Prima de Mersenne

Número primo de la forma (2^n)-1

En matemáticas , un primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos . Es decir, es un número primo de la forma M _n = 2 ⁿ − 1 para algún entero n . Reciben su nombre de Marin Mersenne , un fraile francés de la Orden Mínima , que los estudió a principios del siglo XVII. Si n es un número compuesto , entonces también lo es 2 ⁿ − 1. Por lo tanto, una definición equivalente de los primos de Mersenne es que son los números primos de la forma M _p = 2 ^p − 1 para algún primo p .

Los exponentes n que dan primos de Mersenne son 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (secuencia A000043 en la OEIS ) y los primos de Mersenne resultantes son 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 , ... (secuencia A000668 en la OEIS ).

Los números de la forma M _n = 2 ⁿ − 1 sin el requisito de primalidad pueden llamarse números de Mersenne . Sin embargo, a veces, los números de Mersenne se definen con el requisito adicional de que n sea primo. El número de Mersenne compuesto más pequeño con exponente primo n es 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 .

Los números primos de Mersenne se estudiaron en la antigüedad debido a su estrecha relación con los números perfectos: el teorema de Euclides-Euler afirma una correspondencia biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne. Muchos de los números primos más grandes conocidos son primos de Mersenne porque es más fácil comprobar la primalidad de los números de Mersenne.

A partir de 2023 ^[árbitro], se conocen 51 números primos de Mersenne. El mayor número primo conocido , 2 ^82,589,933 − 1 , es un primo de Mersenne. ^[1] Desde 1997, todos los nuevos primos de Mersenne encontrados han sido descubiertos por la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet , un proyecto de computación distribuida . En diciembre de 2020, se alcanzó un hito importante en el proyecto después de que todos los exponentes por debajo de 100 millones se verificaran al menos una vez. ^[2]

Acerca de los números primos de Mersenne

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Mersenne?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Aún quedan por resolver muchas cuestiones fundamentales sobre los números primos de Mersenne. Ni siquiera se sabe si el conjunto de números primos de Mersenne es finito o infinito.

La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff afirma que hay infinitos primos de Mersenne y predice su orden de crecimiento y frecuencia: para cada número n, debería haber en promedio alrededor de ≈ 5,92 primos p con n dígitos decimales (es decir, 10 ^n-1 < p < 10 ⁿ ) para los cuales es primo. ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$ ${\displaystyle M_{p}}$

Tampoco se sabe si infinitos números de Mersenne con exponentes primos son compuestos, aunque esto se seguiría de conjeturas ampliamente aceptadas sobre los números primos, por ejemplo, la infinitud de primos de Sophie Germain congruentes con 3 ( mod 4 ). Para estos primos p , 2 p + 1 (que también es primo) dividirá a M _p , por ejemplo, 23 | M ₁₁ , 47 | M ₂₃ , 167 | M ₈₃ , 263 | M ₁₃₁ , 359 | M ₁₇₉ , 383 | M ₁₉₁ , 479 | M ₂₃₉ , y 503 | M ₂₅₁ (secuencia A002515 en la OEIS ). Como para estos primos p , 2 p + 1 es congruente con 7 mod 8, entonces 2 es un residuo cuadrático mod 2 p + 1 , y el orden multiplicativo de 2 mod 2 p + 1 debe dividir a . Como p es un primo, debe ser p o 1. Sin embargo, no puede ser 1 ya que y 1 no tiene factores primos , entonces debe ser p . Por lo tanto, 2 p + 1 divide y no puede ser primo. Los primeros cuatro primos de Mersenne son M ₂ = 3 , M ₃ = 7 , M ₅ = 31 y M ₇ = 127 y como el primer primo de Mersenne comienza en M ₂ , todos los primos de Mersenne son congruentes con 3 (mod 4). Aparte de M ₀ = 0 y M ₁ = 1 , todos los demás números de Mersenne también son congruentes con 3 (mod 4). En consecuencia, en la factorización prima de un número de Mersenne (  ≥ M ₂  ) debe haber al menos un factor primo congruente con 3 (mod 4). ${\textstyle {\frac {(2p+1)-1}{2}}=p}$ ${\displaystyle \Phi _{1}(2)=1}$ ${\displaystyle \Phi _{p}(2)=2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1=M_{p}}$

Un teorema básico sobre los números de Mersenne establece que si M _p es primo, entonces el exponente p también debe ser primo. Esto se deduce de la identidad Esto descarta la primalidad para los números de Mersenne con un exponente compuesto, como M ₄ = 2 ⁴ − 1 = 15 = 3 × 5 = (2 ² − 1) × (1 + 2 ² ) . $${\displaystyle {\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}}$$

Aunque los ejemplos anteriores podrían sugerir que M _p es primo para todos los primos p , este no es el caso, y el contraejemplo más pequeño es el número de Mersenne.

