador no sea cero). Si bien este es un resultado universal, depende del observable elegido y de que las desviaciones y se calculen para un estado particular. Identificar y el tiempo característico da una relación energía-tiempo Aunque tiene la dimensión del tiempo, es diferente del parámetro de tiempo t que entra en la ecuación de Schrödinger . Esto se puede interpretar como el tiempo para el cual el valor esperado del observable, cambia en una cantidad igual a una desviación estándar. ^[48] Ejemplos: ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$ $${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$ $${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}}$$ ${\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• El tiempo que una partícula cuántica libre pasa por un punto en el espacio es más incierto ya que la energía del estado está controlada con mayor precisión: dado que la dispersión del tiempo está relacionada con la dispersión de la posición de la partícula y la dispersión de la energía está relacionada con la dispersión del momento, esta relación está directamente relacionada con la incertidumbre de la posición-momento. ^{[17] : 144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• Una partícula delta , un compuesto cuasistible de quarks relacionados con protones y neutrones, tiene una vida útil de 10 ⁻²³  s, por lo que su masa medida equivalente a energía , 1232 MeV/ c ² , varía en ±120 MeV/ c ² ; esta variación es intrínseca y no causada por errores de medición. ^{[17] : 144}
• Dos estados de energía con energías superpuestas para crear un estado compuesto ${\displaystyle \psi _{1,2}}$ ${\displaystyle E_{1,2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

La amplitud de probabilidad de este estado tiene un término de interferencia dependiente del tiempo:

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

El período de oscilación varía inversamente con la diferencia de energía: . ^{[17] : 144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

Cada ejemplo tiene un significado diferente para la incertidumbre temporal, según el observable y el estado utilizado.

Teoría cuántica de campos

Algunas formulaciones de la teoría cuántica de campos utilizan pares electrón-positrón temporales en sus cálculos, denominados partículas virtuales . La masa-energía y la duración de vida de estas partículas están relacionadas por la relación de incertidumbre energía-tiempo. La energía de un sistema cuántico no se conoce con la precisión suficiente para limitar su comportamiento a una historia única y simple. Por lo tanto, la influencia de todas las historias debe incorporarse a los cálculos cuánticos, incluidas aquellas con mucha mayor o mucha menor energía que la media de la distribución de energía medida/calculada.

El principio de incertidumbre energía-tiempo no viola temporalmente la conservación de la energía ; no implica que la energía pueda ser "tomada prestada" del universo siempre que sea "devuelta" dentro de un corto período de tiempo. ^{[17] : 145} La energía del universo no es un parámetro exactamente conocido en todo momento. ^[1] Cuando los eventos ocurren en intervalos de tiempo muy cortos, hay incertidumbre en la energía de estos eventos.

Análisis armónico

En el contexto del análisis armónico , una rama de las matemáticas, el principio de incertidumbre implica que no se puede localizar al mismo tiempo el valor de una función y su transformada de Fourier. Es decir, se cumple la siguiente desigualdad: $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

Otras desigualdades de incertidumbre matemática, incluida la incertidumbre entrópica mencionada anteriormente , se cumplen entre una función f y su transformada de Fourier ƒ̂ : ^{[49] [50] [51]} $${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

Procesamiento de señales

En el contexto del procesamiento de señales , y en particular del análisis tiempo-frecuencia , los principios de incertidumbre se conocen como el límite de Gabor , en honor a Dennis Gabor , o a veces el límite de Heisenberg-Gabor . El resultado básico, que se desprende del "teorema de Benedict", a continuación, es que una función no puede estar limitada en el tiempo y en la banda (una función y su transformada de Fourier no pueden tener ambas un dominio acotado); consulte limitado en banda frente a limitado en el tiempo . Más exactamente, el producto tiempo-ancho de banda o duración-ancho de banda satisface donde y son las desviaciones estándar de las representaciones de energía o potencia (es decir, al cuadrado) de tiempo y frecuencia respectivamente. ^[52] El mínimo se alcanza para un pulso en forma de Gauss ( ondícula de Gabor ) [Para la magnitud de la gaussiana no cuadrada (es decir, la amplitud de la señal) y su transformada de Fourier no cuadrada ; El cuadrado reduce cada uno en un factor .] Otra medida común es el producto del tiempo y la frecuencia del ancho completo a la mitad del máximo (de la potencia/energía), que para el gaussiano es igual a (ver pulso limitado por ancho de banda ). $${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}\cdot \sigma _{{\text{energy}},f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},f}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

Dicho de otra manera, "no se puede localizar de forma simultánea y nítida una señal (función f ) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia ( ƒ̂ , su transformada de Fourier)".

Cuando se aplica a filtros , el resultado implica que no se puede lograr una alta resolución temporal y resolución de frecuencia al mismo tiempo; un ejemplo concreto son los problemas de resolución de la transformada de Fourier de tiempo corto : si se utiliza una ventana amplia, se logra una buena resolución de frecuencia a costa de la resolución temporal, mientras que una ventana estrecha tiene la desventaja opuesta.

Los teoremas alternativos dan resultados cuantitativos más precisos y, en el análisis de tiempo-frecuencia, en lugar de interpretar los dominios de tiempo y frecuencia (unidimensionales) por separado, se interpreta el límite como un límite inferior en el soporte de una función en el plano de tiempo-frecuencia (bidimensional). En la práctica, el límite de Gabor limita la resolución simultánea de tiempo-frecuencia que se puede lograr sin interferencias; es posible lograr una resolución más alta, pero a costa de que los diferentes componentes de la señal interfieran entre sí.

Como resultado, para analizar señales donde los transitorios son importantes, a menudo se utiliza la transformada wavelet en lugar de la de Fourier.

Transformada de Fourier discreta

Sea una secuencia de N números complejos y su transformada de Fourier discreta . ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

Denote por el número de elementos distintos de cero en la secuencia temporal y por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de frecuencia . Entonces, ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$ $${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

Esta desigualdad es aguda y se alcanza la igualdad cuando x o X es una masa de Dirac, o más generalmente cuando x es un múltiplo distinto de cero de un peine de Dirac apoyado en un subgrupo de los enteros módulo N (en cuyo caso X es también un peine de Dirac apoyado en un subgrupo complementario, y viceversa).

De manera más general, si T y W son subconjuntos de los enteros módulo N , denotemos el operador limitador de tiempo y los operadores limitadores de banda , respectivamente. Entonces donde la norma es la norma del operador de los operadores en el espacio de Hilbert de funciones en los enteros módulo N . Esta desigualdad tiene implicaciones para la reconstrucción de señales . ^[53] ${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Cuando N es un número primo , se cumple una desigualdad más fuerte: descubierta por Terence Tao , esta desigualdad también es aguda. ^[54] $${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

Teorema de Benedict

El teorema de Amrein-Berthier ^[55] y de Benedict ^[56] dice intuitivamente que el conjunto de puntos donde f no es cero y el conjunto de puntos donde ƒ̂ no es cero no pueden ser ambos pequeños.

En concreto, es imposible que una función f en L ² ( R ) y su transformada de Fourier ƒ̂ se respalden ambas en conjuntos de medida de Lebesgue finita . Una versión más cuantitativa es ^{[57] [58]} $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

Se espera que el factor Ce ^{C | S || Σ |} pueda ser reemplazado por Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d} , lo cual sólo se conoce si S o Σ son convexos.

