En matemáticas , particularmente en teoría de la homotopía , una categoría de modelo es una categoría con clases distinguidas de morfismos ('flechas') llamadas ' equivalencias débiles ', ' fibraciones ' y ' cofibraciones ' que satisfacen ciertos axiomas que las relacionan. Estos se abstraen de la categoría de espacios topológicos o de complejos de cadenas ( teoría de categorías derivadas ). El concepto fue introducido por Daniel G. Quillen (1967).
En las últimas décadas, el lenguaje de las categorías de modelos se ha utilizado en algunas partes de la teoría K algebraica y la geometría algebraica , donde los enfoques de la teoría de la homotopía condujeron a resultados profundos.
Las categorías de modelos pueden proporcionar un entorno natural para la teoría de la homotopía : la categoría de espacios topológicos es una categoría de modelo, y la homotopía corresponde a la teoría habitual. De manera similar, los objetos que se consideran espacios a menudo admiten una estructura de categorías modelo, como la categoría de conjuntos simpliciales .
Otra categoría de modelo es la categoría de complejos de cadenas de R -módulos para un anillo conmutativo R . La teoría de la homotopía en este contexto es álgebra homológica . La homología puede entonces verse como un tipo de homotopía, que permite generalizaciones de homología a otros objetos, como grupos y R -álgebras , una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría. Debido al ejemplo anterior sobre la homología, el estudio de categorías de modelos cerrados a veces se considera álgebra homotópica .
La definición dada inicialmente por Quillen fue la de una categoría de modelo cerrada, cuyos supuestos parecían fuertes en ese momento, lo que motivó a otros a debilitar algunos de los supuestos para definir una categoría de modelo. En la práctica, la distinción no ha resultado significativa y los autores más recientes (por ejemplo, Mark Hovey y Philip Hirschhorn) trabajan con categorías de modelos cerrados y simplemente eliminan el adjetivo "cerrado".
La definición se ha separado de la de una estructura modelo en una categoría y luego de condiciones categóricas adicionales en esa categoría, cuya necesidad puede parecer inmotivada al principio pero que se vuelve importante más adelante. La siguiente definición sigue la dada por Hovey.
Una estructura modelo en una categoría C consta de tres clases distinguidas de morfismos (equivalentemente subcategorías): equivalencias débiles , fibraciones y cofibraciones , y dos factorizaciones funtoriales y sujetas a los siguientes axiomas. Una fibración que también es una equivalencia débil se llama fibración acíclica (o trivial ) [1] y una cofibración que también es una equivalencia débil se llama cofibración acíclica (o trivial ) (o a veces se llama morfismo anodino ).
Una categoría de modelo es una categoría que tiene una estructura de modelo y todos los límites y colimites (pequeños) , es decir, una categoría completa y cocompleta con una estructura de modelo.
La definición anterior puede expresarse sucintamente mediante la siguiente definición equivalente: una categoría de modelo es una categoría C y tres clases de (llamadas) equivalencias débiles W , fibraciones F y cofibraciones C , de modo que
Los axiomas implican que dos cualesquiera de las tres clases de aplicaciones determinan la tercera (por ejemplo, las cofibraciones y las equivalencias débiles determinan las fibraciones).
Además, la definición es autodual: si C es una categoría de modelo, entonces su categoría opuesta también admite una estructura de modelo de modo que las equivalencias débiles correspondan a sus opuestos, fibraciones opuestas a cofibraciones y cofibraciones opuestas a fibraciones.
La categoría de espacios topológicos , Top , admite una estructura de categorías modelo estándar con las fibraciones habituales (Serre) y con equivalencias débiles como equivalencias de homotopía débiles. Las cofibraciones no son la noción habitual que se encuentra aquí , sino más bien la clase más estrecha de mapas que tienen la propiedad de elevación por la izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas de Serre. De manera equivalente, son las retracciones de los complejos celulares relativos, como se explica, por ejemplo, en las Categorías de modelos de Hovey . Esta estructura no es única; en general, puede haber muchas estructuras de categorías modelo en una categoría determinada. Para la categoría de espacios topológicos, otra estructura de este tipo viene dada por las fibraciones de Hurewicz y las cofibraciones estándar, y las equivalencias débiles son las equivalencias de homotopía (fuertes) .
La categoría de complejos de cadenas (de calificación no negativa) de R -módulos lleva al menos dos estructuras modelo, las cuales ocupan un lugar destacado en el álgebra homológica:
o
Esto explica por qué los grupos Ext de módulos R se pueden calcular resolviendo la fuente de forma proyectiva o el objetivo de forma inyectiva. Se trata de reemplazos de cofibrantes o fibrantes en las respectivas estructuras modelo.
La categoría de complejos de cadena arbitrarios de R -módulos tiene una estructura modelo que está definida por
Otros ejemplos de categorías que admiten estructuras modelo incluyen la categoría de todas las categorías pequeñas, la categoría de conjuntos simpliciales o presheaves simpliciales en cualquier sitio pequeño de Grothendieck , la categoría de espectros topológicos y las categorías de espectros simpliciales o presheaves de espectros simpliciales en un pequeño Grothendieck. sitio.
Los objetos simples en una categoría son una fuente frecuente de categorías de modelo; por ejemplo, los anillos conmutativos simpliciales o los módulos R simpliciales admiten estructuras modelo naturales. Esto se debe a que existe una conjunción entre conjuntos simpliciales y anillos conmutativos simpliciales (dados por los funtores libres y olvidadizos) y, en buenos casos, se pueden levantar estructuras modelo bajo una conjunción.
