Métodos sin malla

Métodos de análisis numérico que no requieren conocimiento de puntos vecinos.

20 puntos y sus células Voronoi.

En el campo del análisis numérico , los métodos meshfree son aquellos que no requieren conexión entre nodos del dominio de simulación, es decir, una malla , sino que se basan en la interacción de cada nodo con todos sus vecinos. Como consecuencia, las propiedades extensivas originales, como la masa o la energía cinética, ya no se asignan a los elementos de la malla sino a los nodos individuales. Los métodos sin malla permiten la simulación de algunos tipos de problemas que de otro modo serían difíciles, a costa de tiempo de cálculo y esfuerzo de programación adicionales. La ausencia de una malla permite simulaciones lagrangianas , en las que los nodos pueden moverse según el campo de velocidades .

Motivación

Los métodos numéricos como el método de diferencias finitas , el método de volúmenes finitos y el método de elementos finitos se definieron originalmente en mallas de puntos de datos. En dicha malla, cada punto tiene un número fijo de vecinos predefinidos, y esta conectividad entre vecinos se puede utilizar para definir operadores matemáticos como la derivada . Luego, estos operadores se utilizan para construir las ecuaciones que se van a simular, como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes .

Pero en simulaciones donde el material que se simula puede moverse (como en la dinámica de fluidos computacional ) o donde pueden ocurrir grandes deformaciones del material (como en simulaciones de materiales plásticos ), la conectividad de la malla puede ser difícil de mantener sin introducir errores en la simulación. Si la malla se enreda o se degenera durante la simulación, es posible que los operadores definidos en ella ya no proporcionen valores correctos. La malla se puede recrear durante la simulación (un proceso llamado remallado), pero esto también puede introducir errores, ya que todos los puntos de datos existentes deben asignarse a un conjunto nuevo y diferente de puntos de datos. Los métodos sin malla están destinados a remediar estos problemas. Los métodos sin malla también son útiles para:

• Simulaciones en las que crear una malla útil a partir de la geometría de un objeto 3D complejo puede ser especialmente difícil o requerir asistencia humana.
• Simulaciones en las que se pueden crear o destruir nodos, como en simulaciones de craqueo
• Simulaciones en las que la geometría del problema puede desalinearse con una malla fija, como en simulaciones de flexión
• Simulaciones que contienen comportamiento material no lineal, discontinuidades o singularidades.

Ejemplo

En una simulación tradicional en diferencias finitas , el dominio de una simulación unidimensional sería alguna función , representada como una malla de valores de datos en puntos , donde ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u_{i}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

${\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

Podemos definir las derivadas que ocurren en la ecuación que se simula usando algunas fórmulas en diferencias finitas en este dominio, por ejemplo

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

y

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

Luego podemos usar estas definiciones y sus derivadas espaciales y temporales para escribir la ecuación que se está simulando en forma de diferencias finitas y luego simular la ecuación con uno de los muchos métodos de diferencias finitas . ${\displaystyle u(x,t)}$

En este ejemplo simple, los pasos (aquí el paso espacial y el paso de tiempo ) son constantes a lo largo de toda la malla, y los vecinos de malla izquierdo y derecho del valor de datos en son los valores en y , respectivamente. Generalmente en diferencias finitas se pueden permitir de manera muy simple pasos variables a lo largo de la malla, pero todos los nodos originales deben conservarse y pueden moverse de forma independiente sólo deformando los elementos originales. Si solo dos de todos los nodos cambian su orden, o incluso si solo se agrega o elimina un nodo de la simulación, eso crea un defecto en la malla original y la aproximación simple en diferencias finitas ya no puede mantenerse. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i+1}}$

La hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH), uno de los métodos sin malla más antiguos, resuelve este problema tratando los puntos de datos como partículas físicas con masa y densidad que pueden moverse con el tiempo y llevar consigo algún valor . SPH luego define el valor de entre las partículas por ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

donde es la masa de la partícula , es la densidad de la partícula y es una función central que opera en puntos de datos cercanos y se elige por su suavidad y otras cualidades útiles. Por linealidad, podemos escribir la derivada espacial como ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