Principio de incertidumbre de Hardy

El matemático GH Hardy formuló el siguiente principio de incertidumbre: ^[59] no es posible que f y ƒ̂ sean ambos "muy rápidamente decrecientes". Específicamente, si f en es tal que y ( un entero), entonces, si ab > 1, f = 0 , mientras que si ab = 1 , entonces existe un polinomio P de grado ≤ N tal que ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$ $${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$ ${\displaystyle C>0,N}$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

Esto se mejoró posteriormente de la siguiente manera: si es tal que entonces donde P es un polinomio de grado ( N − d )/2 y A es una matriz real d × d definida positiva. ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

Este resultado fue establecido en las obras completas de Beurling sin prueba y demostrado en Hörmander ^[60] (el caso ) y Bonami, Demange y Jaming ^[61] para el caso general. Nótese que la versión de Hörmander-Beurling implica el caso ab > 1 en el Teorema de Hardy mientras que la versión de Bonami-Demange-Jaming cubre toda la fuerza del Teorema de Hardy. Una prueba diferente del teorema de Beurling basada en el teorema de Liouville apareció en la referencia ^{[62] .} ${\displaystyle d=1,N=0}$

Una descripción completa del caso ab < 1 así como la siguiente extensión a las distribuciones de clase de Schwartz aparece en la referencia ^{[63] .}

Teorema  —  Si una distribución templada es tal que y entonces, para algún polinomio conveniente P y una matriz definida positiva real A de tipo d × d . ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$ $${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

Relaciones de incertidumbre adicionales

Límite de Heisenberg

En metrología cuántica , y especialmente en interferometría , el límite de Heisenberg es la tasa óptima a la que la precisión de una medición puede escalar con la energía utilizada en la medición. Normalmente, se trata de la medición de una fase (aplicada a un brazo de un divisor de haz ) y la energía viene dada por el número de fotones utilizados en un interferómetro . Aunque algunos afirman haber roto el límite de Heisenberg, esto refleja un desacuerdo sobre la definición del recurso de escala. ^[64] Definido adecuadamente, el límite de Heisenberg es una consecuencia de los principios básicos de la mecánica cuántica y no se puede superar, aunque sí se puede superar el límite débil de Heisenberg. ^[65]

Errores sistemáticos y estadísticos

Las desigualdades anteriores se centran en la imprecisión estadística de los observables cuantificados por la desviación estándar . Sin embargo, la versión original de Heisenberg se ocupaba del error sistemático , una perturbación del sistema cuántico producida por el aparato de medición, es decir, un efecto del observador. ${\displaystyle \sigma }$

Si representamos el error (es decir, la inexactitud ) de una medición de un observable A y la perturbación producida en una medición posterior de la variable conjugada B por la medición anterior de A , entonces la desigualdad propuesta por Masanao Ozawa −que abarca tanto los errores sistemáticos como los estadísticos- se cumple: ^[66] ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

El principio de incertidumbre de Heisenberg, tal como se describió originalmente en la formulación de 1927, menciona solo el primer término de la desigualdad de Ozawa, en relación con el error sistemático . Si se utiliza la notación anterior para describir el efecto de error/perturbación de las mediciones secuenciales (primero A , luego B ), se podría escribir como

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

La derivación formal de la relación de Heisenberg es posible pero lejos de ser intuitiva. No fue propuesta por Heisenberg, sino formulada de manera matemáticamente consistente solo en años recientes. ^{[67] [68]} Además, debe enfatizarse que la formulación de Heisenberg no tiene en cuenta los errores estadísticos intrínsecos y . Hay cada vez más evidencia experimental ^{[69] [70] [71] [72]} de que la incertidumbre cuántica total no puede describirse solo por el término de Heisenberg, sino que requiere la presencia de los tres términos de la desigualdad de Ozawa. ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

Utilizando el mismo formalismo, ^[1] también es posible introducir el otro tipo de situación física, a menudo confundida con la anterior, es decir el caso de medidas simultáneas ( A y B al mismo tiempo):

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Las dos mediciones simultáneas en A y B son necesariamente ^[73] poco nítidas o débiles .

También es posible derivar una relación de incertidumbre que, como la de Ozawa, combina los componentes de error estadístico y sistemático, pero mantiene una forma muy cercana a la desigualdad original de Heisenberg. Añadiendo Robertson ^[1]

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

y las relaciones de Ozawa obtenemos Los cuatro términos se pueden escribir como: Definiendo: como la inexactitud en los valores medidos de la variable A y como la fluctuación resultante en la variable conjugada B , Kazuo Fujikawa ^[74] estableció una relación de incertidumbre similar a la original de Heisenberg, pero válida tanto para errores sistemáticos como estadísticos : $${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$ $${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Principio de incertidumbre entrópica cuántica

Para muchas distribuciones, la desviación estándar no es una forma particularmente natural de cuantificar la estructura. Por ejemplo, las relaciones de incertidumbre en las que uno de los observables es un ángulo tienen poco significado físico para fluctuaciones mayores a un período. ^{[22] [75] [76] [77]} Otros ejemplos incluyen distribuciones altamente bimodales o distribuciones unimodales con varianza divergente.

Una solución que supera estos problemas es una incertidumbre basada en la incertidumbre entrópica en lugar del producto de las varianzas. Mientras formulaba la interpretación de los múltiples mundos de la mecánica cuántica en 1957, Hugh Everett III conjeturó una extensión más fuerte del principio de incertidumbre basada en la certeza entrópica. ^[78] Esta conjetura, también estudiada por II Hirschman ^[79] y demostrada en 1975 por W. Beckner ^[80] y por Iwo Bialynicki-Birula y Jerzy Mycielski ^[81] es que, para dos pares de transformadas de Fourier adimensionales y normalizadas f ( a ) y g ( b ) donde

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$   y    ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

Las entropías de información de Shannon están sujetas a la siguiente restricción: $${\displaystyle H_{a}=-\int _{-\infty }^{\infty }|f(a)|^{2}\log |f(a)|^{2}\,da,}$$ $${\displaystyle H_{b}=-\int _{-\infty }^{\infty }|g(b)|^{2}\log |g(b)|^{2}\,db}$$

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

donde los logaritmos pueden estar en cualquier base.

Las funciones de distribución de probabilidad asociadas con la función de onda de posición ψ ( x ) y la función de onda de momento φ ( x ) tienen dimensiones de longitud inversa y momento respectivamente, pero las entropías pueden volverse adimensionales mediante donde x ₀ y p ₀ son una longitud y momento elegidos arbitrariamente respectivamente, lo que hace que los argumentos de los logaritmos sean adimensionales. Nótese que las entropías serán funciones de estos parámetros elegidos. Debido a la relación de transformada de Fourier entre la función de onda de posición ψ ( x ) y la función de onda de momento φ ( p ) , la restricción anterior puede escribirse para las entropías correspondientes como $${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$ $${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

donde h es la constante de Planck .

Dependiendo de la elección del producto x ₀ p ₀ , la expresión puede escribirse de muchas maneras. Si se elige que x ₀ p ₀ sea h , entonces $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

Si, en cambio, se elige que x ₀ p ₀ sea ħ , entonces $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

Si se elige que x ₀ y p ₀ sean la unidad en cualquier sistema de unidades que se utilice, entonces donde h se interpreta como un número adimensional igual al valor de la constante de Planck en el sistema de unidades elegido. Nótese que estas desigualdades se pueden extender a estados cuánticos multimodo o funciones de onda en más de una dimensión espacial. ^[82] $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

El principio de incertidumbre entrópica cuántica es más restrictivo que el principio de incertidumbre de Heisenberg. De las desigualdades logarítmicas inversas de Sobolev ^[83] (equivalentemente, del hecho de que las distribuciones normales maximizan la entropía de todas las que tienen una varianza dada), se deduce fácilmente que este principio de incertidumbre entrópica es más fuerte que el basado en las desviaciones estándar , porque $${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

En otras palabras, el principio de incertidumbre de Heisenberg es una consecuencia del principio de incertidumbre entrópica cuántica, pero no viceversa. Algunas observaciones sobre estas desigualdades. En primer lugar, la elección de la base e es una cuestión de convención popular en física. El logaritmo puede estar alternativamente en cualquier base, siempre que sea consistente en ambos lados de la desigualdad. En segundo lugar, recuerde que se ha utilizado la entropía de Shannon , no la entropía cuántica de von Neumann . Finalmente, la distribución normal satura la desigualdad, y es la única distribución con esta propiedad, porque es la distribución de probabilidad de máxima entropía entre aquellas con varianza fija (cf. aquí para la prueba).