M ₁₁ = 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 .

La evidencia disponible sugiere que es mucho más probable que un número de Mersenne seleccionado al azar sea primo que un entero impar de tamaño similar seleccionado al azar arbitrariamente. ^[3] No obstante, los valores primos de M _p parecen volverse cada vez más escasos a medida que p aumenta. Por ejemplo, ocho de los primeros 11 primos p dan lugar a un primo de Mersenne M _p (los términos correctos en la lista original de Mersenne), mientras que M _p es primo para solo 43 de los primeros dos millones de números primos (hasta 32.452.843).

La falta actual de cualquier prueba simple para determinar si un número de Mersenne dado es primo hace que la búsqueda de primos de Mersenne sea una tarea difícil, ya que los números de Mersenne crecen muy rápidamente. La prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (LLT) es una prueba de primalidad eficiente que ayuda en gran medida a esta tarea, haciendo que sea mucho más fácil probar la primalidad de los números de Mersenne que la de la mayoría de los otros números del mismo tamaño. La búsqueda del primo más grande conocido tiene una especie de seguimiento de culto . ^{[ cita requerida ]} En consecuencia, se ha gastado una gran cantidad de potencia informática en la búsqueda de nuevos primos de Mersenne, gran parte de lo cual ahora se hace utilizando computación distribuida .

El módulo aritmético de un número de Mersenne es particularmente eficiente en una computadora binaria , lo que los convierte en opciones populares cuando se desea un módulo primo, como el generador de números aleatorios de Park-Miller . Para encontrar un polinomio primitivo de orden de número de Mersenne se requiere conocer la factorización de ese número, por lo que los primos de Mersenne permiten encontrar polinomios primitivos de orden muy alto. Dichos trinomios primitivos se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios con períodos muy grandes, como el Twister de Mersenne , el registro de desplazamiento generalizado y los generadores de Fibonacci rezagados .

Números perfectos

Los primos de Mersenne M _p están estrechamente relacionados con los números perfectos . En el siglo IV a. C., Euclides demostró que si 2 ^p − 1 es primo, entonces 2 ^{p − 1} (2 ^p − 1 ) es un número perfecto. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró que, a la inversa, todos los números perfectos pares tienen esta forma. ^[4] Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler . Se desconoce si existen números perfectos impares .

Una forma alternativa de los números perfectos (que no afecta la esencia): Si es un número primo, entonces es un número perfecto. (Los números perfectos son números triangulares cuya base es un primo de Mersenne). ${\displaystyle (M=2^{n}-1)}$ ${\displaystyle P=M(M+1)/2}$

Historia

Los primos de Mersenne toman su nombre del erudito francés del siglo XVII Marin Mersenne , quien compiló lo que se suponía que era una lista de primos de Mersenne con exponentes de hasta 257. Los exponentes enumerados por Mersenne en 1644 fueron los siguientes:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Su lista reproducía los primos conocidos de su tiempo con exponentes de hasta 19. Su siguiente entrada, 31, era correcta, pero la lista luego se volvió en gran parte incorrecta, ya que Mersenne incluyó por error M ₆₇ y M ₂₅₇ (que son compuestos) y omitió M ₆₁ , M ₈₉ y M ₁₀₇ (que son primos). Mersenne dio pocas indicaciones de cómo se le ocurrió su lista. ^[5]

Édouard Lucas demostró en 1876 que M ₁₂₇ es de hecho primo, como afirmó Mersenne. Este fue el mayor número primo conocido durante 75 años hasta 1951, cuando Ferrier encontró un primo mayor, , utilizando una máquina calculadora de escritorio. ^{[6] : página 22} M ₆₁ fue determinado como primo en 1883 por Ivan Mikheevich Pervushin , aunque Mersenne afirmó que era compuesto y por esta razón a veces se lo llama número de Pervushin. Este fue el segundo mayor número primo conocido, y permaneció así hasta 1911. Lucas había mostrado otro error en la lista de Mersenne en 1876 al demostrar que M ₆₇ era compuesto sin encontrar un factor. No se encontró ningún factor hasta una famosa charla de Frank Nelson Cole en 1903. ^[7] Sin decir una palabra, fue a una pizarra y elevó 2 a la potencia 67, luego restó uno, dando como resultado el número 147.573.952.589.676.412.927 . En el otro lado del tablero, multiplicó 193.707.721 × 761.838.257.287 y obtuvo el mismo número, luego regresó a su asiento (entre aplausos) sin decir nada. ^[8] Más tarde dijo que le había llevado "tres años de domingos" encontrar el resultado. ^[9] Una lista correcta de todos los primos de Mersenne en este rango de números se completó y verificó rigurosamente solo unos tres siglos después de que Mersenne publicara su lista. ${\displaystyle (2^{148}+1)/17}$

En busca de números primos de Mersenne

Hay algoritmos rápidos disponibles para encontrar números primos de Mersenne y, a partir de junio de 2023 ^[actualizar], los seis números primos más grandes conocidos son primos de Mersenne.

