Un oscilador de cristal es un circuito oscilador electrónico que utiliza un cristal piezoeléctrico como elemento selectivo de frecuencia . [1] [2] [3] La frecuencia del oscilador se utiliza a menudo para realizar un seguimiento del tiempo, como en los relojes de pulsera de cuarzo , para proporcionar una señal de reloj estable para circuitos integrados digitales y para estabilizar frecuencias para transmisores y receptores de radio . El tipo más común de resonador piezoeléctrico utilizado es un cristal de cuarzo , por lo que los circuitos osciladores que los incorporan se conocieron como osciladores de cristal. [1] Sin embargo, en circuitos similares se utilizan otros materiales piezoeléctricos, incluidas las cerámicas policristalinas .
Un oscilador de cristal se basa en el ligero cambio de forma de un cristal de cuarzo bajo un campo eléctrico , una propiedad conocida como piezoelectricidad inversa . Un voltaje aplicado a los electrodos del cristal hace que éste cambie de forma; Cuando se elimina el voltaje, el cristal genera un pequeño voltaje a medida que vuelve elásticamente a su forma original. El cuarzo oscila a una frecuencia de resonancia estable, comportándose como un circuito RLC , pero con un factor Q mucho mayor (menor pérdida de energía en cada ciclo de oscilación). Una vez que un cristal de cuarzo se ajusta a una frecuencia particular (que se ve afectada por la masa de electrodos unidos al cristal, la orientación del cristal, la temperatura y otros factores), mantiene esa frecuencia con alta estabilidad. [4]
Los cristales de cuarzo se fabrican para frecuencias que van desde unas pocas decenas de kilohercios hasta cientos de megahercios. Desde 2003 se fabrican anualmente alrededor de dos mil millones de cristales. [ 5] La mayoría se utilizan para dispositivos de consumo como relojes de pulsera , radios , ordenadores y teléfonos móviles . Sin embargo, en aplicaciones donde se necesita un tamaño y peso pequeños, los cristales se pueden reemplazar por resonadores acústicos masivos de película delgada , específicamente si se necesita resonancia de frecuencia ultraalta (más de aproximadamente 1,5 GHz). Los cristales de cuarzo también se encuentran dentro de equipos de prueba y medición, como contadores, generadores de señales y osciloscopios .
Un oscilador de cristal es un circuito de tipo oscilador eléctrico que utiliza un resonador piezoeléctrico, un cristal, como elemento determinante de la frecuencia. Cristal es el término común utilizado en electrónica para el componente que determina la frecuencia, una oblea de cristal de cuarzo o cerámica con electrodos conectados. Un término más preciso para "cristal" es resonador piezoeléctrico . Los cristales también se utilizan en otro tipo de circuitos electrónicos, como los filtros de cristal .
Los resonadores piezoeléctricos se venden como componentes separados para su uso en circuitos de osciladores de cristal. También suelen incorporarse en un solo paquete con el circuito oscilador de cristal.
La piezoelectricidad fue descubierta por Jacques y Pierre Curie en 1880. Paul Langevin investigó por primera vez los resonadores de cuarzo para su uso en sonar durante la Primera Guerra Mundial. El primer oscilador controlado por cristal , que utilizaba un cristal de sal de Rochelle , se construyó en 1917 y se patentó [6] en 1918 por Alexander M. Nicholson en Bell Telephone Laboratories , aunque su prioridad fue cuestionada por Walter Guyton Cady . [7] Cady construyó el primer oscilador de cristal de cuarzo en 1921. [8] Otros innovadores tempranos en osciladores de cristal de cuarzo incluyen a GW Pierce y Louis Essen .
Los osciladores de cristal de cuarzo se desarrollaron para referencias de frecuencia de alta estabilidad durante las décadas de 1920 y 1930. Antes de los cristales, las estaciones de radio controlaban su frecuencia con circuitos sintonizados , que fácilmente podían desviarse de la frecuencia entre 3 y 4 kHz. [9] Dado que a las estaciones de radiodifusión se les asignaron frecuencias separadas por sólo 10 kHz (América) o 9 kHz (en otros lugares), la interferencia entre estaciones adyacentes debido a la deriva de frecuencia era un problema común. [9] En 1925, Westinghouse instaló un oscilador de cristal en su estación insignia KDKA, [9] y en 1926, los cristales de cuarzo se utilizaban para controlar la frecuencia de muchas estaciones de radiodifusión y eran populares entre los radioaficionados. [10] En 1928, Warren Marrison de Bell Telephone Laboratories desarrolló el primer reloj de cristal de cuarzo . Con precisiones de hasta 1 segundo en 30 años (30 ms/año, o 0,95 ns/s), [8] los relojes de cuarzo reemplazaron a los relojes de péndulo de precisión como los cronometradores más precisos del mundo hasta que se desarrollaron los relojes atómicos en la década de 1950. Utilizando el trabajo inicial en Bell Labs, AT&T finalmente estableció su división de Productos de control de frecuencia, que luego se separó y se conoce hoy como Vectron International. [11]
Varias empresas comenzaron a producir cristales de cuarzo para uso electrónico durante esta época. Utilizando lo que ahora se consideran métodos primitivos, se produjeron alrededor de 100.000 unidades de cristal en los Estados Unidos durante 1939. Durante la Segunda Guerra Mundial, se fabricaron cristales a partir de cristal de cuarzo natural, prácticamente todos procedentes de Brasil . La escasez de cristales durante la guerra causada por la demanda de un control preciso de la frecuencia de las radios y radares militares y navales impulsó la investigación de posguerra sobre el cultivo de cuarzo sintético, y en 1950 se desarrolló en los Laboratorios Bell un proceso hidrotermal para cultivar cristales de cuarzo a escala comercial . En la década de 1970, prácticamente todos los cristales utilizados en electrónica eran sintéticos.
En 1968, Juergen Staudte inventó un proceso fotolitográfico para fabricar osciladores de cristal de cuarzo mientras trabajaba en North American Aviation (ahora Rockwell ) que permitió fabricarlos lo suficientemente pequeños para productos portátiles como relojes. [12]
Aunque los osciladores de cristal siguen utilizando cristales de cuarzo, los dispositivos que utilizan otros materiales son cada vez más comunes, como los resonadores cerámicos .
Un cristal es un sólido en el que los átomos , moléculas o iones constituyentes están empaquetados en un patrón repetitivo ordenado regularmente que se extiende en las tres dimensiones espaciales.
