Regla de cálculo

Computadora analógica mecánica

Regla de cálculo típica para estudiantes de diez pulgadas (25 cm) (Pickett N902-T simplex trig)

Una regla de cálculo es una calculadora mecánica manual que consta de reglas deslizables para evaluar operaciones matemáticas como multiplicación , división , exponentes , raíces , logaritmos y trigonometría . Es una de las computadoras analógicas más simples . ^{[1] [2]}

Las reglas de cálculo existen en una amplia gama de estilos y generalmente aparecen en forma lineal, circular o cilíndrica. Las reglas de cálculo fabricadas para campos especializados como la aviación o las finanzas suelen presentar escalas adicionales que ayudan en los cálculos especializados particulares de esos campos. La regla de cálculo está estrechamente relacionada con los nomogramas utilizados para cálculos específicos de la aplicación. Aunque es similar en nombre y apariencia a una regla estándar , la regla de cálculo no está diseñada para medir longitudes o dibujar líneas rectas. Tampoco está diseñada para sumar o restar, que generalmente se realiza utilizando otros métodos, como un ábaco . La precisión máxima de las reglas de cálculo lineales estándar es de aproximadamente tres dígitos decimales significativos, mientras que la notación científica se utiliza para realizar un seguimiento del orden de magnitud de los resultados.

El matemático y clérigo inglés, reverendo William Oughtred, y otros desarrollaron la regla de cálculo en el siglo XVII basándose en el trabajo emergente sobre logaritmos de John Napier . Permitía realizar cálculos más rápidos y menos propensos a errores que la evaluación en papel . Antes de la llegada de la calculadora científica de bolsillo , era la herramienta de cálculo más utilizada en ciencia e ingeniería . ^[3] La facilidad de uso, la disponibilidad inmediata y el bajo costo de la regla de cálculo hicieron que su uso siguiera creciendo durante las décadas de 1950 y 1960, incluso cuando se introdujeron gradualmente las computadoras electrónicas de escritorio. Pero después de que se introdujera la calculadora científica de mano en 1972 y se volviera económica a mediados de la década de 1970, las reglas de cálculo se volvieron en gran medida obsoletas , por lo que la mayoría de los proveedores abandonaron el negocio.

En Estados Unidos , la regla de cálculo se denomina coloquialmente " slipstick" . ^{[4] [5]}

Conceptos básicos

Regla de cálculo simple hecha con tarjetas de índice marcadas con potencias de 2, calculando 8x4 alineando la regla inferior para comenzar donde la regla superior es 8, y luego leyendo en el número de arriba donde la regla inferior es 4.

La escala de cada regla tiene graduaciones etiquetadas con resultados precalculados de varias funciones matemáticas , que actúan como una tabla de búsqueda que asigna la posición en la regla como la entrada de cada función. Los cálculos que se pueden reducir a una simple suma o resta utilizando esas funciones precalculadas se pueden resolver alineando las dos reglas y leyendo el resultado aproximado.

Por ejemplo, un número que se va a multiplicar en una regla de escala logarítmica se puede alinear con el comienzo de otra regla de ese mismo tipo para sumar sus logaritmos. Luego, al aplicar la ley del logaritmo de un producto , se puede leer el producto de los dos números. Las reglas de cálculo más elaboradas pueden realizar otros cálculos, como raíces cuadradas , exponenciales , logaritmos y funciones trigonométricas .

El usuario puede estimar la ubicación del punto decimal en el resultado interpolando mentalmente entre las graduaciones etiquetadas. La notación científica se utiliza para rastrear el punto decimal y realizar cálculos más precisos. Los pasos de suma y resta en un cálculo generalmente se realizan mentalmente o en papel, no en la regla de cálculo.

Componentes

Cursor sobre una regla de cálculo

La mayoría de las reglas de cálculo constan de tres partes:

• Marco o base: dos tiras de la misma longitud colocadas paralelas con un espacio entre ellas.
• Diapositiva: una tira central entrelazada con el marco que puede moverse longitudinalmente con respecto al marco.
• Corredor o cristal: pieza deslizante exterior con una línea fina, también conocida como “cursor”.

Algunas reglas de cálculo (modelos "dúplex") tienen escalas en ambos lados de la regla y de la tira deslizante, otras en un lado de las tiras exteriores y en ambos lados de la tira deslizante (que normalmente se puede sacar, dar la vuelta y volver a insertar para mayor comodidad), y otras en un solo lado (reglas "simplex"). Se utiliza un cursor deslizante con una línea de alineación vertical para buscar puntos correspondientes en escalas que no están adyacentes entre sí o, en los modelos dúplex, están en el otro lado de la regla. El cursor también puede registrar un resultado intermedio en cualquiera de las escalas.

Décadas

Las escalas se pueden agrupar en décadas , donde cada década corresponde a un rango de números que abarca una razón de 10 (es decir, un rango de 10 ⁿ a 10 ^{n +1} ). Por ejemplo, el rango de 1 a 10 es una sola década, y el rango de 10 a 100 es otra década. Por lo tanto, las escalas de una sola década (denominadas C y D) varían de 1 a 10 a lo largo de toda la longitud de la regla de cálculo, mientras que las escalas de dos décadas (denominadas A y B) varían de 1 a 100 a lo largo de la longitud de la regla de cálculo.

Operación

Escalas logarítmicas

Las siguientes identidades logarítmicas transforman las operaciones de multiplicación y división en suma y resta, respectivamente:

$${\displaystyle \log(x\times y)=\log(x)+\log(y)\,,}$$ $${\displaystyle \log(x/y)=\log(x)-\log(y)\,.}$$

Multiplicación

Con dos escalas logarítmicas, el acto de posicionar la escala superior para que comience en la etiqueta de la escala inferior para corresponde a desplazar la escala logarítmica superior una distancia de . Esto alinea el número de cada escala superior en el desplazamiento con el número de la escala inferior en la posición . Como , la marca en la escala inferior en esa posición corresponde a . Con x=2 e y=3 , por ejemplo, al posicionar la escala superior para que comience en el 2 de la escala inferior , el resultado de la multiplicación 3×2=6 se puede leer en la escala inferior debajo del 3 de la escala superior : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \log(y)}$ ${\displaystyle \log(x)+\log(y)}$ ${\displaystyle \log(x)+\log(y)=\log(x\times y)}$ ${\displaystyle x\times y}$

Si bien el ejemplo anterior se encuentra dentro de una década, los usuarios deben tener en cuenta mentalmente los ceros adicionales cuando se trabaja con varias décadas. Por ejemplo, la respuesta a 7×2=14 se encuentra colocando primero la escala superior para que comience por encima del 2 de la escala inferior y luego leyendo la marca 1,4 de la escala inferior de dos décadas donde 7 está en la escala superior:

Pero como el 7 está por encima del segundo conjunto de números, ese número debe multiplicarse por 10. Por lo tanto, aunque la respuesta directamente se lea 1,4 , la respuesta correcta es 1,4×10 = 14 .

