Sector (instrumento)

Instrumento matemático compuesto por dos reglas con bisagras.

Sector típico inglés, probablemente de principios del siglo XIX, realizado en marfil con bisagra de latón. Este lado tiene escalas para líneas de líneas (L), secantes (S), cuerdas (C) y polígonos (POL), junto con una escala de décimas de pulgadas en los bordes exteriores que forman una regla recta de 12 pulgadas cuando el sector está completamente abierto y tiene una escala de centésimas de pie marcada a lo largo del costado (apenas visible en esta imagen).

El otro lado del mismo sector, con escalas para una línea de senos (S) y dos líneas de tangentes (T), junto con escalas logarítmicas de Gunter para números (N), senos (S) y tangentes (T) en el bordes exteriores.

El sector , también conocido como compás proporcional o compás militar , fue un importante instrumento de cálculo en uso desde finales del siglo XVI hasta el siglo XIX. Es un instrumento formado por dos reglas de igual longitud unidas por una bisagra. En el instrumento están inscritas varias escalas que facilitan diversos cálculos matemáticos. Se utilizaba para resolver problemas de proporción , multiplicación y división , geometría y trigonometría , y para calcular diversas funciones matemáticas, como raíces cuadradas y cúbicas . Sus diversas escalas permitieron soluciones fáciles y directas a problemas de artillería , topografía y navegación . El sector deriva su nombre de la cuarta proposición del libro sexto de Euclides , donde se demuestra que los triángulos semejantes tienen sus lados iguales proporcionales. Algunos sectores incorporaban también un cuadrante , y en ocasiones una abrazadera al final de una pata que permitía utilizar el dispositivo como cuadrante de artillero .

Historia

De fabrica et usu menti ad omnia horarum géneros descritoda (1592), donde Giovanni Paolo Gallucci está entre los primeros en describir el sector.

Clément Cyriaque de Mangin, Uso del compas de proporción , 1637

Sector de latón con divisores, probablemente fabricado en Dresde hacia 1630

El sector fue inventado, esencialmente de forma simultánea e independiente, por varias personas diferentes antes de principios del siglo XVII.

Fabrizio Mordente (1532 – ca 1608) fue un matemático italiano mejor conocido por su invención de la "brújula proporcional de ocho puntas" que tiene dos brazos con cursores que permiten la solución de problemas de medición de la circunferencia, el área y los ángulos de una círculo. En 1567 publicó un tratado de una sola hoja en Venecia que mostraba ilustraciones de su dispositivo. ^[1] En 1585 Giordano Bruno utilizó la brújula de Mordente para refutar la hipótesis de Aristóteles sobre la inconmensurabilidad de los infinitesimales, confirmando así la existencia del "mínimo" que sentó las bases de su propia teoría atómica. ^[2] Guidobaldo del Monte desarrolló una "brújula polimétrica" ​​c. 1670, que incluye una escala para construir polígonos regulares. El astrónomo italiano Galileo Galilei añadió más escalas en la década de 1590 y publicó un libro sobre el tema en 1606. ^[3] El sector de Galileo se diseñó inicialmente para aplicaciones militares, pero evolucionó hasta convertirse en una herramienta de cálculo de uso general.

Los dos primeros sectores conocidos en Inglaterra fueron fabricados por Robert Beckit y Charles Whitwell, respectivamente, ambos fechados en 1597. Tienen un gran parecido con la descripción del dispositivo dada por el libro de 1598 del matemático inglés Thomas Hood . ^[3] El sector Hood descrito estaba destinado a ser utilizado como instrumento topográfico e incluía miras y un casquillo de montaje para sujetar el instrumento a un poste o poste, así como una escala de arco y una pata deslizante adicional. En el siglo XVII, el matemático británico Edmund Gunter prescindió de accesorios pero añadió escalas adicionales, incluida una línea de meridiano con divisiones proporcionales al espaciado de las latitudes a lo largo de un meridiano en la proyección de Mercator , ^[4] distribuyendo de forma privada un manuscrito en latín que explicaba su construcción y uso. . Gunter publicó esto en inglés como De Sectore et Radio en 1623.

El sector de Galileo

La brújula geométrica y militar de Galileo, que se cree que fue fabricada c. 1604 por Mazzoleni

Figura que muestra las escalas de la brújula militar de Galileo, de su manual del dispositivo.