Los primeros cuatro primos de Mersenne M ₂ = 3 , M ₃ = 7 , M ₅ = 31 y M ₇ = 127 eran conocidos en la antigüedad. El quinto, M ₁₃ = 8191 , fue descubierto anónimamente antes de 1461; los dos siguientes ( M ₁₇ y M ₁₉ ) fueron encontrados por Pietro Cataldi en 1588. Después de casi dos siglos, Leonhard Euler verificó que M ₃₁ era primo en 1772. El siguiente (en orden histórico, no numérico) fue M ₁₂₇ , encontrado por Édouard Lucas en 1876, luego M ₆₁ por Ivan Mikheevich Pervushin en 1883. Dos más ( M ₈₉ y M ₁₀₇ ) fueron encontrados a principios del siglo XX, por RE Powers en 1911 y 1914, respectivamente.

El método más eficiente conocido actualmente para probar la primalidad de los números de Mersenne es la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer . Específicamente, se puede demostrar que para primo p > 2 , M _p = 2 ^p − 1 es primo si y solo si M _p divide a S _{p − 2} , donde S ₀ = 4 y S _k = ( S _{k − 1} ) ² − 2 para k > 0 .

Durante la era del cálculo manual, todos los exponentes hasta el 257 inclusive se probaron con la prueba de Lucas-Lehmer y se descubrió que eran compuestos. Una contribución notable fue la del profesor de física jubilado de Yale Horace Scudder Uhler, quien realizó los cálculos para los exponentes 157, 167, 193, 199, 227 y 229. ^[10] Desafortunadamente para esos investigadores, el intervalo que estaban probando contiene la brecha relativa más grande conocida entre primos de Mersenne: el siguiente exponente primo de Mersenne, 521, resultaría ser más de cuatro veces más grande que el récord anterior de 127.

Gráfica del número de dígitos del mayor primo de Mersenne conocido por año – era electrónica. La escala vertical es logarítmica en el número de dígitos, por lo que es una función del valor del primo. ${\displaystyle \log(\log(y))}$

La búsqueda de primos de Mersenne se revolucionó con la introducción de la computadora digital electrónica. Alan Turing los buscó en el Manchester Mark 1 en 1949, ^[11] pero la primera identificación exitosa de un primo de Mersenne, M ₅₂₁ , por este medio se logró a las 10:00 pm del 30 de enero de 1952, utilizando la Oficina Nacional de Normas de EE. UU. Western Automatic Computer (SWAC) en el Instituto de Análisis Numérico de la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), bajo la dirección de DH Lehmer , con un programa de búsqueda de computadora escrito y administrado por el profesor RM Robinson . Fue el primer primo de Mersenne en ser identificado en treinta y ocho años; el siguiente, M ₆₀₇ , fue encontrado por la computadora un poco menos de dos horas después. Tres más - M ₁₂₇₉ , M ₂₂₀₃ y M ₂₂₈₁  - fueron encontrados por el mismo programa en los siguientes meses. M _4.423 fue el primer primo descubierto con más de 1000 dígitos, M _44.497 fue el primero con más de 10.000 y M _6.972.593 fue el primero con más de un millón. En general, el número de dígitos en la representación decimal de M _n es igual a ⌊ n × log ₁₀ 2⌋ + 1 , donde ⌊ x ⌋ denota la función base (o equivalentemente ⌊log ₁₀ M _n ⌋ + 1 ).

En septiembre de 2008, los matemáticos de la UCLA que participaron en la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet (GIMPS) ganaron parte de un premio de 100.000 dólares de la Electronic Frontier Foundation por su descubrimiento de un primo de Mersenne de casi 13 millones de dígitos. El premio, finalmente confirmado en octubre de 2009, es para el primer primo conocido con al menos 10 millones de dígitos. El primo se encontró en un Dell OptiPlex 745 el 23 de agosto de 2008. Este fue el octavo primo de Mersenne descubierto en la UCLA. ^[12]

El 12 de abril de 2009, un registro del servidor GIMPS informó que posiblemente se había encontrado un primo de Mersenne número 47. El hallazgo se detectó por primera vez el 4 de junio de 2009 y se verificó una semana después. El primo es 2 ^42.643.801 − 1 . Aunque cronológicamente es el primo de Mersenne número 47 descubierto, es más pequeño que el más grande conocido en ese momento, que era el número 45 descubierto.