Casi cualquier objeto hecho de un material elástico podría usarse como un cristal, con los transductores adecuados, ya que todos los objetos tienen frecuencias de vibración resonantes naturales . Por ejemplo, el acero es muy elástico y tiene una alta velocidad del sonido. Se utilizaba a menudo en filtros mecánicos antes que el cuarzo. La frecuencia de resonancia depende del tamaño, la forma, la elasticidad y la velocidad del sonido en el material. Los cristales de alta frecuencia generalmente se cortan en forma de un simple rectángulo o disco circular. Los cristales de baja frecuencia, como los que se utilizan en los relojes digitales, suelen estar cortados en forma de diapasón . Para aplicaciones que no necesitan una sincronización muy precisa, se suele utilizar un resonador cerámico de bajo coste en lugar de un cristal de cuarzo.
Cuando un cristal de cuarzo se corta y monta adecuadamente, se puede hacer que se distorsione en un campo eléctrico aplicando un voltaje a un electrodo cerca o sobre el cristal. Esta propiedad se conoce como piezoelectricidad inversa . Cuando se elimina el campo, el cuarzo genera un campo eléctrico a medida que vuelve a su forma anterior, y esto puede generar un voltaje. El resultado es que un cristal de cuarzo se comporta como un circuito RLC , compuesto por un inductor , un condensador y una resistencia , con una frecuencia de resonancia precisa.
El cuarzo tiene además la ventaja de que sus constantes elásticas y su tamaño cambian de tal manera que la dependencia de la frecuencia con la temperatura puede ser muy pequeña. Las características específicas dependen del modo de vibración y del ángulo en el que se corta el cuarzo (en relación con sus ejes cristalográficos). [13] Por lo tanto, la frecuencia de resonancia de la placa, que depende de su tamaño, no cambia mucho. Esto significa que un reloj de cuarzo, un filtro o un oscilador siguen siendo precisos. Para aplicaciones críticas, el oscilador de cuarzo se monta en un recipiente con temperatura controlada, llamado horno de cristal , y también se puede montar sobre amortiguadores para evitar perturbaciones causadas por vibraciones mecánicas externas.
Un cristal de cuarzo se puede modelar como una red eléctrica con puntos de resonancia de baja impedancia (en serie) y de alta impedancia (paralelos) muy espaciados. Matemáticamente, utilizando la transformada de Laplace , la impedancia de esta red se puede escribir como:
o
donde es la frecuencia compleja ( ), es la frecuencia angular resonante en serie y es la frecuencia angular resonante paralela.
Agregar capacitancia a través de un cristal hace que la frecuencia de resonancia (paralela) disminuya. Agregar inductancia a través de un cristal hace que aumente la frecuencia de resonancia (paralela). Estos efectos se pueden utilizar para ajustar la frecuencia a la que oscila un cristal. Los fabricantes de cristales normalmente cortan y recortan sus cristales para tener una frecuencia de resonancia específica con una capacitancia de "carga" conocida agregada al cristal. Por ejemplo, un cristal destinado a una carga de 6 pF tiene su frecuencia de resonancia paralela especificada cuando se coloca un condensador de 6,0 pF a través de él. Sin la capacitancia de carga, la frecuencia de resonancia es mayor.
Un cristal de cuarzo proporciona resonancia tanto en serie como en paralelo. La resonancia en serie es unos pocos kilohercios más baja que la en paralelo. Los cristales por debajo de 30 MHz generalmente funcionan entre resonancia en serie y en paralelo, lo que significa que el cristal aparece como una reactancia inductiva en funcionamiento, formando esta inductancia un circuito resonante paralelo con capacitancia paralela conectada externamente.
Cualquier pequeña capacitancia adicional en paralelo con el cristal reduce la frecuencia. Además, la reactancia inductiva efectiva del cristal se puede reducir añadiendo un condensador en serie con el cristal. Esta última técnica puede proporcionar un método útil para recortar la frecuencia oscilatoria dentro de un rango estrecho; en este caso, al insertar un condensador en serie con el cristal se eleva la frecuencia de oscilación. Para que un cristal funcione a su frecuencia especificada, el circuito electrónico debe ser exactamente el especificado por el fabricante del cristal. Tenga en cuenta que estos puntos implican una sutileza con respecto a los osciladores de cristal en este rango de frecuencia: el cristal generalmente no oscila precisamente en ninguna de sus frecuencias de resonancia.
Los cristales por encima de 30 MHz (hasta >200 MHz) generalmente funcionan en resonancia en serie donde la impedancia aparece en su mínimo e igual a la resistencia en serie. Para estos cristales se especifica la resistencia en serie (<100 Ω) en lugar de la capacitancia en paralelo. Para alcanzar frecuencias más altas, se puede hacer que un cristal vibre en uno de sus modos de armónicos , que ocurren cerca de múltiplos de la frecuencia de resonancia fundamental. Sólo se utilizan armónicos impares. Tal cristal se conoce como cristal de tercer, quinto o incluso séptimo cristal de armónico. Para lograr esto, el circuito oscilador generalmente incluye circuitos LC adicionales para seleccionar el armónico deseado.
La característica de frecuencia de un cristal depende de la forma o "corte" del cristal. Un cristal de diapasón suele cortarse de manera que su dependencia de la frecuencia con la temperatura sea cuadrática, con un máximo de alrededor de 25 °C. [ cita necesaria ] Esto significa que un oscilador de cristal de diapasón resuena cerca de su frecuencia objetivo a temperatura ambiente, pero se desacelera cuando la temperatura aumenta o disminuye con respecto a la temperatura ambiente. Un coeficiente parabólico común para un cristal de diapasón de 32 kHz es −0,04 ppm/°C 2 : [ cita necesaria ]
En una aplicación real, esto significa que un reloj construido con un cristal de diapasón normal de 32 kHz mantiene la hora a temperatura ambiente, pero pierde 2 minutos por año a 10 °C por encima o por debajo de la temperatura ambiente y pierde 8 minutos por año a 20 °C. °C por encima o por debajo de la temperatura ambiente debido al cristal de cuarzo.
El circuito del oscilador de cristal sostiene la oscilación tomando una señal de voltaje del resonador de cuarzo , amplificándola y devolviéndola al resonador. La tasa de expansión y contracción del cuarzo es la frecuencia de resonancia y está determinada por el corte y el tamaño del cristal. Cuando la energía de las frecuencias de salida generadas coincide con las pérdidas en el circuito, se puede sostener una oscilación.
