Formulación débil

Herramientas matemáticas

Las formulaciones débiles son herramientas importantes para el análisis de ecuaciones matemáticas que permiten la transferencia de conceptos de álgebra lineal para resolver problemas en otros campos como las ecuaciones diferenciales parciales . En una formulación débil, ya no se requiere que las ecuaciones o condiciones se cumplan de manera absoluta (y esto ni siquiera está bien definido) y, en cambio, tiene soluciones débiles solo con respecto a ciertos "vectores de prueba" o " funciones de prueba ". En una formulación fuerte , el espacio de soluciones se construye de modo que estas ecuaciones o condiciones ya se cumplan.

El teorema de Lax-Milgram , llamado así en honor a Peter Lax y Arthur Milgram , quienes lo demostraron en 1954, proporciona formulaciones débiles para ciertos sistemas en espacios de Hilbert .

Concepto general

Sea un espacio de Banach , sea el espacio dual de , sea , ^{[ aclaración necesaria ]} y sea . Un vector es una solución de la ecuación ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\colon V\to V'}$ ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

si y solo si para todos , ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle (Au)(v)=f(v).}$$

Una elección particular de se llama vector de prueba (en general) o función de prueba (si es un espacio de funciones). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Para llevar esto a la forma genérica de una formulación débil, encuentre tal que ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$$

definiendo la forma bilineal

$${\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}$$

Ejemplo 1: sistema lineal de ecuaciones

Ahora, sean y una aplicación lineal . Entonces, la formulación débil de la ecuación ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

implica encontrar tal que para todos se cumpla la siguiente ecuación: ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$$

donde denota un producto interno . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Como es una aplicación lineal, es suficiente probar con vectores base , y obtenemos ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

En realidad, desarrollando , obtenemos la forma matricial de la ecuación ${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$$

donde y . ${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$ ${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$

La forma bilineal asociada a esta formulación débil es

$${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$$

Ejemplo 2: ecuación de Poisson

Para resolver la ecuación de Poisson

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$$

en un dominio con en su límite , y para especificar el espacio de solución más tarde, se puede utilizar el producto escalar ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$$

para derivar la formulación débil. Luego, probando con funciones diferenciables se obtiene ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

El lado izquierdo de esta ecuación se puede hacer más simétrico mediante la integración por partes utilizando la identidad de Green y asumiendo que en : ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Esto es lo que se suele llamar la formulación débil de la ecuación de Poisson . Las funciones en el espacio de solución deben ser cero en el borde y tener derivadas integrables al cuadrado . El espacio apropiado para satisfacer estos requisitos es el espacio de Sobolev de funciones con derivadas débiles en y con condiciones de borde cero, por lo que . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

La forma genérica se obtiene asignando

$${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$$

y

$${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

El teorema de Lax-Milgram

Esta es una formulación del teorema de Lax-Milgram que se basa en propiedades de la parte simétrica de la forma bilineal . No es la forma más general.

Sea un espacio de Hilbert y una forma bilineal en , que es ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

1. delimitado : y ${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}$
2. coercitivo : ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}$

Entonces, para cualquier , hay una solución única para la ecuación ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$$

y se mantiene

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}$$

Aplicación al ejemplo 1

En este caso, la aplicación del teorema de Lax-Milgram proporciona un resultado más contundente del necesario.

• Acotación: todas las formas bilineales de están acotadas. En particular, tenemos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$$
• Coercitividad: esto significa que las partes reales de los valores propios de no son menores que . Como esto implica en particular que ningún valor propio es cero, el sistema es solucionable. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$

Además, esto produce la estimación donde es la parte real mínima de un valor propio de . $${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

Aplicación al ejemplo 2

Aquí, elige con la norma. ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$ $${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$$

donde la norma de la derecha es la norma - en (esto proporciona una norma verdadera en por la desigualdad de Poincaré ). Pero, vemos que y por la desigualdad de Cauchy–Schwarz , . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$ ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$

Por lo tanto, para cualquier , existe una solución única de la ecuación de Poisson y tenemos la estimación ${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$$

Véase también

• Teorema de Babuška-Lax-Milgram
• Teorema de Lions-Lax-Milgram

Referencias

• Lax, Peter D. ; Milgram, Arthur N. (1954), "Ecuaciones parabólicas", Contribuciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, NJ : Princeton University Press , págs. 167–190, doi :10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, MR  0067317, Zbl  0058.08703

Enlaces externos

• Página de MathWorld sobre el teorema de Lax-Milgram