Un aparato de medición tendrá una resolución finita establecida por la discretización de sus posibles salidas en contenedores, con la probabilidad de estar dentro de uno de los contenedores dada por la regla de Born. Consideraremos la situación experimental más común, en la que los contenedores son de tamaño uniforme. Sea δx una medida de la resolución espacial. Tomamos el contenedor cero centrado cerca del origen, posiblemente con algún pequeño desplazamiento constante c . La probabilidad de estar dentro del intervalo j de ancho δx es $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

Para tener en cuenta esta discretización, podemos definir la entropía de Shannon de la función de onda para un aparato de medición dado como $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

Según la definición anterior, la relación de incertidumbre entrópica es $${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

Aquí observamos que δx δp / h es un volumen de espacio de fase infinitesimal típico utilizado en el cálculo de una función de partición . La desigualdad también es estricta y no está saturada. Los esfuerzos para mejorar este límite son un área activa de investigación.

Relación de incertidumbre con tres componentes del momento angular

Para una partícula de momento angular total se cumple la siguiente relación de incertidumbre donde son los componentes del momento angular. La relación se puede derivar de y La relación se puede fortalecer como ^{[30] [84]} donde es la información cuántica de Fisher. ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$ ${\displaystyle J_{l}}$ $${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$ $${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

Historia

En 1925 Heisenberg publicó el artículo Umdeutung (reinterpretación) donde demostró que el aspecto central de la teoría cuántica era la no conmutatividad : la teoría implicaba que el orden relativo de la medición de la posición y el momento era significativo. Trabajando con Max Born y Pascual Jordan , continuó desarrollando la mecánica matricial , que se convertiría en la primera formulación de la mecánica cuántica moderna. ^[85]

Werner Heisenberg y Niels Bohr

En marzo de 1926, mientras trabajaba en el Instituto de Bohr, Heisenberg se dio cuenta de que la no conmutatividad implica el principio de incertidumbre. En febrero de 1927, escribió a Wolfgang Pauli y elaboró ​​los conceptos básicos. ^[86]

En su célebre artículo de 1927 " Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("Sobre el contenido perceptual de la cinemática y la mecánica teóricas cuánticas"), Heisenberg estableció esta expresión como la cantidad mínima de perturbación inevitable del momento causada por cualquier medición de posición, ^[2] pero no dio una definición precisa para las incertidumbres Δx y Δ p . En cambio, dio algunas estimaciones plausibles en cada caso por separado. Su artículo dio un análisis en términos de un microscopio que Bohr demostró que era incorrecto; Heisenberg incluyó un apéndice a la publicación.

En su conferencia de Chicago de 1930 ^[87] refinó su principio:

Trabajos posteriores ampliaron el concepto. No se pueden medir simultáneamente dos variables que no conmutan: cuanto más exactamente se conoce una, menos exactamente se puede conocer la otra. Heisenberg escribió:

En su forma más simple, se puede expresar de la siguiente manera: nunca se puede saber con exactitud perfecta los dos factores importantes que determinan el movimiento de una de las partículas más pequeñas: su posición y su velocidad. Es imposible determinar con exactitud tanto la posición como la dirección y la velocidad de una partícula en el mismo instante . ^[88]

Kennard ^{[6] [1] : 204} en 1927 demostró por primera vez la desigualdad moderna:

donde ħ = ⁠yo/2π​⁠ , y σ _x , σ _p son las desviaciones estándar de la posición y el momento. (Heisenberg sólo demostró la relación ( A2 ) para el caso especial de los estados gaussianos. ^[87] ) En 1929, Robertson generalizó la desigualdad a todos los observables y en 1930, Schrödinger extendió la forma para permitir la covarianza no nula de los operadores; este resultado se conoce como desigualdad de Robertson-Schrödinger. ^{[1] : 204}

Terminología y traducción

En el cuerpo principal de su artículo original de 1927, escrito en alemán, Heisenberg utilizó la palabra "Ungenauigkeit" ^[2] para describir el principio teórico básico. Sólo en la nota final cambió a la palabra "Unsicherheit". Más tarde, siempre utilizó "Unbestimmtheit". Sin embargo, cuando se publicó la versión en inglés del libro de texto de Heisenberg, Los principios físicos de la teoría cuántica , en 1930, sólo se utilizó la palabra inglesa "uncertainty" [incertidumbre], y se convirtió en el término en el idioma inglés. ^[89]

El microscopio de Heisenberg

Microscopio de rayos gamma de Heisenberg para localizar un electrón (mostrado en azul). El rayo gamma incidente (mostrado en verde) es dispersado por el electrón hasta el ángulo de apertura del microscopio θ . El rayo gamma dispersado se muestra en rojo. La óptica clásica muestra que la posición del electrón puede determinarse solo hasta una incertidumbre Δ x que depende de θ y de la longitud de onda λ de la luz incidente.

El principio es bastante contraintuitivo, por lo que los primeros estudiantes de la teoría cuántica tuvieron que estar seguros de que las mediciones ingenuas que lo violaran siempre serían inviables. Una forma en que Heisenberg ilustró originalmente la imposibilidad intrínseca de violar el principio de incertidumbre fue utilizando el efecto observador de un microscopio imaginario como dispositivo de medición. ^[87]

Se imagina a un experimentador intentando medir la posición y el momento de un electrón disparándole un fotón . ^{[90] : 49–50}

• Problema 1 – Si el fotón tiene una longitud de onda corta y, por lo tanto, un gran momento, la posición se puede medir con precisión. Pero el fotón se dispersa en una dirección aleatoria, transfiriendo una cantidad grande e incierta de momento al electrón. Si el fotón tiene una longitud de onda larga y un momento bajo, la colisión no altera mucho el momento del electrón, pero la dispersión revelará su posición solo vagamente.
• Problema 2 – Si se utiliza una gran apertura para el microscopio, la ubicación del electrón se puede resolver bien (véase el criterio de Rayleigh ); pero por el principio de conservación del momento , el momento transversal del fotón entrante afecta el momento de la línea de haz del electrón y, por lo tanto, el nuevo momento del electrón se resuelve mal. Si se utiliza una apertura pequeña, la precisión de ambas resoluciones es al revés.

La combinación de estas compensaciones implica que, sin importar qué longitud de onda de fotón y tamaño de apertura se utilicen, el producto de la incertidumbre en la posición medida y el momento medido es mayor o igual a un límite inferior, que es (hasta un pequeño factor numérico) igual a la constante de Planck . ^[91] Heisenberg no se preocupó por formular el principio de incertidumbre como un límite exacto, y prefirió usarlo en cambio, como una declaración cuantitativa heurística, correcta hasta pequeños factores numéricos, lo que hace inevitable la no conmutatividad radicalmente nueva de la mecánica cuántica.

Incertidumbre cuántica intrínseca

Históricamente, el principio de incertidumbre se ha confundido ^{[92] [66]} con un efecto relacionado en física , llamado efecto del observador , que señala que las mediciones de ciertos sistemas no se pueden realizar sin afectar al sistema, ^{[93] [94]} es decir, sin cambiar algo en un sistema. Heisenberg utilizó dicho efecto del observador a nivel cuántico (ver más abajo) como una "explicación" física de la incertidumbre cuántica. ^[95] Sin embargo, desde entonces ha quedado más claro que el principio de incertidumbre es inherente a las propiedades de todos los sistemas ondulatorios , ^[69] y que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza ondulatoria de la materia de todos los objetos cuánticos. ^[96] Por lo tanto, el principio de incertidumbre en realidad establece una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos y no es una declaración sobre el éxito observacional de la tecnología actual. ^[97]

Reacciones críticas

De hecho, en un principio, los detractores consideraron que la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de Heisenberg eran objetivos gemelos. Según la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, no existe una realidad fundamental que el estado cuántico describa, sino solo una prescripción para calcular resultados experimentales. No hay forma de decir cuál es fundamentalmente el estado de un sistema, solo cuál podría ser el resultado de las observaciones.

