Curva del plano cúbico

Tipo de curva matemática

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En matemáticas , una curva plana cúbica es una curva algebraica plana C definida por una ecuación cúbica

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

aplicado a coordenadas homogéneas para el plano proyectivo ; o la versión no homogénea para el espacio afín determinada estableciendo z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado. ${\displaystyle (x:y:z)}$

${\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz}$

Estos son diez en total; por lo tanto, las curvas cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9, sobre cualquier campo K dado . Cada punto P impone una única condición lineal a F , si pedimos que C pase por P. Por lo tanto, podemos encontrar alguna curva cúbica que pase por nueve puntos cualesquiera, que puede ser degenerada y puede no ser única, pero será única y no degenerada si los puntos están en posición general ; compárelo con dos puntos que determinan una línea y cómo cinco puntos determinan una cónica . Si dos cúbicas pasan por un conjunto dado de nueve puntos, en realidad lo hace un lápiz de cúbicas y los puntos satisfacen propiedades adicionales; ver teorema de Cayley-Bacharach .

Cúbico singular y ² = x ² ⋅ ( x + 1) . Una parametrización viene dada por t ↦ ( t ² – 1, t ⋅ ( t ² – 1)) .

Una curva cúbica puede tener un punto singular , en cuyo caso tiene una parametrización en términos de una recta proyectiva . De lo contrario , se sabe que una curva cúbica no singular tiene nueve puntos de inflexión , sobre un campo algebraicamente cerrado como los números complejos . Esto se puede demostrar tomando la versión homogénea de la matriz de Hesse , que define nuevamente una cúbica, y cruzándola con C ; Luego, las intersecciones se cuentan según el teorema de Bézout . Sin embargo, sólo tres de estos puntos pueden ser reales, de modo que los demás no pueden verse en el plano proyectivo real al trazar la curva. Los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen la propiedad de que cada recta que pasa por dos de ellos contiene exactamente tres puntos de inflexión.

Los puntos reales de las curvas cúbicas fueron estudiados por Isaac Newton . Los puntos reales de una cúbica proyectiva no singular se dividen en uno o dos "óvalos". Uno de estos óvalos cruza toda línea proyectiva real y, por tanto, nunca está acotado cuando la cúbica se dibuja en el plano euclidiano ; aparece como una o tres ramas infinitas, que contienen los tres puntos de inflexión reales. El otro óvalo, si existe, no contiene ningún punto de inflexión real y aparece como un óvalo o como dos ramas infinitas. Al igual que en las secciones cónicas , una línea corta este óvalo como máximo en dos puntos.

Un plano cúbico no singular define una curva elíptica , sobre cualquier campo K para el que tenga un punto definido. Las curvas elípticas ahora se estudian normalmente en alguna variante de las funciones elípticas de Weierstrass , definiendo una extensión cuadrática del campo de funciones racionales obtenida extrayendo la raíz cuadrada de un cúbico. Esto depende de tener un punto K - racional , que sirve como punto en el infinito en la forma de Weierstrass. Hay muchas curvas cúbicas que no tienen ese punto, por ejemplo cuando K es el cuerpo de números racionales .

Los puntos singulares de una curva cúbica plana irreducible son bastante limitados: un punto doble o una cúspide . Una curva cúbica plana reducible es una cónica y una línea o tres líneas y, en consecuencia, tiene dos puntos dobles o un tacnodo (si es una cónica y una línea), o hasta tres puntos dobles o un solo punto triple ( líneas concurrentes ) si tres líneas.

Curvas cúbicas en el plano de un triángulo.