Para un ejemplo con números aún mayores, para multiplicar 88×20 , la escala superior se vuelve a posicionar para comenzar en el 2 en la escala inferior. Como 2 representa 20 , todos los números en esa escala se multiplican por 10. Por lo tanto, cualquier respuesta en el segundo conjunto de números se multiplica por 100. Como 8,8 en la escala superior representa 88 , la respuesta debe multiplicarse adicionalmente por 10. La respuesta se lee directamente 1,76 . Multiplique por 100 y luego por 10 para obtener la respuesta real: 1760 .

En general, el 1 de la parte superior se mueve a un factor de la parte inferior y la respuesta se lee en la parte inferior, donde el otro factor está en la parte superior. Esto funciona porque las distancias desde la marca 1 son proporcionales a los logaritmos de los valores marcados.

División

La siguiente ilustración demuestra el cálculo de ⁠5.5/2El 2 de la escala superior se coloca sobre el 5,5 de la escala inferior. El cociente resultante, 2,75 , se puede leer debajo del 1 de la escala superior :

Hay más de un método para realizar la división, y el método presentado aquí tiene la ventaja de que el resultado final no puede estar fuera de escala, porque uno tiene la opción de usar el 1 en cualquier extremo.

En el caso de cálculos más complejos que involucran múltiples factores en el numerador y denominador de una expresión, el movimiento de las escalas se puede minimizar alternando divisiones y multiplicaciones.5,5 × 3/2⁠ se calcularía como ⁠5.5/2× 3 y el resultado, 8,25 , se puede leer debajo del 3 en la escala superior de la figura anterior, sin necesidad de registrar el resultado intermedio para ⁠5.5/2⁠ .

Resolver proporciones

Debido a que los pares de números que están alineados en las escalas logarítmicas forman proporciones constantes, sin importar cómo estén desplazadas las escalas, se pueden usar reglas de cálculo para generar fracciones equivalentes que resuelvan problemas de proporciones y porcentajes.

Por ejemplo, si se establece 7,5 en una escala sobre 10 en la otra, el usuario puede ver que, al mismo tiempo, 1,5 es sobre 2, 2,25 es sobre 3, 3 es sobre 4, 3,75 es sobre 6, 4,5 es sobre 6 y 6 es sobre 8, entre otros pares. En una situación de la vida real en la que 750 representa un 100%, estas lecturas podrían interpretarse como que 150 es 20%, 225 es 30%, 300 es 40%, 375 es 50%, 450 es 60% y 600 es 80%.

Otras escalas

Esta regla de cálculo está posicionada para producir varios valores: de la escala C a la escala D (multiplicar por 2), de la escala D a la escala C (dividir por 2), escalas A y B (multiplicar y dividir por 4), escalas A y D (cuadrados y raíces cuadradas).

Además de las escalas logarítmicas, algunas reglas de cálculo tienen otras funciones matemáticas codificadas en otras escalas auxiliares. Las más populares son las trigonométricas , generalmente seno y tangente , logaritmo común (log 10 ) (para tomar el logaritmo de un valor en una escala multiplicadora), logaritmo natural (ln) y exponencial ( e ^x ). Otras cuentan con escalas para calcular funciones hiperbólicas . En las reglas lineales, las escalas y su etiquetado están altamente estandarizados, y la variación ocurre generalmente solo en términos de qué escalas se incluyen y en qué orden. ^[6]

La regla de cálculo binaria fabricada por Gilson en 1931 realizaba una función de suma y resta limitada a fracciones. ^[7]

Raíces y poderes

Existen escalas de una sola década (C y D), de dos décadas (A y B) y de tres décadas (K). Para calcular , por ejemplo, se ubica x en la escala D y se lee su cuadrado en la escala A. Al invertir este proceso se pueden encontrar raíces cuadradas, y lo mismo ocurre con las potencias 3, 1/3, 2/3 y 3/2. Se debe tener cuidado cuando la base, x, se encuentra en más de un lugar en su escala. Por ejemplo, hay dos nueves en la escala A; para encontrar la raíz cuadrada de nueve, se utiliza el primero; el segundo da la raíz cuadrada de 90. ${\displaystyle x^{2}}$

Para los problemas, utilice las escalas LL. Cuando haya varias escalas LL, utilice la que tenga x . Primero, alinee el 1 más a la izquierda de la escala C con x en la escala LL. Luego, busque y en la escala C y baje hasta la escala LL que tenga x . Esa escala indicará la respuesta. Si y está "fuera de la escala", ubíquela y elévela al cuadrado utilizando las escalas A y B como se describió anteriormente. Alternativamente, utilice el 1 más a la derecha de la escala C y lea la respuesta en la escala LL inmediatamente superior. Por ejemplo, alinee el 1 más a la derecha de la escala C con el 2 de la escala LL2, el 3 de la escala C se alinea con el 8 de la escala LL3. ${\displaystyle x^{y}}$ ${\displaystyle x^{y/2}}$

Para extraer una raíz cúbica utilizando una regla de cálculo con solo escalas C/D y A/B, alinee el 1 en el cursor B con el número base en la escala A (teniendo cuidado, como siempre, de distinguir entre las mitades inferior y superior de la escala A). Deslice la corredera hasta que el número en la escala D que está contra el 1 en el cursor C sea el mismo que el número en el cursor B que está contra el número base en la escala A. (Ejemplos: A 8, B 2, C 1, D 2; A 27, B 3, C 1, D 3).

