finalización industrial

En matemáticas, proceso para ampliar una categoría.

En matemáticas , la finalización ind o construcción ind es el proceso de agregar libremente colimits filtrados a una categoría C determinada . Los objetos en esta categoría ind completa, denotada Ind( C ), se conocen como sistemas directos , son functores de una pequeña categoría filtrada I a C.

El concepto dual es el pro-compleción, Pro( C ).

Definiciones

Categorías filtradas

Los sistemas directos dependen de la noción de categorías filtradas . Por ejemplo, la categoría N , cuyos objetos son números naturales , y con exactamente un morfismo de n a m siempre , es una categoría filtrada. ${\displaystyle n\leq m}$

Sistemas directos

Un sistema directo o un objeto ind en una categoría C se define como un functor

${\displaystyle F:I\to C}$

desde un pequeño filtrado de categoría I a C. Por ejemplo, si I es la categoría N mencionada anteriormente, este dato equivale a una secuencia

${\displaystyle X_{0}\to X_{1}\to \cdots }$

de objetos en C junto con los morfismos como se muestran.

La finalización ind.

Los objetos ind en C forman una categoría ind- C .

Dos objetos individuales

${\displaystyle F:I\to C}$

y

${\textstyle G:J\to C}$determinar un funtor

I ^op x J conjuntos , ${\displaystyle \to }$

es decir, el funtor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

El conjunto de morfismos entre F y G en Ind( C ) se define como el colimit de este funtor en la segunda variable, seguido del límite en la primera variable:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} {\text{-}}C}(F,G)=\lim _{i}\operatorname {colim} _{j}\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

De manera más coloquial, esto significa que un morfismo consiste en una colección de mapas para cada i , donde es (dependiendo de i ) lo suficientemente grande. ${\displaystyle F(i)\to G(j_{i})}$ ${\displaystyle j_{i}}$

Relación entreCe Ind(C)

La categoría final I = {*} que consta de un solo objeto * y solo su morfismo de identidad es un ejemplo de categoría filtrada. En particular, cualquier objeto X en C da lugar a un functor

${\displaystyle \{*\}\to C,*\mapsto X}$

y por lo tanto a un functor

${\displaystyle C\to \operatorname {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).}$

Este funtor es, como consecuencia directa de las definiciones, totalmente fiel. Por lo tanto , Ind( C ) puede considerarse como una categoría más grande que C.

Por el contrario, en general no es necesario que haya un funtor natural.

${\displaystyle \operatorname {Ind} (C)\to C.}$

Sin embargo, si C posee todos los colimits filtrados (también conocidos como límites directos), entonces enviar un objeto ind (para alguna categoría I filtrada ) a su colimit ${\displaystyle F:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}$

da tal funtor, que sin embargo no es en general una equivalencia. Por lo tanto, incluso si C ya tiene todos los colimits filtrados, Ind( C ) es una categoría estrictamente mayor que C .

Los objetos en Ind( C ) pueden considerarse como límites directos formales, de modo que algunos autores también denotan dichos objetos por

${\displaystyle {\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).}$

Esta notación se debe a Pierre Deligne . ^[1]

Propiedad universal de la ind-completación.

El paso de una categoría C a Ind( C ) equivale a añadir libremente colimits filtrados a la categoría. Es por eso que la construcción también se conoce como finalización ind de C. Esto se precisa con la siguiente afirmación: cualquier funtor que tome valores en una categoría D que tenga todos los colimits filtrados se extiende a un funtor que está determinado únicamente por los requisitos de que su valor en C sea el funtor original F y que conserve todos los filtrados. colimits. ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle Ind(C)\to D}$

Propiedades básicas de las categorías ind.

Objetos compactos

Esencialmente por el diseño de los morfismos en Ind( C ), cualquier objeto X de C es compacto cuando se lo considera un objeto de Ind( C ), es decir, el functor correpresentable

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)}$

Conserva los colimites filtrados. Esto es cierto sin importar qué sea C o el objeto X , en contraste con el hecho de que X no necesita ser compacto en C. Por el contrario, cualquier objeto compacto en Ind( C ) surge como imagen de un objeto en X.

Una categoría C se llama generada de forma compacta, si equivale a alguna categoría pequeña . La finalización ind de la categoría FinSet de conjuntos finitos es la categoría de todos los conjuntos . De manera similar, si C es la categoría de grupos finitamente generados, ind-C es equivalente a la categoría de todos los grupos. ${\displaystyle \operatorname {Ind} (C_{0})}$ ${\displaystyle C_{0}}$

Reconocer ind-compleciones

Estas identificaciones se basan en los siguientes hechos: como se mencionó anteriormente, cualquier funtor que tome valores en una categoría D que tenga todos los colimits filtrados, tiene una extensión ${\displaystyle F:C\to D}$

${\displaystyle {\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,}$

que preserva los colímites filtrados. Esta extensión es única hasta la equivalencia. Primero, este functor es esencialmente sobreyectivo si cualquier objeto en D puede expresarse como colimits filtrados de objetos de la forma para objetos apropiados c en C . En segundo lugar , es completamente fiel si y solo si el funtor original F es completamente fiel y si F envía objetos arbitrarios en C para compactar objetos en D. ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle F(c)}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$

Aplicando estos hechos a, digamos, el funtor de inclusión

${\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,}$

la equivalencia

${\displaystyle \operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }$

expresa el hecho de que cualquier conjunto es el colimit filtrado de conjuntos finitos (por ejemplo, cualquier conjunto es la unión de sus subconjuntos finitos, que es un sistema filtrado) y además, que cualquier conjunto finito es compacto cuando se lo considera un objeto de Set .

