El volumen es una medida de regiones en el espacio tridimensional . [1] A menudo se cuantifica numéricamente utilizando unidades derivadas del SI (como el metro cúbico y el litro ) o mediante varias unidades imperiales o tradicionales de EE. UU. (como el galón , el cuarto de galón , la pulgada cúbica ). La definición de longitud y altura (al cubo) está interrelacionada con el volumen. El volumen de un recipiente generalmente se entiende como la capacidad del recipiente; es decir, la cantidad de fluido (gas o líquido) que el recipiente podría contener, en lugar de la cantidad de espacio que el recipiente en sí desplaza. Por metonimia , el término "volumen" a veces se usa para referirse a la región correspondiente (por ejemplo, volumen límite ). [2] [3]
En la antigüedad, el volumen se medía utilizando recipientes naturales de formas similares. Más tarde, se utilizaron recipientes estandarizados. Algunas formas tridimensionales simples pueden calcular fácilmente su volumen utilizando fórmulas aritméticas . Los volúmenes de formas más complicadas se pueden calcular con cálculo integral si existe una fórmula para el límite de la forma. Los objetos de dimensión cero , unidimensionales y bidimensionales no tienen volumen; en cuatro dimensiones y más, un concepto análogo al volumen normal es el hipervolumen.
La precisión de las mediciones de volumen en el período antiguo generalmente varía entre 10 y 50 ml (0,3 a 2 onzas líquidas estadounidenses; 0,4 a 2 onzas líquidas imperiales). [4] : 8 La evidencia más temprana del cálculo del volumen provino del antiguo Egipto y Mesopotamia como problemas matemáticos, aproximando el volumen de formas simples como cuboides , cilindros , troncos y conos . Estos problemas matemáticos se han escrito en el Papiro matemático de Moscú (c. 1820 a. C.). [5] : 403 En el Papiro Reisner , los antiguos egipcios han escrito unidades concretas de volumen para granos y líquidos, así como una tabla de longitud, ancho, profundidad y volumen para bloques de material. [4] : 116 Los egipcios usan sus unidades de longitud (el codo , la palma , el dígito ) para idear sus unidades de volumen, como el codo de volumen [4] : 117 o niegan [5] : 396 (1 codo × 1 codo × 1 codo), el volumen palma (1 codo × 1 codo × 1 palma) y el volumen dígito (1 codo × 1 codo × 1 dígito). [4] : 117
Los últimos tres libros de los Elementos de Euclides , escritos alrededor del 300 a. C., detallan las fórmulas exactas para calcular el volumen de paralelepípedos , conos, pirámides , cilindros y esferas . La fórmula fue determinada por matemáticos anteriores mediante el uso de una forma primitiva de integración , dividiendo las formas en piezas más pequeñas y simples. [5] : 403 Un siglo después, Arquímedes ( c. 287 - 212 a. C. ) ideó una fórmula aproximada del volumen de varias formas utilizando el método de aproximación por agotamiento, es decir, derivar soluciones de fórmulas conocidas previamente a partir de formas similares. La integración primitiva de formas también fue descubierta de forma independiente por Liu Hui en el siglo III d. C., Zu Chongzhi en el siglo V d. C., Oriente Medio y la India . [5] : 404
Arquímedes también ideó una forma de calcular el volumen de un objeto irregular, sumergiéndolo bajo el agua y midiendo la diferencia entre el volumen de agua inicial y final. La diferencia de volumen de agua es el volumen del objeto. [5] : 404 Aunque muy popularizado, Arquímedes probablemente no sumerja la corona de oro para encontrar su volumen, y por lo tanto su densidad y pureza, debido a la extrema precisión involucrada. [6] En cambio, es probable que haya ideado una forma primitiva de balanza hidrostática . Aquí, la corona y un trozo de oro puro con un peso similar se colocan en ambos extremos de una balanza sumergida bajo el agua, que se inclinará en consecuencia debido al principio de Arquímedes . [7]