El 25 de enero de 2013, Curtis Cooper , matemático de la Universidad de Central Missouri , descubrió un 48.º primo de Mersenne, 2 ^57.885.161 − 1 (un número con 17.425.170 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^[13]

El 19 de enero de 2016, Cooper publicó su descubrimiento de un 49º primo de Mersenne, 2 ^74.207.281 − 1 (un número con 22.338.618 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^{[14] [15] [16]} Este fue el cuarto primo de Mersenne descubierto por Cooper y su equipo en los últimos diez años.

El 2 de septiembre de 2016, la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet terminó de verificar todas las pruebas por debajo de M _37.156.667 , confirmando así oficialmente su posición como el 45º primo de Mersenne. ^[17]

El 3 de enero de 2018, se anunció que Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años que vivía en Germantown, Tennessee , había encontrado un 50º primo de Mersenne, 2 ^77,232,917 − 1 (un número con 23,249,425 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^[18] El descubrimiento fue realizado por una computadora en las oficinas de una iglesia en la misma ciudad. ^{[19] [20]}

El 21 de diciembre de 2018, se anunció que The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) descubrió el mayor número primo conocido, 2 ^82,589,933 − 1 , que tiene 24,862,048 dígitos. Una computadora proporcionada voluntariamente por Patrick Laroche de Ocala, Florida, hizo el descubrimiento el 7 de diciembre de 2018. ^[21]

A finales de 2020, GIMPS comenzó a utilizar una nueva técnica para descartar posibles primos de Mersenne llamada prueba de primos probables (PRP), basada en el desarrollo de Robert Gerbicz en 2017, y una forma sencilla de verificar pruebas desarrolladas por Krzysztof Pietrzak en 2018. Debido a la baja tasa de error y la facilidad de prueba, esto redujo casi a la mitad el tiempo de cálculo para descartar posibles primos en comparación con la prueba de Lucas-Lehmer (ya que dos usuarios ya no tendrían que realizar la misma prueba para confirmar el resultado del otro), aunque los exponentes que pasan la prueba PRP aún requieren que uno confirme su primalidad. ^[22]

Teoremas sobre los números de Mersenne

Los números de Mersenne son 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... (secuencia A000225 en la OEIS ).