La pro-completación

Al igual que otras nociones y construcciones categóricas, la ind-completación admite un dual conocido como pro-completación: la categoría Pro( C ) se define en términos de ind-objeto como

${\displaystyle \operatorname {Pro} (C):=\operatorname {Ind} (C^{op})^{op}.}$

(La definición de pro- C se debe a Grothendieck (1960). ^[2] )

Por tanto, los objetos de Pro( C ) son sistemas inversos.o proobjetos en C . Por definición, estos son sistemas directos en la categoría opuesta o, equivalentemente, funtores ${\displaystyle C^{op}}$

${\displaystyle F:I\to C}$

de un pequeño cofiltrado categoría I.

Ejemplos de procategorías

Si bien Pro( C ) existe para cualquier categoría C , varios casos especiales son dignos de mención debido a sus conexiones con otras nociones matemáticas.

• Si C es la categoría de grupos finitos , entonces pro-C equivale a la categoría de grupos profinitos y homomorfismos continuos entre ellos.
• El proceso de dotar a un conjunto preordenado con su topología de Alexandrov produce una equivalencia de la procategoría de la categoría de conjuntos finitos preordenados, con la categoría de espacios topológicos espectrales y morfismos cuasicompactos. ${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {PoSet} ^{\text{fin}})}$
• La dualidad de piedra afirma que la procategoría de la categoría de conjuntos finitos es equivalente a la categoría de espacios de piedra . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )}$

La aparición de nociones topológicas en estas procategorías se remonta a la equivalencia, que es en sí misma un caso especial de la dualidad de Stone.

${\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{op}=\operatorname {FinBool} }$

que envía un conjunto finito al conjunto potencia (considerado como un álgebra booleana finita). La dualidad entre objetos pro e ind y la descripción conocida de ind-compleciones también dan lugar a descripciones de ciertas categorías opuestas. Por ejemplo, tales consideraciones se pueden utilizar para mostrar que la categoría opuesta de la categoría de espacios vectoriales (sobre un campo fijo) es equivalente a la categoría de espacios vectoriales linealmente compactos y aplicaciones lineales continuas entre ellos. ^[4]

Aplicaciones

Las pro-compleciones son menos prominentes que las ind-compleciones, pero las aplicaciones incluyen la teoría de la forma . Los proobjetos también surgen a través de su conexión con functores pro-representables, por ejemplo en la teoría de Galois de Grothendieck , y también en el criterio de Schlessinger en la teoría de la deformación .

Nociones relacionadas

Los objetos Tate son una mezcla de objetos individuales y proobjetos.

Variantes categóricas infinitas

Lurie (2009) ha extendido la ind-compleción (y, dualmente, la pro-compleción) a categorías ∞ .

Ver también

• Límite directo  : caso especial de colimit en la teoría de categorías
• Límite inverso  : construcción en teoría de categorías
• terminaciones en la teoría de categorías

Notas

1. Illusie, Luc, Del jardín secreto de Pierre Deligne: repaso de algunas de sus cartas , Revista japonesa de matemáticas, vol. 10, págs. 237-248 (2015)
2. CE Aull; R. Lowen (31 de diciembre de 2001). Manual de Historia de la Topología General. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 1147.ISBN​ 978-0-7923-6970-7.
3. Johnstone (1982, §VI.2)
4. Bergman y Hausknecht (1996, propuesta 24.8)

Referencias

• Bergman; Hausknecht (1996), Cogrupos y co-anillos en categorías de anillos asociativos , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 45, doi :10.1090/surv/045, ISBN 9780821804957
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas. Teoría de conjuntos , Traducido del francés, París: Hermann, MR  0237342.
• Blom, Thomas; Moerdijk, Ieke (2023), "Estructuras de modelos simples en procategorías", Topología algebraica y geométrica , 23 (8): 3849–3908, arXiv : 2009.07539 , doi : 10.2140/agt.2023.23.3849
• Grothendieck, Alexander (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des module", Séminaire Bourbaki: años 1958/59 - 1959/60, exposiciones 169-204 (en francés), Sociétée mathématique de France, págs. 369–390, MR  1603480, Zbl  0234.14007
• "Sistema (en una categoría)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Johnstone, Peter T. (1982), Espacios de piedra , ISBN 0521337798
• Lurie, Jacob (2009), Teoría del topos superior , Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, señor  2522659
• Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Teoría de formas , Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional, vol. 26, Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-86286-0