Galileo desarrolló por primera vez su sector a principios de la década de 1590 como herramienta para los artilleros. En 1597 se había convertido en un instrumento que tenía una utilidad mucho más amplia. Podría usarse, por ejemplo, para calcular el área de cualquier figura plana construida a partir de una combinación de líneas rectas y semicírculos. Galileo estaba decidido a mejorar su sector para que pudiera usarse para calcular el área de cualquier forma discutida en los Elementos de Euclides . Para ello, necesitaba agregar la capacidad de calcular el área de segmentos circulares . Le llevó más de un año resolver este problema. El instrumento que hoy conocemos como sector de Galileo es la versión con esta capacidad añadida que comenzó a producir en 1599 con la ayuda del fabricante de instrumentos Marc'Antonio Mazzoleni . Galileo proporcionó alojamiento y comida a Mazzoleni y su familia, y le pagó dos tercios del precio de venta de 35 liras; Galileo cobraría 120 liras por un curso que enseñara el uso del instrumento, aproximadamente la mitad del salario anual de un artesano experto. ^[5] La mayoría de sus clientes eran nobles ricos, incluido el archiduque Fernando , a quien Galileo vendió un sector hecho de plata. Se hicieron más de cien en total, pero hoy en día sólo se sabe que existen tres: uno en la Galería Putnam de la Universidad de Harvard , otro en el Museo de Arte Decorativo del Castello Sforzesco de Milán y otro en el Museo Galileo de Florencia.

Galileo describió cómo realizar 32 cálculos diferentes con el sector en su manual de 1606. ^[6] En la introducción, Galileo escribió que su intención al producir el sector era permitir a las personas que no habían estudiado matemáticas realizar cálculos complejos sin tener que conocer los detalles matemáticos involucrados. El sector se utilizaba en combinación con un divisor, también llamado compás . Cada brazo del sector estaba marcado con cuatro líneas en el frente y tres en la parte posterior, y el pivote tenía un hoyuelo que aceptaría la punta de un divisor. Las líneas y escamas en cada brazo eran idénticas y estaban dispuestas en el mismo orden a medida que se movía desde el borde interior al borde exterior, formando así siete pares de líneas. Todos los cálculos se podrían realizar con alguna combinación de cinco pasos muy simples: medir algún largo, separación o ancho del objeto con el divisor; abrir los brazos del sector y fijar la distancia transversal entre dos puntos correspondientes en un par de líneas a la separación divisoria; medir la distancia transversal entre dos puntos correspondientes en un par de líneas una vez que el sector se había establecido en cierta separación; leer un valor de una de las escalas en un punto donde las distancias transversales coinciden con una separación divisoria; y leer un valor en una escala donde la distancia desde el pivote coincide con un divisor. Galileo no describió cómo se construyeron las balanzas, lo consideró un secreto comercial, pero se pueden inferir los detalles. Las marcas de escala se colocaron con una precisión de aproximadamente el 1%.

Las rectas aritméticas

Las escalas más internas del instrumento se denominan líneas aritméticas por su división en progresión aritmética , es decir, escala lineal. El sector en el Museo Galileo está marcado del 16 al 260. ^[7] Si llamamos a la longitud desde el pivote , entonces damos dos marcas con valores y las proporciones de sus longitudes son proporcionales a las proporciones de los números. En notación moderna: ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2},}$

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}},}$

Galileo describe cómo usar estas escalas para dividir una línea en varias partes iguales, cómo medir cualquier fracción de una línea, cómo producir una versión escalada de una figura o mapa, cómo resolver la Regla de Oro de Euclides (también llamada Regla de Tres ), cómo convertir un valor en una moneda en el valor en otra moneda y cómo calcular el valor compuesto de una inversión.

A modo de ejemplo, el procedimiento para calcular el valor compuesto de una inversión es el siguiente. Si la inversión inicial es P0, establezca el divisor en la distancia desde el pivote hasta el punto marcado en P0 en las líneas aritméticas. Abra el instrumento y ajuste la distancia transversal en el punto 100-100 de las líneas aritméticas a la distancia recién medida hasta P0. Si la tasa de interés para el período es, digamos, 6%, entonces establezca el divisor en la distancia transversal en 106-106. Coloque el divisor en el pivote y observe dónde cae el otro extremo en las líneas aritméticas. Este es el valor de la inversión al final del primer período. Ahora establezca nuevamente la distancia transversal en 100-100 con respecto a la separación divisoria actual y repita el procedimiento durante tantos períodos como sea necesario.