Raíces de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas de la forma se pueden resolver reduciendo primero la ecuación a la forma (donde y ), y luego alineando el índice ("1") de la escala C con el valor de la escala D. Luego, el cursor se mueve a lo largo de la regla hasta encontrar una posición donde los números en las escalas CI y D sumen . Estos dos valores son las raíces de la ecuación. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle x^{2}-px+q=0}$ ${\displaystyle p=-b/a}$ ${\displaystyle q=c/a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Valor futuro del dinero

Las escalas LLN se pueden utilizar para calcular y comparar el costo o el rendimiento de un préstamo o inversión a tasa fija. El caso más simple es el de interés compuesto de forma continua. Ejemplo: si se toma D como la tasa de interés en porcentaje, se desliza el índice (el "1" en el extremo derecho o izquierdo de la escala) de C hasta el porcentaje de D. El valor correspondiente en LL2 directamente debajo del índice será el multiplicador durante 10 ciclos de interés (normalmente años). El valor en LL2 por debajo de 2 en la escala C será el multiplicador después de 20 ciclos, y así sucesivamente.

Trigonometría

Las escalas S, T y ST se utilizan para funciones trigonométricas y múltiplos de funciones trigonométricas, para ángulos en grados.

Para ángulos de alrededor de 5,7 hasta 90 grados, los senos se encuentran comparando la escala S con la escala C (o D). (En muchas reglas de cuerpo cerrado, la escala S se relaciona con las escalas A y B en cambio y cubre ángulos de alrededor de 0,57 hasta 90 grados; lo que sigue debe ajustarse adecuadamente). La escala S tiene un segundo conjunto de ángulos (a veces en un color diferente), que corren en la dirección opuesta, y se utilizan para los cosenos. Las tangentes se encuentran comparando la escala T con la escala C (o D) para ángulos menores de 45 grados. Para ángulos mayores de 45 grados se utiliza la escala CI. Las formas comunes como se pueden leer directamente desde x en la escala S hasta el resultado en la escala D, cuando el índice de la escala C se establece en  k . Para ángulos inferiores a 5,7 grados, los senos, las tangentes y los radianes son aproximadamente iguales y se encuentran en la escala ST o SRT (senos, radianes y tangentes), o simplemente se dividen por 57,3 grados/ radián . Las funciones trigonométricas inversas se encuentran invirtiendo el proceso. ${\displaystyle k\sin x}$

Muchas reglas de cálculo tienen escalas S, T y ST marcadas con grados y minutos (por ejemplo, algunos modelos Keuffel y Esser (modelos Doric duplex de 5", por ejemplo), reglas de tipo Teledyne-Post Mannheim de modelos tardíos). Los llamados modelos decitrix utilizan fracciones decimales de grados en su lugar.

Logaritmos y exponenciales

Los logaritmos y exponenciales de base 10 se calculan utilizando la escala L, que es lineal. Algunas reglas de cálculo tienen una escala Ln, que es para la base e. Los logaritmos de cualquier otra base se pueden calcular invirtiendo el procedimiento para calcular las potencias de un número. Por ejemplo, los valores log2 se pueden determinar alineando el 1 más a la izquierda o más a la derecha en la escala C con el 2 en la escala LL2, encontrando el número cuyo logaritmo se va a calcular en la escala LL correspondiente y leyendo el valor log2 en la escala C.

Suma y resta

La suma y la resta normalmente no se realizan con reglas de cálculo, pero es posible hacerlo utilizando cualquiera de las dos técnicas siguientes: ^[8]

1. Conversión de suma y resta a división (requerido para las escalas C y D o comparables):
   • Explota la identidad de que el cociente de dos variables más (o menos) uno por el divisor es igual a su suma (o diferencia): $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x}{y}}+1\right)y&=x+y\,{\text{ (addition)}},\\\left({\frac {x}{y}}-1\right)y&=x-y\,{\text{ (subtraction)}}.\end{aligned}}}$$
   • Esto es similar a la técnica de suma/resta utilizada para circuitos electrónicos de alta velocidad con un sistema numérico logarítmico en aplicaciones informáticas especializadas como la supercomputadora Gravity Pipe (GRAPE) y los modelos ocultos de Markov .
2. Usando una escala lineal L (disponible en algunos modelos):
   • Después de deslizar el cursor hacia la derecha (para sumar) o hacia la izquierda (para restar) y regresar el deslizador a 0, se puede leer el resultado.

Generalizaciones

Escalas cuadráticas y recíprocas

Utilizando (casi) cualquier escala estrictamente monótona , también se pueden realizar otros cálculos con un movimiento. ^{[9] [10]} Por ejemplo, se pueden utilizar escalas recíprocas para la igualdad (calcular resistencias paralelas , media armónica , etc.), y se pueden utilizar escalas cuadráticas para resolver . ${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{z}}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

Diseño físico

Reglas lineales estándar

Una regla de cálculo didáctica de 2,1 m (7 pies) comparada con un modelo de tamaño normal

El ancho de la regla de cálculo se expresa en términos del ancho nominal de las escalas. Las escalas de los modelos más comunes de "10 pulgadas" son en realidad de 25 cm, ya que se fabricaron según los estándares métricos, aunque algunas reglas ofrecen escalas ligeramente más largas para simplificar la manipulación cuando un resultado se desborda. Las reglas de bolsillo suelen tener 5 pulgadas (12 cm). Se fabricaron modelos de un par de metros (yardas) de ancho para colgarlos en las aulas con fines didácticos. ^[11]

Por lo general, las divisiones marcan una escala con una precisión de dos cifras significativas y el usuario calcula la tercera cifra. Algunas reglas de cálculo de alta gama tienen cursores de aumento que facilitan la visualización de las marcas. Dichos cursores pueden duplicar eficazmente la precisión de las lecturas, lo que permite que una regla de cálculo de 10 pulgadas funcione tan bien como un modelo de 20 pulgadas.

Se han desarrollado otras ventajas. Las escalas trigonométricas a veces tienen dos etiquetas, en negro y rojo, con ángulos complementarios, el llamado estilo "Darmstadt". Las reglas de cálculo dúplex a menudo duplican algunas de las escalas en la parte posterior. Las escalas a menudo se "dividen" para obtener una mayor precisión. Por ejemplo, en lugar de leer de una escala A a una escala D para encontrar una raíz cuadrada, puede ser posible leer de una escala D a una escala R1 que va de 1 a la raíz cuadrada de 10 o a una escala R2 que va de la raíz cuadrada de 10 a 10, donde tener más subdivisiones marcadas puede dar como resultado poder leer una respuesta con un dígito significativo más.