Luego podemos usar estas definiciones de y sus derivadas espaciales para escribir la ecuación que se está simulando como una ecuación diferencial ordinaria y simular la ecuación con uno de muchos métodos numéricos . En términos físicos, esto significa calcular las fuerzas entre las partículas y luego integrar estas fuerzas a lo largo del tiempo para determinar su movimiento. ${\displaystyle u(x,t)}$

La ventaja de SPH en esta situación es que las fórmulas de y sus derivados no dependen de ninguna información de adyacencia sobre las partículas; pueden usar las partículas en cualquier orden, por lo que no importa si las partículas se mueven o incluso intercambian lugares. ${\displaystyle u(x,t)}$

Una desventaja de SPH es que requiere programación adicional para determinar los vecinos más cercanos de una partícula. Dado que la función kernel solo devuelve resultados distintos de cero para partículas cercanas dentro del doble de la "longitud de suavizado" (porque normalmente elegimos funciones kernel con soporte compacto ), sería una pérdida de esfuerzo calcular las sumas anteriores sobre cada partícula en una simulación grande. Por lo general, los simuladores SPH requieren algún código adicional para acelerar el cálculo del vecino más cercano. ${\displaystyle W}$

Historia

Uno de los primeros métodos sin malla es la hidrodinámica de partículas suavizadas , presentada en 1977. ^[1] Libersky et al. ^[2] fueron los primeros en aplicar SPH en mecánica de sólidos. Los principales inconvenientes de SPH son los resultados inexactos cerca de los límites y la inestabilidad de la tensión que fue investigada por primera vez por Swegle. ^[3]

En la década de 1990 surgió una nueva clase de métodos sin malla basada en el método Galerkin . Este primer método llamado método del elemento difuso ^[4] (DEM), iniciado por Nayroles et al., utilizó la aproximación MLS en la solución de Galerkin de ecuaciones diferenciales parciales, con derivadas aproximadas de la función MLS. A partir de entonces, Belytschko fue pionero en el método Element Free Galerkin (EFG), ^[5] que empleaba MLS con multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno, cuadratura numérica de orden superior en la forma débil y derivadas completas de la aproximación MLS que proporcionaba una mayor precisión. Casi al mismo tiempo, surgió el método de reproducción de partículas del núcleo ^[6] (RKPM), cuya aproximación motivó en parte a corregir la estimación del núcleo en SPH: para brindar precisión cerca de los límites, en discretizaciones no uniformes y precisión de orden superior en general. . En particular, en un desarrollo paralelo, los métodos de puntos materiales se desarrollaron casi al mismo tiempo ^[7] , que ofrecen capacidades similares. Los métodos de puntos materiales se utilizan ampliamente en la industria cinematográfica para simular grandes deformaciones mecánicas de sólidos, como la nieve en la película Frozen . ^[8] Chen, Liu y Li desarrollaron ampliamente el RKPM y otros métodos sin malla a finales de la década de 1990 para una variedad de aplicaciones y diversas clases de problemas. ^[9] Durante la década de 1990 y posteriormente se desarrollaron varias otras variedades, incluidas las que se enumeran a continuación.

Lista de métodos y acrónimos

Generalmente se considera que los siguientes métodos numéricos pertenecen a la clase general de métodos "sin malla". Las siglas se proporcionan entre paréntesis.

• Hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) (1977)
• Método del elemento difuso (DEM) (1992)
• Dinámica de partículas disipativas (DPD) (1992)
• Método de Galerkin libre de elementos (EFG/EFGM) (1994)
• Método de reproducción de partículas del núcleo (RKPM) (1995)
• Método de punto finito (FPM) (1996)
• Método de puntos finitos (FPM) (1998)
• nubes-hp
• Método de elementos naturales (NEM)
• Método del punto material (MPM)
• Petrov Galerkin local sin malla (MLPG) (1998) ^[10]
• Formulación sin malla de tensión generalizada (GSMF) (2016) ^[11]
• Partícula en movimiento semi-implícita (MPS)
• Método generalizado de diferencias finitas (GFDM) ^{[12] [13]}
• Partícula en celda (PIC)
• Método de elementos finitos de partículas en movimiento (MPFEM)
• Método de nube finita (FCM)
• Método del nodo límite (BNM)
• Método de interpolación Kriging en movimiento sin malla (MK)
• Método de nube límite (BCM)
• Método de soluciones fundamentales (MFS)
• Método de solución particular (MPS)
• Método de esferas finitas (MFS)
• Método de vórtice discreto (DVM)
• Método de reproducción de partículas del núcleo (RKPM) (1995) ^[14]
• Método de partículas de kernel de reproducción generalizada/de gradiente (2011) ^[15]
• Método de masa finita (FMM) (2000) ^[16]
• Método de interpolación de puntos suavizados (S-PIM) (2005). ^[17]
• Método de interpolación de puntos radiales locales sin malla (RPIM). ^[17]
• Método de colocación de función de base radial local (LRBFCM) ^[18]
• Método de dominios de vórtice viscoso (VVD)
• Método de craqueo de partículas (CPM) (2004)
• Método de mínimos cuadrados discretos sin malla (DLSM) (2006)
• Método de partículas inmersas (IPM) (2006)
• Método óptimo de transporte sin malla (OTM) (2010) ^[19]
• Método de reemplazo repetido (RRM) (2012) ^[20]
• Método de ecuación integral de base radial ^[21]
• Método sin malla de colocación de mínimos cuadrados (2001) ^[22]
• Método de funciones de base exponencial (EBF) (2010) ^[23]

Métodos relacionados:

• Mínimos cuadrados móviles (MLS): proporciona un método de aproximación general para un conjunto arbitrario de nodos
• Métodos de partición de unidades (PoUM): proporciona una formulación de aproximación general utilizada en algunos métodos sin malla
• Método de mezcla continua (enriquecimiento y acoplamiento de elementos finitos y métodos sin malla) – ver Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• FEM extendido , FEM generalizado (XFEM, GFEM): variantes de FEM (método de elementos finitos) que combinan algunos aspectos sin malla
• Método de elementos finitos suavizados (S-FEM) (2007)
• Método de suavizado de gradiente (GSM) (2008)
• Máxima entropía local (LME) – ver Arroyo y Ortiz (2006)
• Método de colocación libre de malla espacio-tiempo (STMCM): consulte Netuzhylov (2008), Netuzhylov y Zilian (2009).
• Método de interfaz sin malla y elementos finitos (MIFEM) (2015): un método híbrido sin malla y elementos finitos para la simulación numérica de transformación de fases y problemas de flujo multifásico ^[24]

Desarrollo reciente

Las principales áreas de avance en los métodos sin malla son abordar problemas relacionados con el cumplimiento de límites esenciales, la cuadratura numérica y las deformaciones grandes y de contacto. ^{[25] La} forma débil común requiere una fuerte aplicación de las condiciones de contorno esenciales, sin embargo, los métodos sin malla en general carecen de la propiedad delta de Kronecker . Esto hace que la aplicación de las condiciones de contorno esenciales no sea trivial, al menos más difícil que el método de elementos finitos , donde se pueden imponer directamente. Se han desarrollado técnicas para superar esta dificultad e imponer condiciones con fuerza. Se han desarrollado varios métodos para imponer débilmente las condiciones de contorno esenciales , incluidos los multiplicadores de Lagrange , el método de Nitche y el método de penalización.

En cuanto a la cuadratura , generalmente se prefiere la integración nodal, que ofrece simplicidad, eficiencia y mantiene el método sin malla libre de cualquier malla (en lugar de usar la cuadratura de Gauss , que requiere una malla para generar puntos y pesos de cuadratura). Sin embargo, la integración nodal adolece de inestabilidad numérica debido a la subestimación de la energía de deformación asociada con los modos de longitud de onda corta ^[26] y también produce resultados inexactos y no convergentes debido a la subintegración de la forma débil. ^[27] Un avance importante en la integración numérica ha sido el desarrollo de una integración nodal conforme estabilizada (SCNI) que proporciona un método de integración nodal que no sufre ninguno de estos problemas. ^[27] El método se basa en el suavizado de deformaciones que satisface la prueba de parche de primer orden . Sin embargo, más tarde se descubrió que los modos de baja energía todavía estaban presentes en SCNI y se desarrollaron métodos de estabilización adicionales. Este método se ha aplicado a una variedad de problemas que incluyen placas delgadas y gruesas, poromecánica y problemas dominados por convección, entre otros. ^[25] Más recientemente, se ha desarrollado un marco para pasar pruebas de parche de orden arbitrario, basado en un método de Petrov-Galerkin . ^[28]