Las líneas geométricas

El siguiente conjunto de rectas se llaman rectas geométricas , las cuales tienen una escala numerada del 1 al 50, con longitudes proporcionales a la raíz cuadrada, llamadas geométricas porque se utilizan para encontrar la media geométrica y trabajar con áreas de figuras planas. Si llamamos a la longitud desde el pivote entonces: ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle {\frac {G_{1}}{G_{2}}}={\frac {\sqrt {n_{1}}}{\sqrt {n_{2}}}}}$

Galileo describe cómo usar estas líneas para escalar una figura de modo que la nueva figura tenga una relación de área determinada con respecto a la original, cómo medir la relación de área de dos figuras similares, cómo combinar un conjunto de figuras similares en otra figura similar de modo que la figura resultante tiene el área combinada del conjunto, cómo construir una figura similar que tenga un área igual a la diferencia de área de otras dos figuras similares, cómo encontrar la raíz cuadrada de un número, cómo organizar N soldados en una cuadrícula donde la proporción de filas y columnas es un valor específico y cómo encontrar la media geométrica de dos números.

A modo de ejemplo, el procedimiento para producir una figura similar que tenga el área combinada de un conjunto de figuras similares es el siguiente: Elige un lado de la figura más grande y mide su longitud con un divisor. Abra el sector y establezca la distancia transversal en algún valor intermedio en las líneas geométricas hasta la separación divisoria, cualquier número servirá, digamos 20. Luego mida la longitud del lado correspondiente en cada una de las otras figuras y lea la escala de líneas geométricas. valor donde la distancia transversal coincide con estas longitudes. Sume todas las lecturas de la báscula, incluidas las 20 que establecimos originalmente. En el valor combinado de las líneas geométricas, mida la distancia transversal. Esta será la longitud del lado de la figura que tiene el área combinada del conjunto. Luego puedes usar la escala aritmética para escalar todas las longitudes de los demás lados en la figura más grande para que coincidan. Este procedimiento funcionará para cualquier figura cerrada hecha de líneas rectas.

El procedimiento para calcular una raíz cuadrada varía según el tamaño del radicando. Para un número "medio" ("en la región de 5000"), comience midiendo la distancia desde el pivote hasta el punto marcado 40 en las líneas aritméticas y estableciendo la distancia transversal del sector en 16-16 en las líneas geométricas. a esta distancia. Luego toma tu número y divídelo por 100, redondeando al número entero más cercano. Entonces, por ejemplo, 8679 se convierte en 87. Si este número es mayor que 50 (el valor más grande en la escala de líneas geométricas), entonces se debe reducir; en este ejemplo, quizás se divida por 3 para obtener 29. Luego mida la distancia transversal en las líneas geométricas. en 29, esta distancia en las líneas aritméticas representa Debido a que nuestro número se redujo para caber en el sector, debemos aumentar la longitud en Podemos elegir cualquier valor conveniente, por ejemplo, 10, estableciendo la distancia transversal del sector en 10 a la separación del divisor, y luego mida la distancia transversal en 30 en las líneas geométricas, luego coloque el divisor contra las líneas aritméticas para medir cuál está lo suficientemente cerca como para ${\displaystyle {\sqrt {2900}}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {8700}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {8679}}}$

El procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número “pequeño”, un número “alrededor de 100”, es más sencillo: no nos molestamos en dividir entre 100 al principio, pero por lo demás hacemos el mismo procedimiento. Al final, divida la estimación de raíz cuadrada resultante por 10. Para números "grandes" ("alrededor de 50 000"), establezca el sector en forma transversal entre 10 y 10 en las líneas geométricas hasta la distancia desde el pivote hasta el punto en 100 en el rectas aritméticas. Divide el número entre 1000 y redondea al número entero más cercano. Luego siga un procedimiento similar al anterior.

Galileo no proporciona más orientación ni perfeccionamiento. Saber qué procedimiento utilizar para un número determinado requiere cierta reflexión y una apreciación de la propagación de la incertidumbre .