Supongamos que △ ABC es un triángulo con longitudes de lado. En relación con △ ABC , muchas cúbicas con nombre pasan por puntos bien conocidos. Los ejemplos que se muestran a continuación utilizan dos tipos de coordenadas homogéneas: trilineales y baricéntricas . ${\displaystyle a=|BC|,}$ ${\displaystyle b=|CA|,}$ ${\displaystyle c=|AB|.}$

Para convertir de trilineal a baricéntrico en una ecuación cúbica, sustituya lo siguiente:

${\displaystyle x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;}$

para convertir de baricéntrico a trilineal, use

${\displaystyle x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.}$

Muchas ecuaciones para cúbicas tienen la forma.

${\displaystyle f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.}$

En los ejemplos siguientes, dichas ecuaciones se escriben de forma más sucinta en "notación de suma cíclica", como esta:

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0}$.

Las cúbicas enumeradas a continuación se pueden definir en términos del conjugado isogonal , denotado por X* , de un punto X que no está en una línea lateral de △ ABC . Sigue una construcción de X* . Sea L _A la reflexión de la recta XA con respecto _a la bisectriz interna del ángulo A , y defina LB y L _C de manera análoga. Entonces las tres rectas reflejadas concurren en X* . En coordenadas trilineales, si entonces ${\displaystyle X=x:y:z,}$ ${\displaystyle X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.}$

Neuberg cúbico

Cúbica de Neuberg del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de X tal que, si X _A , X _B , X _C son los reflejos de X en las líneas laterales BC, CA, AB , entonces las rectas AX _A , BX _B , CX _C son concurrentes .

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Neuberg (llamada así en honor a Joseph Jean Baptiste Neuberg ) es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está en la recta EX , donde E es el punto infinito de Euler ( X (30) en la Enciclopedia de centros de triángulos ). Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X tal que el triángulo △ X _A X _B X _C es perspectiva de △ ABC , donde △ X _A X _B X _C es el reflejo de X en las rectas BC, CA, AB, respectivamente.

La cúbica de Neuberg pasa por los siguientes puntos: incentro , circuncentro , ortocentro , ambos puntos de Fermat , ambos puntos isodinámicos , el punto infinito de Euler, otros centros de triángulos, los excentros, las reflexiones de A, B, C en las líneas laterales de △ ABC , y los vértices de los seis triángulos equiláteros erigidos a los lados de △ ABC .

Para obtener una representación gráfica y una lista extensa de propiedades de la cúbica de Neuberg, consulte K001 en Cúbicas en el plano del triángulo de Berhard Gibert.

Thomson cúbico

Ejemplo de cúbica de Thomson (curva negra). X está en la cúbica, de modo que el conjugado isogonal de X ( X ′) está en la recta X (2) – X .

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Thomson es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está en la recta GX , donde G es el centroide.

La cúbica de Thomson pasa por los siguientes puntos: incentro, centroide, circuncentro, ortocentro, punto simediano, otros centros de triángulos, los vértices A, B, C, las excéntricas, los puntos medios de los lados BC, CA, AB y los puntos medios de los altitudes de △ ABC . Para cada punto P en la cúbica pero no en una línea lateral de la cúbica, el conjugado isogonal de P también está en la cúbica.

Para gráficos y propiedades, consulte K002 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Darboux cúbico

Cúbica de Darboux del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de X tal que si D, E, F son los pies de las perpendiculares desde X a las líneas laterales BC, CA, AB, entonces las líneas AD, BE, CF son concurrentes.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Darboux es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está sobre la recta LX , donde L es el punto de Longchamps . Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X tal que el triángulo pedal de X es el triángulo ceviano de algún punto (que se encuentra en la cúbica de Lucas). Además, esta cúbica es el lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo pedal de X y el triángulo anticeviano de X son perspectiva; el observador se encuentra en la cúbica de Thomson.

La cúbica de Darboux pasa por el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el punto de Longchamps, otros centros de triángulos, los vértices A, B, C, las excéntricas y las antípodas de A, B, C en la circunferencia circunscrita. Para cada punto P en la cúbica pero no en una línea lateral de la cúbica, el conjugado isogonal de P también está en la cúbica.

Para gráficos y propiedades, consulte K004 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Cúbico de Napoleón-Feuerbach

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Napoleón-Feuerbach es el lugar geométrico de un punto X* que está en la línea NX , donde N es el centro de nueve puntos, ( N = X (5) en la Enciclopedia de centros de triángulos ).

La cúbica de Napoleón-Feuerbach pasa por el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el primer y segundo punto de Napoleón, otros centros de triángulos, los vértices A, B, C, los excentros, las proyecciones del centroide sobre las altitudes y los centros de los 6. triángulos equiláteros erigidos en los lados de △ ABC .

Para obtener gráficos y propiedades, consulte K005 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Lucas cúbico

Lucas Cúbico del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo ceviano de X es el triángulo pedal de algún punto X' ; el punto X' se encuentra en la cúbica de Darboux.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

La cúbica de Lucas es el lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo ceviano de X es el triángulo pedal de algún punto; el punto está en la cúbica de Darboux.

La cúbica de Lucas pasa por el centroide, el ortocentro, el punto de Gergonne, el punto de Nagel, el punto de Longchamps, otros centros de triángulos, los vértices del triángulo anticomplementario y los focos de la circumelipse de Steiner.

Para gráficos y propiedades, consulte K007 en Cúbicas en el plano del triángulo.

1er cúbico de Brocard

Primera Cúbica de Brocard: Es el lugar geométrico de X tal que las intersecciones de XA', XB', XC' con las líneas laterales BC, CA, CB, donde △ A'B'C' es el primer triángulo de Brocard del triángulo △ ABC , son colineal. En la figura Ω y Ω′ son el primer y segundo punto de Brocard.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

Sea △ A'B'C' el primer triángulo de Brocard. Para un punto arbitrario X , sean X _A , X _B , X _C las intersecciones de las rectas XA′, XB′, XC′ con las líneas laterales BC, CA, AB, respectivamente. La primera cúbica de Brocard es el lugar geométrico de X para el cual los puntos X _A , X _B , X _C son colineales.

El primer cúbico de Brocard pasa por el centroide, el punto simediano, el punto de Steiner, otros centros de triángulos y los vértices del primer y tercer triángulo de Brocard.

Para gráficos y propiedades, consulte K017 en Cúbicas en el plano del triángulo.

2do cúbico de Brocard

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

La segunda cúbica de Brocard es el lugar geométrico de un punto X para el cual el polo de la línea XX* en el circuncónico que pasa por X y X* se encuentra en la línea del circuncentro y el punto simediano (es decir, el eje de Brocard). La cúbica pasa por el centroide, el punto simediano, ambos puntos de Fermat, ambos puntos isodinámicos, el punto de Parry, otros centros de triángulos y los vértices del segundo y cuarto triángulo de Brocard.

Para obtener gráficos y propiedades, consulte K018 en Cúbicas en el plano del triángulo.

1.ª áreas iguales cúbicas

Primera cúbica de área igual del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de un punto X tal que el área del triángulo ceviano de X es igual al área del triángulo ceviano de X* .

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La primera cúbica de áreas iguales es el lugar geométrico de un punto X tal que el área del triángulo ceviano de X es igual al área del triángulo ceviano de X* . Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X para el cual X* está en la línea S*X , donde S es el punto de Steiner. ( S = X (99) en la Enciclopedia de centros de triángulos ).

El primer cubo de áreas iguales pasa por el incentro, el punto de Steiner, otros centros de triángulos, el primer y segundo punto de Brocard y los excentros.

Para obtener gráficos y propiedades, consulte K021 en Cúbicas en el plano del triángulo.