Albert Einstein creía que la aleatoriedad es un reflejo de nuestra ignorancia de alguna propiedad fundamental de la realidad, mientras que Niels Bohr creía que las distribuciones de probabilidad son fundamentales e irreducibles y dependen de las mediciones que decidamos realizar. Einstein y Bohr debatieron el principio de incertidumbre durante muchos años.

Observador ideal y desapegado

Wolfgang Pauli llamó a la objeción fundamental de Einstein al principio de incertidumbre "el ideal del observador desapegado" (frase traducida del alemán):

"Así como la Luna tiene una posición definida", me dijo Einstein el invierno pasado, "tanto si la miramos como si no, lo mismo debe ser válido para los objetos atómicos, ya que no es posible una distinción clara entre éstos y los objetos macroscópicos. La observación no puede crear un elemento de realidad como una posición; debe haber algo contenido en la descripción completa de la realidad física que corresponda a la posibilidad de observar una posición, incluso antes de que la observación se haya realizado realmente". Espero haber citado a Einstein correctamente; siempre es difícil citar de memoria a alguien con quien no se está de acuerdo. Es precisamente este tipo de postulado lo que llamo el ideal del observador imparcial.

—  Carta de Pauli a Niels Bohr, 15 de febrero de 1955 ^[98]

La rendija de Einstein

El primero de los experimentos mentales de Einstein que desafió el principio de incertidumbre fue el siguiente:

Consideremos una partícula que pasa a través de una rendija de ancho d . La rendija introduce una incertidumbre en el momento de aproximadamente ⁠yo/d⁠ porque la partícula pasa a través de la pared. Pero determinemos el momento de la partícula midiendo el retroceso de la pared. Al hacerlo, encontramos el momento de la partícula con una precisión arbitraria mediante la conservación del momento.

La respuesta de Bohr fue que la pared también es mecánica cuántica y que para medir el retroceso con una precisión de Δ p , se debe conocer el momento de la pared con esta precisión antes de que la partícula pase a través de ella. Esto introduce una incertidumbre en la posición de la pared y, por lo tanto, en la posición de la rendija igual a ⁠yo/Δp​⁠ , y si el momento de la pared se conoce con suficiente precisión para medir el retroceso, la posición de la ranura es lo suficientemente incierta como para no permitir una medición de posición.

Richard Feynman ofrece un análisis similar con partículas que se difractan a través de múltiples rendijas . ^[99]

La caja de Einstein

Bohr estaba presente cuando Einstein propuso el experimento mental que se ha conocido como la caja de Einstein . Einstein argumentó que "la ecuación de incertidumbre de Heisenberg implicaba que la incertidumbre en el tiempo estaba relacionada con la incertidumbre en la energía, y el producto de las dos estaba relacionado con la constante de Planck". ^[100] Consideremos, dijo, una caja ideal, revestida de espejos de modo que pueda contener luz indefinidamente. La caja podría pesarse antes de que un mecanismo de relojería abriera un obturador ideal en un instante elegido para permitir que escapara un solo fotón. "Ahora sabemos, explicó Einstein, exactamente el momento en que el fotón salió de la caja". ^[101] "Ahora, pesemos la caja de nuevo. El cambio de masa indica la energía de la luz emitida. De esta manera, dijo Einstein, uno podría medir la energía emitida y el momento en que fue liberada con cualquier precisión deseada, en contradicción con el principio de incertidumbre". ^[100]

Bohr pasó una noche sin dormir considerando este argumento, y finalmente se dio cuenta de que era erróneo. Señaló que si la caja se pesara, por ejemplo, con un resorte y un puntero en una balanza, "dado que la caja debe moverse verticalmente con un cambio en su peso, habrá incertidumbre en su velocidad vertical y, por lo tanto, una incertidumbre en su altura sobre la mesa... Además, la incertidumbre sobre la elevación sobre la superficie de la Tierra resultará en una incertidumbre en la velocidad del reloj", ^[102] debido a la propia teoría de Einstein sobre el efecto de la gravedad en el tiempo . "A través de esta cadena de incertidumbres, Bohr demostró que el experimento de la caja de luz de Einstein no podía medir simultáneamente con exactitud tanto la energía del fotón como el tiempo de su escape". ^[103]

Paradoja EPR para partículas entrelazadas

En 1935, Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen publicaron un análisis de partículas entrelazadas separadas espacialmente (paradoja EPR). ^[104] Según la EPR, se podría medir la posición de una de las partículas entrelazadas y el momento de la segunda partícula, y a partir de esas mediciones deducir la posición y el momento de ambas partículas con cualquier precisión, violando el principio de incertidumbre. Para evitar tal posibilidad, la medición de una partícula debe modificar la distribución de probabilidad de la otra partícula instantáneamente, posiblemente violando el principio de localidad . ^[105]

En 1964, John Stewart Bell demostró que esta suposición puede ser refutada, ya que implicaría una cierta desigualdad entre las probabilidades de diferentes experimentos. Los resultados experimentales confirman las predicciones de la mecánica cuántica, descartando la suposición básica de la EPR de variables ocultas locales .

La crítica de Popper

El filósofo de la ciencia Karl Popper abordó el problema de la indeterminación como un lógico y un realista metafísico . ^[106] No estaba de acuerdo con la aplicación de las relaciones de incertidumbre a partículas individuales en lugar de a conjuntos de partículas preparadas de manera idéntica, refiriéndose a ellas como "relaciones de dispersión estadística". ^{[106] [107]} En esta interpretación estadística, una medición particular puede realizarse con precisión arbitraria sin invalidar la teoría cuántica.

En 1934, Popper publicó Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen ( Crítica de las relaciones de incertidumbre ) en Naturwissenschaften , ^[108] y en el mismo año Logik der Forschung (traducido y actualizado por el autor como La lógica del descubrimiento científico en 1959 ^[106] ), esbozando sus argumentos a favor de la interpretación estadística. En 1982, desarrolló aún más su teoría en Teoría cuántica y el cisma en Física , escribiendo:

Las fórmulas [de Heisenberg] son, sin lugar a dudas, fórmulas estadísticas derivables de la teoría cuántica. Pero han sido malinterpretadas habitualmente por aquellos teóricos cuánticos que decían que estas fórmulas pueden interpretarse como la determinación de algún límite superior a la precisión de nuestras mediciones . [énfasis original] ^[109]

Popper propuso un experimento para falsificar las relaciones de incertidumbre, aunque más tarde retiró su versión inicial después de discusiones con Carl Friedrich von Weizsäcker , Heisenberg y Einstein; Popper envió su artículo a Einstein y puede haber influido en la formulación de la paradoja EPR. ^{[110] : 720}

Libre albedrío

Algunos científicos, entre ellos Arthur Compton ^[111] y Martin Heisenberg ^[112], han sugerido que el principio de incertidumbre, o al menos la naturaleza probabilística general de la mecánica cuántica, podría ser una prueba del modelo de dos etapas del libre albedrío. Sin embargo, una crítica es que, aparte del papel básico de la mecánica cuántica como fundamento de la química, es poco probable que existan mecanismos biológicos no triviales que requieran de la mecánica cuántica , debido al rápido tiempo de decoherencia de los sistemas cuánticos a temperatura ambiente. ^[113] Los defensores de esta teoría suelen decir que esta decoherencia se supera tanto con los subespacios de decoherencia como con los subespacios sin decoherencia que se encuentran en las células biológicas. ^[113]

Termodinámica

Hay razones para creer que violar el principio de incertidumbre también implica fuertemente la violación de la segunda ley de la termodinámica . ^[114] Véase paradoja de Gibbs .