Un cristal oscilador tiene dos placas conductoras de electricidad, con una rodaja o diapasón de cristal de cuarzo intercalada entre ellas. Durante el arranque, el circuito de control coloca el cristal en un equilibrio inestable y, debido a la retroalimentación positiva en el sistema, cualquier pequeña fracción de ruido se amplifica, aumentando la oscilación. El resonador de cristal también puede verse en este sistema como un filtro altamente selectivo en frecuencia: solo pasa una subbanda de frecuencias muy estrecha alrededor de la resonante, atenuando todo lo demás. Finalmente, sólo la frecuencia de resonancia está activa. A medida que el oscilador amplifica las señales que salen del cristal, las señales en la banda de frecuencia del cristal se vuelven más fuertes y eventualmente dominan la salida del oscilador. La estrecha banda de resonancia del cristal de cuarzo filtra las frecuencias no deseadas.
La frecuencia de salida de un oscilador de cuarzo puede ser la de la resonancia fundamental o un múltiplo de esa resonancia, llamado frecuencia armónica . Los armónicos son un múltiplo entero exacto de la frecuencia fundamental. Pero, como muchos otros resonadores mecánicos, los cristales exhiben varios modos de oscilación, generalmente en múltiplos enteros aproximadamente impares de la frecuencia fundamental. Estos se denominan "modos de armónicos" y se pueden diseñar circuitos osciladores para excitarlos. Los modos de armónicos se encuentran en frecuencias que son múltiplos enteros impares aproximados, pero no exactos, de la del modo fundamental y, por lo tanto, las frecuencias de armónicos no son armónicos exactos del fundamental.
Los cristales de alta frecuencia suelen estar diseñados para funcionar en terceros, quintos o séptimos armónicos. Los fabricantes tienen dificultades para producir cristales lo suficientemente delgados como para producir frecuencias fundamentales superiores a 30 MHz. Para producir frecuencias más altas, los fabricantes fabrican cristales de armónicos sintonizados para poner el tercer, quinto o séptimo armónico en la frecuencia deseada, porque son más gruesos y, por lo tanto, más fáciles de fabricar que un cristal fundamental que produciría la misma frecuencia, aunque excita el armónico deseado. La frecuencia requiere un circuito oscilador un poco más complicado. [14] [15] [16] [17] [18] Un circuito oscilador de cristal fundamental es más simple y más eficiente y tiene más capacidad de extracción que un circuito de tercer armónico. Dependiendo del fabricante, la frecuencia fundamental más alta disponible puede estar entre 25 MHz y 66 MHz. [19] [20]
Una razón importante para el amplio uso de osciladores de cristal es su alto factor Q. Un valor Q típico para un oscilador de cuarzo oscila entre 10 4 y 10 6 , en comparación con quizás 10 2 para un oscilador LC . El Q máximo para un oscilador de cuarzo de alta estabilidad se puede estimar como Q = 1,6 × 10 7 / f , donde f es la frecuencia de resonancia en megahercios. [21] [22]
Una de las características más importantes de los osciladores de cristal de cuarzo es que pueden presentar un ruido de fase muy bajo . En muchos osciladores, el oscilador amplifica cualquier energía espectral en la frecuencia de resonancia, lo que da como resultado una colección de tonos en diferentes fases. En un oscilador de cristal, el cristal vibra principalmente en un eje, por lo que sólo una fase es dominante. Esta propiedad del ruido de fase bajo los hace particularmente útiles en telecomunicaciones donde se necesitan señales estables y en equipos científicos donde se necesitan referencias temporales muy precisas.
Los cambios ambientales de temperatura, humedad, presión y vibración pueden cambiar la frecuencia de resonancia de un cristal de cuarzo, pero existen varios diseños que reducen estos efectos ambientales. Estos incluyen TCXO, MCXO y OCXO que se definen a continuación. Estos diseños, en particular el OCXO, suelen producir dispositivos con una excelente estabilidad a corto plazo. Las limitaciones en la estabilidad a corto plazo se deben principalmente al ruido de los componentes electrónicos en los circuitos osciladores. La estabilidad a largo plazo está limitada por el envejecimiento del cristal.
Debido al envejecimiento y a factores ambientales (como la temperatura y la vibración), es difícil mantener incluso los mejores osciladores de cuarzo dentro de una parte en 10 10 de su frecuencia nominal sin un ajuste constante. Por esta razón, los osciladores atómicos se utilizan para aplicaciones que requieren mayor estabilidad y precisión a largo plazo.
Para cristales operados en resonancia en serie o separados del modo principal mediante la inclusión de un inductor o capacitor en serie, se pueden experimentar respuestas espurias significativas (y dependientes de la temperatura). Aunque la mayoría de los modos espurios suelen estar algunas decenas de kilohercios por encima de la resonancia en serie deseada, su coeficiente de temperatura es diferente del modo principal y la respuesta espuria puede pasar a través del modo principal a ciertas temperaturas. Incluso si las resistencias en serie en las resonancias espurias parecen más altas que las de la frecuencia deseada, puede ocurrir un cambio rápido en la resistencia en serie del modo principal a temperaturas específicas cuando las dos frecuencias coinciden. Una consecuencia de estas caídas de actividad es que el oscilador puede bloquearse en una frecuencia espuria a temperaturas específicas. Esto generalmente se minimiza asegurándose de que el circuito de mantenimiento tenga ganancia insuficiente para activar modos no deseados.
También se generan frecuencias espurias al someter el cristal a vibraciones. Éste modula en pequeña medida la frecuencia de resonancia mediante la frecuencia de las vibraciones. Los cristales de corte SC (compensación de tensión) están diseñados para minimizar el efecto de frecuencia de la tensión de montaje y, por lo tanto, son menos sensibles a la vibración. Los efectos de aceleración, incluida la gravedad, también se reducen con los cristales cortados con SC, al igual que el cambio de frecuencia con el tiempo debido a la variación de la tensión creciente a largo plazo. Existen desventajas con los cristales de modo de corte de corte SC, como la necesidad de que el oscilador de mantenimiento discrimine otros modos no deseados estrechamente relacionados y un mayor cambio de frecuencia debido a la temperatura cuando se somete a un rango ambiental completo. Los cristales de corte SC son más ventajosos cuando es posible controlar la temperatura a su temperatura de coeficiente de temperatura cero (rotación); en estas circunstancias, el rendimiento de estabilidad general de las unidades premium puede acercarse a la estabilidad de los estándares de frecuencia de rubidio.