1. Si a y p son números naturales tales que a ^p − 1 es primo, entonces a = 2 o p = 1 .
   • Demostración : a ≡ 1 ( mod a − 1) . Entonces a ^p ≡ 1 (mod a − 1) , por lo que a ^p − 1 ≡ 0 (mod a − 1) . Por lo tanto a − 1 | a ^p − 1 . Sin embargo, a ^p − 1 es primo, por lo que a − 1 = a ^p − 1 o a − 1 = ±1 . En el primer caso, a = a ^p , por lo tanto a = 0, 1 (lo cual es una contradicción, ya que ni −1 ni 0 son primos) o p = 1. En el último caso, a = 2 o a = 0 . Sin embargo, si a = 0 , 0 ^p − 1 = 0 − 1 = −1 que no es primo. Por lo tanto, a = 2 .
2. Si 2 ^p − 1 es primo, entonces p es primo.
   • Demostración : Supongamos que p es compuesto, por lo tanto puede escribirse p = ab con a y b > 1. Entonces 2 ^p − 1 = 2 ^ab − 1 = (2 ^a ) ^b − 1 = (2 ^a − 1) ( (2 ^a ) ^{b −1} + (2 ^a ) ^{b −2} + ... + 2 ^a + 1 ) por lo que 2 ^p − 1 es compuesto. Por contraposición, si 2 ^p − 1 es primo entonces p es primo.
3. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divida a 2 ^p − 1 debe ser 1 más un múltiplo de 2 p . Esto se cumple incluso cuando 2 ^p − 1 es primo.
   • Por ejemplo, 2 ⁵ − 1 = 31 es primo y 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Un ejemplo compuesto es 2 ¹¹ − 1 = 23 × 89 , donde 23 = 1 + (2 × 11) y 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
   • Demostración : Por el pequeño teorema de Fermat , q es un factor de 2 ^{q −1} − 1 . Como q es un factor de 2 ^p − 1 , para todos los enteros positivos c , q también es un factor de 2 ^pc − 1 . Como p es primo y q no es un factor de 2 ¹ − 1 , p es también el entero positivo más pequeño x tal que q es un factor de 2 ^x − 1 . Como resultado, para todos los enteros positivos x , q es un factor de 2 ^x − 1 si y solo si p es un factor de x . Por lo tanto, como q es un factor de 2 ^{q −1} − 1 , p es un factor de q − 1 por lo que q ≡ 1 (mod p ) . Además, como q es un factor de 2 ^p − 1 , que es impar, q es impar. Por lo tanto, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
   • Este hecho conduce a una prueba del teorema de Euclides , que afirma la infinitud de los números primos, distinta de la prueba escrita por Euclides: para cada primo impar p , todos los primos que dividen a 2 ^p − 1 son mayores que p ; por lo tanto, siempre hay primos mayores que cualquier primo particular.
   • De este hecho se desprende que para cada primo p > 2 , existe al menos un primo de la forma 2 kp +1 menor o igual a M _p , para algún entero k .
4. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide a 2 ^p − 1 es congruente con ±1 (mod 8) .
   • Demostración : 2 ^{p +1} ≡ 2 (mod q ) , entonces 2 ^{⁠1/2⁠ (p+1)} es una raíz cuadrada de2 módulo q . Porreciprocidad cuadrática, todo módulo primo en el que el número 2 tiene una raíz cuadrada es congruente con±1 (mod 8).
5. Un primo de Mersenne no puede ser un primo de Wieferich .
   • Demostración : Demostramos que si p = 2 ^m − 1 es un primo de Mersenne, entonces la congruencia 2 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) no se cumple. Por el pequeño teorema de Fermat, m | p − 1 . Por lo tanto, se puede escribir p − 1 = mλ . Si se satisface la congruencia dada, entonces p ² | 2 ^mλ − 1 , por lo tanto 0 ≡ ⁠2 ^ml − 1/2 ^m −1⁠ = 1 + 2 ^m + 2 ^{2 m} + ... + 2 ^{( λ − 1) m} ≡ λ mod (2 ^m − 1) . Por lo tanto p | λ , y por lo tanto −1 = 0 (mod p) lo cual es imposible.
6. Si m y n son números naturales, entonces m y n son coprimos si y solo si 2 ^m − 1 y 2 ⁿ − 1 son coprimos. En consecuencia, un número primo divide como máximo a un número de Mersenne de exponente primo. ^[23] Es decir, el conjunto de números de Mersenne perniciosos es coprimo por pares.
7. Si p y 2 p + 1 son ambos primos (lo que significa que p es un primo de Sophie Germain ), y p es congruente con 3 (mod 4) , entonces 2 p + 1 divide a 2 ^p − 1. [ ^24]
   • Ejemplo : 11 y 23 son ambos primos, y 11 = 2 × 4 + 3 , por lo que 23 divide a 2 ^{· 11} − 1 .
   • Demostración : Sea q 2 p + 1 . Por el pequeño teorema de Fermat, 2 ^{2 p} ≡ 1 (mod q ) , por lo que o bien 2 ^p ≡ 1 (mod q ) o bien 2 ^p ≡ −1 (mod q ) . Suponiendo que esto último sea cierto, entonces 2 ^{p +1} = (2 ^{⁠1/2⁠ ( p + 1)} ) ² ≡ −2 (mod q ), por lo que −2 sería un residuo cuadrático modq. Sin embargo, comopes congruente con3 (mod 4),qes congruente con7 (mod 8)y, por lo tanto, 2 es un residuo cuadrático modq. Además, comoqes congruente con3 (mod 4), −1 es un no residuo cuadrático modq, por lo que −2 es el producto de un residuo y un no residuo y, por lo tanto, es un no residuo, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la congruencia anterior debe ser verdadera y2 p + 1dividea M _p .
8. Todos los divisores compuestos de números de Mersenne con exponentes primos son pseudoprimos fuertes en base 2.
9. Con excepción del 1, un número de Mersenne no puede ser una potencia perfecta. Es decir, y de acuerdo con el teorema de Mihăilescu , la ecuación 2 ^m − 1 = n ^k no tiene soluciones donde m , n y k sean números enteros con m > 1 y k > 1 .
10. La secuencia de números de Mersenne es un miembro de la familia de secuencias de Lucas . Es U _n (3, 2). Es decir, el número de Mersenne m _n = 3 m _{n -1} - 2 m _{n -2} con m ₀ = 0 y m ₁ = 1 .