En la Edad Media se crearon muchas unidades para medir el volumen, como el sester , el ámbar, el coomb y el seam . La gran cantidad de tales unidades motivó a los reyes británicos a estandarizarlas, lo que culminó en el estatuto Assize of Bread and Ale en 1258 por Enrique III de Inglaterra . El estatuto estandarizó el peso, la longitud y el volumen, además de introducir el peny, la onza, la libra, el galón y el bushel. [4] : 73–74 En 1618, la Farmacopea de Londres (catálogo de compuestos medicinales) adoptó el galón romano [8] o congius [9] como unidad básica de volumen y proporcionó una tabla de conversión a las unidades de peso de los boticarios. [8] En esta época, las mediciones de volumen se vuelven más precisas y la incertidumbre se reduce a entre 1 y 5 ml (0,03 a 0,2 onzas líquidas estadounidenses; 0,04 a 0,2 onzas líquidas imperiales). [4] : 8
A principios del siglo XVII, Bonaventura Cavalieri aplicó la filosofía del cálculo integral moderno para calcular el volumen de cualquier objeto. Ideó el principio de Cavalieri , que decía que el uso de rebanadas cada vez más delgadas de la forma haría que el volumen resultante fuera cada vez más preciso. Esta idea sería ampliada más tarde por Pierre de Fermat , John Wallis , Isaac Barrow , James Gregory , Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz y Maria Gaetana Agnesi en los siglos XVII y XVIII para formar el cálculo integral moderno, que sigue utilizándose en el siglo XXI. [5] : 404
El 7 de abril de 1795, el sistema métrico se definió formalmente en la ley francesa utilizando seis unidades. Tres de ellas están relacionadas con el volumen: el stère (1 m 3 ) para el volumen de leña; el litro (1 dm 3 ) para volúmenes de líquido; y el gramo , para la masa, definida como la masa de un centímetro cúbico de agua a la temperatura de fusión del hielo. [10] Treinta años después, en 1824, el galón imperial se definió como el volumen ocupado por diez libras de agua a 17 °C (62 °F). [5] : 394 Esta definición se perfeccionó aún más hasta la Ley de Pesos y Medidas del Reino Unido de 1985 , que hace que 1 galón imperial sea exactamente igual a 4,54609 litros sin uso de agua. [11]
La redefinición del metro en 1960, del Prototipo Internacional del Metro a la línea de emisión naranja-roja de los átomos de criptón-86, liberó al metro, al metro cúbico y al litro de los objetos físicos. Esto también hizo que el metro y las unidades de volumen derivadas del metro fueran resistentes a los cambios en el Prototipo Internacional del Metro. [12] La definición del metro se redefinió nuevamente en 1983 para usar la velocidad de la luz y el segundo (que se deriva del estándar de cesio ) y se reformuló para mayor claridad en 2019. [ 13]
Como medida del espacio tridimensional euclidiano , el volumen no se puede medir físicamente como un valor negativo, similar a la longitud y el área . Como todas las medidas monótonas continuas (que preservan el orden), los volúmenes de los cuerpos se pueden comparar entre sí y, por lo tanto, se pueden ordenar. El volumen también se puede sumar y descomponer indefinidamente; la última propiedad es parte integral del principio de Cavalieri y del cálculo infinitesimal de cuerpos tridimensionales. [14] Una "unidad" de volumen infinitesimalmente pequeño en el cálculo integral es el elemento de volumen ; esta formulación es útil cuando se trabaja con diferentes sistemas de coordenadas , espacios y variedades .