Rechazo del principio

Los principios de incertidumbre relacionan las partículas cuánticas (por ejemplo, los electrones) con conceptos clásicos (posición y momento). Esto presupone que las partículas cuánticas tienen posición y momento. Edwin C. Kemble señaló ^[115] en 1937 que tales propiedades no pueden verificarse experimentalmente y que suponer que existen da lugar a muchas contradicciones; de manera similar, Rudolf Haag señala que la posición en la mecánica cuántica es un atributo de una interacción, por ejemplo, entre un electrón y un detector, no una propiedad intrínseca. ^{[116] [117]} Desde este punto de vista, el principio de incertidumbre no es una propiedad cuántica fundamental, sino un concepto "transferido del lenguaje de nuestros antepasados", como dice Kemble.

Aplicaciones

Dado que el principio de incertidumbre es un resultado tan básico en la mecánica cuántica, los experimentos típicos en mecánica cuántica observan rutinariamente aspectos de él. Todas las formas de espectroscopia , incluida la física de partículas, utilizan la relación para relacionar el ancho de línea de energía medido con la vida útil de los estados cuánticos. Sin embargo, ciertos experimentos pueden probar deliberadamente una forma particular del principio de incertidumbre como parte de su programa de investigación principal. Estos incluyen, por ejemplo, pruebas de relaciones de incertidumbre número-fase en sistemas superconductores ^[118] o de óptica cuántica ^[119] . Las aplicaciones que dependen del principio de incertidumbre para su funcionamiento incluyen tecnología de ruido extremadamente bajo como la requerida en los interferómetros de ondas gravitacionales ^[120] .

Véase también

• Principio de correspondencia  : principio de física formulado por Niels Bohr
• Ley de Goodhart  – Adagio sobre las medidas estadísticas: cuando se intenta utilizar una medida estadística con fines de control (dirección), su validez estadística se rompe.
• Introducción a la mecánica cuántica  – Introducción no matemática
• Principio de incertidumbre de Küpfmüller  : concepto de ingeniería electrónica formulado por Karl KüpfmüllerPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Indeterminación cuántica  : aparente falta de un estado definido antes de la medición de los sistemas cuánticos
• Superposición cuántica  – Principio de la mecánica cuántica
• Efecto túnel cuántico  – Fenómeno mecánico cuántico
• Física y más allá  – libro de 1969 de Werner Heisenberg (Recuerdos de Heisenberg)
• Relaciones de incertidumbre más fuertes  – Desarrollos posteriores del principio de Heisenberg