Los cristales se pueden fabricar para oscilar en una amplia gama de frecuencias, desde unos pocos kilohercios hasta varios cientos de megahercios. Muchas aplicaciones requieren una frecuencia de oscilador de cristal convenientemente relacionada con alguna otra frecuencia deseada, por lo que los distribuidores de productos electrónicos fabrican cientos de frecuencias de cristal estándar en grandes cantidades y las almacenan. Por ejemplo, los cristales de 3,579545 MHz, que se fabrican en grandes cantidades para receptores de televisión en color NTSC , también son populares para muchas aplicaciones no relacionadas con la televisión. Utilizando divisores de frecuencia , multiplicadores de frecuencia y circuitos de bucle bloqueado en fase , es práctico derivar una amplia gama de frecuencias a partir de una frecuencia de referencia.
El material más común para los cristales osciladores es el cuarzo . Al comienzo de la tecnología, se usaban cristales de cuarzo naturales, pero ahora predomina el cuarzo cristalino sintético cultivado mediante síntesis hidrotermal debido a su mayor pureza, menor costo y manejo más conveniente. Uno de los pocos usos que quedan de los cristales naturales es el de transductores de presión en pozos profundos. Durante la Segunda Guerra Mundial y durante algún tiempo después, Estados Unidos consideró el cuarzo natural un material estratégico . Se importaron grandes cristales de Brasil. Las "lascas" en bruto, el material de origen del cuarzo para la síntesis hidrotermal, se importan a EE. UU. o Coleman Quartz las extrae localmente. El valor medio del cuarzo sintético en 1994 fue de 60 USD /kg. [23]
Existen dos tipos de cristales de cuarzo: zurdos y diestros. Los dos difieren en su rotación óptica pero son idénticos en otras propiedades físicas. Se pueden utilizar cristales tanto para diestros como para zurdos para osciladores, si el ángulo de corte es correcto. En la fabricación se suele utilizar cuarzo diestro. [24] Los tetraedros de SiO 4 forman hélices paralelas; la dirección de giro de la hélice determina la orientación hacia la izquierda o hacia la derecha. Las hélices están alineadas a lo largo del eje c y fusionadas, compartiendo átomos. La masa de las hélices forma una malla de canales pequeños y grandes paralelos al eje c. Los grandes son lo suficientemente grandes como para permitir cierta movilidad de iones y moléculas más pequeñas a través del cristal. [25]
El cuarzo existe en varias fases. A 573 °C a 1 atmósfera (y a temperaturas y presiones más altas), el cuarzo α sufre una inversión de cuarzo y se transforma reversiblemente en cuarzo β. Sin embargo, el proceso inverso no es del todo homogéneo y se produce macla de cristales . Se debe tener cuidado durante la fabricación y el procesamiento para evitar la transformación de fase. Otras fases, como por ejemplo las fases de mayor temperatura, tridimita y cristobalita , no son significativas para los osciladores. Todos los cristales osciladores de cuarzo son del tipo cuarzo α.
La espectrofotometría infrarroja se utiliza como uno de los métodos para medir la calidad de los cristales crecidos. Los números de onda 3585, 3500 y 3410 cm −1 se utilizan habitualmente. El valor medido se basa en las bandas de absorción del radical OH y se calcula el valor Q infrarrojo. Los cristales de grado electrónico, grado C, tienen Q de 1,8 millones o más; los cristales de grado premium B tienen Q de 2,2 millones y los cristales especiales de grado premium A tienen Q de 3,0 millones. El valor Q se calcula sólo para la región z; Los cristales que contienen otras regiones pueden verse afectados negativamente. Otro indicador de calidad es la densidad del canal de grabado; Cuando se graba el cristal , se crean canales tubulares a lo largo de defectos lineales. Para el procesamiento que implica grabado, por ejemplo, cristales de diapasón de relojes de pulsera, es deseable una densidad de canal de grabado baja. La densidad del canal de grabado para el cuarzo barrido es de aproximadamente 10 a 100 y significativamente mayor para el cuarzo no barrido. La presencia de canales de grabado y fosas de grabado degrada la Q del resonador e introduce no linealidades. [26]
Los cristales de cuarzo se pueden cultivar para fines específicos.
Los cristales para corte AT son los más comunes en la producción en masa de materiales para osciladores; la forma y las dimensiones están optimizadas para un alto rendimiento de las obleas requeridas . Los cristales de cuarzo de alta pureza se cultivan con un contenido especialmente bajo de aluminio, metales alcalinos y otras impurezas y defectos mínimos; la baja cantidad de metales alcalinos proporciona una mayor resistencia a las radiaciones ionizantes. Los cristales para relojes de pulsera, para cortar los cristales del diapasón de 32768 Hz, se cultivan con una densidad de canal de grabado muy baja.
Los cristales para dispositivos SAW se cultivan planos, con semillas grandes de tamaño X con baja densidad de canales de grabado.
Los cristales especiales de alta Q, para uso en osciladores altamente estables, crecen a una velocidad lenta y constante y tienen una absorción infrarroja baja y constante a lo largo de todo el eje Z. Los cristales se pueden cultivar como barra Y, con un cristal semilla en forma de barra y alargado a lo largo del eje Y, o como placa Z, crecido a partir de una semilla en placa con longitud en la dirección del eje Y y ancho en el eje X. [24] La región alrededor del cristal semilla contiene una gran cantidad de defectos cristalinos y no debe usarse para las obleas.
Los cristales crecen anisotrópicamente ; el crecimiento a lo largo del eje Z es hasta 3 veces más rápido que a lo largo del eje X. La dirección y la tasa de crecimiento también influyen en la tasa de absorción de impurezas. [27] Los cristales de barra Y, o cristales de placa Z con eje Y largo, tienen cuatro regiones de crecimiento generalmente llamadas +X, −X, Z y S. [28] La distribución de impurezas durante el crecimiento es desigual; diferentes áreas de crecimiento contienen diferentes niveles de contaminantes. Las regiones Z son las más puras, las pequeñas regiones S ocasionalmente presentes son menos puras, la región +X es aún menos pura y la región -X tiene el nivel más alto de impurezas. Las impurezas tienen un impacto negativo en la dureza de la radiación , la susceptibilidad a la macla , la pérdida de filtrado y la estabilidad de los cristales a largo y corto plazo. [29] Las semillas cortadas de manera diferente en diferentes orientaciones pueden proporcionar otros tipos de regiones de crecimiento. [30] La velocidad de crecimiento de la dirección −X es más lenta debido al efecto de la adsorción de moléculas de agua en la superficie del cristal; las impurezas del aluminio suprimen el crecimiento en otras dos direcciones. El contenido de aluminio es más bajo en la región Z, mayor en +X, aún mayor en −X y más alto en S; El tamaño de las regiones S también crece con una mayor cantidad de aluminio presente. El contenido de hidrógeno es más bajo en la región Z, mayor en la región +X, aún mayor en la región S y más alto en −X. [31] Las inclusiones de aluminio se transforman en centros de color con la irradiación de rayos gamma, provocando un oscurecimiento del cristal proporcional a la dosis y nivel de impurezas; la presencia de regiones con diferente oscuridad revela las diferentes regiones de crecimiento.