Lista de números primos de Mersenne conocidos

A partir de 2023 ^[actualizar], los 51 primos de Mersenne conocidos son 2 ^p − 1 para los siguientes p :

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 2170, 1, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933. (secuencia A000043 en la OEIS )

Factorización de números compuestos de Mersenne

Dado que son números primos, los primos de Mersenne son divisibles solo por 1 y por ellos mismos. Sin embargo, no todos los números de Mersenne son primos de Mersenne. Los números de Mersenne son muy buenos casos de prueba para el algoritmo de criba de campo de números especiales , por lo que a menudo el número más grande factorizado con este algoritmo ha sido un número de Mersenne. A junio de 2019 ^[actualizar], 2 ^1,193 − 1 es el poseedor del récord, ^[25] habiendo sido factorizado con una variante de la criba de campo de números especiales que permite la factorización de varios números a la vez. Consulte los registros de factorización de números enteros para obtener enlaces a más información. La criba de campo de números especiales puede factorizar números con más de un factor grande. Si un número tiene solo un factor muy grande, entonces otros algoritmos pueden factorizar números más grandes encontrando primero factores pequeños y luego ejecutando una prueba de primalidad en el cofactor. A partir de septiembre de 2022 ^[actualizar], el mayor número completamente factorizado (con factores primos probables permitidos) es 2 ^12,720,787 − 1 = 1,119,429,257 × 175,573,124,547,437,977 × 8,480,999,878,421,106,991 × q , donde q es un primo probable de 3,829,294 dígitos. Fue descubierto por un participante de GIMPS con el apodo "Funky Waddle". ^{[26] [27]} A partir de septiembre de 2022 ^[actualizar], el número de Mersenne M ₁₂₇₇ es el número de Mersenne compuesto más pequeño sin factores conocidos; no tiene factores primos por debajo de 2 ⁶⁸ , ^[28] y es muy poco probable que tenga factores por debajo de 10 ⁶⁵ (~2 ²¹⁶ ). ^[29]

La siguiente tabla muestra factorizaciones para los primeros 20 números compuestos de Mersenne (secuencia A244453 en la OEIS ).

El número de factores de los primeros 500 números de Mersenne se puede encontrar en (secuencia A046800 en la OEIS ).

Números de Mersenne en la naturaleza y en otros lugares

En el problema matemático Torre de Hanoi , resolver un rompecabezas con una torre de n discos requiere M _n pasos, suponiendo que no se cometen errores. [ ^30] La cantidad de granos de arroz en todo el tablero de ajedrez en el problema del trigo y el tablero de ajedrez es M _64. ^[31]

El asteroide con el número de planeta menor 8191 se llama 8191 Mersenne en honor a Marin Mersenne, porque 8191 es un primo de Mersenne ( 3 Juno , 7 Iris , 31 Euphrosyne y 127 Johanna fueron descubiertos y nombrados durante el siglo XIX). ^[32]

En geometría , un triángulo rectángulo entero que es primitivo y tiene su cateto par una potencia de 2 (  ≥ 4  ) genera un triángulo rectángulo único tal que su inradio es siempre un número de Mersenne. Por ejemplo, si el cateto par es 2 ^{n  + 1} entonces, como es primitivo, restringe el cateto impar a ser 4 ⁿ  − 1 , la hipotenusa a ser 4 ⁿ  + 1 y su inradio a ser 2 ⁿ  − 1 . ^[33]

Primos de Mersenne-Fermat

Un número de Mersenne-Fermat se define como2 ^{p r} − 1/2 ^{p r − 1} − 1⁠ con p primo, r número natural, y puede escribirse como MF( p , r ) . Cuando r = 1 , es un número de Mersenne. Cuando p = 2 , es un número de Fermat . Los únicos primos de Mersenne-Fermat conocidos con r > 1 son

MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2) y MF(59, 2) . ^[34]

De hecho, MF( p , r ) = Φ _{p ^r} (2) , donde Φ es el polinomio ciclotómico .

Generalizaciones

Los primos de Mersenne generalizados más simples son números primos de la forma f (2 ⁿ ) , donde f ( x ) es un polinomio de bajo grado con coeficientes enteros pequeños . ^[35] Un ejemplo es 2 ⁶⁴ − 2 ³² + 1 , en este caso, n = 32 , y f ( x ) = x ² − x + 1 ; otro ejemplo es 2 ¹⁹² − 2 ⁶⁴ − 1 , en este caso, n = 64 , y f ( x ) = x ³ − x − 1 .

