Una fibración (también llamada fibración de Hurewicz) es un mapeo que satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los espacios. El espacio se llama espacio base y el espacio se llama espacio total . La fibra encima es el subespacio [1] : 66
Fibración de serre
Una fibración de Serre (también llamada fibración débil) es un mapeo que satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los complejos CW . [2] : 375-376
Cada fibración de Hurewicz es una fibración de Serre.
Cuasifibración
Un mapeo se llama cuasifibración , si para cada y se cumple que el mapeo inducido es un isomorfismo .
Toda fibración de Serre es una cuasifibración. [3] : 241-242
Ejemplos
La proyección sobre el primer factor es una fibración. Es decir, los paquetes triviales son fibraciones.
Toda cobertura es una fibración. Específicamente, para cada homotopía y cada elevación existe una elevación definida de forma única con [4] : 159 [5] : 50
Cada haz de fibras satisface la propiedad de elevación de homotopía para cada complejo CW. [2] : 379
Un haz de fibras con un espacio paracompacto y base de Hausdorff satisface la propiedad de elevación por homotopía para todos los espacios. [2] : 379
Un ejemplo de una fibración que no es un haz de fibras lo da el mapeo inducido por la inclusión de un espacio topológico y es el espacio de todos los mapeos continuos con la topología compacta-abierta . [4] : 198
La fibración de Hopf es un haz de fibras no trivial y, específicamente, una fibración de Serre.
Conceptos básicos
Equivalencia de homotopía de fibra
Un mapeo entre espacios totales de dos fibraciones y con el mismo espacio base es un homomorfismo de fibración si el siguiente diagrama conmuta:
El mapeo es una equivalencia de homotopía de fibra si además existe un homomorfismo de fibración, tal que los mapeos y sean homotópicos, por homomorfismos de fibración, a las identidades y [2] : 405-406
Fibración de retroceso
Dadas una fibración y un mapeo , el mapeo es una fibración, donde está el retroceso y las proyecciones de sobre y producen el siguiente diagrama conmutativo:
La fibración se llama fibración de retroceso o fibración inducida. [2] : 405-406
Fibración del espacio de camino
Con la construcción del espacio de caminos, cualquier mapeo continuo se puede extender a una fibración ampliando su dominio a un espacio equivalente de homotopía. Esta fibración se llama fibración en el espacio de caminos .
La fibración del espacio de caminos está dada por el mapeo con La fibra también se llama fibra homotópica de y consta de pares con y caminos donde y se mantiene.
Para el caso especial de la inclusión del punto base , surge un ejemplo importante de fibración del espacio de caminos. El espacio total consta de todos los caminos que comienzan en Este espacio se denota por y se llama espacio de caminos. La fibración del espacio de ruta asigna cada ruta a su punto final, por lo tanto, la fibra consta de todas las rutas cerradas. La fibra se denota por y se llama espacio de bucle . [2] : 407-408
Para una homotopía, las fibraciones de retroceso y son equivalentes en homotopía de fibra. [2] : 406
Si el espacio base es contráctil , entonces la fibración es homotópica de fibra equivalente a la fibración del producto [2] : 406
La fibración del espacio de caminos de una fibración es muy similar a sí misma. Más precisamente, la inclusión es una equivalencia de homotopía de fibra. [2] : 408
Para una fibración con fibra y punto base, la inclusión de la fibra en la fibra de homotopía es una equivalencia de homotopía . El mapeo con , donde y es un camino desde hacia en el espacio base, es una fibración. Específicamente es la fibración de retroceso de la fibración del espacio de ruta a lo largo . Este procedimiento ahora se puede aplicar nuevamente a la fibración y así sucesivamente. Esto lleva a una larga secuencia:
La fibra de encima de un punto consta de los pares donde hay un camino desde hasta , es decir, el espacio del bucle . La inclusión de la fibra de en la fibra de homotopía de es nuevamente una equivalencia de homotopía y la iteración produce la secuencia:
Debido a la dualidad de fibración y cofibración , también existe una secuencia de cofibraciones. Estas dos secuencias se conocen como secuencias de Puppe o secuencias de fibraciones y cofibraciones. [2] : 407-409
Fibración principal
Una fibración con fibra se llama principal , si existe un diagrama conmutativo:
La fila inferior es una secuencia de fibraciones y los mapeos verticales son equivalencias de homotopía débiles. Las fibraciones principales juegan un papel importante en las torres Postnikov . [2] : 412
Secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.
Para una fibración de Serre existe una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía . Para puntos base y esto viene dado por:
Los homomorfismos y son los homomorfismos inducidos de la inclusión y la proyección [2] : 376
Los grupos de homotopía son triviales por lo que existen isomorfismos entre y para
De manera análoga, las fibras dentro y dentro son contráctiles hasta un punto. Además, las secuencias exactas cortas se dividen y hay familias de isomorfismos: [6] : 111
y
Secuencia espectral
Las secuencias espectrales son herramientas importantes en topología algebraica para calcular grupos de (co)homología.
La secuencia espectral de Leray-Serre conecta la (co)homología del espacio total y la fibra con la (co)homología del espacio base de una fibración. Para una fibración con fibra donde el espacio base es un complejo CW conectado y una teoría de homología aditiva existe una secuencia espectral: [7] : 242
Las fibraciones no producen secuencias largas y exactas en homología, como ocurre en homotopía. Pero bajo ciertas condiciones, las fibraciones proporcionan secuencias exactas en homología. Para una fibración con fibra donde el espacio base y la fibra están conectados por caminos , el grupo fundamental actúa trivialmente y además de las condiciones para y para la retención, existe una secuencia exacta (también conocida con el nombre de secuencia exacta de Serre):
[7] : 250
Esta secuencia se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar el teorema de Hurewicz o para calcular la homología de espacios de bucles de la forma [8] : 162
Para el caso especial de una fibración donde el espacio de bases es una esfera con fibra, existen secuencias exactas (también llamadas secuencias de Wang ) para homología y cohomología: [1] : 456
Orientabilidad
Para una fibración con fibra y un anillo conmutativo fijo con una unidad, existe un functor contravariante del grupoide fundamental de a la categoría de módulos graduados, que asigna al módulo y a la clase de camino el homomorfismo donde es una clase de homotopía en
Una fibración se llama orientable si para cualquier camino cerrado se cumple lo siguiente: [1] : 476
característica de euler
Para una fibración orientable sobre el campo con fibra y espacio base conectado por trayectoria, la característica de Euler del espacio total viene dada por:
Aquí se definen las características de Euler del espacio base y de la fibra sobre el campo . [1] : 481
^ Dold, Albrecht ; Thom, René (1958). "Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte". Anales de Matemáticas . 67 (2): 239–281. doi :10.2307/1970005. JSTOR 1970005.
^ ab Laures, Gerd; Szymik, Markus (2014). Grundkurs Topologie (en alemán) (2ª ed.). Spektrum de Springer. doi :10.1007/978-3-662-45953-9. ISBN978-3-662-45952-2.
^ ab Davis, James F.; Kirk, Paul (1991). Apuntes de conferencias sobre topología algebraica (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana.
^ Cohen, Ralph L. (1998). Notas de la conferencia sobre la topología de los haces de fibras (PDF) . Universidad Stanford.