El tipo dominante de defecto de preocupación en los cristales de cuarzo es la sustitución de un átomo de Al(III) por un átomo de Si(IV) en la red cristalina . El ion aluminio tiene un compensador de carga intersticial asociado presente cerca, que puede ser un ion H + (unido al oxígeno cercano y formando un grupo hidroxilo , llamado defecto Al-OH), ion Li + , ion Na + , ion K + ( menos común), o un agujero de electrón atrapado en un orbital de un átomo de oxígeno cercano. La composición de la solución de crecimiento, ya sea a base de compuestos alcalinos de litio o de sodio, determina la carga de los iones que compensan los defectos del aluminio. Las impurezas iónicas son motivo de preocupación ya que no están firmemente unidas y pueden migrar a través del cristal, alterando la elasticidad de la red local y la frecuencia de resonancia del cristal. Otras impurezas comunes que causan preocupación son, por ejemplo, hierro (III) (intersticial), flúor, boro (III), fósforo (V) (sustitución), titanio (IV) (sustitución, universalmente presente en el cuarzo magmático, menos común en el cuarzo hidrotermal). y germanio (IV) (sustitución). Los iones de sodio y hierro pueden provocar inclusiones de cristales de acnita y elemeusita. Pueden estar presentes inclusiones de agua en los cristales de crecimiento rápido; Las moléculas de agua intersticiales abundan cerca de la semilla del cristal. Otro defecto de importancia es el defecto de crecimiento que contiene hidrógeno, cuando en lugar de una estructura Si-O-Si, se forma un par de grupos Si-OH HO-Si; esencialmente un enlace hidrolizado. Los cristales de crecimiento rápido contienen más defectos de hidrógeno que los de crecimiento lento. Estos defectos de crecimiento se originan como suministro de iones de hidrógeno para procesos inducidos por radiación y formación de defectos de Al-OH. Las impurezas de germanio tienden a atrapar los electrones creados durante la irradiación; los cationes de metales alcalinos luego migran hacia el centro cargado negativamente y forman un complejo estabilizador. También pueden estar presentes defectos de la matriz; vacantes de oxígeno, vacantes de silicio (generalmente compensadas por 4 hidrógenos o 3 hidrógenos y un hueco), grupos peroxi, etc. Algunos de los defectos producen niveles localizados en la banda prohibida, sirviendo como trampas de carga; Al (III) y B (III) normalmente sirven como trampas de huecos, mientras que las vacantes de electrones, los átomos de titanio, germanio y fósforo sirven como trampas de electrones. Los portadores de carga atrapados pueden liberarse mediante calentamiento; su recombinación es la causa de la termoluminiscencia .
La movilidad de los iones intersticiales depende en gran medida de la temperatura. Los iones de hidrógeno son móviles hasta 10 K, pero los iones de metales alcalinos se vuelven móviles sólo a temperaturas alrededor de 200 K y superiores. Los defectos de hidroxilo se pueden medir mediante espectroscopia de infrarrojo cercano. Los agujeros atrapados se pueden medir mediante resonancia de espín electrónico . Los defectos de Al-Na + se muestran como un pico de pérdida acústica debido a su movimiento inducido por tensión; Los defectos de Al−Li + no forman un pozo potencial, por lo que no son detectables de esta manera. [32] Algunos de los defectos inducidos por la radiación durante su recocido térmico producen termoluminiscencia ; Se pueden distinguir defectos relacionados con el aluminio, el titanio y el germanio. [33]
Los cristales barridos son cristales que se han sometido a un proceso de purificación por electrodifusión en estado sólido . El barrido implica calentar el cristal por encima de 500 °C en una atmósfera libre de hidrógeno, con un gradiente de voltaje de al menos 1 kV/cm, durante varias horas (normalmente más de 12). La migración de impurezas y la sustitución gradual de iones de metales alcalinos por hidrógeno (cuando se barren en el aire) o huecos de electrones (cuando se barren en el vacío) provoca una corriente eléctrica débil a través del cristal; La caída de esta corriente a un valor constante señala el final del proceso. Luego se deja enfriar el cristal, mientras se mantiene el campo eléctrico. Las impurezas se concentran en la región catódica del cristal, que luego se corta y se desecha. [34] Los cristales barridos tienen una mayor resistencia a la radiación, ya que los efectos de la dosis dependen del nivel de impurezas de metales alcalinos; son adecuados para su uso en dispositivos expuestos a radiaciones ionizantes, por ejemplo para la tecnología nuclear y espacial. [35] El barrido al vacío a temperaturas más altas y mayores intensidades de campo produce aún más cristales duros por radiación. [36] El nivel y el carácter de las impurezas se pueden medir mediante espectroscopia infrarroja. [37] El cuarzo puede ser barrido tanto en fase α como en fase β; el barrido en la fase β es más rápido, pero la transición de fase puede inducir el hermanamiento. La macla se puede mitigar sometiendo el cristal a una tensión de compresión en la dirección X, o a un campo eléctrico de CA o CC a lo largo del eje X mientras el cristal se enfría a través de la región de temperatura de transformación de fase. [36]
El barrido también se puede utilizar para introducir un tipo de impureza en el cristal. Los cristales barridos de litio, sodio e hidrógeno se utilizan, por ejemplo, para estudiar el comportamiento del cuarzo.
Mediante fotolitografía se pueden fabricar cristales muy pequeños para altas frecuencias del modo fundamental. [26]
Los cristales se pueden ajustar a frecuencias exactas mediante recorte con láser . Una técnica utilizada en el mundo de la radioafición para disminuir ligeramente la frecuencia de los cristales se puede lograr exponiendo cristales con electrodos de plata a vapores de yodo , lo que provoca un ligero aumento de masa en la superficie al formar una fina capa de yoduro de plata ; Sin embargo, tales cristales tenían una estabilidad problemática a largo plazo. Otro método comúnmente utilizado es el aumento o disminución electroquímica del espesor del electrodo de plata sumergiendo un resonador en lapislázuli disuelto en agua, ácido cítrico en agua o agua con sal, y usando el resonador como un electrodo y un pequeño electrodo de plata como el otro. .