Las líneas estereométricas

Las líneas estereométricas se llaman así porque se relacionan con la estereometría , la geometría de los objetos tridimensionales. La escala está marcada en 148 y la distancia desde el pivote es proporcional a la raíz cúbica. Si llamamos a la longitud entonces ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{n_{1}}}{\sqrt[{3}]{n_{2}}}}}$

Estas líneas operan de manera análoga a las líneas geométricas, excepto que tratan con volúmenes en lugar de áreas.

Galileo describe cómo usar estas líneas para encontrar la longitud del lado correspondiente en un sólido similar donde el sólido tiene una proporción de volumen determinada con respecto al original, cómo determinar la proporción de volumen de dos sólidos similares dadas las longitudes de un par de lados correspondientes, cómo encontrar las longitudes de los lados de un sólido similar que tiene el volumen combinado de un conjunto de otros sólidos similares, cómo encontrar la raíz cúbica de un número, cómo encontrar los dos valores intermedios entre dos números y tales que , y para un determinado factor de escala y cómo encontrar el lado de un cubo que tiene el mismo volumen que un cuboide rectangular (caja de esquinas cuadradas). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n_{1}=rp}$ ${\displaystyle n_{2}=r^{2}p}$ ${\displaystyle q=r^{3}p}$ ${\displaystyle r}$

Para elevar al cubo un cuboide rectangular de lados , y equivale a calcular el método de Galileo, es usar primero las líneas geométricas para encontrar la media geométrica de dos de los lados. Luego mide la distancia a lo largo de las líneas aritméticas hasta el punto marcado usando un divisor, y luego establece el sector transversalmente a esta distancia en el punto marcado en las líneas estereométricas, calibrando el sector de modo que la distancia desde el pivote hasta el punto en las líneas estereométricas represente el lado de un cubo con el volumen de un cuboide con lados y He luego mide la distancia desde el pivote hasta el punto marcado en las líneas aritméticas, y ve en qué valor de las líneas estereométricas encaja transversalmente esta distancia, multiplicando así el resultado anterior por dar como resultado lo deseado. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{abc}}.}$ ${\displaystyle g={\sqrt {ab}}.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{ab}},}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{abc}}}$

El procedimiento para calcular raíces cúbicas es similar al utilizado para raíces cuadradas, excepto que solo funciona para valores de 1000 o más. Para números "medianos", establecemos el sector transversalmente en 64-64 en las líneas estereométricas hasta la distancia desde el pivote hasta el punto marcado 40 en las líneas aritméticas. Luego eliminamos los últimos tres dígitos de nuestro número, y si el número que eliminamos era más de 500, sumamos uno al resto. Medimos la distancia transversal en las líneas estereométricas en el valor restante y lo colocamos contra las líneas aritméticas para encontrar la raíz cúbica. El número más grande que se puede manejar sin reescalar aquí es 148.000. Para números "grandes", establecemos el sector transversalmente en 100-100 en las líneas estereométricas hasta la distancia desde el pivote hasta el punto 100 en las líneas aritméticas, y en lugar de eliminar tres dígitos, eliminamos cuatro. Esto puede manejar números desde 10.000 hasta 1.480.000 sin reescalar. Para uso práctico, debe utilizar el procedimiento del número medio para todos los valores hasta 148.000 que no estén dentro de aproximadamente el 2% de un múltiplo de 10.000.

Las líneas metálicas

Las líneas metálicas , el par más externo en la cara frontal, están marcadas con los símbolos "ORO" (para oro , oro ), PIO (para piombo , plomo ), "AR" (para argento , plata ), "RA" (para rame , cobre ), "FE" (para ferro , hierro ), "ST" (para stagno , estaño ), "MA" (para marmo , mármol ) y "PIE" (para pietra , piedra ). Estos símbolos están ordenados mediante pesos o densidades específicas decrecientes, con una distancia proporcional a la raíz cúbica inversa. Dados dos materiales de densidad y si llamamos a la longitud desde el pivote ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2},}$ ${\displaystyle M,}$

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{\rho _{2}}}{\sqrt[{3}]{\rho _{1}}}}}$

La relación de longitudes en esta escala es proporcional a la relación de diámetros de dos bolas del mismo peso pero de diferentes materiales.