Referencias

1. Sen, D. (2014). «Las relaciones de incertidumbre en la mecánica cuántica» (PDF) . Current Science . 107 (2): 203–218. Archivado (PDF) desde el original el 24 de septiembre de 2019. Consultado el 14 de febrero de 2016 .
2. Heisenberg, W. (1927) [1 de marzo de 1927]. "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik". Zeitschrift für Physik (en alemán). 43 (3): 172–198. Código Bib : 1927ZPhy...43..172H. doi :10.1007/BF01397280. ISSN  0044-3328. S2CID  122763326.Heisenberg, W (1983) [1927]. "El contenido actual de la cinemática y mecánica teórica cuántica". N° NAS 1.15: 77379. 1983 . 43 (3–4): 172. Bibcode : 1983ZhPhy..43..172H. Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2023 . Consultado el 28 de agosto de 2023 . Traducción al inglés de Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik
3. Werner Heisenberg (1989), Encuentros con Einstein y otros ensayos sobre personas, lugares y partículas , Princeton University Press , pág. 53. ^{[ ISBN faltante ]}
4. Dolling, Lisa M.; Gianelli, Arthur F.; Statile, Glenn N., eds. (2003). Las pruebas del tiempo . doi :10.1515/9781400889167. ISBN 978-1400889167.
5. Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad. 1.ª edición estadounidense, 2008. Cap. 10, nota 37. ^{[ ISBN no disponible ]}
6. Kennard, EH (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (en alemán), 44 (4–5): 326–352, Bibcode :1927ZPhy...44..326K, doi :10.1007/ BF01391200, S2CID  121626384.
7. Weyl, H. (1928). Gruppentheorie und Quantenmechanik (en alemán). Leipzig: Hirzel.^{[ página necesaria ]}
8. Jaeger, Gregg (septiembre de 2014). "¿Qué es macroscópico en el mundo (cuántico)?". American Journal of Physics . 82 (9): 896–905. Bibcode :2014AmJPh..82..896J. doi :10.1119/1.4878358.
9. Véase el Apéndice B en Bialynicki-Birula, Iwo; Bialynicka-Birula, Zofia (2009), "Por qué los fotones no pueden localizarse nítidamente", Physical Review A , 79 (3): 7–8, arXiv : 0903.3712 , Bibcode :2009PhRvA..79c2112B, doi :10.1103/PhysRevA.79.032112, S2CID  55632217
10. Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Franck Laloë (1996), Mecánica cuántica , Wiley-Interscience: Wiley, págs. 231-233, ISBN 978-0-471-56952-7
11. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 60, Bibcode :2013qtm..book.....H
12. Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
13. Robertson, HP (1929), "El principio de incertidumbre", Phys. Rev. , 34 (1): 163–164, Bibcode :1929PhRv...34..163R, doi :10.1103/PhysRev.34.163
14. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, págs. 242-243, Bibcode :2013qtm..book.....H
15. Schrödinger, E., Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip, Berliner Berichte, 1930, págs.
16. Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse , 14 : 296–303
17. Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introducción a la mecánica cuántica (3.ª ed.). Cambridge University Press. Bibcode :2018iqm..book.....G. doi :10.1017/9781316995433. ISBN 978-1-316-99543-3Archivado desde el original el 23 de febrero de 2024. Consultado el 27 de enero de 2024 .
18. Riley, KF; MP Hobson y SJ Bence (2006), Métodos matemáticos para física e ingeniería , Cambridge, pág. 246^{[ Falta ISBN ]}
19. Davidson, ER (1965), "Sobre las derivaciones del principio de incertidumbre", J. Chem. Phys. , 42 (4): 1461–1462, Bibcode :1965JChPh..42.1461D, doi :10.1063/1.1696139
20. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 245, Bibcode :2013qtm..book.....H
21. Jackiw, Roman (1968), "Producto de incertidumbre mínima, producto de incertidumbre de fase numérica y estados coherentes", J. Math. Phys. , 9 (3): 339–346, Bibcode :1968JMP.....9..339J, doi :10.1063/1.1664585
22. Carruthers, P.; Nieto, MM (1968), "Variables de fase y ángulo en mecánica cuántica", Rev. Mod. Phys. , 40 (2): 411–440, Bibcode :1968RvMP...40..411C, doi :10.1103/RevModPhys.40.411
23. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H
24. Curtright, T.; Zachos, C. (2001). "Relaciones entre probabilidad negativa e incertidumbre". Modern Physics Letters A . 16 (37): 2381–2385. arXiv : hep-th/0105226 . Código Bibliográfico :2001MPLA...16.2381C. doi :10.1142/S021773230100576X. S2CID  119669313.
25. Likharev, KK; AB Zorin (1985), "Teoría de las oscilaciones de las ondas de Bloch en pequeñas uniones Josephson", J. Low Temp. Phys. , 59 (3/4): 347–382, Bibcode :1985JLTP...59..347L, doi :10.1007/BF00683782, S2CID  120813342
26. Anderson, PW (1964), "Efectos especiales en la superconductividad", en Caianiello, ER (ed.), Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2 , Nueva York: Academic Press
27. Davidson, Ernest R. (15 de febrero de 1965). "Sobre las derivaciones del principio de incertidumbre". The Journal of Chemical Physics . 42 (4): 1461–1462. Código Bibliográfico :1965JChPh..42.1461D. doi :10.1063/1.1696139. ISSN  0021-9606. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
28. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 245, Bibcode :2013qtm..book.....H
29. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 246, Bibcode :2013qtm..book.....H
30. Tóth, Géza; Fröwis, Florian (31 de enero de 2022). "Relaciones de incertidumbre con la varianza y la información cuántica de Fisher basadas en descomposiciones convexas de matrices de densidad". Physical Review Research . 4 (1): 013075. arXiv : 2109.06893 . Código Bibliográfico :2022PhRvR...4a3075T. doi :10.1103/PhysRevResearch.4.013075. S2CID  237513549.
31. Tóth, Géza; Petz, Dénes (20 de marzo de 2013). "Propiedades extremas de la varianza y la información cuántica de Fisher". Physical Review A . 87 (3): 032324. arXiv : 1109.2831 . Código Bibliográfico :2013PhRvA..87c2324T. doi :10.1103/PhysRevA.87.032324. S2CID  55088553.
32. Yu, Sixia (2013). "Información cuántica de Fisher como techo convexo de varianza". arXiv : 1302.5311 [quant-ph].
33. Fröwis, Florian; Schmied, Roman; Gisin, Nicolas (2 de julio de 2015). "Relaciones de incertidumbre cuántica más estrictas que surgen de un límite probabilístico general". Physical Review A . 92 (1): 012102. arXiv : 1409.4440 . Código Bibliográfico :2015PhRvA..92a2102F. doi :10.1103/PhysRevA.92.012102. S2CID  58912643.
34. Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 de diciembre de 2014). "Relaciones de incertidumbre más fuertes para todos los observables incompatibles". Physical Review Letters . 113 (26): 260401. arXiv : 1407.0338 . Código Bibliográfico :2014PhRvL.113z0401M. doi :10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID  25615288. S2CID  21334130.
35. Huang, Yichen (10 de agosto de 2012). "Relaciones de incertidumbre basadas en varianza". Physical Review A . 86 (2): 024101. arXiv : 1012.3105 . Código Bibliográfico :2012PhRvA..86b4101H. doi :10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID  118507388.
36. Busch, Paul (2002). "La relación de incertidumbre entre el tiempo y la energía". En Muga, JG; Mayato, R. Sala; Egusquiza, IL (eds.). Tiempo en mecánica cuántica. Apuntes de clase en física. Vol. 72. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 69–98. doi :10.1007/3-540-45846-8_3. ISBN 978-3-540-43294-4.
37. Wigner, EP (1997). "Sobre la relación entre incertidumbre tiempo-energía". En Wightman, Arthur S. (ed.). Parte I: Partículas y campos. Parte II: Fundamentos de la mecánica cuántica . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 538–548. doi :10.1007/978-3-662-09203-3_58. ISBN 978-3-642-08179-8.
38. Hilgevoord, Jan (1996-12-01). "El principio de incertidumbre para la energía y el tiempo". American Journal of Physics . 64 (12): 1451–1456. Código Bibliográfico :1996AmJPh..64.1451H. doi :10.1119/1.18410. ISSN  0002-9505. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2024 . Consultado el 12 de noviembre de 2023 .
39. Lynch, FJ; Holland, RE; Hamermesh, M. (15 de octubre de 1960). "Dependencia temporal de los rayos gamma filtrados por resonancia de Fe 57". Physical Review . 120 (2): 513–520. doi :10.1103/PhysRev.120.513. ISSN  0031-899X.
40. Frauenfelder, H. (1962). El efecto Mössbauer. WA Benjamín . pag. 66. LCCN  61018181.
41. Bohm, Arno R.; Sato, Yoshihiro (28 de abril de 2005). "Resonancias relativistas: sus masas, anchos, tiempos de vida, superposición y evolución causal". Physical Review D . 71 (8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..71h5018B. doi :10.1103/PhysRevD.71.085018. ISSN  1550-7998. S2CID  119417992.
42. Karplus, Martin y Porter, Richard Needham (1970). Átomos y moléculas . California: Benjamin Cummings. pág. 68. ISBN 978-0805352184 . OCLC  984466711. 
