Formulación sin malla de tensión generalizada

La formulación libre de malla de deformación generalizada ( GSMF ) es un método libre de malla local en el campo del análisis numérico , completamente libre de integración, que funciona como una colocación de forma débil de residuo ponderado. Este método fue presentado por primera vez por Oliveira y Portela (2016), ^[1] con el fin de mejorar aún más la eficiencia computacional de los métodos libres de malla en el análisis numérico. Los métodos libres de malla locales se derivan a través de una formulación de residuo ponderado que conduce a una forma débil local que es el conocido teorema de trabajo de la teoría de estructuras. En una región local arbitraria, el teorema de trabajo establece una relación energética entre un campo de tensión estáticamente admisible y un campo de deformación cinemáticamente admisible independiente. Con base en la independencia de estos dos campos, esta formulación da como resultado una forma local del teorema de trabajo que se reduce solo a términos de contorno regulares, libre de integración y libre de bloqueo volumétrico.

Las ventajas sobre los métodos de elementos finitos son que GSMF no depende de una cuadrícula y es más preciso y rápido al resolver problemas bidimensionales. En comparación con otros métodos sin malla, como la formulación de desplazamiento de cuerpo rígido sin malla (RBDMF), el Galerkin sin elementos (EFG) ^{[2] y el} método de volumen finito local de Petrov-Galerkin sin malla (MLPG FVM); ^[3] GSMF demostró ser superior no solo en cuanto a la eficiencia computacional, sino también en cuanto a la precisión. ^[4]

En esta formulación local sin malla se utiliza la aproximación de mínimos cuadrados móviles (MLS) del campo elástico.

Formulación

En la forma local del teorema del trabajo, la ecuación:

${\displaystyle \int _{\Gamma _{Q}}\mathbf {t} ^{T}\mathbf {u} ^{*}d\Gamma +\int _{\Omega _{Q}}\mathbf {b} ^{T}\mathbf {u} ^{*}d\Omega =\int _{\Omega _{Q}}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}d\Omega .}$

El campo de desplazamiento , se asumió como una función continua que conduce a una función integrable regular que es el campo de deformación cinemáticamente admisible . Sin embargo, esta suposición de continuidad en , impuesta en la forma local del teorema del trabajo, no es absolutamente necesaria pero puede flexibilizarse por conveniencia, siempre que pueda ser útil como una función generalizada, en el sentido de la teoría de distribuciones, véase Gelfand y Shilov. ^[5] Por lo tanto, esta formulación considera que el campo de desplazamiento , es una función continua por partes, definida en términos de la función escalón de Heaviside y, por lo tanto, el campo de deformación correspondiente , es una función generalizada definida en términos de la función delta de Dirac . ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}}$

Para simplificar, al tratar con funciones delta de Heaviside y Dirac en un espacio de coordenadas bidimensional, considere una función escalar , definida como: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d=\lVert \ \mathbf {x} -\mathbf {x} _{Q}\rVert }$

que representa la función de valor absoluto de la distancia entre un punto de campo y un punto de referencia particular , en el dominio local asignado al nodo de campo . Por lo tanto, esta definición siempre supone , como un valor positivo o nulo, en este caso siempre que y sean puntos coincidentes. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{Q}}$ ${\displaystyle \Omega _{Q}\cup \Gamma _{Q}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d=d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{Q})\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{Q}}$

Para una coordenada escalar , la función escalonada de Heaviside se puede definir como ${\displaystyle d\supset d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{Q})}$

${\displaystyle H(d)=1\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d\leq 0\,\,\,\,\,\,(d=0\,\,\,for\,\,\,\mathbf {x} \equiv \mathbf {x} _{Q})}$

${\displaystyle H(d)=0\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d>0\,\,\,\,\,\,(\mathbf {x} \neq \mathbf {x} _{Q})}$

en la que se supone la discontinuidad en y, en consecuencia, la función delta de Dirac se define con las siguientes propiedades ${\displaystyle \mathbf {x} _{Q}}$

${\displaystyle \delta (d)=H'(d)=\infty \,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d=0\,\,\,that\,\,is\,\,\,\mathbf {x} \equiv \mathbf {x} _{Q}}$

${\displaystyle \delta (d)=H'(d)=0\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d\neq 0\,\,\,(d>0\,\,\,for\,\,\,\mathbf {x} \neq \mathbf {x} _{Q})}$

y

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (d)\,dd=1}$

en la que representa la derivada distribucional de . Nótese que la derivada de , con respecto a la coordenada , se puede definir como ${\displaystyle H'(d)}$ ${\displaystyle H(d)}$ ${\displaystyle H(d)}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle H(d)_{,i}=H'(d)\,\,d_{,i}=\delta (d)\,\,d_{,i}=\delta (d)\,\,n_{i}}$

Dado que el resultado de esta ecuación no se ve afectado por ningún valor particular de la constante , esta constante se redefinirá convenientemente más adelante. ${\displaystyle n_{i}}$

