función de moebius

Función multiplicativa en teoría de números.

La función de Möbius μ ( n ) es una función multiplicativa en la teoría de números introducida por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transliterado Moebius ) en 1832. ^{[i] [ii] [2]} Es omnipresente en la teoría de números elemental y analítica y en la mayoría de los casos . A menudo aparece como parte de su homónimo la fórmula de inversión de Möbius . Siguiendo el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, las generalizaciones de la función de Möbius se introdujeron en la combinatoria y se denotan de manera similar μ ( x ) .

Definición

Para cualquier número entero positivo n , defina μ ( n ) como la suma de las raíces primitivas n -ésimas de la unidad . Tiene valores en {−1, 0, 1} dependiendo de la factorización de n en factores primos :

• μ ( n ) = +1 si n es un entero positivo sin cuadrados con un número par de factores primos.
• μ ( n ) = −1 si n es un entero positivo sin cuadrados con un número impar de factores primos.
• μ ( n ) = − 0 si n tiene un factor primo al cuadrado.

La función de Möbius también se puede representar como

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),}$

donde δ es el delta de Kronecker , λ ( n ) es la función de Liouville , ω ( n ) es el número de divisores primos distintos de n y Ω( n ) es el número de factores primos de n , contados con multiplicidad.

También se puede definir como la convolución de Dirichlet inversa de la función constante-1.

Valores

Los valores de μ ( n ) para los primeros 50 números positivos son

Los primeros 50 valores de la función se representan a continuación:

Los 50 primeros valores de μ ( n )

Se pueden registrar valores mayores en:

• Wolfram Alpha
• el archivo b de OEIS

Aplicaciones

Serie matemática

La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si s es un número complejo con parte real mayor que 1 tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Esto se puede ver en su producto Euler.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

También:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$donde - constante de Euler . ${\displaystyle \gamma }$

La serie de Lambert para la función de Möbius es:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

que converge para | q | < 1 . Para primo α ≥ 2 , también tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Teoría algebraica de números

Gauss ^[1] demostró que para un número primo p la suma de sus raíces primitivas es congruente con μ ( p − 1) (mod p ) .

Si F _q denota el campo finito de orden q (donde q es necesariamente una potencia prima), entonces el número N de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre F _q viene dado por: ^[3]

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

Física

La función de Möbius también surge en el modelo de supersimetría del gas primon o gas de Riemann libre . En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías log p . Bajo la segunda cuantificación , se consideran excitaciones multipartículas; estos están dados por log n para cualquier número natural n . Esto se desprende del hecho de que la factorización de los números naturales en primos es única.

En el gas de Riemann libre puede aparecer cualquier número natural, si los primones se toman como bosones . Si se toman como fermiones , entonces el principio de exclusión de Pauli excluye los cuadrados. El operador (−1) ^F que distingue fermiones y bosones no es otro que la función de Möbius μ ( n ) .

El gas de Riemann libre tiene otras conexiones interesantes con la teoría de números, incluido el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann . Esta idea subyace al intento de Alain Connes de probar la hipótesis de Riemann . ^[4]

Propiedades

La función de Möbius es multiplicativa (es decir, μ ( ab ) = μ ( a ) μ ( b ) ) siempre que a y b sean coprimos .

Prueba : Dados dos números coprimos , inducimos en . Si entonces . De lo contrario, entonces ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle mn=1}$ ${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}$ ${\displaystyle m>n\geq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}$$

La suma de la función de Möbius sobre todos los divisores positivos de n (incluido el propio n y 1) es cero excepto cuando n = 1 :

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

La igualdad anterior conduce a la importante fórmula de inversión de Möbius y es la razón principal por la que μ es relevante en la teoría de funciones multiplicativas y aritméticas.

Otras aplicaciones de μ ( n ) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de enumeración de Pólya en grupos combinatorios y enumeraciones combinatorias.

Existe una fórmula ^[5] para calcular la función de Möbius sin conocer directamente la factorización de su argumento:

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

es decir, μ ( n ) es la suma de las n -ésimas raíces primitivas de la unidad . (Sin embargo, la complejidad computacional de esta definición es al menos la misma que la de la definición del producto de Euler).

Otras identidades satisfechas por la función de Möbius incluyen

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

y

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

El primero de ellos es un resultado clásico, mientras que el segundo se publicó en 2020. ^{[6] [7]} Se aplican identidades similares a la función de Mertens .

Prueba de la fórmula para Σ d | norte μ ( re )

Usando

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

la formula

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

puede verse como una consecuencia del hecho de que las n -ésimas raíces de la unidad suman 0, ya que cada n- ésima raíz de la unidad es una d- ésima raíz primitiva de la unidad para exactamente un divisor d de n .

Sin embargo, también es posible demostrar esta identidad desde los primeros principios. Primero tenga en cuenta que es trivialmente cierto cuando n = 1 . Supongamos entonces que n > 1 . Entonces hay una biyección entre los factores d de n para los cuales μ ( d ) ≠ 0 y los subconjuntos del conjunto de todos los factores primos de n . El resultado afirmado se deriva del hecho de que todo conjunto finito no vacío tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar.

Este último hecho puede demostrarse fácilmente mediante inducción sobre la cardinalidad | S | de un conjunto finito no vacío S . Primero, si | S | = 1 , hay exactamente un subconjunto de cardinalidad impar de S , es decir, el propio S , y exactamente un subconjunto de cardinalidad par, es decir, ∅ . A continuación, si | S | > 1 , luego divide los subconjuntos de S en dos subclases dependiendo de si contienen o no algún elemento fijo x en S . Existe una biyección obvia entre estas dos subclases, emparejando aquellos subconjuntos que tienen el mismo complemento en relación con el subconjunto { x } . Además, una de estas dos subclases consta de todos los subconjuntos del conjunto S \ { x } y, por lo tanto, según la hipótesis de inducción, tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar. Estos subconjuntos, a su vez, corresponden biyectivamente a los subconjuntos de S que contienen cardinalidad par e impar { x } . El paso inductivo se deriva directamente de estas dos biyecciones.

Un resultado relacionado es que los coeficientes binomiales exhiben entradas alternas de potencias pares e impares que suman simétricamente.

Orden promedio

El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema de los números primos . ^[8]

μ ( n ) secciones

μ ( n ) = 0 si y sólo si n es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros números con esta propiedad son

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, .. (secuencia A013929 en la OEIS ).

Si n es primo, entonces μ ( n ) = −1 , pero lo contrario no es cierto. El primer n no primo para el cual μ ( n ) = −1 es 30 = 2 × 3 × 5 . Los primeros números con tres factores primos distintos ( números esfénicos ) son

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (secuencia A007304 en el OEIS ) .

y los primeros números con 5 factores primos distintos son

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 928 2, 9570, 9690, ... ( secuencia A046387 en el OEIS ).

función de mertens

En teoría de números otra función aritmética estrechamente relacionada con la función de Möbius es la función de Mertens , definida por

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

para cada número natural n . Esta función está estrechamente vinculada con las posiciones de ceros de la función zeta de Riemann . Consulte el artículo sobre la conjetura de Mertens para obtener más información sobre la conexión entre M ( n ) y la hipótesis de Riemann .

De la fórmula

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

se deduce que la función de Mertens viene dada por:

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

donde F _n es la secuencia de Farey de orden n .

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . ^[9]

Generalizaciones

Álgebras de incidencia

En combinatoria , a cada conjunto localmente finito parcialmente ordenado (poset) se le asigna un álgebra de incidencia . Un miembro distinguido de esta álgebra es la "función de Möbius" de Poset. La función de Möbius clásica tratada en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad . Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener una definición precisa y varios ejemplos de estas funciones generales de Möbius.

La función de Popovici

Constantin Popovici ^[10] definió una función de Möbius generalizada μ _k = μ ∗ ... ∗ μ como la convolución de Dirichlet k veces de la función de Möbius consigo misma. Por tanto, es nuevamente una función multiplicativa con

${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }$

donde el coeficiente binomial se toma como cero si a > k . La definición puede ampliarse al complejo k leyendo el binomio como un polinomio en k . ^[11]

Implementaciones

• Matemáticas
• máxima
• geeksforgeeks C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
• Código Rosetta
• Sabio

Ver también

• función de liouville
• función de mertens
• La suma de Ramanujan
• numero esfenico

Notas

1. Hardy y Wright, Notas sobre el cap. XVI: "... μ ( n ) aparece implícitamente en las obras de Euler ya en 1748, pero Möbius, en 1832, fue el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente". (Hardy y Wright 1980, Notas sobre el capítulo XVI)
2. En las Disquisitiones Arithmeticae (1801), Carl Friedrich Gauss demostró que la suma de las raíces primitivas ( mod p ) es μ ( p − 1) , (ver #Propiedades y aplicaciones), pero no hizo más uso de la función. En particular, no utilizó la inversión de Möbius en las Disquisiciones . ^[1] Las Disquisitiones Arithmeticae han sido traducidas del latín al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos sus artículos sobre teoría de números: todas las pruebas de la reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

Citas

1. Gauss 1986, art. 81.
2. Möbius 1832, págs. 105-123.
3. Jacobson 2009, §4.13.
4. Bost y Connes 1995, págs. 411–457.
5. Hardy y Wright 1980, (16.6.4), pág. 239.
6. Apóstol 1976.
7. Kline 2020.
8. Apóstol 1976, §3.9.
9. Edwards 1974, cap. 12.2.
10. Popovici 1963, págs. 493–499.
11. Sándor y Crstici 2004, pag. 107.

Fuentes

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de Licenciatura en Matemáticas, Nueva York; Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995), "Álgebras de Hecke, factores de tipo III y transiciones de fase con ruptura de simetría espontánea en la teoría de números", Selecta Mathematica , New Series, 1 (3): 411–457, doi :10.1007/BF01589495, S2CID  116418599
• Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996), "Cálculo de la suma de la función de Möbius", Matemáticas experimentales , 5 (4): 291–295, doi :10.1080/10586458.1996.10504594, S2CID  574146
• Edwards, Harold (1974), Función Zeta de Riemann , Mineola, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) , H. Maser (traductor alemán) (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithmeticae , Arthur A. Clarke (traductor de inglés) (segunda ed. corregida), Nueva York: Springer , ISBN 0-387-96254-9
• Hardy, GH ; Wright, EM (1980) [Primera edición publicada en 1938], Introducción a la teoría de números (5ª ed.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5– vía Archivo de Internet
• Kline, Jeffery (2020), "Sumas unitarias de las funciones de Möbius y Mertens" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 23 (8): 1–17
• Jacobson, Nathan (2009) [Publicado por primera vez en 1985], Álgebra básica I (2.ª ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Klimov, NI (2001) [1994], "Función de Möbius", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Möbius, AF (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 9 : 105-123
• Pegg, Ed, Jr (2003), "La función de Möbius (y los números sin cuadrados)", Juegos matemáticos de Ed Pegg{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Popovici, Constantin P. (1963), "Una generalización de la función de Möbius", Studii şi Cercetări Matematice , 14 : 493–499, SEÑOR  0181602
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Manual de teoría de números II , Dordrecht: Kluwer Academic, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl  1079.11001
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Manual de teoría de números I , Dordrecht: Springer-Verlag , págs. 187-226, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl  1151.11300

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Möbius". MundoMatemático .