Reglas de cálculo circulares

Las reglas de cálculo circulares se presentan en dos tipos básicos: una con dos cursores y otra con un plato libre y un cursor. Las versiones con dos cursores realizan la multiplicación y la división manteniendo un ángulo constante entre los cursores a medida que giran alrededor del dial. La versión con un solo cursor funciona de forma más parecida a la regla de cálculo estándar a través de la alineación adecuada de las escalas.

La ventaja básica de una regla de cálculo circular es que la dimensión más ancha de la herramienta se redujo en un factor de aproximadamente 3 (es decir, en π ). Por ejemplo, una regla de cálculo circular de 10 cm (3,9 pulgadas) tendría una precisión máxima aproximadamente igual a una regla de cálculo común de 31,4 cm (12,4 pulgadas). Las reglas de cálculo circulares también eliminan los cálculos "fuera de escala", porque las escalas fueron diseñadas para "envolverse"; nunca tienen que reorientarse cuando los resultados están cerca de 1,0: la regla siempre está a escala. Sin embargo, para las escalas no cíclicas y no espirales, como S, T y LL, el ancho de la escala se estrecha para dejar espacio para los márgenes finales. ^[12]

Las reglas de cálculo circulares son mecánicamente más resistentes y se mueven con más suavidad, pero la precisión de alineación de su escala es sensible al centrado de un pivote central; un pequeño desvío de 0,1 mm (0,0039 pulgadas) del centro del pivote puede dar como resultado un error de alineación de 0,2 mm (0,0079 pulgadas) en el peor de los casos. El pivote evita que se rayen la cara y los cursores. Las escalas de mayor precisión se colocan en los anillos exteriores. En lugar de escalas "divididas", las reglas circulares de alta gama utilizan escalas en espiral para operaciones más complejas como las escalas logarítmicas. Una regla circular premium de ocho pulgadas tenía una escala logarítmica en espiral de 50 pulgadas. Alrededor de 1970, un modelo económico de BC Boykin (modelo 510) presentaba 20 escalas, incluidas escalas logarítmicas y de CD (multiplicación) de 50 pulgadas. La RotaRule presentaba un freno de fricción para el cursor.

Las principales desventajas de las reglas de cálculo circulares son la dificultad para ubicar las figuras a lo largo de un plato y el número limitado de escalas. Otro inconveniente de las reglas de cálculo circulares es que las escalas menos importantes están más cerca del centro y tienen menor precisión. La mayoría de los estudiantes aprendieron a usar las reglas de cálculo lineales y no encontraron motivos para cambiarlas.

Una regla de cálculo que sigue utilizándose a diario en todo el mundo es la E6B . Se trata de una regla de cálculo circular creada por primera vez en la década de 1930 para que los pilotos de aviones pudieran realizar la estimación de la posición . Con la ayuda de escalas impresas en el marco, también ayuda con tareas diversas como la conversión de valores de tiempo, distancia, velocidad y temperatura, errores de brújula y cálculo del consumo de combustible. La llamada "rueda de oración" todavía está disponible en las tiendas de aviación y sigue utilizándose ampliamente. Si bien el GPS ha reducido el uso de la estimación de la posición para la navegación aérea y las calculadoras portátiles han asumido muchas de sus funciones, la E6B sigue utilizándose ampliamente como dispositivo principal o de respaldo y la mayoría de las escuelas de vuelo exigen que sus estudiantes tengan cierto grado de competencia en su uso.

Las ruedas de proporción son reglas de cálculo circulares simples que se utilizan en el diseño gráfico para calcular las proporciones . Al alinear los valores de tamaño originales y deseados en las ruedas internas y externas, se mostrará su proporción como porcentaje en una ventana pequeña. Aunque no son tan comunes desde la llegada del diseño computarizado, todavía se fabrican y se utilizan. ^{[ cita requerida ]}

En 1952, la empresa suiza de relojes Breitling presentó un reloj de pulsera para piloto con una regla de cálculo circular integrada especializada para los cálculos de vuelo: el Breitling Navitimer . La regla circular Navitimer, a la que Breitling se refiere como un "ordenador de navegación", incluía funciones de velocidad aerodinámica , velocidad /tiempo de ascenso/descenso, tiempo de vuelo, distancia y consumo de combustible, así como funciones de conversión de cantidad de combustible de kilómetros a millas náuticas y galones a litros.

• 
  Una regla de cálculo circular sencilla, fabricada por Concise Co., Ltd., Tokio, Japón, con escalas únicamente inversas, cuadradas y cúbicas. En el reverso hay una lista práctica de 38 factores de conversión métricos / imperiales .
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  Una regla de cálculo circular rusa construida como un reloj de bolsillo que funciona como una regla de cálculo de cursor único ya que las dos agujas están unidas.
• 
  Una regla de cálculo de dos escalas incorporada en un anillo
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  Regla de cálculo circular de Pickett con dos cursores. (4,25 pulgadas/10,9 cm de ancho) El reverso tiene una escala adicional y un cursor.
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  Reloj de pulsera Breitling Navitimer con regla de cálculo circular
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  La parte frontal de un Boykin RotaRule modelo 510
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  La parte trasera de un Boykin RotaRule modelo 510
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  Calculadora de bolsillo Sperry 4016

Reglas de cálculo cilíndricas

Existen dos tipos principales de reglas de cálculo cilíndricas: las que tienen escalas helicoidales, como la calculadora Fuller , la regla de cálculo Otis King y la Bygrave , y las que tienen barras, como la Thacher y algunos modelos Loga. En ambos casos, la ventaja es una escala mucho más larga y, por lo tanto, una precisión potencialmente mayor que la que ofrece una regla recta o circular.

• 
  Calculadora Fuller, 1928
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  Otis King Modelo K
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  Regla de cálculo de Bygrave
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  Regla de cálculo de Thacher, c.  1890

Materiales

Tradicionalmente, las reglas de cálculo se fabricaban con madera dura, como la caoba o el boj, y los cursores eran de vidrio y metal. Al menos un instrumento de alta precisión estaba hecho de acero.