Un avance reciente en los métodos sin malla tiene como objetivo el desarrollo de herramientas computacionales para la automatización en modelado y simulaciones. Esto es posible gracias a la denominada formulación débil debilitada (W2), basada en la teoría del espacio G. ^{[29] [30]} La formulación W2 ofrece posibilidades para formular varios modelos (uniformemente) "suaves" que funcionan bien con mallas triangulares. Debido a que una malla triangular se puede generar automáticamente, resulta mucho más fácil volver a mallar y, por lo tanto, permite la automatización en el modelado y la simulación. Además, los modelos W2 se pueden hacer lo suficientemente suaves (de manera uniforme) para producir soluciones de límite superior (para problemas de conducción forzada). Junto con los modelos rígidos (como los modelos FEM totalmente compatibles), se puede unir cómodamente la solución por ambos lados. Esto permite una fácil estimación del error para problemas generalmente complicados, siempre que se pueda generar una malla triangular. Los modelos W2 típicos son los métodos de interpolación de puntos suavizados (o S-PIM). ^[17] El S-PIM puede estar basado en nodos (conocido como NS-PIM o LC-PIM), ^[31] basado en bordes (ES-PIM), ^[32] y basado en células (CS-PIM). ^[33] El NS-PIM se desarrolló utilizando la llamada técnica SCNI. ^[27] Luego se descubrió que NS-PIM es capaz de producir una solución de límite superior y bloqueo volumétrico libre. ^[34] El ES-PIM tiene una precisión superior y el CS-PIM se comporta entre el NS-PIM y el ES-PIM. Además, las formulaciones W2 permiten el uso de funciones de base polinómica y radial en la creación de funciones de forma (se adaptan a las funciones de desplazamiento discontinuo, siempre que estén en el espacio G1), lo que abre más espacios para futuros desarrollos. La formulación W2 también ha llevado al desarrollo de una combinación de técnicas sin malla con las técnicas FEM bien desarrolladas, y ahora se puede utilizar malla triangular con excelente precisión y suavidad deseada. Una formulación típica de este tipo es el llamado método suavizado de elementos finitos (o S-FEM). ^[35] El S-FEM es la versión lineal del S-PIM, pero con la mayoría de las propiedades del S-PIM y mucho más simple.

Es una percepción general que los métodos sin malla son mucho más caros que sus homólogos FEM. Sin embargo, un estudio reciente ha descubierto que algunos métodos sin malla, como S-PIM y S-FEM, pueden ser mucho más rápidos que sus homólogos FEM. ^{[17] [35]}

El S-PIM y el S-FEM funcionan bien para problemas de mecánica sólida. Para los problemas de CFD, la formulación puede ser más sencilla, mediante una formulación sólida. También se ha desarrollado recientemente un método de suavizado de gradiente (GSM) para problemas CFD, implementando la idea de suavizado de gradiente de forma sólida. ^{[36] [37]} El GSM es similar a [FVM], pero utiliza operaciones de suavizado de gradiente exclusivamente en modelos anidados, y es un método numérico general para PDE.

La integración nodal se ha propuesto como una técnica para utilizar elementos finitos para emular un comportamiento sin malla. ^{[ cita necesaria ]} Sin embargo, el obstáculo que debe superarse al utilizar elementos integrados nodales es que las cantidades en los puntos nodales no son continuas y los nodos se comparten entre múltiples elementos.

Ver también

• Mecánica de Medios Continuos
• Método de elementos finitos suavizados ^[35]
• Espacio G ^[38]
• Forma débil debilitada ^{[29] [30]}
• Método del elemento límite
• Método de límite sumergido
• Código de plantilla
• método de partículas

Referencias

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Otras lecturas

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• Bruto, BJ; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 de marzo de 2022). "Estadísticas de tiempo de primer paso en superficies de forma general: solucionadores de PDE de superficie que utilizan mínimos cuadrados móviles generalizados (GMLS)". Revista de Física Computacional . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Código Bib : 2022JCoPh.45310932G. doi :10.1016/j.jcp.2021.110932. ISSN  0021-9991. S2CID  231802303.

enlaces externos

• El blog de USACM sobre métodos Meshfree