También es natural intentar generalizar los primos de la forma 2 ⁿ − 1 a primos de la forma b ⁿ − 1 (para b ≠ 2 y n > 1 ). Sin embargo (ver también los teoremas anteriores), b ⁿ − 1 siempre es divisible por b − 1 , por lo que, a menos que este último sea una unidad , el primero no es un primo. Esto se puede remediar permitiendo que b sea un entero algebraico en lugar de un entero:

Números complejos

En el anillo de los números enteros (en los números reales ), si b − 1 es una unidad , entonces b es 2 o 0. Pero 2 ⁿ − 1 son los primos de Mersenne habituales, y la fórmula 0 ⁿ − 1 no conduce a nada interesante (ya que siempre es −1 para todo n > 0 ). Por lo tanto, podemos considerar un anillo de "enteros" en números complejos en lugar de números reales , como los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein .

Primos de Mersenne de Gauss

Si consideramos el anillo de números enteros gaussianos , obtenemos el caso b = 1 + i y b = 1 − i , y podemos preguntar ( WLOG ) para qué n el número (1 + i ) ⁿ − 1 es un primo gaussiano que entonces se llamará primo gaussiano de Mersenne . ^[36]

(1 + i ) ⁿ − 1 es un primo gaussiano para el siguiente n :

2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ... (secuencia A057429 en la OEIS )

Al igual que la secuencia de exponentes de los primos de Mersenne habituales, esta secuencia contiene únicamente números primos (racionales).

Como ocurre con todos los primos gaussianos, las normas (es decir, los cuadrados de los valores absolutos) de estos números son primos racionales:

5, 13, 41, 113, 2113, 525313, 536903681, 140737471578113, ... (secuencia A182300 en la OEIS ).

Primos de Eisenstein-Mersenne

Se pueden encontrar casos en los que un primo de Mersenne de este tipo sea también un primo de Eisenstein , de la forma b = 1 + ω y b = 1 − ω . En estos casos, dichos números se denominan primos de Mersenne de Eisenstein .

(1 + ω ) ⁿ − 1 es un primo de Eisenstein para el siguiente n :

2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (secuencia A066408 en la OEIS )

Las normas (es decir, los cuadrados de los valores absolutos) de estos primos de Eisenstein son primos racionales:

7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... (secuencia A066413 en la OEIS )

Dividir un entero

Números primos de Repunit

La otra forma de abordar el hecho de que b ⁿ − 1 siempre es divisible por b − 1 es simplemente sacar este factor y preguntar qué valores de n forman

${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$

sea ​​primo. (El entero b puede ser positivo o negativo). Si, por ejemplo, tomamos b = 10 , obtenemos n valores de:

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (secuencia A004023 en la OEIS ),
correspondientes a los primos 11, 1111111111111111111, 111111111111111111111111, ... (secuencia A004022 en la OEIS ).

Estos números primos se denominan números primos repunitarios. Otro ejemplo es cuando tomamos b = −12 , obtenemos n valores de:

2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (secuencia A057178 en la OEIS ),
correspondientes a los primos −11, 19141, 57154490053, ....

Es una conjetura que para cada entero b que no sea una potencia perfecta , existen infinitos valores de n tales queb ⁿ − 1/b -1⁠ es primo. (Cuando b es una potencia perfecta, se puede demostrar que hay como máximo unvalor n tal que ⁠b ⁿ − 1/b -1⁠ es primo)

Menos n tal que ⁠b ⁿ − 1/b -1⁠ son primos (comenzando con b = 2 , 0 si no existe tal n )

2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (secuencia A084740 en la OEIS )

Para bases negativas b , son (comenzando con b = −2 , 0 si no existe tal n )

3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (secuencia A084742 en la OEIS ) (tenga en cuenta que esta secuencia OEIS no permite n = 2 )

Base mínima b tal queb ^{primo( n )} − 1/b -1⁠ es primo son

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (secuencia A066180 en la OEIS )

Para bases negativas b , son

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (secuencia A103795 en la OEIS )

Otros números primos de Mersenne generalizados

Otro número de Mersenne generalizado es

${\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$

con a , b cualesquiera números enteros coprimos , a > 1 y − a < b < a . (Dado que a ⁿ − b ⁿ siempre es divisible por a − b , la división es necesaria para que haya alguna posibilidad de encontrar números primos.) ^[a] Podemos preguntar cuál n hace que este número sea primo. Se puede demostrar que tales n deben ser primos ellos mismos o iguales a 4, y n puede ser 4 si y solo si a + b = 1 y a ² + b ² es primo. ^[b] Es una conjetura que para cualquier par ( a , b ) tal que a y b no sean ambos potencias r ésimas perfectas para cualquier r y −4 ab no sea una cuarta potencia perfecta , hay infinitos valores de n tales que ⁠un ⁿ - b ⁿ/a - b⁠ es primo. ^[c] Sin embargo, esto no se ha demostrado para ningún valor individual de ( a , b ) .