Una categoría de modelo simple es una categoría simple con una estructura de modelo que es compatible con la estructura simple. [3]
Dada cualquier categoría C y una categoría de modelo M , bajo ciertas hipótesis adicionales, la categoría de funtores Fun ( C , M ) (también llamados diagramas C en M ) también es una categoría de modelo. De hecho, siempre hay dos candidatos para estructuras de modelo distintas: en uno, la llamada estructura de modelo proyectivo, las fibraciones y las equivalencias débiles son aquellos mapas de funtores que son fibraciones y equivalencias débiles cuando se evalúan en cada objeto de C. Además, la estructura del modelo inyectivo es similar con cofibraciones y equivalencias débiles. En ambos casos, la tercera clase de morfismos viene dada por una condición de elevación (ver más abajo). En algunos casos, cuando la categoría C es una categoría de Reedy, hay una tercera estructura de modelo entre el proyectivo y el inyectivo.
El proceso de forzar que ciertos mapas se conviertan en equivalencias débiles en una nueva estructura de categorías modelo en la misma categoría subyacente se conoce como localización de Bousfield . Por ejemplo, la categoría de gavillas simpliciales se puede obtener como una localización de Bousfield de la categoría modelo de gavillas previas simpliciales .
Denis-Charles Cisinski ha desarrollado [4] una teoría general de estructuras modelo en categorías presheaf (generalizando conjuntos simpliciales, que son presheaves en la categoría simplex ).
Si C es una categoría de modelo, entonces también lo es la categoría Pro( C ) de proobjetos en C . Sin embargo, también se puede construir una estructura de modelo en Pro( C ) imponiendo un conjunto de axiomas más débil a C. [5]
Cada categoría de modelo cerrado tiene un objeto terminal por completitud y un objeto inicial por cocompletitud, ya que estos objetos son el límite y el colimit, respectivamente, del diagrama vacío. Dado un objeto X en la categoría de modelo, si el mapa único del objeto inicial a X es una cofibración, entonces se dice que X es cofibrante . De manera análoga, si el mapa único de X al objeto terminal es una fibración, entonces se dice que X es fibrante .
Si Z y X son objetos de una categoría de modelo tal que Z es cofibrante y hay una equivalencia débil de Z a X, entonces se dice que Z es un reemplazo cofibrante de X. De manera similar, si Z es fibrante y hay una equivalencia débil de X a Z, entonces se dice que Z es un fibrante que reemplaza a X. En general, no todos los objetos son fibrantes o cofibrantes, aunque a veces así es. Por ejemplo, todos los objetos son cofibrantes en la categoría de modelo estándar de conjuntos simpliciales y todos los objetos son fibrantes para la estructura de categorías de modelo estándar dada anteriormente para espacios topológicos.
La homotopía izquierda se define con respecto a objetos cilíndricos y la homotopía derecha se define con respecto a objetos de espacio de trayectoria. Estas nociones coinciden cuando el dominio es cofibrante y el codominio es fibrante. En ese caso, la homotopía define una relación de equivalencia en los conjuntos de hom en la categoría del modelo que da lugar a clases de homotopía.
Las cofibraciones se pueden caracterizar como mapas que tienen la propiedad de elevación hacia la izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas, y las cofibraciones acíclicas se caracterizan como mapas que tienen la propiedad de elevación hacia la izquierda con respecto a las fibraciones. De manera similar, las fibraciones se pueden caracterizar como mapas que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las cofibraciones acíclicas, y las fibraciones acíclicas se caracterizan como mapas que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las cofibraciones.
La categoría de homotopía de una categoría de modelo C es la localización de C con respecto a la clase de equivalencias débiles. Esta definición de categoría de homotopía no depende de la elección de fibraciones y cofibraciones. Sin embargo, las clases de fibraciones y cofibraciones son útiles para describir la categoría de homotopía de una manera diferente y, en particular, para evitar problemas de teoría de conjuntos que surgen en las localizaciones generales de categorías. Más precisamente, el "teorema fundamental de las categorías modelo" establece que la categoría de homotopía de C es equivalente a la categoría cuyos objetos son los objetos de C que son a la vez fibrantes y cofibrantes, y cuyos morfismos son clases de mapas de homotopía izquierda (equivalentemente, derecha clases de homotopía de mapas) como se define anteriormente. (Ver, por ejemplo, Categorías de modelos de Hovey, Thm 1.2.10)
Aplicando esto a la categoría de espacios topológicos con la estructura del modelo dada anteriormente, la categoría de homotopía resultante es equivalente a la categoría de complejos CW y clases de homotopía de mapas continuos, de ahí el nombre.
Un par de functores adjuntos
entre dos categorías de modelo C y D se denomina conjunción de Quillen si F preserva las cofibraciones y las cofibraciones acíclicas o, de manera equivalente, según los axiomas del modelo cerrado, de modo que G preserva las fibraciones y las fibraciones acíclicas. En este caso F y G inducen una conjunción
entre las categorías de homotopía. También existe un criterio explícito para que este último sea una equivalencia ( entonces, F y G se denominan equivalencia de Quillen ).
Un ejemplo típico es la conjunción estándar entre conjuntos simpliciales y espacios topológicos:
que implica la realización geométrica de un conjunto simplicial y las cadenas singulares en algún espacio topológico. Las categorías sSet y Top no son equivalentes, pero sus categorías de homotopía sí lo son. Por lo tanto, los conjuntos simpliciales se utilizan a menudo como modelos para espacios topológicos debido a esta equivalencia de categorías de homotopía.