Al elegir la dirección de la corriente se puede aumentar o disminuir la masa de los electrodos. Los detalles fueron publicados en la revista "Radio" (3/1978) por UB5LEV.
No se recomienda aumentar la frecuencia raspando partes de los electrodos, ya que esto puede dañar el cristal y reducir su factor Q. Los recortadores de condensadores también se pueden utilizar para ajustar la frecuencia del circuito oscilador.
Se pueden emplear algunos otros materiales piezoeléctricos además del cuarzo. Estos incluyen monocristales de tantalato de litio , niobato de litio , borato de litio , berlinita , arseniuro de galio , tetraborato de litio , fosfato de aluminio , óxido de bismuto y germanio , cerámicas de titanato de circonio policristalino, cerámicas con alto contenido de alúmina, compuestos de silicio y óxido de zinc o tartrato dipotásico . [38] [39] Algunos materiales pueden ser más adecuados para aplicaciones específicas. También se puede fabricar un cristal oscilador depositando el material resonador sobre la superficie del chip de silicio. [40] Los cristales de fosfato de galio , langasita , langanita y langatato son aproximadamente 10 veces más extraíbles que los cristales de cuarzo correspondientes y se utilizan en algunos osciladores VCXO. [41]
La estabilidad de la frecuencia está determinada por la Q del cristal . Depende inversamente de la frecuencia y de la constante que depende del corte particular. Otros factores que influyen en Q son el armónico utilizado, la temperatura, el nivel de conducción del cristal, la calidad del acabado de la superficie, las tensiones mecánicas impuestas al cristal por la unión y el montaje, la geometría del cristal y los electrodos adjuntos, la pureza del material y defectos en el cristal, tipo y presión del gas en el recinto, modos de interferencia y presencia y dosis absorbida de radiación ionizante y de neutrones.
La estabilidad de los cristales cortados con AT disminuye al aumentar la frecuencia. Para frecuencias más altas y más precisas, es mejor utilizar un cristal con una frecuencia fundamental más baja, que funcione en un tono armónico.
Un circuito oscilador mal diseñado puede comenzar repentinamente a oscilar en un armónico . En 1972, un tren en Fremont, California, se estrelló debido a un oscilador defectuoso. Un valor inadecuado del condensador del tanque provocó que el cristal de un tablero de control se sobreaccionara, saltando a un tono armónico y provocando que el tren acelerara en lugar de desacelerar. [42]
La temperatura influye en la frecuencia de funcionamiento; Se utilizan diversas formas de compensación, desde compensación analógica (TCXO) y compensación por microcontrolador (MCXO) hasta estabilización de la temperatura con un horno de cristal (OCXO). Los cristales poseen histéresis de temperatura ; la frecuencia a una temperatura dada lograda al aumentar la temperatura no es igual a la frecuencia a la misma temperatura lograda al disminuir la temperatura. La sensibilidad a la temperatura depende principalmente del corte; Los cortes con compensación de temperatura se eligen para minimizar la dependencia de frecuencia/temperatura. Se pueden realizar cortes especiales con características de temperatura lineales; el corte LC se utiliza en termómetros de cuarzo. Otros factores que influyen son el armónico utilizado, el montaje y los electrodos, las impurezas en el cristal, la tensión mecánica, la geometría del cristal, la tasa de cambio de temperatura, el historial térmico (debido a la histéresis), la radiación ionizante y el nivel de excitación.
Los cristales tienden a sufrir anomalías en sus características de frecuencia/temperatura y resistencia/temperatura, conocidas como caídas de actividad. Se trata de pequeñas variaciones de frecuencia descendente o de resistencia ascendente localizadas a determinadas temperaturas, y su posición de temperatura depende del valor de los condensadores de carga.
Las tensiones mecánicas también influyen en la frecuencia. Las tensiones pueden ser inducidas por montaje, unión y aplicación de los electrodos, por expansión térmica diferencial del montaje, los electrodos y el propio cristal, por tensiones térmicas diferenciales cuando hay un gradiente de temperatura presente, por expansión o contracción de la unión. materiales durante el curado, por la presión del aire que se transfiere a la presión ambiental dentro del recinto cristalino, por las tensiones de la propia red cristalina (crecimiento no uniforme, impurezas, dislocaciones), por las imperfecciones de la superficie y los daños causados durante la fabricación, y por la acción de la gravedad sobre la masa del cristal; Por lo tanto, la frecuencia puede verse influenciada por la posición del cristal. Otros factores que inducen estrés dinámico son los choques, las vibraciones y el ruido acústico. Algunos cortes son menos sensibles a las tensiones; el corte SC (Stress Compensated) es un ejemplo. Los cambios de presión atmosférica también pueden introducir deformaciones en la carcasa, influyendo en la frecuencia mediante cambios en las capacitancias parásitas.
La humedad atmosférica influye en las propiedades de transferencia térmica del aire y puede cambiar las propiedades eléctricas de los plásticos mediante la difusión de moléculas de agua en su estructura, alterando las constantes dieléctricas y la conductividad eléctrica . [43]
Otros factores que influyen en la frecuencia son la tensión de alimentación, la impedancia de carga, los campos magnéticos, los campos eléctricos (en caso de cortes que sean sensibles a ellos, por ejemplo, cortes SC), la presencia y dosis absorbida de partículas γ y radiación ionizante, y la edad del cristal.