En 1895, una empresa japonesa, Hemmi, empezó a fabricar reglas de cálculo a partir de bambú revestido de celuloide , que tenía las ventajas de ser dimensionalmente estable, resistente y naturalmente autolubricante. Estas reglas de cálculo de bambú se introdujeron en Suecia en septiembre de 1933 ^[13] y probablemente sólo un poco antes en Alemania.

Las escalas también se hacían de celuloide u otros polímeros, o se imprimían en aluminio. Más tarde, los cursores se moldeaban a partir de acrílicos o policarbonato , a veces con superficies de apoyo de teflón .

Todas las reglas de cálculo de primera calidad tenían números y escalas profundamente grabados y luego se rellenaban con pintura u otra resina . Las reglas de cálculo pintadas o impresas se consideraban inferiores, porque las marcas podían desgastarse o dañarse químicamente. Sin embargo, Pickett, una empresa estadounidense de reglas de cálculo, fabricaba únicamente reglas con escalas impresas. Las reglas de cálculo de primera calidad incluían ingeniosos cierres mecánicos para que la regla no se desmoronara por accidente y parachoques para proteger las escalas y el cursor del roce con las superficies de las mesas.

Historia

William Oughtred (1575-1660), inventor de la regla de cálculo

Ilustración de una regla de cálculo de 1763

La regla de cálculo se inventó alrededor de 1620-1630, poco después de que John Napier publicara el concepto de logaritmo . En 1620, Edmund Gunter de Oxford desarrolló un dispositivo de cálculo con una sola escala logarítmica; con herramientas de medición adicionales, podía usarse para multiplicar y dividir. ^[14] En c. 1622, William Oughtred de Cambridge combinó dos reglas Gunter portátiles para hacer un dispositivo que es reconocible como la regla de cálculo moderna. ^[15] Oughtred se vio involucrado en una polémica vitriólica sobre la prioridad , con su antiguo alumno Richard Delamain y las reclamaciones previas de Wingate. Las ideas de Oughtred solo se hicieron públicas en publicaciones de su alumno William Forster en 1632 y 1653.

En 1677, Henry Coggeshall creó una regla plegable de dos pies para medir la madera, llamada regla de cálculo Coggeshall , ampliando el uso de la regla de cálculo más allá de la investigación matemática.

En 1722, Warner introdujo las escalas de dos y tres décadas, y en 1755 Everard incluyó una escala invertida; una regla de cálculo que contiene todas estas escalas se conoce habitualmente como regla "polifásica".

En 1815, Peter Mark Roget inventó la regla de cálculo logarítmica, que incluía una escala que mostraba el logaritmo del logaritmo. Esto permitía al usuario realizar cálculos directamente con raíces y exponentes. Esto era especialmente útil para potencias fraccionarias.

En 1821, Nathaniel Bowditch describió en el American Practical Navigator una "regla deslizante" que contenía funciones trigonométricas escaladas en la parte fija y una línea de logaritmos-senos y logaritmos-tandas en la parte deslizante utilizada para resolver problemas de navegación.

En 1845, Paul Cameron de Glasgow introdujo una regla de cálculo náutica capaz de responder preguntas de navegación, incluida la ascensión recta y la declinación del sol y las estrellas principales. ^[16]

Forma moderna

Ingeniero usando una regla de cálculo, con calculadora mecánica en el fondo, mediados del siglo XX

En 1859, el teniente de artillería francés Amédée Mannheim creó una forma más moderna de regla de cálculo , que tuvo la suerte de que su regla fuera fabricada por una empresa de reputación nacional y de que la adoptara la artillería francesa. La regla de Mannheim tuvo dos modificaciones importantes que la hicieron más fácil de usar que las reglas de cálculo de uso general anteriores. Dichas reglas tenían cuatro escalas básicas, A, B, C y D, y D era la única escala logarítmica de una sola década; C tenía dos décadas, como A y B. La mayoría de las operaciones se realizaban en las escalas A y B; D solo se usaba para encontrar cuadrados y raíces cuadradas.

Mannheim cambió la escala C a una escala de una sola década y realizó la mayoría de las operaciones con C y D en lugar de A y B. Debido a que las escalas C y D eran de una sola década, podían leerse con mayor precisión, por lo que los resultados de la regla podían ser más exactos. El cambio también facilitó la inclusión de cuadrados y raíces cuadradas como parte de un cálculo más grande. La regla de Mannheim también tenía un cursor, a diferencia de casi todas las reglas anteriores, por lo que cualquiera de las escalas podía compararse de manera fácil y precisa a lo largo del ancho de la regla. La "regla de Mannheim" se convirtió en la disposición estándar de las reglas de cálculo para finales del siglo XIX y siguió siendo un estándar común durante toda la era de las reglas de cálculo.

El crecimiento de la profesión de ingeniería a finales del siglo XIX impulsó el uso generalizado de la regla de cálculo, que comenzó en Europa y finalmente se afianzó también en los Estados Unidos. La regla dúplex fue inventada por William Cox en 1891 y fue producida por Keuffel and Esser Co. de Nueva York. ^{[17] [18]}

En 1881, el inventor estadounidense Edwin Thacher presentó su regla cilíndrica, que tenía una escala mucho más larga que las reglas lineales estándar y, por lo tanto, podía calcular con mayor precisión, alrededor de cuatro o cinco dígitos significativos. Sin embargo, la regla de Thacher era bastante cara y no era portátil, por lo que se utilizó en cantidades mucho más limitadas que las reglas de cálculo convencionales.

El trabajo astronómico también requería cálculos precisos y, en la Alemania del siglo XIX, en un observatorio se utilizaba una regla de cálculo de acero de unos dos metros de largo. Tenía un microscopio acoplado, lo que le otorgaba una precisión de seis decimales. ^{[ cita requerida ]}

En la década de 1920, el novelista e ingeniero noruego Nevil Shute (tituló su autobiografía Slide Rule ) fue el jefe de cálculo del diseño del dirigible británico R100 para Vickers Ltd. a partir de 1924. Los cálculos de tensión para cada marco transversal requerían cálculos de un par de calculadoras (personas) utilizando las reglas de cálculo cilíndricas de Fuller durante dos o tres meses. La ecuación simultánea contenía hasta siete cantidades desconocidas, tardaba aproximadamente una semana en resolverse y tenía que repetirse con una selección diferente de cables flojos si la suposición sobre cuál de los ocho cables radiales estaba flojo era incorrecta y uno de los cables que se suponía que estaba flojo no lo estaba. Después de meses de trabajo llenando quizás cincuenta hojas de papel con cálculos, "la verdad quedó revelada (y) produjo una satisfacción que casi equivalía a una experiencia religiosa". ^[19]

