Operador de cambio

Operador mecánico cuántico que intercambia estados de partículas como argumentos de una función

En mecánica cuántica , el operador de intercambio , también conocido como operador de permutación , ^[1] es un operador mecánico cuántico que actúa sobre estados en el espacio de Fock . El operador de intercambio actúa intercambiando las etiquetas de dos partículas idénticas cualesquiera descritas por el estado cuántico de posición conjunta . ^[2] Dado que las partículas son idénticas, la noción de simetría de intercambio requiere que el operador de intercambio sea unitario . ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

Construcción

Intercambio de dos partículas en el espacio-tiempo 2+1 por rotación. Las rotaciones son inequivalentes, ya que una no puede deformarse en la otra (sin que las líneas de universo abandonen el plano, algo imposible en el espacio 2D).

En tres dimensiones o más , el operador de intercambio puede representar un intercambio literal de las posiciones del par de partículas mediante el movimiento de las partículas en un proceso adiabático , con todas las demás partículas fijas. Este movimiento no suele llevarse a cabo en la práctica. En cambio, la operación se trata como un "qué pasaría si..." similar a una operación de inversión de paridad o inversión temporal . Consideremos dos operaciones repetidas de este tipo de intercambio de partículas:

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

${\displaystyle {\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle ={\hat {P}}\left|x_{2},x_{1}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

Por lo tanto, no es sólo unitario sino también un operador raíz cuadrada de 1, lo que deja las posibilidades ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle \,.}$

Ambos signos se cumplen en la naturaleza. Las partículas que satisfacen el caso de +1 se denominan bosones y las partículas que satisfacen el caso de −1 se denominan fermiones . El teorema de estadística de espín dicta que todas las partículas con espín entero son bosones, mientras que todas las partículas con espín semientero son fermiones.

El operador de intercambio conmuta con el hamiltoniano y, por lo tanto, es una cantidad conservada . Por lo tanto, siempre es posible y, por lo general, lo más conveniente elegir una base en la que los estados sean estados propios del operador de intercambio. Un estado de este tipo es completamente simétrico bajo el intercambio de todos los bosones idénticos o completamente antisimétrico bajo el intercambio de todos los fermiones idénticos del sistema. Para hacer esto para los fermiones, por ejemplo, el antisimetrizador construye un estado completamente antisimétrico.

En dos dimensiones, el intercambio adiabático de partículas no es necesariamente posible. En cambio, los valores propios del operador de intercambio pueden ser factores de fase complejos (en cuyo caso no es hermítico), véase anyon para este caso. El operador de intercambio no está bien definido en un sistema estrictamente unidimensional, aunque existen construcciones de redes unidimensionales que se comportan como sistemas bidimensionales efectivos. ${\displaystyle {\hat {P}}}$

Química cuántica

En el método Hartree-Fock de química cuántica se define un operador de intercambio modificado para estimar la energía de intercambio que surge de las estadísticas de intercambio descritas anteriormente. En este método, a menudo se define un operador de intercambio energético como:

${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})f_{i}(x_{1})=\phi _{j}(x_{1})\int {{\frac {\phi _{j}^{*}(x_{2})f_{i}(x_{2})}{r_{12}}}\mathrm {d} x_{2}}}$

donde es el operador de intercambio de un electrón, y , son las funciones de onda de un electrón sobre las que actúa el operador de intercambio como funciones de las posiciones de los electrones, y y son las funciones de onda de un electrón del -ésimo electrón como funciones de las posiciones de los electrones. Su separación se denota . ^[3] Las etiquetas 1 y 2 son solo para conveniencia de notación, ya que físicamente no hay forma de realizar un seguimiento de "qué electrón es cuál". ${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})}$ ${\displaystyle f(x_{1})}$ ${\displaystyle f(x_{2})}$ ${\displaystyle \phi _{j}(x_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{j}(x_{2})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{12}}$

Véase también

• Interacción de intercambio
• Hamiltoniano (mecánica cuántica)
• Operador de Coulomb
• Simetría de intercambio o simetría de permutación

Referencias

1. Levine, IN, Química cuántica (4.ª ed., Prentice Hall 1991) pág. 262. ISBN  0-205-12770-3
2. JS Townsend (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica. Serie internacional de física pura y aplicada. Vol. 69 (2.ª ed.). University Science Books. pág. 342. ISBN 978-1891389139.
3. Levine, IN, Química cuántica (4.ª ed., Prentice Hall 1991) pág. 403. ISBN 0-205-12770-3 

• K. Kitaura; K. Morokuma (2004). "Un nuevo esquema de descomposición de energía para interacciones moleculares dentro de la aproximación Hartree-Fock". Revista Internacional de Química Cuántica . 10 (2). Wiley: 325–340. doi :10.1002/qua.560100211.
• Bylander, DM; Kleinman, Leonard (1990). "Buenas brechas de banda de semiconductores con una aproximación de densidad local modificada". Physical Review B . 41 (11): 7868–7871. Bibcode :1990PhRvB..41.7868B. doi :10.1103/PhysRevB.41.7868. PMID  9993089.
• AP Polychronakos (1992). "Formalismo de operadores de intercambio para sistemas integrables de partículas". Phys. Rev. Lett . 69 (5): 703–705. arXiv : hep-th/9202057 . Código Bibliográfico :1992PhRvL..69..703P. doi :10.1103/PhysRevLett.69.703. PMID  10047011. S2CID  14319416.
• Szépfalusy, P. (1957). "Sobre un nuevo potencial cambiario". Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae . 7 (3): 357–364. doi :10.1007/BF03156345. S2CID  124672448.
• RK Nesbet (1958). "El operador de intercambio de Heisenberg para sistemas ferromagnéticos y antiferromagnéticos". Anales de Física . 4 (1). Lincoln, Massachusetts, EE. UU.: Elsevier: 87–103. Bibcode :1958AnPhy...4...87N. doi :10.1016/0003-4916(58)90039-3.
• "La ecuación de Hartree-Fock".

Enlaces externos

• 2.3.Partículas idénticas, P. Haynes Archivado el 1 de julio de 2013 en Wayback Machine.
• Capítulo 12, Estados de partículas múltiples
• Intercambio de partículas idénticas y posiblemente indistinguibles, J. Denker