Los cristales experimentan un cambio lento y gradual de frecuencia con el tiempo, lo que se conoce como envejecimiento. Hay muchos mecanismos involucrados. El montaje y los contactos pueden sufrir un alivio de las tensiones incorporadas. Las moléculas de contaminación provenientes de la atmósfera residual, desgasificadas del cristal, electrodos o materiales de embalaje, o introducidas durante el sellado de la carcasa, pueden adsorberse en la superficie del cristal, cambiando su masa; este efecto se aprovecha en las microbalanzas de cristal de cuarzo . La composición del cristal puede modificarse gradualmente mediante desgasificación, difusión de átomos de impurezas o migración desde los electrodos, o la red puede dañarse mediante radiación. Pueden ocurrir reacciones químicas lentas sobre o dentro del cristal, o sobre las superficies internas del recinto. El material del electrodo, por ejemplo cromo o aluminio, puede reaccionar con el cristal, creando capas de óxido metálico y silicio; estas capas de interfaz pueden sufrir cambios con el tiempo. La presión en el recinto puede cambiar debido a variaciones en la presión atmosférica, temperatura, fugas o desgasificación de los materiales del interior. Los factores externos al propio cristal son, por ejemplo, el envejecimiento del circuito del oscilador (y, por ejemplo, el cambio de capacitancias) y la deriva de los parámetros del horno de cristal. La composición de la atmósfera exterior también puede influir en el envejecimiento; El hidrógeno puede difundirse a través de la carcasa de níquel. El helio puede causar problemas similares cuando se difunde a través de recintos de vidrio de estándares de rubidio . [44]
El oro es un material de electrodo preferido para resonadores de bajo envejecimiento; su adhesión al cuarzo es lo suficientemente fuerte como para mantener el contacto incluso ante fuertes choques mecánicos, pero lo suficientemente débil como para no soportar gradientes de deformación significativos (a diferencia del cromo, el aluminio y el níquel). El oro tampoco forma óxidos; Adsorbe contaminantes orgánicos del aire, pero son fáciles de eliminar. Sin embargo, el oro por sí solo puede sufrir delaminación; por lo tanto, a veces se utiliza una capa de cromo para mejorar la fuerza de unión. La plata y el aluminio se utilizan a menudo como electrodos; sin embargo, ambos forman capas de óxido con el tiempo, lo que aumenta la masa del cristal y reduce la frecuencia. La plata se puede pasivar mediante exposición a vapores de yodo , formando una capa de yoduro de plata . El aluminio se oxida fácil pero lentamente, hasta alcanzar un espesor de aproximadamente 5 nm; el aumento de temperatura durante el envejecimiento artificial no aumenta significativamente la velocidad de formación del óxido; Se puede formar una gruesa capa de óxido durante la fabricación mediante anodizado . [45] La exposición del cristal plateado a vapores de yodo también se puede utilizar en condiciones de aficionados para reducir ligeramente la frecuencia del cristal; La frecuencia también se puede aumentar raspando partes de los electrodos, pero eso conlleva el riesgo de dañar el cristal y perder Q.
Una polarización de voltaje CC entre los electrodos puede acelerar el envejecimiento inicial, probablemente por difusión inducida de impurezas a través del cristal. Colocar un condensador en serie con el cristal y una resistencia de varios megaohmios en paralelo puede minimizar dichos voltajes.
El envejecimiento disminuye logarítmicamente con el tiempo y los cambios más importantes se producen poco después de la fabricación. El envejecimiento artificial de un cristal mediante un almacenamiento prolongado entre 85 y 125 °C puede aumentar su estabilidad a largo plazo.
Los cristales son sensibles a los golpes . La tensión mecánica provoca un cambio a corto plazo en la frecuencia del oscilador debido a la sensibilidad del cristal a la tensión, y puede introducir un cambio permanente de frecuencia debido a cambios inducidos por golpes en el montaje y tensiones internas (si los límites elásticos de la tensión mecánica). se exceden las piezas), desorción de contaminación de las superficies del cristal o cambio en los parámetros del circuito oscilador. Los impactos de gran magnitud pueden arrancar los cristales de sus soportes (especialmente en el caso de cristales grandes de baja frecuencia suspendidos sobre alambres delgados) o causar grietas en el cristal. Los cristales libres de imperfecciones superficiales son muy resistentes a los golpes; El pulido químico puede producir cristales capaces de sobrevivir a decenas de miles de g . [46]
Los cristales no tienen mecanismos de falla inherentes; algunos han operado en dispositivos durante décadas. Sin embargo, las fallas pueden deberse a fallas en la unión, fugas en las carcasas, corrosión, cambio de frecuencia por envejecimiento, rotura del cristal por un choque mecánico demasiado fuerte o daños inducidos por la radiación cuando se utiliza cuarzo sin barrido . [47] Los cristales también pueden dañarse si se conduce demasiado.
Los cristales también sufren pequeñas fluctuaciones de frecuencia a corto plazo. Las principales causas de dicho ruido son, por ejemplo, el ruido térmico (que limita el ruido de fondo), la dispersión de fonones (influenciada por defectos de la red), la adsorción/desorción de moléculas en la superficie del cristal, el ruido de los circuitos osciladores, los choques y vibraciones mecánicos. cambios de aceleración y orientación, fluctuaciones de temperatura y alivio de tensiones mecánicas. La estabilidad a corto plazo se mide mediante cuatro parámetros principales: varianza de Allan (la más común especificada en las hojas de datos de los osciladores), ruido de fase, densidad espectral de las desviaciones de fase y densidad espectral de las desviaciones de frecuencia fraccionarias. Los efectos de la aceleración y la vibración tienden a dominar a las demás fuentes de ruido; Los dispositivos de ondas acústicas de superficie tienden a ser más sensibles que los de ondas acústicas masivas (BAW), y los cortes con tensión compensada son incluso menos sensibles. La orientación relativa del vector de aceleración con respecto al cristal influye dramáticamente en la sensibilidad a la vibración del cristal. Se pueden utilizar soportes de aislamiento de vibraciones mecánicas para cristales de alta estabilidad.
El ruido de fase juega un papel importante en los sistemas de síntesis de frecuencia que utilizan la multiplicación de frecuencia; una multiplicación de una frecuencia por N aumenta la potencia del ruido de fase en N 2 . Una multiplicación de la frecuencia por 10 multiplica la magnitud del error de fase por 10 veces. Esto puede ser desastroso para los sistemas que emplean tecnologías PLL o FSK .
Los campos magnéticos tienen poco efecto sobre el cristal mismo, ya que el cuarzo es diamagnético ; Sin embargo, se pueden inducir corrientes parásitas o tensiones alternas en los circuitos y las partes magnéticas del soporte y de la carcasa pueden verse afectadas.