En 1937, la física Lucy Hayner diseñó y construyó una regla de cálculo circular en Braille . ^[20]

A lo largo de las décadas de 1950 y 1960, la regla de cálculo fue el símbolo de la profesión de ingeniero, del mismo modo que el estetoscopio lo es de la profesión médica. ^[21]

Las reglas de cálculo de aluminio de la marca Pickett se utilizaron en las misiones espaciales del Proyecto Apolo . El modelo N600-ES, propiedad de Buzz Aldrin , que voló con él a la Luna en el Apolo 11 se vendió en una subasta en 2007. ^[22] El modelo N600-ES que se llevó en el Apolo 13 en 1970 es propiedad del Museo Nacional del Aire y el Espacio . ^[23]

Algunos estudiantes de ingeniería e ingenieros llevaban consigo reglas de cálculo de diez pulgadas en fundas de cinturón, algo habitual en los campus incluso a mediados de los años 1970. Hasta la llegada de la calculadora digital de bolsillo, los estudiantes también podían llevar consigo una regla de diez o veinte pulgadas para trabajos de precisión en casa o en la oficina ^[24] mientras llevaban consigo una regla de cálculo de bolsillo de cinco pulgadas.

En 2004, los investigadores en educación David B. Sher y Dean C. Nataro concibieron un nuevo tipo de regla de cálculo basada en prostaféresis , un algoritmo para calcular productos rápidamente que es anterior a los logaritmos. Sin embargo, ha habido poco interés práctico en construir una más allá del prototipo inicial. ^[25]

Calculadoras especializadas

Las reglas de cálculo se han especializado a menudo en distintos grados para su campo de uso, como impuestos especiales, cálculo de pruebas, ingeniería, navegación, etc., y algunas reglas de cálculo son extremadamente especializadas para aplicaciones muy limitadas. Por ejemplo, el catálogo de John Rabone & Sons de 1892 enumera una "cinta métrica y calibrador de ganado", un dispositivo para estimar el peso de una vaca a partir de sus medidas.

Existían muchas reglas de cálculo especializadas para aplicaciones fotográficas. Por ejemplo, el actinógrafo de Hurter y Driffield era un dispositivo de dos láminas de madera de boj, latón y cartón que permitía calcular la exposición a partir de la hora del día, la época del año y la latitud.

Se inventaron reglas de cálculo especializadas para diversas formas de ingeniería, negocios y banca. Estas solían tener cálculos comunes expresados ​​directamente como escalas especiales, por ejemplo, cálculos de préstamos, cantidades óptimas de compra o ecuaciones de ingeniería particulares. Por ejemplo, la empresa Fisher Controls distribuyó una regla de cálculo personalizada adaptada para resolver las ecuaciones utilizadas para seleccionar el tamaño adecuado de válvulas de control de flujo industriales. ^[26]

Los meteorólogos de los servicios meteorológicos utilizaban reglas de cálculo para globos piloto para determinar las velocidades superiores del viento desde un globo piloto ascendente lleno de hidrógeno o helio. ^[27]

La E6-B es una regla de cálculo circular utilizada por pilotos y navegantes.

Las reglas de cálculo circulares para estimar las fechas de ovulación y la fertilidad se conocen como calculadoras de rueda . ^[28]

Una publicación del Departamento de Defensa de 1962 ^[29] incluyó infamemente una regla de cálculo circular de propósito especial para calcular los efectos de la explosión, la sobrepresión y la exposición a la radiación de un rendimiento dado de una bomba atómica. ^[30]

• 
  Una computadora de aviación E6-B
• 
  John Rabone & Sons 1892 calibre de ganado
• 
  Actinógrafo de Hurter y Driffield
• 
  Regla de cálculo criptográfica utilizada por el ejército suizo entre 1914 y 1940
• 
  Sumador fraccionario poco común

Rechazar

La calculadora científica TI-30 , lanzada al mercado por menos de 25 dólares en 1976

La importancia de la regla de cálculo comenzó a disminuir a medida que las computadoras electrónicas, un recurso nuevo pero raro en la década de 1950, se hicieron más ampliamente disponibles para los trabajadores técnicos durante la década de 1960.

El primer paso para alejarse de las reglas de cálculo fue la introducción de calculadoras científicas electrónicas de escritorio relativamente económicas. Entre ellas se encontraban la LOCI-2 de Wang Laboratories , ^{[31] [32]} introducida en 1965, que utilizaba logaritmos para la multiplicación y la división; y la HP 9100A de Hewlett-Packard , introducida en 1968. ^[33] Ambas eran programables y proporcionaban funciones exponenciales y logarítmicas; la HP tenía funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) y también funciones trigonométricas hiperbólicas. La HP utilizaba el algoritmo CORDIC (ordenador digital de rotación de coordenadas), ^[34] que permite el cálculo de funciones trigonométricas utilizando únicamente operaciones de desplazamiento y suma. Este método facilitó el desarrollo de calculadoras científicas cada vez más pequeñas.

Al igual que en el caso de los ordenadores mainframe, la disponibilidad de estas máquinas de escritorio no afectó significativamente el uso generalizado de la regla de cálculo hasta que aparecieron calculadoras científicas electrónicas portátiles y económicas a mediados de los años 70, momento en el que su uso decayó rápidamente. La calculadora científica de bolsillo Hewlett-Packard HP-35 fue el primer dispositivo portátil de su tipo, pero costaba 395 dólares en 1972. Esto era justificable para algunos profesionales de la ingeniería, pero demasiado caro para la mayoría de los estudiantes.

Alrededor de 1974, las calculadoras científicas electrónicas portátiles de menor costo comenzaron a hacer que las reglas de cálculo quedaran en gran medida obsoletas. ^{[35] [36] [37] [38]} En 1975, las calculadoras electrónicas básicas de cuatro funciones se podían comprar por menos de $50, y en 1976 la calculadora científica TI-30 se vendía por menos de $25 ($134 ajustados por inflación).