Considere que , y representan la función de distancia , para los puntos de colocación correspondientes , y . El campo de desplazamiento , se puede definir convenientemente como ${\displaystyle d_{l}}$ ${\displaystyle d_{j}}$ ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )={\Bigg [}{\frac {L_{i}}{n_{i}}}\,\sum _{l=1}^{n_{i}}H(d_{l})+{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\,\sum _{j=1}^{n_{t}}H(d_{j})+{\frac {S}{n_{\Omega }}}\,\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}H(d_{k}){\Bigg ]}\mathbf {e} }$

en la que representa la métrica de las direcciones ortogonales y , y representa el número de puntos de colocación, respectivamente en el límite interior local con longitud , en el límite estático local con longitud y en el dominio local con área . Este campo de desplazamiento asumido , un desplazamiento unitario discreto de cuerpo rígido definido en puntos de colocación. El campo de deformación , está dado por ${\displaystyle \mathbf {e} =[1\,\,\,\,1]^{T}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{t}}$ ${\displaystyle n_{\Omega }}$ ${\displaystyle \Gamma _{Qi}=\Gamma _{Q}-\Gamma _{Qt}-\Gamma _{Qu}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{Qt}}$ ${\displaystyle L_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{Q}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}(\mathbf {x} )=\mathbf {L} \,\mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )={\Bigg [}{\frac {L_{i}}{n_{i}}}\,\sum _{l=1}^{n_{i}}\mathbf {L} \,H(d_{l})+{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\,\sum _{j=1}^{n_{t}}\mathbf {L} \,H(d_{j})+{\frac {S}{n_{\Omega }}}\,\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\mathbf {L} \,H(d_{k}){\Bigg ]}\mathbf {e} ={\Bigg [}{\frac {L_{i}}{n_{i}}}\,\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\delta (d_{l})\,\mathbf {n} ^{T}\,+{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\,\sum _{j=1}^{n_{t}}\,\delta (d_{j})\,\mathbf {n} ^{T}\,+{\frac {S}{n_{\Omega }}}\,\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\delta (d_{k})\,\mathbf {n} ^{T}{\Bigg ]}\mathbf {e} }$

Una vez definidos los componentes de desplazamiento y deformación del campo cinemáticamente admisible, el teorema de trabajo local puede escribirse como

${\displaystyle {\frac {L_{i}}{n_{i}}}\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\int \limits _{\Gamma _{Q}-\Gamma _{Qt}}\!\!\!\!\!\!\mathbf {t} ^{T}H(d_{l})\mathbf {e} \,d\Gamma +{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\sum _{j=1}^{n_{t}}\,\int \limits _{\Gamma _{Qt}}\!{\overline {\mathbf {t} }}^{T}H(d_{j})\mathbf {e} \,d\Gamma +{\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\int \limits _{\Omega _{Q}}\mathbf {b} ^{T}H(d_{k})\mathbf {e} \,d\Omega ={\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\int \limits _{\Omega _{Q}}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\delta (d_{k})\,\mathbf {n} ^{T}\mathbf {e} \,d\Omega .}$

Teniendo en cuenta las propiedades de la función escalón de Heaviside y la función delta de Dirac , esta ecuación simplemente conduce a

${\displaystyle {\frac {L_{i}}{n_{i}}}\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\mathbf {t} _{\mathbf {x} _{l}}=-\,{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\sum _{j=1}^{n_{t}}\,{\overline {\mathbf {t} }}_{\mathbf {x} _{j}}-\,{\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\mathbf {b} _{\mathbf {x} _{k}}}$

La discretización de estas ecuaciones se puede realizar con la aproximación MLS, para el dominio local , en términos de las incógnitas nodales , conduciendo así al sistema de ecuaciones algebraicas lineales que se puede escribir como ${\displaystyle \Omega _{Q}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle {\frac {L_{i}}{n_{i}}}\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\mathbf {n} _{\mathbf {x} _{l}}\mathbf {D} \mathbf {B} _{\mathbf {x} _{l}}{\hat {\mathbf {u} }}=-\,{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\sum _{j=1}^{n_{t}}\,{\overline {\mathbf {t} }}_{\mathbf {x} _{j}}-\,{\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\mathbf {b} _{\mathbf {x} _{k}}}$

o simplemente

${\displaystyle \mathbf {K} _{Q}\,{\hat {\mathbf {u} }}=\mathbf {F} _{Q}}$

Esta formulación establece el equilibrio de las tracciones y las fuerzas del cuerpo, definidas puntualmente en los puntos de colocación; obviamente, es la versión puntual del principio de tensión de Euler-Cauchy . Esta es la ecuación utilizada en la formulación de malla libre de deformaciones generalizadas (GSMF) que, por lo tanto, está libre de integración. Dado que el teorema del trabajo es una forma débil de residuo ponderado, se puede ver fácilmente que esta formulación libre de integración no es otra cosa que una colocación en forma débil de residuo ponderado. La colocación en forma débil de residuo ponderado supera fácilmente las conocidas dificultades planteadas por la colocación en forma fuerte de residuo ponderado ^[6] con respecto a la precisión y estabilidad de la solución.

Véase también

• Movimiento de mínimos cuadrados
• Método de elementos finitos
• Método de elementos de contorno
• Métodos sin malla
• Análisis numérico
• Mecánica de sólidos computacional

Referencias

1. Oliveira, T. y A. Portela (2016). "Colocación de forma débil: un método local sin malla en elasticidad lineal". Análisis de ingeniería con elementos de contorno .
2. Belytschko, T., YY Lu y L. Gu (1994). "Métodos de Galerkin sin elementos". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 37.2, págs. 229–256.
3. Atluri, SN, ZD Han y AM Rajendran (2004). "Una nueva implementación del método de volumen finito sin malla mediante el enfoque mixto MLPG". CMES: Modelado informático en ingeniería y ciencias . 6, págs. 491–513.
4. Oliveira, T. y A. Portela (2016). "Estudio comparativo de la formulación sin malla de colocación de forma débil y otros métodos sin malla". Actas del XXXVII Congreso Iberoamericano de Métodos Computacionales en Ingeniería . ABMEC, Brasil
5. Gelfand, IM, Shilov, GE (1964). Funciones generalizadas. Volumen I, Academic Press, Nueva York.
6. Kansa, EJ, (1990) "Multiquadrics: un esquema de aproximación de datos dispersos con aplicaciones a la dinámica de fluidos computacional", Computadoras y matemáticas con aplicaciones , 19(8-9), 127--145.