43. El ancho de línea amplio de los estados de decaimiento rápido dificulta la medición precisa de la energía del estado, y los investigadores incluso han utilizado cavidades de microondas desafinadas para reducir la velocidad de decaimiento y obtener picos más nítidos. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985). "Observación de emisión espontánea inhibida". Physical Review Letters . 55 (1): 67–70. Bibcode :1985PhRvL..55...67G. doi :10.1103/PhysRevLett.55.67. PMID  10031682.
44. Hilgevoord, Jan (marzo de 2005). "El tiempo en la mecánica cuántica: una historia de confusión". Estudios de historia y filosofía de la ciencia, parte B: Estudios de historia y filosofía de la física moderna . 36 (1): 29–60. Código Bibliográfico :2005SHPMP..36...29H. doi :10.1016/j.shpsb.2004.10.002. Archivado desde el original el 23 de octubre de 2022. Consultado el 28 de enero de 2024 .
45. Bohm, Arno (enero de 2011). «Resonancias/estados de descomposición y las matemáticas de la física cuántica». Reports on Mathematical Physics . 67 (3): 279–303. Bibcode :2011RpMP...67..279B. doi :10.1016/S0034-4877(11)60018-9. Archivado desde el original el 2023-12-04 . Consultado el 2024-01-24 .
46. Aharonov, Y.; Bohm, D. (1 de junio de 1961). "El tiempo en la teoría cuántica y la relación de incertidumbre para el tiempo y la energía" (PDF) . Physical Review . 122 (5): 1649–1658. Código Bibliográfico :1961PhRv..122.1649A. doi :10.1103/PhysRev.122.1649. Archivado desde el original (PDF) el 2014-01-09 . Consultado el 2012-01-21 .
47. LI Mandelstam, IE Tamm, La relación de incertidumbre entre energía y tiempo en la mecánica cuántica no relativista Archivado el 7 de junio de 2019 en Wayback Machine , 1945.
48. Naber, Gregory L. (2021). Mecánica cuántica: una introducción a los antecedentes físicos y la estructura matemática. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pág. 230. ISBN 978-3-11-075194-9Archivado desde el original el 23 de febrero de 2024. Consultado el 20 de enero de 2024 .
49. Havin, V.; Jöricke, B. (1994), El principio de incertidumbre en el análisis armónico , Springer-Verlag
50. Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (mayo de 1997), "El principio de incertidumbre: un estudio matemático", Journal of Fourier Analysis and Applications , 3 (3): 207–238, doi :10.1007/BF02649110, MR  1448337, S2CID  121355943
51. Sitaram, A (2001) [1994], "Principio de incertidumbre, matemático", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
52. Matt Hall, "¿Qué es el principio de incertidumbre de Gabor?" Archivado el 9 de febrero de 2018 en Wayback Machine.
53. Donoho, DL; Stark, PB (1989). "Principios de incertidumbre y recuperación de señales". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 49 (3): 906–931. doi :10.1137/0149053.
54. Terence Tao (2005), "Un principio de incertidumbre para grupos cíclicos de orden primo", Mathematical Research Letters , 12 (1): 121–127, arXiv : math/0308286 , doi :10.4310/MRL.2005.v12.n1.a11, S2CID  8548232
55. Amrein, WO; Berthier, AM (1977), "Sobre las propiedades de soporte de las funciones L ^p y sus transformadas de Fourier", Journal of Functional Analysis , 24 (3): 258–267, doi : 10.1016/0022-1236(77)90056-8 .
56. Benedicks, M. (1985), "Sobre las transformadas de Fourier de funciones soportadas en conjuntos de medida de Lebesgue finita", J. Math. Anal. Appl. , 106 (1): 180–183, doi : 10.1016/0022-247X(85)90140-4
57. Nazarov, F. (1994), "Estimaciones locales para polinomios exponenciales y sus aplicaciones a desigualdades del tipo del principio de incertidumbre", St. Petersburg Math. J. , 5 : 663–717
58. Jaming, Ph. (2007), "Principios de incertidumbre de Nazarov en dimensiones superiores", J. Approach. Theory , 149 (1): 30–41, arXiv : math/0612367 , doi :10.1016/j.jat.2007.04.005, S2CID  9794547
59. Hardy, GH (1933), "Un teorema sobre las transformadas de Fourier", Journal of the London Mathematical Society , 8 (3): 227–231, doi :10.1112/jlms/s1-8.3.227
60. Hörmander, L. (1991), "Un teorema de unicidad de Beurling para pares de transformadas de Fourier", Ark. Mat. , 29 (1–2): 231–240, Bibcode :1991ArM....29..237H, doi : 10.1007/BF02384339 , S2CID  121375111
61. Bonami, A. ; Demange, B.; Jaming, Ph. (2003), "Funciones de Hermite y principios de incertidumbre para las transformadas de Fourier y de Fourier con ventana", Rev. Mat. Iberoamericana , 19 : 23–55, arXiv : math/0102111 , Bibcode :2001math......2111B, doi :10.4171/RMI/337, S2CID  1211391
62. Hedenmalm, Haakan (2012), "El principio de incertidumbre de Heisenberg en el sentido de Beurling", Journal d'Analyse Mathématique , 118 (2): 691–702, arXiv : 1203.5222 , Bibcode :2012arXiv1203.5222H, doi : 10.1007/s11854-012-0048-9 , S2CID  54533890
63. Demange, Bruno (2009), Principios de incertidumbre asociados a formas cuadráticas no degeneradas , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
64. Giovannetti, V.; Lloyd, S.; Maccone, L. (2011). "Avances en metrología cuántica". Nature Photonics . 5 (4): 222. arXiv : 1102.2318 . Código Bibliográfico :2011NaPho...5..222G. doi :10.1038/nphoton.2011.35. S2CID  12591819.; arXiv Archivado el 6 de agosto de 2020 en Wayback Machine
65. Luis, Alfredo (13-03-2017). "Rompiendo el límite débil de Heisenberg". Physical Review A . 95 (3): 032113. arXiv : 1607.07668 . Código Bibliográfico :2017PhRvA..95c2113L. doi :10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN  2469-9926. S2CID  55838380.
66. Ozawa, Masanao (2003), "Reformulación universalmente válida del principio de incertidumbre de Heisenberg sobre el ruido y la perturbación en la medición", Physical Review A , 67 (4): 42105, arXiv : quant-ph/0207121 , Bibcode :2003PhRvA..67d2105O, doi :10.1103/PhysRevA.67.042105, S2CID  42012188
67. Busch, P.; Lahti, P.; Werner, RF (2013). "Prueba de la relación error-perturbación de Heisenberg". Physical Review Letters . 111 (16): 160405. arXiv : 1306.1565 . Código Bibliográfico :2013PhRvL.111p0405B. doi :10.1103/PhysRevLett.111.160405. PMID  24182239. S2CID  24507489.
68. Busch, P.; Lahti, P.; Werner, RF (2014). "Incertidumbre de Heisenberg para mediciones de cúbits". Physical Review A . 89 (1): 012129. arXiv : 1311.0837 . Código Bibliográfico :2014PhRvA..89a2129B. doi :10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID  118383022.
69. Rozema, LA; Darabi, A.; Mahler, DH; Hayat, A.; Soudagar, Y.; Steinberg, AM (2012). "Violación de la relación medición-perturbación de Heisenberg por mediciones débiles". Physical Review Letters . 109 (10): 100404. arXiv : 1208.0034v2 . Código Bibliográfico :2012PhRvL.109j0404R. doi :10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID  23005268. S2CID  37576344.
70. Erhart, J.; Sponar, S.; Sulyok, G.; Badurek, G.; Ozawa, M.; Hasegawa, Y. (2012). "Demostración experimental de una relación de incertidumbre de error-perturbación universalmente válida en mediciones de espín". Nature Physics . 8 (3): 185–189. arXiv : 1201.1833 . Código Bibliográfico :2012NatPh...8..185E. doi :10.1038/nphys2194. S2CID  117270618.
71. Baek, S.-Y.; Kaneda, F.; Ozawa, M.; Edamatsu, K. (2013). "Violación experimental y reformulación de la relación de incertidumbre error-perturbación de Heisenberg". Scientific Reports . 3 : 2221. Bibcode :2013NatSR...3E2221B. doi :10.1038/srep02221. PMC 3713528 . PMID  23860715. 
72. Ringbauer, M.; Biggerstaff, DN; Broome, MA; Fedrizzi, A.; Branciard, C.; White, AG (2014). "Medidas cuánticas conjuntas experimentales con mínima incertidumbre". Physical Review Letters . 112 (2): 020401. arXiv : 1308.5688 . Código Bibliográfico :2014PhRvL.112b0401R. doi :10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID  24483993. S2CID  18730255.
73. Björk, G.; Söderholm, J.; Trifonov, A.; Tsegaye, T.; Karlsson, A. (1999). "Complementariedad y relaciones de incertidumbre". Physical Review . A60 (3): 1878. arXiv : quant-ph/9904069 . Código Bibliográfico :1999PhRvA..60.1874B. doi :10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID  27371899.
74. Fujikawa, Kazuo (2012). "Relación de incertidumbre de Heisenberg universalmente válida". Physical Review A . 85 (6): 062117. arXiv : 1205.1360 . Código Bibliográfico :2012PhRvA..85f2117F. doi :10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID  119640759.
75. Judge, D. (1964), "Sobre la relación de incertidumbre para variables angulares", Il Nuovo Cimento , 31 (2): 332–340, Bibcode :1964NCim...31..332J, doi :10.1007/BF02733639, S2CID  120553526
76. Bouten, M.; Maene, N.; Van Leuven, P. (1965), "Sobre una relación de incertidumbre para variables angulares", Il Nuovo Cimento , 37 (3): 1119–1125, Bibcode :1965NCim...37.1119B, doi :10.1007/BF02773197, S2CID  122838645
77. Louisell, WH (1963), "Relaciones de incertidumbre de amplitud y fase", Physics Letters , 7 (1): 60–61, Bibcode :1963PhL.....7...60L, doi :10.1016/0031-9163(63)90442-6
78. DeWitt, BS; Graham, N. (1973), La interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica , Princeton: Princeton University Press , págs. 52-53, ISBN 0-691-08126-3