1980 fue el último año de la competencia de la Liga Interescolar Universitaria (UIL) en Texas para utilizar reglas de cálculo. ^{[ cita requerida ]} La UIL se había organizado originalmente en 1910 para administrar eventos literarios, ^{[ cita requerida ]} pero también se había convertido en el organismo rector de los eventos deportivos escolares.

Comparación con calculadoras digitales electrónicas

Anuncio de diciembre de 1951 de la calculadora electrónica IBM 604 que compara explícitamente las computadoras electrónicas con los ingenieros que calculan con reglas de cálculo.

Incluso durante su apogeo, las reglas de cálculo nunca llegaron a popularizarse entre el público en general. ^[39] La suma y la resta no son operaciones bien soportadas en las reglas de cálculo y hacer un cálculo en una regla de cálculo tiende a ser más lento que en una calculadora. ^[40] Esto llevó a los ingenieros a utilizar ecuaciones matemáticas que favorecían operaciones que eran fáciles en una regla de cálculo sobre funciones más precisas pero complejas; estas aproximaciones podían conducir a imprecisiones y errores. ^[41] Por otro lado, la operación manual espacial de las reglas de cálculo cultiva en el usuario una intuición para las relaciones numéricas y la escala de la que a menudo carecen las personas que solo han utilizado calculadoras digitales. ^[42] Una regla de cálculo también mostrará todos los términos de un cálculo junto con el resultado, eliminando así la incertidumbre sobre qué cálculo se realizó realmente. Por lo tanto, se la ha comparado con la notación polaca inversa (RPN) implementada en las calculadoras electrónicas. ^[43]

Una regla de cálculo requiere que el usuario calcule por separado el orden de magnitud de la respuesta para colocar el punto decimal en los resultados. Por ejemplo, 1,5 × 30 (que equivale a 45) mostrará el mismo resultado que1 500 000  × 0,03 (que equivale a45 000 ). Este cálculo separado obliga al usuario a realizar un seguimiento de la magnitud en la memoria de corto plazo (que es propensa a errores), tomar notas (lo que es engorroso) o razonar sobre ella en cada paso (lo que distrae de los otros requisitos del cálculo).

La precisión aritmética típica de una regla de cálculo es de aproximadamente tres dígitos significativos , en comparación con los muchos dígitos de las calculadoras digitales. Como el orden de magnitud adquiere la mayor importancia al utilizar una regla de cálculo, los usuarios tienen menos probabilidades de cometer errores de precisión falsa .

Al realizar una secuencia de multiplicaciones o divisiones por el mismo número, la respuesta a menudo se puede determinar con solo echar un vistazo a la regla de cálculo sin ninguna manipulación. Esto puede ser especialmente útil al calcular porcentajes (por ejemplo, para las calificaciones de exámenes) o al comparar precios (por ejemplo, en dólares por kilogramo). Se pueden realizar múltiples cálculos de velocidad, tiempo y distancia con una sola mirada con una regla de cálculo. Otras conversiones lineales útiles, como libras a kilogramos, se pueden marcar fácilmente en la regla y usar directamente en los cálculos.

Al ser completamente mecánica, una regla de cálculo no depende de la red eléctrica ni de baterías. La imprecisión mecánica en reglas de cálculo mal construidas o deformadas por el calor o el uso puede dar lugar a errores.

Muchos marineros tienen reglas de cálculo como respaldo para la navegación en caso de falla eléctrica o agotamiento de la batería en segmentos de ruta largos. Las reglas de cálculo todavía se usan comúnmente en aviación, particularmente para aviones más pequeños. Están siendo reemplazadas solo por computadoras de vuelo integradas, de propósito especial y costosas, y no por calculadoras de propósito general. La regla de cálculo circular E6B utilizada por los pilotos ha estado en producción continua y sigue estando disponible en una variedad de modelos. Algunos relojes de pulsera diseñados para uso en aviación aún cuentan con escalas de regla de cálculo para permitir cálculos rápidos. El Citizen Skyhawk AT y el Seiko Flightmaster SNA411 son dos ejemplos notables. ^[44]

Uso contemporáneo

Regla de cálculo Faber-Castell con estuche

Incluso en el siglo XXI, algunas personas prefieren una regla de cálculo a una calculadora electrónica como dispositivo informático práctico. Otras conservan sus viejas reglas de cálculo por nostalgia o las coleccionan como pasatiempo. ^[45]

Un modelo coleccionable popular es la Keuffel & Esser Deci-Lon , una regla de cálculo científica y de ingeniería de primera calidad disponible tanto en una variante "normal" de diez pulgadas (25 cm) ( Deci-Lon 10 ) como en una variante "de bolsillo" de cinco pulgadas ( Deci-Lon 5 ). Otro modelo estadounidense apreciado es la regla circular de ocho pulgadas (20 cm) de Scientific Instruments. De las reglas europeas, los modelos de gama alta de Faber-Castell son los más populares entre los coleccionistas.

Aunque en el mercado circulan muchas reglas de cálculo, los ejemplares en buen estado suelen ser caros. Muchas de las reglas que se encuentran a la venta en sitios de subastas en línea están dañadas o les faltan piezas, y es posible que el vendedor no sepa lo suficiente como para proporcionar la información pertinente. Las piezas de repuesto son escasas, caras y, por lo general, solo están disponibles para su compra por separado en los sitios web de coleccionistas individuales. Las reglas Keuffel y Esser del período hasta aproximadamente 1950 son particularmente problemáticas, porque las piezas finales de los cursores, hechas de celuloide , tienden a descomponerse químicamente con el tiempo. Se pueden utilizar métodos de conservación de plástico para frenar el deterioro de algunas reglas de cálculo más antiguas, y se puede utilizar la impresión 3D para recrear las piezas del cursor que faltan o están rotas irremediablemente. ^[46]

Todavía hay un puñado de fuentes de reglas de cálculo nuevas. La empresa Concise de Tokio, que comenzó como fabricante de reglas de cálculo circulares en julio de 1954, ^[47] continúa fabricándolas y vendiéndolas hoy en día. En septiembre de 2009, el minorista en línea ThinkGeek presentó su propia marca de reglas de cálculo rectas, descritas como "réplicas fieles" que estaban "hechas a mano individualmente". ^[48] Estas ya no estaban disponibles en 2012. ^[49] Además, Faber-Castell tenía varias reglas de cálculo en inventario, disponibles para compra internacional a través de su tienda web, hasta mediados de 2018. ^[50] Las ruedas de proporción todavía se utilizan en el diseño gráfico.