2das áreas iguales cúbicas

Ecuación trilineal: ${\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0}$

Para cualquier punto (trilineales), sea y La segunda área cúbica igual es el lugar geométrico de X tal que el área del triángulo ceviano de X _Y es igual al área del triángulo ceviano de X _Z. ${\displaystyle X=x:y:z}$ ${\displaystyle X_{Y}=y:z:x}$ ${\displaystyle X_{Z}=z:x:y.}$

La segunda cúbica de áreas iguales pasa por el incentro, el centroide, el punto simediano y los puntos de la Enciclopedia de centros de triángulos indexados como X (31), X (105), X (238), X (292), X (365), X. (672), X (1453), X (1931), X (2053), y otros.

Para obtener gráficos y propiedades, consulte K155 en Cúbicos en el plano del triángulo.

Ver también

• Teorema de Cayley-Bacharach , sobre la intersección de dos curvas planas cúbicas
• Cúbica torcida , una curva espacial cúbica.
• Curva elíptica
• Bruja de Agnesi
• Catálogo de Triángulos Cúbicos

Referencias

• Bix, Robert (1998), Cónicas y cúbicas: una introducción concreta a las curvas algebraicas , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
• Cerin, Zvonko (1998), "Propiedades del lugar geométrico de la cúbica de Neuberg", Journal of Geometry , 63 (1–2): 39–56, doi :10.1007/BF01221237, S2CID  116778499.
• Cerin, Zvonko (1999), "Sobre la cúbica de Napoleón", Journal of Geometry , 66 (1–2): 55–71, doi :10.1007/BF01225672, S2CID  120174967.
• Cundy, HM & Parry, Cyril F. (1995), "Algunas curvas cúbicas asociadas con un triángulo", Journal of Geometry , 53 (1–2): 41–66, doi :10.1007/BF01224039, S2CID  122633134.
• Cundy, HM & Parry, Cyril F. (1999), "Propiedades geométricas de algunas cúbicas circulares y de Euler (parte 1)", Journal of Geometry , 66 (1–2): 72–103, doi :10.1007/BF01225673, S2CID  119886462.
• Cundy, HM & Parry, Cyril F. (2000), "Propiedades geométricas de algunas cúbicas circulares y de Euler (parte 2)", Journal of Geometry , 68 (1–2): 58–75, doi :10.1007/BF01221061, S2CID  126542269.
• Ehrmann, Jean-Pierre y Gibert, Bernard (2001), "Una configuración de Morley", Forum Geometriorum , 1 : 51–58.
• Ehrmann, Jean-Pierre y Gibert, Bernard (2001), "La cúbica de Simson", Forum Geometriorum , 1 : 107-114.
• Gibert, Bernard (2003), "Ortocorrespondencia y cúbicas ortopivotales", Forum Geometriorum , 3 : 1–27.
• Kimberling, Clark (1998), "Centros de triángulos y triángulos centrales", Congressus Numerantium , 129 : 1–295. Consulte el Capítulo 8 para las cúbicas.
• Kimberling, Clark (2001), "Cúbicas asociadas con triángulos de áreas iguales", Forum Geometriorum , 1 : 161-171.
• Lang, Fred (2002), "Geometría y estructuras de grupos de algunas cúbicas", Forum Geometriorum , 2 : 135-146.
• Pinkernell, Guido M. (1996), "Curvas cúbicas en el plano del triángulo", Journal of Geometry , 55 (1–2): 142–161, doi :10.1007/BF01223040, S2CID  123411561.
• Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3.ª ed.), Dublín: Hodges, Foster y Figgis.

enlaces externos

• Un catálogo de curvas planas cúbicas (versión archivada)
• Puntos en cúbicos
• Cúbicas en el plano del triángulo
• Isocúbicas especiales en el plano del triángulo (pdf), por Jean-Pierre Ehrmann y Bernard Gibert
• "Curvas cúbicas reales y complejas - John Milnor, Stony Brook University [2016]". YouTube . Graduado en Matemáticas. 27 de junio de 2018.conferencia en julio de 2016, ICMS, Edimburgo en la conferencia en honor del 70 cumpleaños de Dusa McDuff