Después del encendido, los cristales tardan de varios segundos a minutos en "calentarse" y estabilizar su frecuencia. Los OCXO controlados por horno generalmente requieren de 3 a 10 minutos de calentamiento para alcanzar el equilibrio térmico; Los osciladores sin horno se estabilizan en varios segundos, ya que los pocos milivatios disipados en el cristal provocan un nivel pequeño pero notable de calentamiento interno. [48]
Los cristales deben accionarse al nivel de accionamiento adecuado. Los cristales de baja frecuencia, especialmente los de modo de flexión, pueden fracturarse a niveles de excitación demasiado altos. El nivel de conducción se especifica como la cantidad de energía disipada en el cristal. Los niveles de excitación apropiados son aproximadamente 5 μW para modos de flexión de hasta 100 kHz, 1 μW para modos fundamentales de 1 a 4 MHz, 0,5 μW para modos fundamentales de 4 a 20 MHz y 0,5 μW para modos de armónicos de 20 a 200 MHz. [49] Un nivel de excitación demasiado bajo puede causar problemas al iniciar el oscilador. Los niveles bajos de excitación son mejores para una mayor estabilidad y un menor consumo de energía del oscilador. Los niveles de conducción más altos, a su vez, reducen el impacto del ruido al aumentar la relación señal-ruido . [50]
La placa resonadora se puede cortar del cristal fuente de muchas maneras diferentes. La orientación del corte influye en las características de envejecimiento del cristal, la estabilidad de la frecuencia, las características térmicas y otros parámetros. Estos cortes funcionan con ondas acústicas masivas (BAW); para frecuencias más altas, se emplean dispositivos de ondas acústicas de superficie (SAW).
Imagen de varios cortes de cristal [51]
La letra 'T' en el nombre del corte marca un corte con temperatura compensada: un corte orientado de manera que los coeficientes de temperatura de la red sean mínimos; los cortes FC y SC también tienen compensación de temperatura.
Los cortes de alta frecuencia van montados por sus bordes, normalmente sobre muelles; La rigidez del resorte tiene que ser óptima, ya que si es demasiado rígido, los golpes mecánicos podrían transferirse al cristal y provocar su rotura, y una rigidez demasiado baja puede permitir que el cristal choque con el interior del paquete cuando se somete a un choque mecánico y romperse. Los resonadores de tira, normalmente cortes AT, son más pequeños y, por tanto, menos sensibles a los golpes mecánicos. Con la misma frecuencia y armónicos, la tira tiene menos capacidad de tracción, mayor resistencia y mayor coeficiente de temperatura. [69]
Los cortes de baja frecuencia están montados en los nodos donde están prácticamente inmóviles; Se unen cables delgados en dichos puntos a cada lado entre el cristal y los cables. La gran masa del cristal suspendido sobre los finos alambres hace que el conjunto sea sensible a los choques y vibraciones mecánicas. [52]
Los cristales suelen montarse en cajas de vidrio o metal herméticamente cerradas, llenas de una atmósfera seca e inerte, normalmente vacío, nitrógeno o helio. También se pueden utilizar carcasas de plástico, pero no son herméticas y se debe construir otro sellado secundario alrededor del cristal.
Son posibles varias configuraciones de resonador, además de la forma clásica de conectar directamente los cables al cristal. Por ejemplo, el resonador BVA (Boîtier à Vieillissement Amélioré, recinto con envejecimiento mejorado), [70] [ ¿ fuente poco confiable? ] desarrollado en 1976; Las piezas que influyen en las vibraciones se mecanizan a partir de un solo cristal (lo que reduce la tensión de montaje) y los electrodos no se depositan en el resonador en sí, sino en los lados internos de dos discos condensadores hechos de rodajas adyacentes de cuarzo de la misma barra. , formando un sándwich de tres capas sin tensión entre los electrodos y el elemento vibratorio. El espacio entre los electrodos y el resonador actúa como dos condensadores en serie pequeña, lo que hace que el cristal sea menos sensible a las influencias del circuito. [71] [ ¿ fuente poco confiable? ] La arquitectura elimina los efectos de los contactos superficiales entre los electrodos, las limitaciones en las conexiones de montaje y los problemas relacionados con la migración de iones desde los electrodos hacia la red del elemento vibratorio. [72] La configuración resultante es robusta, resistente a golpes y vibraciones, resistente a la aceleración y la radiación ionizante, y tiene características de envejecimiento mejoradas. Generalmente se utiliza el corte AT, aunque también existen variantes de corte SC. Los resonadores BVA se utilizan a menudo en aplicaciones de naves espaciales. [73]
En las décadas de 1930 y 1950, era bastante común que la gente ajustara la frecuencia de los cristales mediante molienda manual. Los cristales se trituraron utilizando una fina suspensión abrasiva, o incluso una pasta de dientes, para aumentar su frecuencia. Fue posible una ligera disminución de 1 a 2 kHz cuando el cristal estaba sobre el suelo marcando la cara del cristal con una mina de lápiz, a costa de una Q reducida ;. [74]
La frecuencia del cristal es ligeramente ajustable ("tirable") modificando las capacitancias adjuntas. Un varactor , un diodo con capacitancia que depende del voltaje aplicado, se usa a menudo en osciladores de cristal controlados por voltaje, VCXO. Los cortes de cristal suelen ser AT o raramente SC, y funcionan en modo fundamental; la cantidad de desviación de frecuencia disponible es inversamente proporcional al cuadrado del número de armónicos, por lo que un tercer armónico tiene sólo una novena parte de la capacidad de atracción del modo fundamental. Los cortes SC, aunque son más estables, son mucho menos fáciles de tirar. [75]
En los diagramas esquemáticos eléctricos, los cristales se designan con la letra de clase Y (Y1, Y2, etc.). Los osciladores, ya sean de cristal u otros, se designan con la letra de clase G (G1, G2, etc.). [76] [77] Los cristales también pueden designarse en un esquema con X o XTAL , o un oscilador de cristal con XO .
Tipos de osciladores de cristal y sus abreviaturas:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z(s)&={\frac {s^{2}+s{\frac {R_{1}}{L_{1}}}+{\omega _{\mathrm {s} }}^{2}}{\left(s\cdot C_{0}\right)\left[s^{2}+s{\frac {R_{1}}{L_{1}}} +{\omega _{\mathrm {p} }}^{2}\right]}}\\[2pt]\Rightarrow \omega _{\mathrm {s} }&={\frac {1}{\sqrt {L_{1}\cdot C_{1}}}},\quad \omega _{\mathrm {p} }={\sqrt {\frac {C_{1}+C_{0}}{L_{1} \cdot C_{1}\cdot C_{0}}}}=\omega _{\mathrm {s} }{\sqrt {1+{\frac {C_{1}}{C_{0}}}}} \approx \omega _{\mathrm {s} }\left(1+{\frac {C_{1}}{2C_{0}}}\right)\quad \left(C_{0}\gg C_{1 }\right)\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54771316e952ff812aaee65f49fcadf9a5824b34)
![{\displaystyle f=f_{0}\left[1-0.04~{\text{ppm}}/^{\circ }{\text{C}}^{2}\cdot (T-T_{0}) ^{2}\derecha].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78bc386b11338856466204170af80bee159f291)