Hay varias aplicaciones de simulación de reglas de cálculo disponibles para teléfonos inteligentes y tabletas con Android e iOS.

Las reglas de cálculo especializadas, como la E6B que se utiliza en aviación, y las reglas de cálculo de artillería que se utilizan para colocar la artillería, todavía se utilizan, aunque ya no de forma rutinaria. Estas reglas se utilizan como parte del proceso de enseñanza e instrucción, ya que al aprender a usarlas, el estudiante también aprende los principios detrás de los cálculos y también le permite poder usar estos instrumentos como respaldo en caso de que falle la electrónica moderna de uso general.

Colecciones

Una regla de cálculo del tamaño de una aula exhibida en el Museo del MIT

El Museo del MIT en Cambridge, Massachusetts , tiene una colección de cientos de reglas de cálculo, nomogramas y calculadoras mecánicas . ^[51] La colección de Keuffel and Esser Company, del fabricante de reglas de cálculo que anteriormente estaba ubicado en Hoboken, Nueva Jersey , fue donada al MIT alrededor de 2005, expandiendo sustancialmente las existencias existentes. ^[52] Algunos artículos seleccionados de la colección suelen estar en exhibición en el museo. ^{[53] [54]}

Se afirma que el Museo Internacional de Reglas de Cálculo es "el recurso más extenso del mundo para todo lo relacionado con reglas de cálculo y calculadoras logarítmicas". ^[55] La página web del museo incluye una amplia literatura relativa a las reglas de cálculo en su sección "Biblioteca de reglas de cálculo". ^[56]

Véase también

• Ábaco  – Herramienta de cálculo
• Computadora (ocupación)  – Persona que realiza cálculos matemáticos, antes de que existieran las calculadoras.
• Computadora de vuelo  : regla de cálculo circular utilizada en aviación
• Punto flotante  : aproximación informática para números realesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Hans Peter Luhn  – científico informático estadounidense
• Nomograma  – Calculadora gráfica analógica
• Sector (instrumento)  – Instrumento matemático que consta de dos reglas articuladas
• Calculadora de diapositivas  – Calculadora mecánica
• Diagrama de diapositivas  : dispositivo portátil con partes móviles, generalmente de papel, generalmente impreso para referencia o cálculo.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Cronología de la informática
• Escala Vernier  : Escala auxiliar de un dispositivo de medición, utilizada para aumentar la precisión.
• Volvelle  – Construcción de papel con partes giratorias, puede considerarse una subclase de diagrama de diapositivas o libro móvil

Referencias

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40. Watson, George H. "El aprendizaje basado en problemas y las tres C de la tecnología", The Power of Problem-Based Learning , Barbara Duch, Susan Groh, Deborah Allen, eds., Stylus Publishing, LLC, 2001. "Los cálculos numéricos en física y química para estudiantes de primer año eran una tortura; sin embargo, este no parecía ser el caso de aquellos estudiantes que tenían la suerte de poseer una calculadora. Recuerdo vívidamente que a fines de 1974, a los estudiantes que todavía usaban reglas de cálculo se les dieron 15 minutos adicionales en el examen final para compensar la ventaja computacional que les brindaba la calculadora, una compensación apenas adecuada en las opiniones de los practicantes restantes de reglas de cálculo".
41. Stoll, Cliff. "When Slide Rules Ruled", Scientific American, mayo de 2006, págs. 80-87. "Como los cálculos se movían literalmente al ritmo de una mano y la falta de precisión era un hecho, los matemáticos trabajaron para simplificar problemas complejos. Como las ecuaciones lineales eran más fáciles de manejar con reglas de cálculo que las funciones más complejas, los científicos lucharon por linealizar las relaciones matemáticas, a menudo ocultando términos de orden superior o menos significativos bajo la alfombra computacional. Así, un diseñador de automóviles podía calcular el consumo de combustible observando principalmente la potencia de un motor, mientras ignoraba cómo varía la fricción del aire con la velocidad. Los ingenieros desarrollaron atajos y reglas empíricas. En el mejor de los casos, estas medidas condujeron a ahorros de tiempo, conocimiento y comprensión. Por el lado negativo, estas aproximaciones podían ocultar errores y dar lugar a errores graves".
42. Stoll, Cliff. "When Slide Rules Ruled", Scientific American , mayo de 2006, págs. 80-87. "Un efecto fue que los usuarios se sentían cerca de los números, conscientes de los errores de redondeo y las imprecisiones sistemáticas, a diferencia de los usuarios de los programas de diseño informático actuales. Si habla con un ingeniero de la década de 1950, lo más probable es que escuche un lamento por los días en que el cálculo iba de la mano con una comprensión más profunda. En lugar de introducir números en un programa informático, un ingeniero comprendería los puntos finos de las cargas y tensiones, los voltajes y las corrientes, los ángulos y las distancias. Las respuestas numéricas, elaboradas a mano, significaban la resolución de problemas a través del conocimiento y el análisis en lugar de un mero procesamiento de números".
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Enlaces externos

• Museo Internacional de Reglas de Cálculo
• Historia, teoría y uso de la regla de cálculo en ingeniería — Por el Dr. James B. Calvert, Universidad de Denver
• Página de inicio de la regla de cálculo circular del Reino Unido Archivado el 28 de septiembre de 2015 en Wayback Machine
• Página de inicio de la regla de cálculo de la Sociedad Oughtred: dedicada a la preservación y la historia de las reglas de cálculo
• Reglas de cálculo de Rod Lovett: sitio completo de Aristo con muchas funciones de búsqueda
• Galería de reglas de cálculo virtuales de Derek: simulaciones en Javascript de reglas de cálculo históricas
• "Regla de cálculo"  . Nueva enciclopedia internacional . 1905.
• "Regla de cálculo"  . Enciclopedia Americana . 1920.
• Reglas de Cálculo — Una colección muy grande de Faber Castell
• Colección de reglas de cálculo: reglas de cálculo francesas (Graphoplex, Tavernier-Gravet y otras)
• Sitio de reglas de cálculo de Eric: historia y uso
• Reglas de cálculo: información del Museo de calculadoras HP
• Descripciones, ordenadas alfabéticamente por marca, con imágenes (Vintage Tech. Assoc.)