Estas líneas fueron de interés para los artilleros para resolver el problema de “hacer el calibre”, es decir, cómo determinar la carga de pólvora correcta a utilizar para una bala de cañón de cierto tamaño y material, cuando se conoce la carga correcta para una bala de cañón de un diferente tamaño y material. Para hacer eso, medirías el diámetro de la bala de cañón con la carga conocida y establecerías el sector transversalmente en la marca del material de esta bala de cañón en las líneas metálicas de ese diámetro. La distancia transversal al tipo de material de la segunda bala de cañón te da el diámetro de una bala de cañón en este material que tiene el mismo peso que la primera bala. Necesitamos reducir esta longitud estereométricamente al diámetro dado de la segunda bola para obtener la carga correcta, por lo que establecemos la distancia transversal en las líneas estereométricas en 100-100 a la distancia transversal que acabamos de medir desde las líneas metálicas, y luego vea dónde la distancia transversal en las líneas estereométricas coincide con el diámetro real de la segunda bola. La carga requerida está entonces en la proporción de esta lectura de escala a 100 en comparación con la bola con carga conocida. Luego podrías usar las líneas aritméticas para escalar el peso de la carga en esta proporción.

Las líneas poligráficas

La escala de polígonos en un sector típico tiene líneas proporcionales a la longitud del lado de un polígono regular de n lados inscrito en un círculo dado. En el diseño del sector de Galileo, invirtió esta escala de modo que los números aumentan a medida que se alejan de la bisagra y están espaciados de manera más uniforme. Los diseños posteriores, tanto en Inglaterra como en Europa continental, volvieron a la escala poligonal original.

Las líneas poligráficas , escala más interna en la parte posterior del instrumento, están etiquetadas del 3 al 15, y la distancia desde el pivote es inversamente proporcional a la longitud del lado de un polígono regular de lados inscrito en un círculo dado, o directamente proporcional a la circunradio de un polígono regular de lados de una longitud determinada. Si es la longitud en la escala poligráfica y representa la longitud de la cuerda trigonométrica de un arco circular medida en grados, entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {crd} }$

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{2}}}}{\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{1}}}}}.}$

Usando notación funcional en términos de la función seno moderna ,

${\displaystyle P(n)={\frac {R}{2\sin {\dfrac {\pi }{n}}}}}$

¿Dónde está el circunradio de un hexágono? Estas líneas se pueden utilizar para ayudar en la construcción de cualquier polígono regular desde el triángulo equilátero de 3 lados hasta el pentadecágono de 15 lados . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P(6)=R.}$

Galileo describe cómo usar estas líneas para encontrar el radio de un círculo circundante para un polígono de n lados de una longitud determinada o en la otra dirección cómo encontrar la longitud de una cuerda que divide la circunferencia de un círculo en partes. El procedimiento para encontrar el radio del círculo circundante es el siguiente: abra el sector y establezca la distancia transversal en el punto 6–6 en las líneas poligráficas a la longitud lateral deseada. La distancia medida transversalmente a las líneas poligráficas es el radio del círculo circundante. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Las líneas tetragónicas

Las líneas tetragónicas están marcadas desde 13 hasta 3 a medida que se aleja del pivote, y se puede inferir que la distancia desde el pivote es , donde está la distancia desde el pivote hasta el punto marcado con 3. Hay un círculo en la escala que se encuentra casi a medio camino entre 6 y 7. El nombre proviene de tetrágono (cuadrilátero), ya que el objetivo principal de estas líneas es la cuadratura de polígonos regulares, es decir, encontrar el lado de un cuadrado cuya área es igual a la del cuadrado regular dado. polígono. También se pueden utilizar para cuadrar el círculo . ${\displaystyle L(n)=L_{t}{\sqrt {\frac {n}{{\sqrt {3}}\tan {\frac {180}{n}}}}}}$ ${\displaystyle L_{t}}$

El área de un polígono regular con lados es , donde es la longitud del lado del polígono. El radio del círculo de igual área es . El valor de en el cual el radio del círculo es igual a la longitud del lado del polígono es . Por supuesto, no existe tal polígono, pero esto nos da un punto de referencia en las rectas tetragónicas, el círculo indicado, donde es fácil leer transversalmente el radio del círculo que es igual en área al polígono con lados si Establecemos el sector en las Líneas Tetragónicas transversalmente a la longitud del lado del polígono. Entonces, cuadrar el círculo es simplemente usar . Para cuadrar el polígono, todo lo que hacemos es establecer el sector transversalmente en la longitud del lado y medir transversalmente en . Es igual de fácil encontrar las longitudes de los lados requeridas para dos polígonos cualesquiera de igual área con diferente número de lados. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(n)=L^{2}{\frac {n}{4\tan {\frac {180}{n}}}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r=L{\frac {n}{4\pi \tan {\frac {180}{n}}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6.5437}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