79. Hirschman, II Jr. (1957), "Una nota sobre la entropía", American Journal of Mathematics , 79 (1): 152–156, doi :10.2307/2372390, JSTOR  2372390.
80. Beckner, W. (1975), "Desigualdades en el análisis de Fourier", Annals of Mathematics , 102 (6): 159–182, doi :10.2307/1970980, JSTOR  1970980, PMC 432369 , PMID  16592223. 
81. Bialynicki-Birula, I.; Mycielski, J. (1975), "Relaciones de incertidumbre para la entropía de la información en la mecánica ondulatoria", Communications in Mathematical Physics , 44 (2): 129–132, Bibcode :1975CMaPh..44..129B, doi :10.1007/BF01608825, S2CID  122277352, archivado desde el original el 2021-02-08 , consultado el 2021-08-17
82. Huang, Yichen (24 de mayo de 2011). "Relaciones de incertidumbre entrópica en espacios multidimensionales de posición y momento". Physical Review A . 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Código Bibliográfico :2011PhRvA..83e2124H. doi :10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID  119243096.
83. Chafaï, D. (2003), "Máximo gaussiano de entropía y desigualdad log-Sobolev invertida", Séminaire de Probabilités XXXVI , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1801, págs. 194-200, arXiv : math/0102227 , doi :10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, Número de identificación del sujeto  17795603
84. Chiew, Shao-Hen; Gessner, Manuel (31 de enero de 2022). "Mejora de las relaciones de incertidumbre de suma con la información cuántica de Fisher". Physical Review Research . 4 (1): 013076. arXiv : 2109.06900 . Código Bibliográfico :2022PhRvR...4a3076C. doi :10.1103/PhysRevResearch.4.013076. S2CID  237513883.
85. Whittaker, Edmund T. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . Vol. II: Las teorías modernas, 1900-1926 (edición repetida). Nueva York: Dover Publ. p. 267. ISBN 978-0-486-26126-3.
86. "Este mes en la historia de la física". www.aps.org . Archivado desde el original el 2011-01-30 . Consultado el 2023-11-04 .
87. Heisenberg, W. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (en alemán), Leipzig: HirzelTraducción al español de Los principios físicos de la teoría cuántica . Chicago: University of Chicago Press, 1930.
88. Heisenberg, W., Die Physik der Atomkerne , Taylor y Francis, 1952, pág. 30.
89. Cassidy, David; Saperstein, Alvin M. (2009), "Más allá de la incertidumbre: Heisenberg, la física cuántica y la bomba", Physics Today , 63 (1), Nueva York: Bellevue Literary Press: 185, Bibcode : 2010PhT....63a..49C , doi : 10.1063/1.3293416 , archivado desde el original el 4 de enero de 2024
90. Greenstein, George; Zajonc, Arthur (2006). El desafío cuántico: investigación moderna sobre los fundamentos de la mecánica cuántica . Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
91. Tipler, Paul A.; Llewellyn, Ralph A. (1999), Física moderna, vol. 3, WH Freeman & Co., pág. 3, ISBN 978-1572591646, N.º de código de la LCCN  98046099
92. Furuta, Aya (2012), "Una cosa es cierta: el principio de incertidumbre de Heisenberg no está muerto", Scientific American , archivado desde el original el 2022-04-01 , consultado el 2018-10-20
93. Wheeler, John Archibald (1 de enero de 1978), Marlow, AR (ed.), "El 'pasado' y el experimento de doble rendija de 'elección retardada'", Fundamentos matemáticos de la teoría cuántica , Academic Press, págs. 9-48, doi :10.1016/b978-0-12-473250-6.50006-6, ISBN 978-0-12-473250-6, archivado desde el original el 10 de diciembre de 2022 , consultado el 19 de julio de 2023
94. Wheeler, John Archibald (1977), Lopes, José Leite; Paty, Michel (eds.), "¿Incluir al observador en la función de onda?", Mecánica cuántica, medio siglo después: artículos de un coloquio sobre cincuenta años de mecánica cuántica, celebrado en la Universidad Louis Pasteur, Estrasburgo, del 2 al 4 de mayo de 1974 , Episteme, Dordrecht: Springer Netherlands, pp. 1–18, doi :10.1007/978-94-010-1196-9_1, ISBN 978-94-010-1196-9, archivado desde el original el 23 de febrero de 2024 , consultado el 19 de julio de 2023
95. Werner Heisenberg, Los principios físicos de la teoría cuántica , pág. 20
96. De Broglie, Louis (octubre de 1923). "Ondas y cuantos". Nature . 112 (2815): 540. Bibcode :1923Natur.112..540D. doi : 10.1038/112540a0 . ISSN  1476-4687. S2CID  186242764.
97. Instituto Indio de Tecnología de Madrás, Profesor V. Balakrishnan, Lección 1: Introducción a la física cuántica; Principio de incertidumbre de Heisenberg, Programa Nacional de Aprendizaje Mejorado por la Tecnología en YouTube
98. Enz, Charles Paul; von Meyenn, Karl (1994). Escritos sobre física y filosofía de Wolfgang Pauli. Traducido por Robert Schlapp. Springer-Verlag. pág. 43. ISBN 3-540-56859-XArchivado desde el original el 19 de agosto de 2020. Consultado el 10 de febrero de 2018 .
99. Conferencias de Feynman sobre física, vol. 3, 2-2
100. Gamow, G., Los grandes físicos desde Galileo hasta Einstein , Courier Dover, 1988, p.260.
101. Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad , Icon, 2009, pág. 282.
102. Gamow, G., Los grandes físicos desde Galileo hasta Einstein , Courier Dover, 1988, págs. 260-261. ^{[ ISBN faltante ]}
103. Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad , Icon, 2009, pág. 287.
104. Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (15 de mayo de 1935). "¿Puede considerarse completa la descripción mecánico-cuántica de la realidad física?". Physical Review . 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
105. Kumar, Manjit (2011). Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad (1.ª edición). Nueva York: Norton. ISBN 978-0-393-33988-8.
106. Popper, Karl (1959), La lógica del descubrimiento científico , Hutchinson & Co.
107. Jarvie, Ian Charles; Milford, Karl; Miller, David W (2006), Karl Popper: una evaluación del centenario , vol. 3, Ashgate Publishing, ISBN 978-0-7546-5712-5
108. Popper, Karl; Carl Friedrich von Weizsäcker (1934), "Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Crítica de las relaciones de incertidumbre)", Naturwissenschaften , 22 (48): 807–808, Bibcode :1934NW.....22..807P, doi :10.1007/ BF01496543, S2CID  40843068.
109. Popper, K. Teoría cuántica y el cisma en la física , Unwin Hyman Ltd, 1982, págs. 53–54.
110. Mehra, Jagdish ; Rechenberg, Helmut (2001), El desarrollo histórico de la teoría cuántica , Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
111. Compton, AH (1931). "El principio de incertidumbre y el libre albedrío". Science . 74 (1911): 172. Bibcode :1931Sci....74..172C. doi :10.1126/science.74.1911.172. PMID  17808216. S2CID  29126625.
112. Heisenberg, M. (2009). "¿Es el libre albedrío una ilusión?". Nature . 459 (7244): 164–165. Bibcode :2009Natur.459..164H. doi : 10.1038/459164a . PMID  19444190. S2CID  4420023.
113. Davies, PCW (2004). "¿La mecánica cuántica juega un papel no trivial en la vida?". Biosystems . 78 (1–3): 69–79. Bibcode :2004BiSys..78...69D. doi :10.1016/j.biosystems.2004.07.001. PMID  15555759.
114. Hänggi, Esther; Wehner, Stephanie (2013). "Una violación del principio de incertidumbre implica una violación de la segunda ley de la termodinámica". Nature Communications . 4 : 1670. arXiv : 1205.6894 . Bibcode :2013NatCo...4.1670H. doi :10.1038/ncomms2665. PMID  23575674. S2CID  205316392.
115. Kemble, EC, 1937, Los principios fundamentales de la mecánica cuántica (McGraw-Hill, Nueva York; reimpreso por Dover), pág. 244
116. Haag, R. (1996), Física cuántica local: campos, partículas, álgebras , (Berlín: Springer). ^{[ página necesaria ] [ ISBN faltante ]}
117. Peres, Asher; Terno, Daniel R. (6 de enero de 2004). "Información cuántica y teoría de la relatividad". Reseñas de Física Moderna . 76 (1): 93–123 [111]. arXiv : quant-ph/0212023 . Código Bibliográfico :2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. ISSN  0034-6861. S2CID  7481797. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2024 . Consultado el 25 de enero de 2024 .
118. Elion, WJ; Asuntos, M.; Geigenmüller, U.; Mooij, JE (1994), "Demostración directa del principio de incertidumbre de Heisenberg en un superconductor", Nature , 371 (6498): 594–595, Bibcode :1994Natur.371..594E, doi :10.1038/371594a0, S2CID  4240085
119. Smithey, DT; M. Beck, J. Cooper, MG Raymer; Cooper, J.; Raymer, MG (1993), "Medición de relaciones de incertidumbre de número-fase de campos ópticos", Phys. Rev. A , 48 (4): 3159–3167, Bibcode :1993PhRvA..48.3159S, doi :10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID  9909968{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
120. Caves, Carlton (1981), "Ruido mecánico cuántico en un interferómetro", Phys. Rev. D , 23 (8): 1693–1708, Bibcode :1981PhRvD..23.1693C, doi :10.1103/PhysRevD.23.1693

Enlaces externos

• "Principio de incertidumbre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford