Ecuación de Klein-Gordon

Ecuación de onda relativista en mecánica cuántica

La ecuación de Klein-Gordon ( ecuación de Klein-Fock-Gordon o, a veces, ecuación de Klein-Gordon-Fock ) es una ecuación de onda relativista , relacionada con la ecuación de Schrödinger . Es de segundo orden en el espacio y el tiempo y manifiestamente covariante de Lorentz . Es una versión de ecuación diferencial de la relación relativista energía-momento . ${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$

Declaración

La ecuación de Klein-Gordon se puede escribir de diferentes maneras. La ecuación en sí misma generalmente se refiere a la forma del espacio de posición, donde se puede escribir en términos de componentes separados de espacio y tiempo o combinándolos en un cuatrivector . Al transformar el campo en espacio de momento, la solución generalmente se escribe en términos de una superposición de ondas planas cuya energía y momento obedecen a la relación de dispersión de energía-momento de la relatividad especial . Aquí, la ecuación de Klein-Gordon se da para ambas convenciones de firma métrica comunes . ${\displaystyle (t,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$

Aquí, es el operador de onda y es el operador de Laplace . La velocidad de la luz y la constante de Planck suelen confundir las ecuaciones, por lo que suelen expresarse en unidades naturales donde . ${\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c=\hbar =1}$

A diferencia de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Klein-Gordon admite dos valores de ω para cada k : uno positivo y otro negativo. Solo separando las partes de frecuencia positiva y negativa se obtiene una ecuación que describe una función de onda relativista. Para el caso independiente del tiempo, la ecuación de Klein-Gordon se convierte en

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

que es formalmente la misma que la ecuación de Poisson homogénea filtrada . Además, la ecuación de Klein-Gordon también se puede representar como: ^[1]

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mu }{\hat {p}}_{\mu }\psi =m^{2}c^{2}\psi }$

donde, el operador de momento se da como: . ${\textstyle {\hat {p}}^{\mu }=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\mathrm {i} \hbar \left\{{\frac {\partial }{\partial (ct)}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}=\{{\frac {E}{c}},\mathbf {p} \}}$

Pertinencia

La ecuación debe entenderse primero como una ecuación clásica de campo escalar continuo que puede cuantificarse. El proceso de cuantificación introduce entonces un campo cuántico cuyos cuantos son partículas sin espín. Su relevancia teórica es similar a la de la ecuación de Dirac . ^[2] Las soluciones de la ecuación incluyen un campo escalar o pseudoescalar ^{[ aclaración necesaria ]} . En el ámbito de la física de partículas se pueden incorporar interacciones electromagnéticas, formando el tema de la electrodinámica escalar , la utilidad práctica para partículas como los piones es limitada. ^{[nb 1] [3]} Hay una segunda versión de la ecuación para un campo escalar complejo que es teóricamente importante siendo la ecuación del bosón de Higgs . En el ámbito de la materia condensada se puede utilizar para muchas aproximaciones de cuasipartículas sin espín. ^{[4] [5] [nb 2]}

La ecuación se puede poner en la forma de una ecuación de Schrödinger. En esta forma se expresa como dos ecuaciones diferenciales acopladas, cada una de primer orden en el tiempo. ^[6] Las soluciones tienen dos componentes, que reflejan el grado de libertad de carga en relatividad. ^{[6] [7]} Admite una cantidad conservada, pero esta no es definida positiva. Por lo tanto, la función de onda no se puede interpretar como una amplitud de probabilidad . La cantidad conservada se interpreta en cambio como carga eléctrica , y la norma al cuadrado de la función de onda se interpreta como una densidad de carga . La ecuación describe todas las partículas sin espín con carga positiva, negativa y cero.

Cualquier solución de la ecuación libre de Dirac es, para cada uno de sus cuatro componentes, una solución de la ecuación libre de Klein-Gordon. A pesar de que históricamente fue inventada como una ecuación de una sola partícula, la ecuación de Klein-Gordon no puede formar la base de una teoría relativista cuántica consistente de una sola partícula ; cualquier teoría relativista implica la creación y aniquilación de partículas más allá de un cierto umbral de energía. ^{[8] [nb 3]}

Solución para partículas libres

Aquí, la ecuación de Klein–Gordon en unidades naturales, , con la signatura métrica se resuelve mediante la transformación de Fourier. Insertando la transformación de Fourier y usando la ortogonalidad de las exponenciales complejas se obtiene la relación de dispersión Esto restringe los momentos a los que se encuentran en la capa , dando soluciones de energía positiva y negativa Para un nuevo conjunto de constantes , la solución se convierte en Es común manejar las soluciones de energía positiva y negativa separando las energías negativas y trabajando solo con positivas : En el último paso, se renombró. Ahora podemos realizar la -integración, recogiendo solo la parte de frecuencia positiva de la función delta: ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$ $${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$ $${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C(p)}$ $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$ ${\displaystyle p^{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle B(p)\rightarrow B(-p)}$ ${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}}$$

Esto se toma comúnmente como una solución general para la ecuación libre de Klein-Gordon. Nótese que debido a que la transformación de Fourier inicial contenía cantidades invariantes de Lorentz como solamente, la última expresión también es una solución invariante de Lorentz para la ecuación de Klein-Gordon. Si no se requiere invariancia de Lorentz, se puede absorber el factor en los coeficientes y . ${\displaystyle p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }}$ ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle A(p)}$ ${\displaystyle B(p)}$

Historia

La ecuación recibió su nombre en honor a los físicos Oskar Klein ^[9] y Walter Gordon ^[10] , quienes en 1926 propusieron que describía a los electrones relativistas. Vladimir Fock también descubrió la ecuación de forma independiente en 1926, un poco después del trabajo de Klein ^[11] , ya que el artículo de Klein se recibió el 28 de abril de 1926, el artículo de Fock se recibió el 30 de julio de 1926 y el artículo de Gordon el 29 de septiembre de 1926. Otros autores que hicieron afirmaciones similares ese mismo año incluyen a Johann Kudar, Théophile de Donder y Frans-H. van den Dungen , y Louis de Broglie . Aunque resultó que modelar el espín del electrón requería la ecuación de Dirac , la ecuación de Klein-Gordon describe correctamente las partículas compuestas relativistas sin espín , como el pión . El 4 de julio de 2012, la Organización Europea para la Investigación Nuclear (CERN) anunció el descubrimiento del bosón de Higgs . Dado que el bosón de Higgs es una partícula de espín cero, es la primera partícula aparentemente elemental que se observa y que se describe mediante la ecuación de Klein-Gordon. Se requieren más experimentos y análisis para discernir si el bosón de Higgs observado es el del Modelo Estándar o una forma más exótica, posiblemente compuesta.

La ecuación de Klein-Gordon fue considerada por primera vez como una ecuación de onda cuántica por Erwin Schrödinger en su búsqueda de una ecuación que describiera las ondas de De Broglie . La ecuación se encuentra en sus cuadernos de notas de finales de 1925, y parece haber preparado un manuscrito aplicándola al átomo de hidrógeno. Sin embargo, debido a que no tiene en cuenta el espín del electrón, la ecuación predice incorrectamente la estructura fina del átomo de hidrógeno, incluida la sobrestimación de la magnitud general del patrón de división por un factor de ⁠4 n/2n - 1⁠ para el n -ésimo nivel de energía. Sin embargo, el espectro relativista de la ecuación de Dirac se recupera fácilmente si el número cuántico de momento orbital l se reemplaza por el número cuántico de momento angular total j . ^[12] En enero de 1926, Schrödinger presentó para publicación su ecuación, una aproximación no relativista que predice los niveles de energía de Bohr del hidrógeno sin estructura fina .

En 1926, poco después de que se introdujera la ecuación de Schrödinger, Vladimir Fock escribió un artículo sobre su generalización para el caso de los campos magnéticos , donde las fuerzas dependían de la velocidad , y derivó esta ecuación de forma independiente. Tanto Klein como Fock utilizaron el método de Kaluza y Klein. Fock también determinó la teoría de calibración para la ecuación de onda . La ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre tiene una solución de onda plana simple .

Derivación

La ecuación no relativista para la energía de una partícula libre es

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

Al cuantificar esto, obtenemos la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula libre:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

es el operador de momento ( siendo ∇ el operador del ), y

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

es el operador energético .

La ecuación de Schrödinger tiene el problema de no ser relativistamente invariante , lo que significa que es inconsistente con la relatividad especial .