^* Nota: si b < 0 y n es par, entonces los números n no se incluyen en la secuencia OEIS correspondiente.

Cuando a = b + 1 , es ( b + 1) ⁿ − b ⁿ , una diferencia de dos potencias n -ésimas perfectas consecutivas, y si a ⁿ − b ⁿ es primo, entonces a debe ser b + 1 , porque es divisible por a − b .

Los menores n tales que ( b + 1) ⁿ − b ⁿ son primos son

2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (secuencia A058013 en la OEIS )

Los menores b tales que ( b + 1) ^{primo( n )} − b ^{primo( n )} son primos son

1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (secuencia A222119 en la OEIS )

Véase también

• Repunit
• Número de Fermat
• Poder de dos
• Constante de Erdös-Borwein
• Conjeturas de Mersenne
• Tornado de Mersenne
• Número doble de Mersenne
• Prime95 / MPrime
• Gran buscador de Internet Mersenne Prime (GIMPS)
• El mayor número primo conocido
• Primer ministro de Wieferich
• Wagstaff de primera calidad
• Cullen principal
• Woodall de primera calidad
• Proth principal
• Solinas Prime
• La conjetura de Gillies
• Número de Williams

Notas

1. Este número es el mismo que el número de Lucas U _n ( a + b , ab ) , ya que a y b son las raíces de la ecuación cuadrática x ² − ( a + b ) x + ab = 0 .
2. Desde ⁠un ⁴ − b ⁴/a - b⁠ = ( a + b )( a ² + b ² ) . Por lo tanto, en este caso el par ( a , b ) debe ser ( x + 1, − x ) y x ² + ( x + 1) ² debe ser primo. Es decir, x debe estar en OEIS : A027861 .
3. Cuando a y b son ambas potencias r -ésimas perfectas para algún r > 1 o cuando −4 ab es una cuarta potencia perfecta, se puede demostrar que hay como máximo dos valores de n con esta propiedad: en estos casos,un ⁿ - b ⁿ/a - b⁠ se puede factorizar algebraicamente. ^{[ cita requerida ]}

Referencias

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38. (x, 1) y (x, −1) para x = 2 a 50
39. (x, 1) para x = 2 a 160
40. (x, −1) para x = 2 a 160
41. (x + 1, x) para x = 1 a 160
42. (x + 1, −x) para x = 1 a 40
43. (x + 2, x) para x impar = 1 a 107
44. (x, −1) para x = 2 a 200
45. Registros PRP, búsqueda de ⁠ ( a n − b n ) / c {\displaystyle (a^{n}-b^{n})/c} ⁠, es decir, (a, b)
46. Registros PRP, búsqueda de ⁠ ( a n + b n ) / c {\displaystyle (a^{n}+b^{n})/c} ⁠, es decir, (a, −b)

Enlaces externos

• "Número de Mersenne", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Página de inicio de GIMPS
• Informe de hitos de GIMPS: la página de estado ofrece varias estadísticas sobre el progreso de la búsqueda, que normalmente se actualizan cada semana, incluido el progreso hacia la demostración del orden de los primos de Mersenne más grandes conocidos
• GIMPS, factores conocidos de los números de Mersenne
• M _q = (8 x ) ² − (3 qy ) ² Propiedad de los números de Mersenne con exponente primo que son compuestos (PDF)
• M _q = x ² + d · y ² tesis de matemáticas (PS)
• Grime, James. "31 y números primos de Mersenne". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 2013-05-31 . Consultado el 2013-04-06 .
• Bibliografía de Mersenne Prime con hipervínculos a publicaciones originales
• Informe sobre los primos de Mersenne: detección detallada (en alemán)
• Wiki de GIMPS
• Página de Mersenne de Will Edgington: contiene factores para números de Mersenne pequeños
• Factores conocidos de los números de Mersenne
• Dígitos decimales y nombres en inglés de los números primos de Mersenne
• Curiosidades principales: 2305843009213693951
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• Secuencia OEIS A250197 (Números n tales que la parte primitiva aurifeuilliana izquierda de 2^n+1 es prima) – Factorización de números de Mersenne M _n ( n hasta 1280)
• Factorización de números de Mersenne completamente factorizados
• Proyecto Cunningham, factorización de bn ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12
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Enlaces de MathWorld

• Weisstein, Eric W. "Número de Mersenne". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Mersenne principal". MundoMatemático .