Tensor antisimétrico

Tensor igual al negativo de cualquiera de sus transposiciones

En matemáticas y física teórica , un tensor es antisimétrico en (o con respecto a ) un subconjunto de índice si alterna el signo (+/−) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto. ^{[1] [2]} El subconjunto de índice generalmente debe ser todo covariante o todo contravariante .

Por ejemplo, se cumple cuando el tensor es antisimétrico con respecto a sus tres primeros índices. $${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$

Si un tensor cambia de signo al intercambiarse cada par de sus índices, entonces el tensor es completamente (o totalmente ) antisimétrico . Un cuerpo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden puede denominarse como una forma diferencial , y un cuerpo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse como un cuerpo vectorial . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Tensores antisimétricos y simétricos

Un tensor A que es antisimétrico en índices y tiene la propiedad de que la contracción con un tensor B que es simétrico en índices y es idénticamente 0. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Para un tensor general U con componentes y un par de índices y U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como: ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j,}$

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

Notación

Una notación abreviada para la antisimetrización se denota mediante un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M y para un tensor covariante de orden 3 T , $${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$ $${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

En cualquier dimensión 2 o 3, estos pueden escribirse como donde es el delta de Kronecker generalizado y se utiliza la convención de suma de Einstein . $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$

De manera más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre los índices se puede expresar como ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

En general, cada tensor de rango 2 se puede descomponer en un par simétrico y antisimétrico como: $${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

Esta descomposición no es en general cierta para tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.

Ejemplos

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

• Trivialmente, todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (además de ser totalmente simétricos).
• El tensor electromagnético , en electromagnetismo . ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$
• La forma del volumen de Riemann en una variedad pseudo-riemanniana .

Véase también

• Matriz antisimétrica  – Forma de una matrizPages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra exterior  – Álgebra de productos exteriores/cuñas
• Símbolo de Levi-Civita  : objeto de permutación antisimétrica que actúa sobre tensores
• Cálculo de Ricci  : notación de índice tensorial para cálculos basados ​​en tensores
• Tensor simétrico  – Tensor invariante ante permutaciones de los vectores sobre los que actúa
• Simetrización  : proceso que convierte cualquier función en n variables en una función simétrica en n variablesPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
2. Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). De vectores a tensores. Saltador. pag. 225.ISBN​ 978-3-540-22887-5.artículo §7.

Referencias

• Penrose, Roger (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 85-86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

Enlaces externos

• Tensor antisimétrico – mathworld.wolfram.com