Es natural intentar utilizar la identidad de la relatividad especial para describir la energía:

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

Entonces, simplemente insertando los operadores mecánicos cuánticos para el momento y la energía obtenemos la ecuación

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

La raíz cuadrada de un operador diferencial se puede definir con la ayuda de las transformadas de Fourier , pero debido a la asimetría de las derivadas en el espacio y el tiempo, Dirac encontró imposible incluir los campos electromagnéticos externos de una manera relativista e invariante. Por lo tanto, buscó otra ecuación que pudiera modificarse para describir la acción de las fuerzas electromagnéticas. Además, esta ecuación, tal como está, es no local (véase también Introducción a las ecuaciones no locales).

Klein y Gordon, en cambio, comenzaron con el cuadrado de la identidad anterior, es decir,

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

que, al cuantificarse, da

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,}$

Lo cual se simplifica a

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

Reordenando los términos obtenemos

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Dado que se ha eliminado toda referencia a números imaginarios de esta ecuación, se puede aplicar a campos que tienen valores reales , así como a aquellos que tienen valores complejos .

Reescribiendo los dos primeros términos utilizando la inversa de la métrica de Minkowski diag(− c ² , 1, 1, 1) , y escribiendo explícitamente la convención de suma de Einstein obtenemos

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

Por lo tanto, la ecuación de Klein-Gordon se puede escribir en notación covariante. Esto suele significar una abreviatura en forma de

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }},}$

y

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

Este operador se llama operador de onda .

Hoy en día, esta forma se interpreta como la ecuación de campo relativista para partículas de espín -0. ^[6] Además, cualquier componente de cualquier solución de la ecuación de Dirac libre (para una partícula de espín 1/2 ) es automáticamente una solución de la ecuación de Klein-Gordon libre. Esto se generaliza a partículas de cualquier espín debido a las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Además, en la teoría cuántica de campos , cada componente de cada campo cuántico debe satisfacer la ecuación de Klein-Gordon libre, ^[13] haciendo de la ecuación una expresión genérica de los campos cuánticos.

Ecuación de Klein-Gordon en un potencial

La ecuación de Klein-Gordon se puede generalizar para describir un campo en algún potencial como ^[14] ${\displaystyle V(\psi )}$

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

Entonces la ecuación de Klein-Gordon es el caso . ${\displaystyle V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi }$

Otra elección común de potencial que surge en las teorías interactuantes es el potencial de un campo escalar real. ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

Sector de Higgs

El sector del bosón de Higgs puro del modelo estándar se modela mediante un campo de Klein-Gordon con un potencial, denotado para esta sección. El modelo estándar es una teoría de calibración y, por lo tanto, si bien el campo se transforma trivialmente bajo el grupo de Lorentz, se transforma como un vector con valores bajo la acción de la parte del grupo de calibración. Por lo tanto, si bien es un campo vectorial , todavía se lo conoce como un campo escalar, ya que escalar describe su transformación (formalmente, representación) bajo el grupo de Lorentz. Esto también se analiza más adelante en la sección de cromodinámica escalar. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$

El campo de Higgs se modela mediante un potencial

${\displaystyle V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$,

que puede considerarse como una generalización del potencial, pero tiene una diferencia importante: tiene un círculo de mínimos. Esta observación es importante en la teoría de la ruptura espontánea de la simetría en el modelo estándar. ${\displaystyle \phi ^{4}}$

Corriente U(1) conservada

La ecuación (y la acción) de Klein-Gordon para un campo complejo admite una simetría. Es decir, bajo las transformaciones ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),}$

La ecuación de Klein-Gordon es invariante, al igual que la acción (véase más abajo). Por el teorema de Noether para campos, correspondiente a esta simetría hay una corriente definida como ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).}$

que satisface la ecuación de conservación La forma de la corriente conservada se puede derivar sistemáticamente aplicando el teorema de Noether a la simetría. No lo haremos aquí, sino que simplemente verificaremos que esta corriente se conserva. ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

A partir de la ecuación de Klein-Gordon para un campo complejo de masa , escrita en notación covariante y mayoritariamente con signatura positiva, ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (\square +m^{2})\psi (x)=0}$

y su complejo conjugado

${\displaystyle (\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

Multiplicando por la izquierda respectivamente por y (y omitiendo por brevedad la dependencia explícita), ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

Restando el primero del segundo, obtenemos

${\displaystyle {\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,}$

o en notación de índice,

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

Aplicando esto a la derivada de la corriente se obtiene ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}$

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$

Esta simetría es una simetría global, pero también se puede calibrar para crear una simetría local o de calibración: véase más abajo la QED escalar. El nombre de simetría de calibración es un tanto engañoso: en realidad es una redundancia, mientras que la simetría global es una simetría genuina. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Formulación lagrangiana

La ecuación de Klein-Gordon también se puede derivar mediante un método variacional , surgiendo como la ecuación de Euler-Lagrange de la acción

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

En unidades naturales, con firma mayoritariamente negativa , las acciones toman la forma simple

Acción de Klein-Gordon para un campo escalar real

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right)}$

para un campo escalar real de masa , y ${\displaystyle m}$

Acción de Klein-Gordon para un campo escalar complejo

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(\partial ^{\mu }\psi \partial _{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

para un campo escalar complejo de masa . ${\displaystyle M}$

Aplicando la fórmula del tensor de tensión-energía a la densidad lagrangiana (la cantidad dentro de la integral), podemos derivar el tensor de tensión-energía del campo escalar.

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

y en unidades naturales,

${\displaystyle T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

Mediante la integración del componente tiempo-tiempo T ⁰⁰ en todo el espacio, se puede demostrar que tanto las soluciones de ondas planas de frecuencia positiva como negativa pueden asociarse físicamente con partículas con energía positiva . Este no es el caso de la ecuación de Dirac y su tensor de energía-momento. ^[6]

El tensor de energía de tensión es el conjunto de corrientes conservadas correspondientes a la invariancia de la ecuación de Klein-Gordon bajo traslaciones espacio-temporales . Por lo tanto, cada componente se conserva, es decir, (esto se cumple solo en la capa , es decir, cuando se satisfacen las ecuaciones de Klein-Gordon). De ello se deduce que la integral de sobre el espacio es una cantidad conservada para cada . Estas tienen la interpretación física de energía total para y momento total para con . ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle T^{0\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu =i}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

Límite no relativista

Campo clásico

Tomando el límite no relativista ( v ≪ c ) de un campo Klein–Gordon clásico ψ ( x , t ) se comienza con el ansatz que factoriza el término de energía de masa en reposo oscilatorio ,

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

Definiendo la energía cinética , en el límite no relativista , y por tanto ${\displaystyle E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E'\ll mc^{2}}$ ${\displaystyle v=p/m\ll c}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .}$

Aplicando esto se obtiene el límite no relativista de la segunda derivada temporal de , ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

Sustituyendo en la ecuación libre de Klein-Gordon, , se obtiene ${\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -m^{2}\psi }$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

que (dividiendo el término exponencial y restando el término de masa) se simplifica a

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

Éste es un campo de Schrödinger clásico .

Campo cuántico

El límite análogo de un campo cuántico de Klein–Gordon se complica por la no conmutatividad del operador de campo. En el límite v ≪ c , los operadores de creación y aniquilación se desacoplan y se comportan como campos cuánticos de Schrödinger independientes .

Electrodinámica escalar

Existe una manera de hacer que el campo complejo de Klein-Gordon interactúe con el electromagnetismo de una manera invariante respecto del calibre . Podemos reemplazar la derivada (parcial) por la derivada covariante respecto del calibre. Bajo una transformación de calibre local, los campos se transforman como ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},}$

donde es una función del espacio-tiempo, lo que la convierte en una transformación local, en contraposición a una constante en todo el espacio-tiempo, que sería una transformación global. Un punto sutil es que las transformaciones globales pueden surgir como locales, cuando la función se toma como una función constante. ${\displaystyle \theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

Una teoría bien formulada debería ser invariante ante tales transformaciones. Precisamente, esto significa que las ecuaciones de movimiento y acción (ver más abajo) son invariantes. Para lograr esto, las derivadas ordinarias deben ser reemplazadas por derivadas covariantes de norma , definidas como ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

donde el campo de 4 potenciales o de calibre se transforma bajo una transformación de calibre como ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta }$.

Con estas definiciones, la derivada covariante se transforma como

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

En unidades naturales, la ecuación de Klein-Gordon se convierte, por tanto, en

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

Dado que una simetría no calibrada solo está presente en la teoría compleja de Klein-Gordon, este acoplamiento y promoción a una simetría calibrada es compatible solo con la teoría compleja de Klein-Gordon y no con la teoría real de Klein-Gordon. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

En unidades naturales y mayoritariamente menos firma tenemos

Acción escalar QED

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D^{\mu }\psi D_{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

donde se conoce como tensor de Maxwell, intensidad de campo o curvatura según el punto de vista. ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Esta teoría a menudo se conoce como electrodinámica cuántica escalar o QED escalar, aunque todos los aspectos que hemos discutido aquí son clásicos.

Cromodinámica escalar

Es posible extender esto a una teoría de calibración no abeliana con un grupo de calibración , donde acoplamos la acción escalar de Klein-Gordon a un lagrangiano de Yang-Mills . Aquí, el campo en realidad tiene un valor vectorial, pero aún se describe como un campo escalar: el escalar describe su transformación bajo transformaciones espacio-temporales , pero no su transformación bajo la acción del grupo de calibración. ${\displaystyle G}$

Para ser más concretos, fijamos que sea , el grupo unitario especial para algunos . Bajo una transformación de calibre , que puede describirse como una función, el campo escalar se transforma en un vector ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}$.

La derivada covariante es

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }}$

donde el campo o conexión de calibre se transforma como

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

Este campo puede verse como un campo con valores matricial que actúa sobre el espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Definiendo finalmente la intensidad o curvatura del campo cromomagnético,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),}$

Podemos definir la acción.

Acción escalar QCD

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+D^{\mu }\psi ^{\dagger }D_{\mu }\psi -M^{2}\psi ^{\dagger }\psi \right)}$

Klein-Gordon y el espacio-tiempo curvo

En la relatividad general , incluimos el efecto de la gravedad reemplazando las derivadas parciales con derivadas covariantes , y la ecuación de Klein-Gordon se convierte en (en la firma mayoritariamente positiva ) ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

o equivalentemente,

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

donde g ^αβ es el inverso del tensor métrico que es el campo potencial gravitacional, g es el determinante del tensor métrico, ∇ _μ es la derivada covariante y Γ ^σ _μν es el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional .

Con unidades naturales esto se convierte en

Ecuación de Klein-Gordon sobre el espacio-tiempo curvo para un campo escalar real

${\displaystyle \nabla ^{a}\nabla _{a}\Phi -m^{2}\Phi =0}$

Esto también admite una formulación de acción en una variedad espaciotemporal (lorentziana) . Usando notación de índice abstracta y en su mayoría con signatura positiva , esto es ${\displaystyle M}$

Acción de Klein-Gordon sobre el espacio-tiempo curvo para un campo escalar real

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {1}{2}}g^{ab}\nabla _{a}\Phi \nabla _{b}\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{2}\right)}$

o

Acción de Klein-Gordon sobre el espacio-tiempo curvo para un campo escalar complejo

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-g^{ab}\nabla _{a}\Psi \nabla _{b}{\bar {\Psi }}-M^{2}\Psi {\bar {\Psi }}\right)}$

Véase también

• Teoría cuántica de campos
• Interacción cuártica
• Ecuaciones de onda relativistas
• Ecuación de Dirac (espín 1/2)
• Acción de Proca (giro 1)
• Ecuación de Rarita-Schwinger (giro 3/2)
• Teoría de campos escalares
• Ecuación de seno-Gordon