Las líneas agregadas

El conjunto de líneas más externo en la parte posterior tiene una escala doble, una escala exterior y otra interior. La escala exterior es lineal y va desde 18 hasta 0 a medida que te alejas del pivote, y el punto cero está marcado con una ⌓, el símbolo de un segmento circular . Este punto cero está aproximadamente al 70% del recorrido a lo largo del brazo. También se describe que la escala interior va desde 18 hasta 0, pero el sector en el Museo Galileo sólo está marcado desde 17. El punto cero en la escala interior se encuentra más lejos en el brazo, a una distancia de ¿dónde está la distancia desde el pivote hacia el cero en la escala exterior, y el cero está marcado con un pequeño cuadrado. El cero de la escala exterior se encuentra cerca del punto marcado 6 en la escala interior. A primera vista, la escala interior también parece lineal, pero la separación de sus puntos en realidad está determinada por una fórmula bastante compleja que debemos deducir, ya que Galileo no describe cómo se construyó esta escala. El nombre de estas líneas deriva del hecho de que Galileo las añadió a una versión anterior de su sector. Estas líneas se utilizan para cuadrar segmentos circulares, es decir, encontrar la longitud del lado de un cuadrado que es igual en área a un segmento circular con una longitud y altura de cuerda determinadas, donde el segmento es como máximo un semicírculo. ${\textstyle {\sqrt {\pi /2}}L_{a}}$ ${\displaystyle L_{a}}$

El procedimiento para cuadrar un segmento circular es el siguiente. Mide la mitad de la cuerda, . En el punto medio de la cuerda, mida la longitud de la línea perpendicular a la cuerda hasta donde se cruza con el círculo, la altura . Establezca el sector transversalmente en las líneas agregadas en el cero de la escala exterior a la longitud de media cuerda, . Encuentre el punto en la escala exterior, donde la distancia transversal es ; debe ser menor o igual a . Vaya al punto de la escala interior que también está marcado . La distancia transversal entre los puntos nn en la escala interior es la longitud del lado del cuadrado igual en área al segmento circular. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

Para ver cómo funciona esto, comenzamos observando (como se puede ver en la figura del segmento circular ), que el área del segmento es la diferencia entre el área de la porción circular definida por donde la cuerda corta el círculo, y el área del segmento circular definida por donde la cuerda corta el círculo. Triángulo formado por la cuerda y los dos radios que tocan los extremos de la cuerda. La base del triángulo tiene longitud y la altura del triángulo es , por lo que el área del triángulo es . Usando el teorema de Pythogras , podemos demostrarlo . El área de la porción circular es la fracción del área del círculo cubierta por el ángulo . Porque en radianes , esta área es , donde está la función seno inversa . Si definimos , y , entonces podemos escribir el área del segmento como . ${\displaystyle 2c}$ ${\displaystyle r-h}$ ${\displaystyle A_{t}=c(r-h)}$ ${\displaystyle r=(c^{2}+h^{2})/2h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A_{pie}=\theta /2r^{2}=r^{2}\arcsin(c/r)}$ ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle x=h/c}$ ${\displaystyle z=(1+x^{2})/2x}$ ${\displaystyle A_{seg}=c^{2}(z^{2}\arcsin 1/z-z+x)}$

La distancia desde el pivote hasta el punto marcado en la escala exterior es donde está la distancia desde el pivote hasta el punto cero en la escala exterior. Cuando colocamos el sector transversalmente en el punto cero y encontramos el punto en la escala exterior donde la distancia transversal es , configuramos un par de triángulos similares que comparten el ángulo formado por los brazos del sector en el pivote, de modo que . Si establecemos la distancia del punto desde el pivote en la escala interior a , con y definimos como antes, entonces la distancia transversal medida en la escala interior será la longitud del lado del cuadrado con un área igual a la del segmento . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{outer}(n)=L_{a}(1-n/20)}$ ${\displaystyle L_{a}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h/c=1-n/20}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle L_{inner}(n)=L_{a}{\sqrt {z^{2}\arcsin 1/z-z+x}}}$ ${\displaystyle x=1-n/20}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$

Otros usos

El sector venía con una plomada y un cuadrante desmontable que, cuando estaba en su lugar, bloquearía los brazos a 90° entre sí. El sector podría luego usarse para avistamientos y mediciones de distancias mediante triangulación , con aplicaciones en topografía y balística. El sector también podría usarse para determinar fácilmente la elevación de un cañón insertando un brazo en el cañón y leyendo la elevación desde la ubicación de la plomada.