La forma más antigua de medir aproximadamente el volumen de un objeto es utilizando el cuerpo humano, como el tamaño de la mano y los pellizcos . Sin embargo, las variaciones del cuerpo humano lo hacen extremadamente poco confiable. Una mejor manera de medir el volumen es utilizar recipientes aproximadamente consistentes y duraderos que se encuentran en la naturaleza, como calabazas , estómagos de oveja o cerdo y vejigas . Más tarde, a medida que la metalurgia y la producción de vidrio mejoraron, los volúmenes pequeños en la actualidad generalmente se miden utilizando recipientes estandarizados hechos por el hombre. [5] : 393 Este método es común para medir pequeños volúmenes de fluidos o materiales granulares , utilizando un múltiplo o fracción del recipiente. Para materiales granulares, el recipiente se agita o se nivela para formar una superficie aproximadamente plana. Este método no es la forma más precisa de medir el volumen, pero a menudo se usa para medir ingredientes de cocina . [5] : 399
La pipeta de desplazamiento de aire se utiliza en biología y bioquímica para medir el volumen de fluidos a escala microscópica. [15] Las tazas y cucharas medidoras calibradas son adecuadas para cocinar y aplicaciones de la vida diaria, sin embargo, no son lo suficientemente precisas para los laboratorios . Allí, el volumen de líquidos se mide utilizando cilindros graduados , pipetas y matraces volumétricos . Los más grandes de estos contenedores calibrados son los tanques de almacenamiento de petróleo , algunos pueden contener hasta 1.000.000 bbl (160.000.000 L) de fluidos. [5] : 399 Incluso a esta escala, al conocer la densidad y la temperatura del petróleo, aún se pueden realizar mediciones de volumen muy precisas en estos tanques. [5] : 403
Para volúmenes aún mayores, como en un depósito , el volumen del recipiente se modela mediante formas y se calcula mediante matemáticas. [5] : 403
Para facilitar los cálculos, una unidad de volumen es igual al volumen ocupado por un cubo unitario (con una longitud de lado de uno). Debido a que el volumen ocupa tres dimensiones, si se elige el metro (m) como unidad de longitud, la unidad de volumen correspondiente es el metro cúbico (m 3 ). El metro cúbico también es una unidad derivada del SI . [16] Por lo tanto, el volumen tiene una dimensión unitaria de L 3 . [17]
Las unidades métricas de volumen utilizan prefijos métricos , estrictamente en potencias de diez . Al aplicar prefijos a unidades de volumen, que se expresan en unidades de longitud al cubo, los operadores de cubo se aplican a la unidad de longitud que incluye el prefijo. Un ejemplo de conversión de centímetro cúbico a metro cúbico es: 2,3 cm 3 = 2,3 (cm) 3 = 2,3 (0,01 m) 3 = 0,0000023 m 3 (cinco ceros). [18] : 143
Los prefijos comúnmente utilizados para las unidades de longitud cúbica son el milímetro cúbico (mm 3 ), el centímetro cúbico (cm 3 ), el decímetro cúbico (dm 3 ), el metro cúbico (m 3 ) y el kilómetro cúbico (km 3 ). La conversión entre las unidades de prefijo es la siguiente: 1000 mm 3 = 1 cm 3 , 1000 cm 3 = 1 dm 3 y 1000 dm 3 = 1 m 3 . [1] El sistema métrico también incluye el litro (L) como unidad de volumen, donde 1 L = 1 dm 3 = 1000 cm 3 = 0,001 m 3 . [18] : 145 Para la unidad litro, los prefijos comúnmente utilizados son el mililitro (mL), el centilitro (cL) y el litro (L), con 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL y 10 dL = 1 L. [1]
También se utilizan otras unidades de volumen imperiales o tradicionales de EE. UU. , entre ellas: [5] : 396–398
La capacidad es la cantidad máxima de material que puede contener un contenedor, medida en volumen o peso . Sin embargo, el volumen contenido no necesita llenarse hasta alcanzar la capacidad del contenedor, o viceversa. Los contenedores solo pueden contener una cantidad específica de volumen físico, no de peso (excluyendo cuestiones prácticas). Por ejemplo, un tanque de 50.000 bbl (7.900.000 L) que puede contener solo 7.200 t (15.900.000 lb) de fueloil no podrá contener las mismas 7.200 t (15.900.000 lb) de nafta , debido a la menor densidad de la nafta y, por lo tanto, a su mayor volumen. [5] : 390–391
Para muchas formas, como el cubo , el cuboide y el cilindro , la fórmula de cálculo de volumen es esencialmente la misma que para el prisma : la base de la forma multiplicada por su altura .
El cálculo del volumen es una parte vital del cálculo integral . Uno de ellos es el cálculo del volumen de los sólidos de revolución , al rotar una curva plana alrededor de una línea en el mismo plano. El método de integración de arandelas o discos se utiliza cuando se integra por un eje paralelo al eje de rotación. La ecuación general se puede escribir como: donde y son los límites de la curva plana. [19] : 1, 3 El método de integración de capas se utiliza cuando se integra por un eje perpendicular al eje de rotación. La ecuación se puede escribir como: [19] : 6 El volumen de una región D en el espacio tridimensional está dado por la integral triple o de volumen de la función constante sobre la región. Por lo general, se escribe como: [20] : Sección 14.4
En coordenadas cilíndricas , la integral de volumen es
En coordenadas esféricas (usando la convención para ángulos con como acimut y medidos desde el eje polar; ver más sobre convenciones ), la integral de volumen es
Una malla poligonal es una representación de la superficie de un objeto mediante polígonos . La malla de volumen define explícitamente sus propiedades de volumen y superficie.
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