Observaciones

1. Las partículas sin espín comunes, como los piones, son inestables y también experimentan una fuerte interacción (con un término de interacción desconocido en el hamiltoniano ).
2. La ecuación de Seno-Gordon es un ejemplo importante de un sistema integrable
3. Para reconciliar la mecánica cuántica con la relatividad especial se necesita una teoría de partículas múltiples y, por lo tanto, una teoría cuántica de campos , en la que la ecuación de Klein-Gordon resurge como la ecuación obedecida por los componentes de todos los ^{[ aclaración necesaria ]} campos cuánticos libres.
   Steven Weinberg hace una observación al respecto. Deja de lado por completo el tratamiento de la mecánica ondulatoria relativista en su introducción, por lo demás completa, a las aplicaciones modernas de la mecánica cuántica, explicando: "Me parece que la forma en que esto se presenta habitualmente en los libros sobre mecánica cuántica es profundamente engañosa". (Del prefacio de Lectures on Quantum Mechanics , en referencia a los tratamientos de la ecuación de Dirac en su forma original).
   Otros, como Walter Greiner en su serie sobre física teórica, dan una explicación completa del desarrollo histórico y la visión de la mecánica cuántica relativista antes de llegar a la interpretación moderna, con el fundamento de que es altamente deseable o incluso necesario desde un punto de vista pedagógico tomar la ruta larga. En la teoría cuántica de campos, las soluciones de las versiones libres (no interactuantes) de las ecuaciones originales siguen teniendo un papel importante. Son necesarias para construir el espacio de Hilbert ( espacio de Fock ) y para expresar campos cuánticos mediante conjuntos completos (conjuntos que abarcan el espacio de Hilbert) de funciones de onda.

Notas

1. Greiner, Walter (29 de junio de 2013). Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de onda. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-03425-5.
2. Bruto 1993.
3. Greiner y Müller 1994.
4. Bandyopadhyay, AK; Ray, PC; Gopalan, Venkatraman (2006). "Un enfoque a la ecuación de Klein–Gordon para un estudio dinámico en materiales ferroeléctricos". Journal of Physics: Condensed Matter . 18 (16): 4093–4099. doi :10.1088/0953-8984/18/16/016. PMID  21690761.
5. Varró, Sándor (2014). "Una nueva clase de soluciones exactas de la ecuación de Klein–Gordon de una partícula cargada que interactúa con una onda plana electromagnética en un medio". Laser Physics Letters . 11 : 016001. arXiv : 1306.0097 . doi :10.1088/1612-2011/11/1/016001.
6. Greiner 2000, Cap. 1.
7. Feshbach y Villars 1958.
8. Weinberg, Steven. "Cap. I y II". La teoría cuántica de campos I .
9. O. Klein, ZS. f. Phys. 37, 895, 1926
10. W. Gordon, Z. Phys., 40 (1926-1927) págs. 117-133
11. V. Fock, ZS. f. Phys. 39, 226, 1926
12. Véase Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1985). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill. págs. 73-74. ISBN. 0-07-032071-3.La ecuación 2.87 es idéntica a la ecuación 2.86, excepto que presenta j en lugar de l .
13. Weinberg 2002, cap. 5.
14. Tong, David (2006). "Conferencias sobre teoría cuántica de campos, conferencia 1, sección 1.1.1" . Consultado el 16 de enero de 2012 .
15. Fulling, SA (1996). Aspectos de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . Cambridge University Press. pág. 117. ISBN 0-07-066353-X.

Referencias

• Davydov, AS (1976). Mecánica cuántica, 2.ª edición . Pergamon Press . ISBN. 0-08-020437-6.
• Feshbach, H.; Villars, F. (1958). "Mecánica ondulatoria relativista elemental de partículas de espín 0 y espín 1/2". Reseñas de Física Moderna . 30 (1): 24–45. Bibcode :1958RvMP...30...24F. doi :10.1103/RevModPhys.30.24.
• Gordon, Walter (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik . 40 (1–2): 117. Bibcode : 1926ZPhy...40..117G. doi :10.1007/BF01390840. S2CID  122254400.
• Greiner, W. (2000). Mecánica cuántica relativista. Ecuaciones de onda (3.ª ed.). Springer Verlag . ISBN 3-5406-74578.
• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3540580805.
• Gross, F. (1993). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos (1.ª ed.). Wiley-VCH . ISBN 978-0471591139.
• Klein, O. (1926). "Teoría cuantitativa y fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895. Código bibliográfico : 1926ZPhy...37..895K. doi :10.1007/BF01397481.
• Sakurai, JJ (1967). Mecánica cuántica avanzada . Addison Wesley . ISBN 0-201-06710-2.
• Weinberg, S. (2002). La teoría cuántica de campos . Vol. I. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-55001-7.

Enlaces externos

• "Ecuación de Klein-Gordon", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Klein-Gordon". MundoMatemático .
• Ecuación lineal de Klein-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Klein-Gordon no lineal en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Introducción a las ecuaciones no locales.