Notas

1. Camerota, Filippo (2012), "Mordente, Fabrizio", Diccionario biográfico de italianos (en italiano), vol. 76 , consultado el 9 de octubre de 2019.
2. Bruno, Giordano (1585), Figuratio Aristotelici Physici auditus
3. Meskens 1997, pág. 146.
4. Gunter 1673, "Del uso de la línea meridiana en la navegación", págs.
5. Trabajo, productividad y salarios en Italia 1270-1913 , Paolo Malanima, actas de la conferencia Hacia una historia global de precios y salarios , 2004
6. Galileo 1606
7. Los detalles de la escala se pueden leer en las fotografías presentadas en la página 88 en Bennett, 2022.

Referencias

• Bión, Nicolás ; Piedra, Edmundo (1758). La construcción y usos principales de los instrumentos matemáticos (2ª ed.). J. Richardson.Primera edición en inglés publicada por John Senex , 1723. Traducción al inglés revisada y ampliada de Bion, Nicolas (1723) [1709]. Traité de la Construction et des principaux uses des instrumens de mathématique (en francés) (edición revisada). P. Husson y otros.
• Drake, Stillman (1976). "Galileo y el primer dispositivo informático mecánico". Científico americano . 234 (4): 104-113. doi : 10.1038/scientificamerican0476-104. JSTOR  24950332.
• Fomentar, Samuel (1673). "El Sector Alterado". Las obras de Edmund Gunter . Por Gunter, Edmundo . Leybourn, William (ed.). (5ª ed.). Francisco Eglesfield. págs. 157-194.
• Galilei, Galileo (1978) [1606]. Operaciones de la Brújula Geométrica y Militar . Traducido por Drake, Stillman . Washington, DC: Institución Smithsonian.Traducción inglesa de Galilei, Galileo (1649). Le Operazioni del Compasso Geométrico et Militare (en italiano) (3ª ed.). Padua: Paolo Frambotto.
• Gunter, Edmundo (1673). Leybourn, William (ed.). Las obras de Edmund Gunter (5ª ed.). Francisco Eglesfield. págs. 1-156.Publicado por primera vez en La descripción y uso del sector, crosse-staffe y otros instrumentos (1624, 1636).
• Kern, Ralf, Wissenschaftliche Instrumente in ihrer Zeit. Desde el 15. – 19. Jahrhundert . Verlag der Buchhandlung Walther König 2010, ISBN 978-3-86560-772-0 
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• Rossini, Paolo (2019). "Nuevas teorías para nuevos instrumentos: la brújula proporcional de Fabrizio Mordente y la génesis de la geometría atomista de Giordano Bruno". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia A. 76 : 60–68. doi :10.1016/j.shpsa.2018.10.004.
• Williams, Michael R.; Tomash, Erwin (2003). "El Sector: Su Historia, Escalas y Usos". Anales IEEE de la historia de la informática . 25 (1): 34–47. doi :10.1109/MAHC.2003.1179877.
• Catálogo de instrumentos topográficos y afines , Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italia, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9 

enlaces externos

• La brújula o sector proporcional y su historia, espacio de artes y ciencias de Kochi .
• Citas de las escalas del sector galileo de: "La brújula geométrica y militar" de G. Galilei (archivado en 2008)
• Sector militar de Cole en los archivos de IBM
• Un sector típico y cómo utilizarlo por Christopher J. Sangwin
• "La regla de cálculo y la placa sinusoidal tienen un ancestro común" por IMSAI Guy en YouTube
• "Tutorial y recorrido por el sector del ebanista" por Brendan Bernhardt Gaffney en YouTube
• "Acer-Ferrous Toolworks Sector" en Red Rose Reproductions, que incluye varios vídeos que demuestran los usos del sector